固体物理课件第二章_晶格热振动 (2)资料

由冲量定理有：
m
dv


dk


e
dt dt
f


mvE
t
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
mvE

e
t
即:
vE


et
m



由于电子的漂移运动,电子气系统产生一个沿源自文库场方向的电流 jE
jE

nevE

ne2t
m




ne2t
这种阻力来源于晶格振动(声子)以及晶格中的缺陷和杂质原 子与电子间的相互作用.
对于电子运动阻力的定量分析是复杂的,这里用简单的弛豫时 间方法来处理.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
电子运动的群速度为：
v d d dE(k)
dk dk dk
当晶体外加电场时,电子被加速, 按牛顿力学有:
N CE 2 f (E)dE 0

2
3
CE 2
3
|0

2 3

C
0
3
E2
f
(E)dE
先求积分I：
I
(
EF
)



g
(
E
)
f (E E
)
dE
0
I0g(EF ) I1g(EF ) I2g(EF )

g(EF
)

2
6
(kBT
)2
g(EF
)
I0



f (E)

是的奇函数
所以
I 1
kBT

EF

f (E)d

kBT



f (E)d

0
kBT
I 2


1 2!
F 0
(E

EF
)2
f (E ) E
dE

2
6
(kBT
)2
3.4 低温下电子化学势
g(E)

2 3
3
CEF2
g(E)

1 2
1
1
k
0 F

3n 2
3
vF0

k
0 F
m
与费米能量对应的热运动温度称为费米温度,记为
TF.有: kBTF0 EF0
3.4低温下电子化学势
为了书写方便，姑且将不同温度下的电子化学势也记为费米能EF
当 T 0K, 但 kBT EF 时, 分布在各个能级上的电子总数可表示为:

1
CEF 2
得N：
N

2 3
3
CEF2

2
12
(kBT
)
2

CEF
1 2

2 3
3
CEF2
(1
2
8
( kBT EF
)2 )

2 3
CEF0 32
3
EF 2

E0
3 2
F
(1

2
( kBT
)2 )
取分母中EF
EF0
8 EF
3.4 低温下电子化学势
EF
EF0
1

2
8
2
(
kBT E0
Drift velocity vd is net motion of electrons (0.1 to 10-7 m/s). Scattering time t is time between electron-lattice collisions.
3.1 自由电子的经典理论
德鲁得（Derude）理论的困难


3.3费米面与态密度
二、费米面的物理意义
费米能级在k空间的等能面－费米面； 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面； 费米能级是绝对零度下电子的化学势； 自由电子的费米面为球面。
特别提示：
有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化 学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而
2m

平面波形式的解 :


(r )



eik r
0
其中 r 为电子的位置矢量，k 为波矢量.
2k 2 E
2m
p

k
上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.
f
(
E
)

1 02
E EF E EF
kBT 0 kBT 1 kBT 2.5
费米分布曲线
3.3费米面与态密度
三、费米面计算方法及态密度
系统中的电子总数：
N
1
E EF
E e kBT 1

N 0 f (E)g(E)dE
EF0 g(E)dE 0
g(E) 是电子的态密度
－－十分重要
3.3费米面与态密度
四、态密度
3.3费米面与态密度
五、自由电子气体的态密度和费米面
对于自由电子，等能面是球面，由上述分析可得
g(E)

Vc
2 2
(
2m
2
)
3 2
E
1 2
1
CE 2
其中
C

Vc 2 2
(
2m 2
)
3 2

N (E)dE

EF0
CE
1 2
dE
0

2 3
C(EF0
3
)2
0
2
EF0

(3 2
N C
2
)3

2 2m

3N Vc
2
3
2 (3n 2 )23 2m
g(E)
E O
自由电子的状态密度曲线
E 1 N

EdN
0

1 N

E (E)dE
0
1 N
EF0 0
3
CE 2dE

3 5
E
0 F
3.3费米面与态密度
3.1 自由电子的经典理论
德鲁得（Derude）理论的基本假定
金属中的价电子可以看成是自由电子，即电子所受的势函数 为常数；
电子－电子，电子－晶格之间存在瞬间弹性碰撞； 弛豫时间假定
这是最简单的金属键模型
3.1 自由电子的经典理论
德鲁得（Derude）理论关于金属电导率的理论处理
E
按弛豫时间近似： mvd eEt
J E E where resistivity

conductivity
J n e vd
m ne2t
where n carrier density
vd drift velocity
where t scattering time
s
vt
单位时间：t = 1 单位面积：s = 1
eikxLx 1
kx

2
Lx
nx , nx

0,1,2,
同理有：
ky

2
Ly
ny , ny
0,1,2,
能级
E

2 22
m
(
nx2 L2x

n
2 y
L2y

kz
nz2 L2z
)

2
Lz
nz , nz
0,1,2,
3.3费米面与态密度
一、费米面
电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米—狄拉克统计，在 平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：
六、与费米面相关的一些概念
对于自由电子，费米面为球面. 费米面上的电子的能量称为费米能, 对应的波矢为费米波矢, 对应的电子的速度为费米速度.
2
由
EF0

2 2m

3N Vc
2

3

k
2 F
2m
得绝对零度时的费米波矢为:
由电子动量 kF0 mvF0 得绝对零度时的费米速度矢为:
－绝对零度下的费米能级记为：EF0
f (E)
1
EEF
e kBT 1
a. kBT 0
f (E)
1

陡变
E EF E EF
0 E EF
b. kBT 1
1 E EF
f
(E
)

1 02
E EF E EF
c. kBT 2.5
1 E EF
E T
V
,即可得出系统
cV
2
2
NkB
(
kBT EF0
)

T
其中


N
2k
2 B
2EF0
,称为金属的电子比热容系数.
3.5 自由电子比热
二、金属的热容
5 cV T (J mol1 K 2 )
4
低温下，由德拜模型得到晶格热容为：
cV
12 4
5
Nk
B

T D
f (E) E
dE
1
0
I1



f (E) E
(E

EF
)dE
0
3.4 低温下电子化学势
令 E EF
kBT
则 f (E)
E
1 kBT
f (E)

1 kBT
e (e 1)2
1 kBT
e (1 e )2

f (E)

是的偶函数
用电子速度表示 波矢和能量:
1
dn
E

1
4
mv2
3
f (E)dkxdkydkz
v

2 p
k
mm
所以
dk x dk y dk z


m
3
dvx
dv
y
dvz
3.7 金属的电子热发射
dn

1 4
3

m
3

exp[(
dvx dv y dvz
mv2 2
Temperature dependence of resistivity.

E
FE e

ma e

m
1
J ne vd ne (at ) ne2t nt
• Metal: Resistance increases with Temperature. • Why? Temp t, n same (same # conduction electrons)
EF )
(kBT
)]
1
对于能量较高的电子,满足
固体的电子发射方式有 1 热发射——高温 3 光发射——强光照射
2 场发射——强电场 4 二次电子发射——高能电子
电子热发射:金属中的电子因受热而逸出金属表面的现象. 逸出功:金属中的电子逸出金属表面所需要的能量.
W E0 EF
物理意义：外界为克服正离子的引力所需作的功.
如果有外部电路,则逸出的电子可形成热电子发射电流则电流密度为:
j AT 2eW kBT
里查逊----杜师曼定律
T为绝对温度;A为常数,不同金属A的值不同.
3.7 金属的电子热发射
用电子气模型来计算热电子发射电流的大小:
在波矢空间中,体积元dk dkxdkydkz中电子态的数目为:
dZ

Vc
4 3
dk x dk y dk z
按费米分布,这些态 上的电子数密度为:
f (E)
1
E
e kBT 1
—Fermi- Dirac 分布
其中： 为电子的化学势, 一般称绝对零度下的电子化学势为费米面
T=0K时， ＝EF
f(E)
E EF : f (E) 0 状态全空
1
EF
E EF : f (E) 1 状态全被占据
E




EF










3
bT 3
3
低温下金属总的比热容为:
2
KCl
cV cVe cVc T bT 3
1
变形为:
cV bT 2
T
0
Cu
5
10 15 T 2 K 2
金属总的比热容
3.6 自由电子气的电导率
一、弛豫时间近似
若晶体中的电子是完全自由的,则晶体将没有电阻,在外场作用 下电子定向运动的速度越来越大直至无穷,这是与实验不相符 的.在实际上,电子在晶体内运动时,要受阻力作用.
m

在波矢空间中,当电子气系统达到稳定平衡状态后,每个电子的波矢增加了 k

k

mvE

可见:弛豫时间越大,即阻力越小,则导电能力越强.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
kx
kx

kx
ky
无外场
有无外场
电场作用下费米球移动示意图
对导电有贡献仅仅是费米面附近的电子
3.7 金属的电子热发射
第三章 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals
3.0 引言
一、基本内容
经典电子理论及其局限性 量子自由电子理论 态密度及费米面 金属的接触势差 电子比热
二、学习要点
掌握量子理论的提出过程 掌握态密度的求法 熟练掌握费米面的概念
3.2 自由电子的量子理论
一、周期性边界条件
周期性边界条件：



(r (r

Lx Ly
) )


(r ) (r )



(1) (2)
(r Lz ) (r ) (3)
Lx N1a1 Ly N2a2 Lx N3a3
将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：
F
)2

3

EF0
1

2
12
(
kBT E0
F

)
2

费米能级随温度升高而略有减小
3.5 自由电子比热
一、自由电子的平均能量
E

1

CE
3 2
f
(E)dE


2C
5
E2
f (E)dE
N
5N
E
0
0
I
g(E)
f
(EF
)dE

g(EF
)

2
6
(kBT
• Semiconductor: Resistance decreases with Temperature. • Why? Temp t, n (“free-up” carriers to conduct)
3.2 自由电子的量子理论
一、波函数与能级
薛定谔方程：
2 2 E
)2
g(EF
)
g(E)

2
E
5 2
5
g(E)

3
E
1 2
2
E

2 5
C N
EF5/ 2

2
6
(kBT )2
3 2
C N
1
EF2

2 5
C N
5
(EF2

5 2
8
1
(kBT )2 EF2 )
3.5 自由电子比热
二、电子气的比热容
若系统中有N个电子,根据比热容的定义 cV 比热容为: