示范教案{§5简单的幂函数}

§5 简单的幂函数

整体设计

教学分析

教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x 为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进．

值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质．

三维目标

1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力．

2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力．

3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．

重点难点

教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念．

教学难点是判断函数的奇偶性．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(1)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数．

(2)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数．

(3)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝S 12

，这里a 是S 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量)

这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式)

思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①给出下列函数，y ＝x ，y ＝12

x ，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点. ②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论. ③函数y ＝x ，y ＝

1x

的图像对称性有什么共同点？ ④函数y ＝x ，y ＝1x 的解析式满足f －x ＝－f x 吗？ ⑤函数y ＝x 2

，y ＝|x |的图像对称性有什么共同点？

⑥函数y ＝x 2，y ＝|x |的解析式满足f －x ＝f x 吗？

活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式． ②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．

③画出函数y ＝x ，y ＝1x

的图像来观察． ④代入函数的解析式验证即可．

⑤画出函数的图像来观察．

⑥代入函数的解析式验证即可．

讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．

②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．

即幂函数的定义：

一般地，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

如y ＝x 2，y ＝12x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数．

③函数y ＝x ，y ＝1x

的图像都关于原点对称． 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．

④都满足f (－x )＝－f (x )．

因此有：函数f (x )是奇函数⇔函数f (x )的图像关于原点对称⇔对定义域内任意的x ，f (－x )＝－f (x )．

⑤都关于y 轴对称．

一般地，图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．

⑥都满足f (－x )＝f (x )．

因此有：函数f (x )是偶函数⇔函数f (x )的图像关于y 轴对称⇔对定义域内任意的x ，f (－x )＝f (x )．

当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数f (x )具有奇偶性．

提出问题

在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．

图1

讨论结果：函数y ＝x －1，y ＝－x 3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y ＝x 2＋1，y

＝－x 4是偶函数，其图像关于y 轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．

图2

在研究函数时，如果知道其图像具有关于y 轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．

应用示例

思路1

例1 画出函数f (x )＝x 3的图像，讨论其单调性．

活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义．

解：先列出x ，y 的对应值表(如下表)，再用描点法画出图像，如图3.

图3

从图像上看出，y ＝x 3

是R 上的增函数．

点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力． 变式训练

画出幂函数y ＝x 12

的图像，并讨论其单调性． 答案：幂函数y ＝x 12的图像如图4所示．

图4

从图像看出，函数y ＝12

x 在[0，＋∞)上是增函数.

例2 判断f (x )＝－2x 3和g (x )＝x 4＋2 的奇偶性．

分析：根据函数奇偶性的定义来判断．

解：因为在R 上，f (x )＝－2x 3，f (－x )＝－2(－x )3＝2x 3，所以f (x )＝－f (－x )．

于是f (x )是奇函数，而g (x )＝x 4＋2，g (－x )＝(－x )4＋2＝x 4＋2，

所以g (x )＝g (－x )．于是g (x )是偶函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法．

判断函数奇偶性的方法：

(1)定义法，其步骤是：①求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；②当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；③当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；④当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．

(2)图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．

注意：分段函数的奇偶性要分段判断．

变式训练

1．判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1

；(2)f (x )＝x 3－2x . 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．

(2)函数的定义域为R ，