机械振动第十讲2013(习题课)

由拉格朗日方程得
d T ( ) mq1 dt q1 T ) mq 2 dt q 2 d d ( T ( ) I o q3 dt q3
T q1
0
T q3
0
T q 2
0
V q1
k1 ( q1 bq 3 ) k1 ( q1 dq 3 )
q2 x2
d T d t x 2 V x 2
k 2 ( x 2 x1 ) k 3 ( x 3 x 2 ) k 2 x1 ( k 2 k 3 ) x 2 k 3 x 3 T m 3 3 ; x 0 x 3
系统的势能为
V
1 2
k1 x12
1 2
k 2 ( x 2 x1 ) 2
1 2
k 3 ( x3 x 2 )
1 2
k 4 ( x 4 x3 ) 2
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
多自由度系统习题
1
q 1 x1
d T T m1 1 ; x 0 d t x1 x1 V x1 k 1 x1 k 2 ( x 2 x 1 ) ( k 1 k 2 ) x1 k 2 x 2 T m 2 2 ; x 0 x 2
1 构造特征矩阵有 L [ k ] [ m ]
{X }
p
2
I ，得频率方程
L 0
多自由度系统习题
即
2 2 2
mh 3 144 EJ
2 5 5
2 5 11 0
其中

,
1 p
2
，展开得频率方程为
3 18 2 54 2 36 3 0
分别代入特征值，得到主振型矩阵为
21 .6508 m A T MA 0 0 0
1 .000 A 2 .295 3 .929
0
1 .000 1 .377 1 .037
1 .000 0 .645 0 .1220
MP
3 .9243 m 0 0 1 .4303 m
0 0 k4 k4
q x1
T
x2
x3
x4
多自由度系统习题
2 为了隔离机器产生的振动，将机器安装在一大的基座上， 基座由弹簧支承，如下图所示。试求机器和基座在图示平面 内的运动方程。
多自由度系统习题
解： 选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运 动，并相互独立。设机器和基座的总质量为M，总质量对质心G 点的惯性矩为IG，则 y1 y 4 0 x1 q2 aq3 坐标与弹簧变形量之间 x4 q2 aq3 y 2 q1 bq3 关系为： y3 q1 dq3 x2 x3 0
2 3 h 2 144 EJ 2 2 5 5 5 11 2
Ph x0 5 144 EJ 11
3
x0 0 0
模态坐标初始条件为 Ph 3 m x N (0) A T Mx 0 = N 144 EJ
1
2 2 2
2 m 0 5 5 5 11 0 2
1 p 1
2
0 m 0
0 1 x 0 x 2 m 3 x
由特征方程有 [ k ] [ m ]{ X }
m M 0 0 0 m 0 0 0 m
0 .2149 1 AN 0 .4927 m 0 .8432
0 .5049 0 .6848 0 .5278
0 .8361 0 .5390 0 .1017
当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于 受到了初始条件的激励，即 0 2
3
其中
p1
9 .979
EJ mh 3
p 2 55 .07
EJ mh 3
p 3 151
EJ mh 3
多自由度系统习题
5. 在题3的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度
s a sin t x
试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。 解：在习题3中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为
3
1 变换回物理坐标响应为： x A (N ) x N 1 A (N2 ) x N 2 A (N3) x N 3
展开得到
2 .616 cos p1t 0 .702 cos p 2 t 0 .083 cos p 3 t Ph x 5 .999 cos p1t 0 .938 cos p 2 t 0 .053 cos p 3 t 144 EJ 10 .258 cos p1t 0 .727 cos p 2 t 0 .010 cos p 3 t
x N (0) A T M x 0 N
12 .168 1 .379 0 .099
多自由度系统习题
模态坐标的响应为
xN
12 .168 cos p1t Ph m 1 .379 cos p 2 t 144 EJ 0 .099 cos p 3 t
V q 2
2 k 2 ( q 2 aq3 )
V q3
k1b ( q1 bq3 ) k1d ( q1 dq3 ) ak 2 ( q 2 aq3 ) ak 2 ( q 2 aq3 )
则运动方程为
Mq1 2k1 q1 k1 (b d ) q 3 0
h1 h2 h3 h
x1
x 2 x 3 为相对地面的坐标。
求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。 多自由度系统习题
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为
k 12 EJ l
3
由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中
12 EJ 1 h
3 1
k1 2
Mq 2 2k 2 q 2 2ak 2 q 3 0
I G q 3 k1 (b d ) q1 2 ak 2 q 2 (b 2 d 2 ) k1 q 3 2 a 2 k 2 q 3 0
因此系统具有三坐标耦合的运动方程。 多自由度系统习题
，
，
3 上图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑模型。 假设： EJ 3 EJ m1 m 2 m 3 m EJ 2 2 EJ EJ 1 3EJ
1 应用拉格朗日方程导出题1图所示系统的运动微分方程。
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即
qi xi i 1,2,3,4 1 1 1 1 2 2 2 则系统的动能 T m1 x12 m 2 x 2 m 3 x 3 m 4 x 4 2 2 2 2
解出
1 14 .43 , 2 2.62 , 3 0.954
解出固有频率为
p1 9 .979 EJ mh 3
Байду номын сангаасp 2 55 .07 EJ mh 3
p 3 151
EJ mh 3
多自由度系统习题
当系统自由度数不太大时(如N=2~4)，可以采用下列求伴随矩 阵的方法求解固有振型：由振动方程
AN 0 .2149 1 0 .4927 m 0 .8432 0 .5049 0 .6848 0 .5278 0 .8361 0 .5390 0 .1017
d T d t x 4 V x 4
k 4 ( x 4 x3 ) k 4 x3 k 4 x 4
多自由度系统习题
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
m1 1 ( k 1 k 2 ) x1 k 2 x 2 0 x m 2 2 k 2 x1 ( k 2 k 3 ) x 2 k 3 x 3 0 x m 3 3 k 3 x 2 ( k 3 k 4 ) x 3 k 4 x 4 0 x m 4 4 k 4 x 3 k 4 x 4 0 x
k2 2
12 EJ 2 h
3 2
k3 2
12 EJ 3 h33
1 k1
广义坐标如图示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。 即对m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为 第二和第三个弹簧变形为零。由此可得各坐标位移为，
11
1 k1 1
21
31
k1 1 k1
多自由度系统习题
q3 x3
d T d t x 3 V x 3
k 3 ( x3 x 2 ) k 4 ( x 4 x3 ) k 3 x 2 (k 3 k 4 ) x3 k 4 x 4 T m 4 4 ; x 0 x 4
q4 x4
T 1 2 Mq12 1 2 2 Mq 2 1 2 2 I G q3
V
1 2
k1 ( q1 bq 3 ) 2
1 2
k1 ( q1 dq 3 ) 2
1 2
k 2 ( q 2 aq 3 ) 2
1 2
k 2 ( q 2 aq 3 ) 2
式中，V为贮存在弹簧中的势能 多自由度系统习题
[k ]{ X } [m]{ X }
([ k ] [ m]){ X } {0}
解出特征值i与固有频率pi
由特征方程 [ k ] [ m ] 0
然后设
[Qi ] [ k ] i [ m ]
可以证明[Q]阵的伴随矩阵adj[Q]的任意一列，就是 相应于 i的特征向量，即是固有振型{Xi}
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为