条件概率、乘法公式和独立性
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
第三节 条件概率 事件的独立性
B
相互独立即可
AB B ，由概率的可减性，得
P A B P B P AB
P B P A P B
事件
A 与 B 的独立性
1 P A P B
所以，事件
A 与 B 相互独立．
2、多个事件的独立性 三个事件的独立性 定义：对于三个事件A、B、C ，若下列 四个等式: P(AB)= P(A)P(B)
1
假设独立重复地做
n 次某一试验
E , A 是某一随机
事件 , A i 表示第 i 次试验中 A 出现 , 则前 n 次试验中 A 至少出现一次的概率为
n n P A 1 1 p i i 1
此结论说明 :小概率事件迟早要发生 .
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人 中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1+A2+A3)
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
性质1: A 与 B是两个事件，而且
则 A 与 B 相互独立的充要条件
P A 0
P B A P B
证明：必要性 由于事件 A 与 B 相互独立，故
P AB
因此，
P A P B
P AB
P B A
P A
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1+A2+A3) 1 P ( A
1
A2 A3 )
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
高等数学 13.4条件概率、乘法公式与事件的独立性
• 需要说明的是，（1-15）式实际上蕴涵着
•C
2 n
Cn3
C
n n
2n
1 n
个等式. 特别地，
• 当n 3 时，（1-15）式蕴涵着以下四个 等式：
Байду номын сангаас
• P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
，
• P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 )
，
•
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
复n次得到的复合试验称为n重独立试验；
若E只有两个可能结果（如事件A发生或不 发生），则称其为贝努利试验（Bernoulli
Trial），由它得到的n重独立试验称为n重
贝努利试验.
• 贝努利试验以及相应的概率模型在实际 中有十分广泛的应用. 比如，掷一颗骰子的 试验就是贝努利试验，掷n次就是n重贝努 利试验. 还有，对任一事件A，若试验的目 的只是观察A发生与否，那么，独立地做n 次试验或观察就构成一个n重贝努利试验.
11)
• 这就是概率的乘法公式，它在计算复杂 事件的概率时十分有用.
• 乘法公P(式A1（A2 1-1A1m）1) 还 0可推广到多个事件
的情形，如
时，有
三 事件的独立性
• 一、两个事件的独立性
•
在前面的很多例子中P，(A | B) P(A) ，
这说明事件A与B是有关联的. 比如，P当(A | B) P(A)
生了”
• 定义1.2 设A和B为两个事件P，(B) 0 ，
那么，在“B已发生”的条件下，A发生的
条件概P(率A | B)
定义为
P( A | B) P( AB)
•
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
《概率学》1.4条件概率与独立性
(2)若n个事件A1, A2, …, An独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也独立．
(3) 若A1, A2, …An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An）;
P(A1 A2 An) 1 P(A1 A2 An).
1 P( A1 A2
An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P(1An ). 6 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
解： 设A, B, C 分别表示甲、乙、丙机床不需要照看三 个事件，则 P(A) = 0.1，P(B) = 0.2，P(C) = 0.15
由题意A, B, C 相互独立，所求概率分别为
(1) P( ABC) P( A)P(B)P(C) 0.1 0.2 0.15 0.003.
(2) P( A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC)
（2） P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
3 2 7 0.0583.
10 9 8
1
0
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例5(罐子模型). 罐中有 a 个白球、b 个黑球，每次从 中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球,若连 续从罐中取球三次, 求三次都取到黑球的概率 .
第4节 条件概率与独立性
第一章 事件与概率
例7.一工人照看三台机床，在一小时内甲、乙、丙 三台机床不需要照看的概率分别为0.1，0.2和0.15，各 台机床是否需要照看是独立的。求在一小时内 (1)没有 一台机床需要照看的概率； (2)至少有一台机床不需 要照看的概率； (3)最多有一台机床需要照看的概率。
条件概率及独立性
1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。
1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, B2,, Bn, 事件两两互不
相容，则
P( Bi | A) P(Bi A)
i 1
i 1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
质．
2.1.1 条件概率
例如:
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
C220 C520
0.1551
P( B1B2 | A2 ) CC132220 0.1517
第五讲：事件的独立性
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
条件概率有关条件概率的三个重要计算公式
第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。
下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。
对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。
下面我们看第一个乘法公式。
*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。
证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。
事件的独立性、概率乘法定理
P(B) P( Ai)P(B | Ai) i 1
=0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0
=0.145。
练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第 二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的 零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概 率为多少？
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
3. 70
(2)
P(A1|B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
1、三好学生，拿到奖学金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好 学生，拿到奖学金的概率是p(A2)=0.4。3、五好学生， 拿到奖学金的概率是p(A3)=0.5。4、六好学生，拿到奖 学金的概率是p(A4)=0.6。这些学生只能是三好四好五好 六好学生种的一种，不能跨种类。这个学校学生是三好 学生的概率是p(B1)=0.4，四好学生的概率是p(B2)=0.3， 五好学生的概率是p(B3)=0.2，六好学生的概率是p(B4)=0.1。 现在问题出来了，一个学生能够拿到奖学金的概率是多少？
p,
P( A2 | A1)
p,
P( A1) 1 p, P( A2 | A1)
p. 2
于是，由全概率公式得
P( A2
)
P( A1)P( A2
|
A1)
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
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§3．条件概率、乘法公式、独立性
前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。
然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。
一．【例1】设箱中有100件同型产品。
其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，
30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。
现从中任取一件产品。
(1)求取得甲厂产品的概率；
(2)求取得次品的概率；
(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。
分析：为了直观，我们将产品情况列成表
上面的问题，可用古典概率计算法求得。
解：
则（1）（2），
，，
（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。
这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。
由古典概率知：
为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：
即有
二。
条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则
称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,
且
【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取
两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B
表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：
【例】
φ
=，解；（ⅰ）∵ABφ
三．概率的乘法公式：
乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。
即
【例2】盒中有10件同型产品。
其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正
品的概率。
因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。
【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。
求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没
抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解：设事件A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到难签，则
【例4】
【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记。