2019-2020年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章复习课5 三角函数(人教A版)

复习课(五) 三角函数
考点一 三角函数的概念
设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则x ＝cos α，y ＝sin α，y
x ＝tan α.三角函数的概念是研究三角函数的基础．
【典例1】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2 ＝5|t |，
当t >0时，r ＝5t ，
sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3
5，
cos α＝x r ＝4t －5t
＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.
综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4； t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4.
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x
r .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式
更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[针对训练]
1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝_____.
[解析] r ＝x 2
＋y 2
＝16＋y 2
，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y
r ＝
y 16＋y
2＝－25
5，所以θ为第四角限角，解得y ＝－8. [答案] －8
考点二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式
由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础．
【典例2】 已知f (α)＝
sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)
sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝18，且π4<α<π
2，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－47π
4，求f (α)的值．
[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α
(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.
(2)由f (α)＝sin α·cos α＝1
8可知， (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π
2，∴cos α<sin α，
即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－3
2.
(3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π
4，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－47π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4
＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.
(1)牢记两个基本关系式sin 2
α＋cos 2
α＝1及sin α
cos α＝tan α，并能应用
两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
[针对训练]
2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45 [解析] sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，
又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝4
5.
[答案] D
3．若sin θ＝3
3，则cos (π－θ)cos θ⎣
⎢⎡⎦
⎥
⎤sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2－θ－1＋
cos (2π－θ)
cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
3π2＋θ的值为________．
[解析] 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ
－cos θ·cos θ＋cos θ
＝
11＋cos θ＋11－cos θ＝2(1－cos θ)·(1＋cos θ)
＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝6.
[答案] 6
考点三 三角函数的图象与性质
函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象可用“五点法”作出，而识别函数的图象可考虑特殊点及三角函数的性质，要熟记y ＝sin x 、y ＝cos x 的单调性，区分y ＝sin x 及y ＝tan x 的周期及单调增区间，以图助数，数形结合．
【典例3】 (1)函数f (x )＝sin x
|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
(2)若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为2π，且满足f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ，－π≤x <0，sin x ，0≤x <π，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝________.
(3)已知f (x )＝sin 2
x ＋cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，2π3，则f (x )的值域为
________．
[解析] (1)x ∈[－π，π]故排除B ，D ，当x ∈⎣⎢⎡
⎭⎪⎫－π，－π2时，cos x <0，
f (x )＝
sin x
－cos x
＝－tan x ，故选C. (2)∵T ＝2π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＋2π×2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＝cos(－π4)＝2
2.
(3)f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ＝－⎝
⎛
⎭
⎪⎫cos x －122＋54.
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，54.
[答案] (1)C (2)2
2 (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，54
(1)研究三角函数的图象可结合三角函数的定义域、值域、单调区间、特殊点等研究．
(2)研究三角函数的奇偶性、单调性、最值等要注意定义域的限制．
[针对训练]
4．函数f (x )＝sin x (1－sin x )
1－sin x 的奇偶性是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又偶函数
D ．非奇非偶函数
[解析] 由题意，知sin x ≠1，即f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x | x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，此函数的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非
奇非偶函数．
[答案] D。