南京盐城市届高三二模数学试卷
南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试有答案
南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学2021． 03考前须知：1．本试卷共 4 页，包括填空题〔第1 题~第 14 题〕、解答题〔第 15 题~第 20 题〕两局部．本试卷总分值为 160 分，考试时间为120 分钟．．．．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．1的定义域为▲ ．1．函数 f(x)＝ ln 1－ x－－ ▲．2．假设复数 z 满足 z(1－ i)＝ 2i 〔 i 是虚数单位〕， z 是 z 的共轭复数，那么z ·z ＝3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，那么甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众 4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研，假设在“不喜欢戏剧的男性青年观众〞的人中抽取了 8 人，那么 n 的值为▲．5．根据如下图的伪代码，输出S 的值为▲．S ← 1I ← 16．记公比为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．假设 a 1＝ 1， S 4－ 5S 2＝0，WhileI ≤8S ← S ＋ I那么 S 5 的值为▲．I ← I ＋ 2 πEnd While 7．将函数 f(x)＝ sinx 的图象向右平移y ＝ g(x)的图象，PrintS个单位后得到函数3那么函数 y ＝ f(x)＋g(x)的最大值为 ▲．〔第 5 题图〕8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2＝ 6x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥ l ， Aπ 3π ，那么 cos α的值为 ▲ ．9．假设 sin(α－ )＝ 5 ， α∈ (0， )6 210． α， β为两个不同的平面， m ， n 为两条不同的直线，以下命题中正确的选项是▲〔填上所有正确命题的序号〕 ．①假设 α∥ β， m α，那么 m ∥β；②假设 m ∥α， nα，那么 m ∥n ；③假设 α⊥ β， α∩ β＝ n ， m ⊥ n ，那么 m ⊥ β； ④假设 n ⊥ α， n ⊥ β， m ⊥ α，那么 m ⊥ β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝ 0 与直线 l 2： x ＋ ky － 2＝ 0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y － 4＝ 0 的距离的最大值为▲ ．12．假设函数 f(x)＝x2－mcosx ＋m 2＋ 3m － 8 有唯一零点，那么满足条件的实数 m 组成的集合为▲．13．平面向量→ → → →▲．AC ＝(1 ，2)， BD ＝ (－ 2， 2)，那么 AB ?CD 的最小值为14．函数 f(x)＝ lnx ＋ (e － a)x － b ，其中 e 为自然对数的底数．假设不等式b的最f(x)≤ 0 恒成立，那么 a 小值为 ▲ ．．．．．．．．．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD ＝ 6， BD ＝3， DC ＝ 2．〔1〕假设 AD ⊥ BC ，求∠ BAC 的大小；AAπ〔2〕假设∠ ABC＝4，求△ ADC 的面积．BD CBDC〔第 15 题图 1〕 〔第 15 题图 2〕数学试卷第 2 页共16 页如图，四棱锥P－ABCD 中， AD ⊥平面 PAB， AP⊥ AB．（1〕求证： CD ⊥ AP；（2〕假设 CD ⊥PD，求证： CD∥平面 PAB；D CABP〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB， BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米，其中a≥ b．（1〕当 a＝ 90 时，求纸盒侧面积的最大值；（2〕试确定 a， b， x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．D CA B〔第 17 题图〕22如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆 C ： x＋ y＝1 经过点 (b ， 2e)，其中 e 8 b 2为椭圆 C 的离心率．过点 T(1， 0)作斜率为 k(k ＞ 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点 (A 在 x 轴下方 )．〔1〕求椭圆 C 的标准方程；〔2〕过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求AT · BT 的值；MN 2→ 2 →〔3〕记直线 l 与 y 轴的交点为 P ．假设 AP ＝ 5 TB ，求直线 l 的斜率 k ．yMBOT xPNA19．〔本小题总分值 16 分〕〔第 18 题图〕函数 f (x)＝ e x － ax － 1，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R ．（ 1〕假设 a ＝ e ，函数 g (x)＝ (2－e)x ．①求函数 h(x)＝ f (x)－ g (x)的单调区间；②假设函数F(x)＝f (x)，x ≤m ，的值域为 R ，求实数m 的取值范围；g (x)， x ＞m（ 2〕假设存在实数 x 1， x 2∈ [0， 2]，使得 f(x 1)＝ f(x 2)，且 | x 1－x 2| ≥ 1，求证： e － 1≤ a ≤e 2－e ．20．〔本小题总分值16 分〕数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { b n } ， { c n } 满足 (n ＋ 1) b n ＝ a n ＋ 1－S n，n(n ＋ 2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋2 S n，其中 n ∈ N* ．－ n2〔1〕假设数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，求数列 { c n } 的通项公式；〔 2〕假设存在实数 λ，使得对一切n ∈N* ，有 b n ≤ λ≤ c n ，求证：数列{ a n } 是等差数列．南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2021．03考前须知：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在 A 、B、C 、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计卷卡指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，△ ABC 的顶点 A， C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M．（1〕假设 BC 是圆 O 的切线，且 AB＝ 8，BC＝ 4，求线段 AM 的长度；（2〕假设线段 BC 与圆 O 交于另一点 N，且 AB＝ 2AC，求证： BN＝ 2MN ．CC NOOA M BA M B〔第 21(A) 图〕B．选修 4— 2：矩阵与变换3 0设 a， b∈R．假设直线l ：ax＋ y－ 7＝0 在矩阵A=－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋ y－ 91＝ 0．求实数a， b 的值．C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程3在平面直角坐标系x＝1＋5t，x＝ 4k2，xOy 中，直线 l ：(t 为参数 )，与曲线 C：y＝4k(k 为参数 )交4y＝5t于 A， B 两点，求线段AB 的长．数学试卷第 5 页共16 页D ． 修 4— 5：不等式a ≠b ，求 ： a 4＋ 6a 2b 2＋ b 4＞ 4ab( a 2＋ b 2)．【必做 】第22 、第 23 ，每 10 分，共20 分． 在答 卷卡指定区域内作答．解答 写出．．．．．．．．文字 明、 明 程或演算步 ．22．〔本小 分10 分〕如 ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面四 形ABCD 菱形， A 1A ＝ AB ＝ 2，π∠ABC ＝ ，E ， F 分 是 BC ， A 1C 的中点．3（ 1〕求异面直 EF ， AD 所成角的余弦 ；（ 2〕点 M 在 段 A 1D 上，A 1M＝ λ．假设 CM ∥平面 AEF ，求 数 λ的 ． A 1DA 1D 1B 1C 1FMADBEC〔第 22 题图〕23．〔本小 分10 分〕n(n ＋ 1)有〔 n ≥2， n ∈ N* 〕个 定的不同的数随机排成一个下 所示的三角形数 ：* ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 1 行**⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 2 行 * * *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 3 行⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯** ⋯⋯⋯⋯ * * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 n 行M k 是第 k 行中的最大数，其中 1≤ k ≤ n ， k ∈ N* ． M 1＜ M 2＜⋯＜ M n 的概率 p n ．（ 1〕求 p 2 的 ；2（ 2〕 明： p n ＞C n＋1 ．(n ＋ 1)!南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空 〔本大 共14 小 ，每小5 分， 70 分 .〕21． (－∞， 1) 2． 2 3． 34． 30 5．17 6． 31 7． 38． 64 3－ 3 10．①④11． 3 212． {2}9． 109113．－ 414．－ e二、解答 〔本大 共6 小 ，90 分．解答 写出必要的文字 明， 明 程或演算步 〕15．〔本小 分14 分〕解：〔 1〕 ∠ BAD ＝ α，∠ DAC ＝ β．因 AD ⊥ BC ， AD ＝ 6， BD ＝ 3，DC ＝ 2，所以 tan α＝1， tan β＝ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分231 1所以 tan ∠ BAC ＝ tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝ 2＋3＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1－ tan αtan β111－×32π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又∠ BAC ∈ (0， π)，所以∠ BAC ＝ ．4〔 2〕 ∠ BAD ＝α．π在△ ABD 中，∠ ABC ＝ ， AD ＝ 6，BD ＝3．4由正弦定理得AD ＝ BD， 解得 sin α＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分π sin α4sin 4因 AD ＞ BD ，所以 α 角，从而cos α＝ 1－ sin 2α＝14． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4πππ因此 sin ∠ADC ＝ sin(α＋ )＝ sin αcos ＋cos αsin 44 42 2 14 1＋ 712 分＝ 2 ( 4 ＋ 4 )＝4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△ADC 的面 S ＝ 1×AD × DC · sin ∠ ADC2＝ 1× 6× 1＋ 7 3 7)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 2× ＝ (1＋4 216．〔本小分 14 分〕明：〔1〕因 AD⊥平面 PAB ，AP? 平面 PAB，所以 AD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又因 AP⊥ AB ， AB∩ AD ＝ A， AB? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 AP⊥平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 CD? 平面 ABCD ，所以 CD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2〕因 CD⊥ AP， CD⊥ PD，且 PD∩ AP＝P， PD ? 平面 PAD，AP ? 平面 PAD ，所以 CD⊥平面 PAD．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 AD⊥平面 PAB， AB?平面 PAB，所以 AB⊥ AD ．又因 AP⊥ AB， AP∩ AD ＝ A， AP? 平面 PAD， AD ? 平面 PAD ，所以 AB⊥平面 PAD ．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由①②得 CD ∥AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 CD / 平面 PAB， AB? 平面 PAB，所以 CD∥平面 PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．〔本小分 14 分〕解：〔 1〕因矩形板 ABCD 的面 3600，故当 a＝ 90 ， b＝ 40，从而包装盒子的面S＝ 2× x(90－ 2x)＋ 2× x(40－2x)＝－ 8x2＋260x， x∈ (0，20)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 S＝－ 8x2＋260x＝－ 8(x－65)2＋4225，42故当 x＝65，面最大，最大4225平方厘米．42答：当 x＝6542256 分4，盒的面的最大 2 平方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2〕包装盒子的体2bV＝ (a－ 2x)(b－ 2x) x＝ x[ab－2(a＋ b)x＋ 4x ]， x∈ (0，2)， b≤60．⋯⋯⋯⋯⋯8 分V＝ x[ab－ 2(a＋b) x＋ 4x2] ≤x(ab－ 4abx＋ 4x2)＝x(3600－ 240x＋4x2)＝4x 3－ 240x 2＋ 3600x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当且 当a ＝b ＝ 60 等号成立．f (x)＝ 4x 3－ 240x 2＋ 3600x ， x ∈ (0， 30)．f ′(x)＝ 12(x － 10)(x － 30)．于是当 0＜x ＜10 ， f ′(x)＞0，所以 f (x)在 (0， 10)上 增；当 10＜x ＜ 30 ， f ′(x)＜ 0，所以 f (x)在 (10， 30)上 减．因此当 x ＝ 10 ， f (x)有最大 f (10)＝ 16000， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分此 a ＝ b ＝60， x ＝ 10．答：当 a ＝b ＝ 60， x ＝10 盒的体 最大，最大16000 立方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．〔本小 分 16 分〕222 2解：〔 1〕因xyb 4e8 ＋b 2＝ 1 点 (b ， 2e)，所以8 ＋ b 2＝ 1．2c 2 c 2b 2c 2因 e ＝ a 2＝ 8 ，所以8＋2b2＝ 1．2 2222b8－ b因 a ＝ b ＋ c ，所以8＋2b 2 ＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分整理得 b 4－ 12b 2 ＋32＝ 0，解得 b 2＝ 4 或 b 2＝ 8(舍 )．所以 C 的方程x22＋y＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84（ 2〕 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ．因 T(1，0) ， 直 l 的方程 y ＝ k(x － 1)．y ＝ k(x － 1)， 立直 l 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，消去 y ，得(2k 2＋1)x 2－ 4k 2 x ＋2k 2 －8＝ 0，x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2所以2k ＋ 12k 2 －8x 1 x 2＝ 2 ．2k ＋ 1因 MN ∥ l ，所以直 MN 方程 y ＝ kx ，y ＝ kx ， 立直 MN 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，2228消去 y 得 (2k ＋ 1)x ＝ 8，解得 x ＝ 2k 2＋ 1．因 MN ∥ l ，所以 AT · BT (1－ x 1)· (x 2－ 1)MN 2 ＝ (x － x N ) 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 (1－ x 1) ·(x 2－ 1)＝－ [x 1x 2－ (x 1＋ x 2) ＋ 1]＝7，22k ＋ 12232，(x M － x N ) ＝ 4x ＝22k ＋ 1AT · BT (1 －x 1)· (x 2－ 1)72k 2＋ 1710 分所以 MN 2 ＝(x M － x N )2＝ 2k 2＋ 1· 32 ＝ 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 3〕在 y ＝ k(x － 1)中，令 x ＝ 0， y ＝－ k ，所以 P(0，－ k)，从而 → →AP ＝ (－ x 1,－ k －y 1 )， TB ＝ (x 2－ 1， y 2)．因→ 2 →22 2 12 分AP ＝5 TB ，所以－ x 1＝ (x 2－1) ，即 x 1＋x 2＝ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 55x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2由(2) 知，2k ＋ 1x 1x 22k 2－8＝2．2k ＋1x 1＋ x 2＝4k 2，2－2 16k 2－2由2k ＋ 14k ＋ 2，x 2 ＝ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2 2 解得 x 1＝2 1) 3(2k 2 ＋1)3(2k ＋x 1＋ x 2＝ ，55因 x 1x 2＝2k 2－ 8－ 4k 2＋ 2 16k 2－ 2 ＝ 2k 2－ 82， 所以 2 × 22 ，2k ＋ 13(2k ＋ 1) 3(2k ＋ 1) 2k ＋ 1整理得50k 4－ 83k 2－ 34＝ 0，解得 k 2＝ 2 或 k 2＝－1750 (舍 ) ．又因 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．〔本小 分 16 分〕解：〔 1〕当 a ＝ e ， f (x)＝ e x － ex － 1．① h (x)＝ f (x)－ g (x)＝e x － 2x －1， h ′(x)＝ e x －2．由 h ′(x)＞ 0 得 x ＞ ln2，由 h ′(x)＜ 0 得 x ＜ ln2 ．所以函数 h(x)的 增区(ln2 ，＋∞ )， 减区 (－∞， ln2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分② f ′(x)＝ e x － e ．当 x ＜ 1 ， f ′(x)＜0，所以 f (x)在区 (－∞， 1)上 减；当 x ＞ 1 ， f ′(x)＞0，所以 f(x)在区 (1，＋∞ )上 增．1°当 m ≤ 1 ， f (x)在 (－∞， m]上 减， 域[e m －em －1，＋∞ )，g(x)＝ (2 －e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)，因 F(x)的 域R ，所以 e m － em － 1≤ (2－ e)m ，即 e m － 2m － 1≤ 0．〔 * 〕由①可知当 m ＜ 0 ， h(m)＝ e m － 2m － 1＞ h(0)＝ 0，故〔 * 〕不成立．因 h(m)在 (0， ln2)上 减，在(ln2 ， 1)上 增，且h(0) ＝ 0， h(1)＝ e － 3＜ 0，所以当 0≤m ≤ 1 ， h(m)≤0 恒成立，因此0≤ m ≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2°当 m ＞ 1 ， f (x)在 (－∞， 1)上 减，在(1， m]上 增，所以函数 f (x)＝ e x － ex －1 在 (－∞， m] 上的 域 [f (1) ，＋∞ )，即 [－ 1，＋∞ )．g( x)＝ (2－ e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)．因 F(x)的 域 R ，所以－ 1≤ (2－ e)m ，即 1＜ m ≤ 1．e － 2合 1°， 2°可知， 数 m 的取 范 是 [0， 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e －2]．〔 2〕 f ′(x)＝e x － a ．假设 a ≤ 0 ， f ′(x)＞ 0，此 f(x)在 R 上 增．由 f(x 1)＝ f( x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－x 2|≥ 1 相矛盾，所以 a ＞ 0，且 f( x)在 (－∞， lna] 减，在 [ln a ，＋∞ )上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分若 x 1，x 2∈ ( －∞， lna] ， 由 f (x 1) ＝f (x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－ x 2|≥ 1 相矛盾，同不能有 x 1 ，x 2∈ [ln a ，＋∞ )．不妨 0≤x 1＜x 2≤2， 有 0≤ x 1＜ lna ＜ x 2≤ 2．因 f( x)在 (x 1， lna)上 减，在(lna ， x 2)上 增，且f (x 1)＝ f (x 2)，所以当 x 1≤ x ≤ x 2 ， f (x)≤f (x 1)＝ f (x 2)．由 0≤ x 1＜ x 2≤ 2，且 |x 1－ x 2 |≥ 1，可得 1∈ [x 1 ， x 2]，故 f (1)≤ f (x 1)＝ f (x 2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分又 f (x)在 (－∞， ln a] 减，且 0≤ x 1＜ lna ，所以 f (x 1)≤ f (0)，所以 f (1) ≤ f (0)，同理 f (1)≤ f (2)．e － a － 1≤ 0，2即e － a － 1≤ e 2－ 2a － 2，解得 e －1≤ a ≤ e － e － 1，所以 e － 1≤a ≤ e 2－ e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分20．〔本小 分16 分〕解：〔 1〕因 { a n } 是公差2 的等差数列，所以 a ＝ a ＋ 2(n － 1)，S n＝a ＋n － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n1n 1从而 (n ＋ 2) c n ＝ a 1＋ 2n ＋a 1＋ 2(n ＋ 1)4 分－ (a 1＋ n － 1)＝ n ＋ 2，即 c n ＝ 1． ⋯⋯⋯（2〕由 ( n＋ 1)b n＝ a n＋1－S n，n得n(n＋ 1) b n＝ na n＋1－ S n，(n＋ 1)(n＋ 2) b n＋1＝ (n＋1)a n＋2－ S n＋1，两式相减，并化得a n＋2－ a n＋1＝ (n＋ 2) b n＋1－nb n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而a n＋1＋ a n＋2n＝a n＋1＋ a n＋21－ (n＋ 1) b n](n＋ 2) c n＝－S－ [a n＋2n2＝a n＋2－an＋1＋(n＋1) b n2＝(n＋ 2) b n＋1－nbn＋(n＋1)b n 21＝2(n＋ 2)( b n＋ b n＋1)．11)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因此 c n＝ ( b n＋ b n＋21因一切 n∈N*，有 b n≤ λ≤ c n，所以λ≤ c n＝ (b n＋ b n＋1 )≤ λ，2故 b n＝λ， c n＝λ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以 (n＋ 1)λ＝ a ＋－S n，！未找到引用源。
江苏省南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题纯word解析版
江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。
2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题(解析版)
2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.【答案】{}1,3【解析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 【答案】5【解析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.【答案】14-【解析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩， 若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有_____________个．【答案】325【解析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦.故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3af x x =+，则()f a 的值为___________________． 【答案】0【解析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________. 【答案】2π 【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭，∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8．在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，则ABC V 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________. 【答案】65π【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 在ABC V 中，25AB =，5AC =，90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为()()222552255r AD ⋅===+，则所形成的几何体的表面积为()()12225565S r l l πππ=+=⨯⨯+=.故答案为：65π. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.9．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．【答案】5【解析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．【答案】2【解析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小. 设切点()2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为1222a a a⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，22PA =， ∴2sin 2PM PAM PA ∠==.故答案为：22. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.11．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8【解析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()()2414949462468444x x y x x x x x x -++=+=++-≥+⋅=+++.当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________.【答案】 【解析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD =Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.13．在ABC V 中，BC 为定长，23AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________． 【答案】2【解析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.【答案】11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1x f x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-， 102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，3PE =PBC ⊥平面ABC .【答案】()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】()1利用线面平行的判定定理求证即可；()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，3PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，3PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.【答案】()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 444C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭ 在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.【答案】()1()1232sin tan fθπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-， 则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点()0,3.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】()122143x y +=；()2①337；②32. 【解析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u ru u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min d =综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.【答案】()1[]10,28；()24；()312.【解析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围； ()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x=<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =，若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a g x x '=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.【答案】()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-. 【解析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可. ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值. 【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-.【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】16【解析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===，将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.22．已知a ＞01a a+-2． 【答案】证明见解析【解析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4， 只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值. 【答案】()135；()29. 【解析】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=， 所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯⎪ ⎪++++++⎝⎭，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.【答案】()14；()2证明见解析.【解析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果；()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =， 则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试卷参考答案
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．36 14．132 15． 6 16．34，2（第一问2分，第二问3分） 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：在△ABC 中，B ＝π－(A ＋C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )．因为sin B －sin(A －C )＝3sin C ，所以sin(A ＋C )－sin(A －C )＝3sin C ， ············· 2分 即sin A cos C ＋cos A sin C －(sin A cos C －cos A sin C )＝3sin C ，所以2cos A sin C ＝3sin C ． ······································································· 4分 在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6． ····································································· 6分选择① 方法1因为A ＝π6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋9－33b ．又因为b ＝3a ，所以2b 2－93b ＋27＝0，解得b ＝33，或b ＝332，此时△ABC 存在． ················································································· 8分 当b ＝33时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934．当b ＝332时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938． ········ 10分方法2因为b ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＝3sin A ＝3sin π6＝32．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，或B ＝2π3，此时△ABC 存在． ····························· 8分当B ＝π3时，C ＝π2，所以b ＝c cos A ＝332，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938．当B ＝2π3时，C ＝π6，所以b ＝c sin Bsin C＝33，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934． ···················· 10分选择②因为a ＝3cos B ，所以a ＝3×a 2＋9－b 26a，得a 2＋b 2＝9，所以C ＝π2，此时△ABC 存在． ································································· 8分因为A ＝π6，所以b ＝3×cos π6＝332，a ＝3×sin π6＝32，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab ＝938． ················································· 10分选择③ 由a sin A ＝c sin C ，得a sin C ＝c sin A ＝32， ·························································· 8分 这与a sin C ＝1矛盾，所以△ABC 不存在． ················································ 10分18．(本小题满分12分) 解：（1）方法1因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4＋r ，故a 2＝2． 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝8＋r ，故a 3＝4．因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1a 3，化简得2＋r ＝1，解得r ＝－1， ············· 3分 此时S n ＝2n －1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1－1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，a n ＝2n －1，所以r ＝－1满足题意． ·········································································· 5分 方法2因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋r －2n －1－r ＝2n －1． ······································· 3分 因为{a n }是等比数列，所以2＋r ＝1，解得r ＝－1． ····································· 5分 （2）因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ． ········································· 7分 因为a 1＝1，a 2＝2＝b 1，a 3＝4＝b 2，a 4＝8＝b 4，a 5＝16＝b 8，a 6＝32＝b 16，a 7＝64＝b 32，a 8＝128＝b 64，a 9＝256＝b 128， ········································· 9分 所以c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋b 3＋···＋b 107)－(a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8) ······················· 11分 ＝107×(2＋214)2－2(1－27)1－2＝11302． ··············································· 12分19．(本小题满分12分)解：（1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有－x ＝3，－y ＝0.6，n∑i =1x i 2＝55．所以^b ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－yn∑i =1x i 2－n －x2＝11－5×3×0.655－5×32＝0.2， ·················································· 4分 ^a ＝－y －^b －x ＝0.6－0.2×3＝0，所以回归直线方程为：^y ＝0.2x ． ······························································· 6分线性相关系数r ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－y(n ∑i =1x i 2－n －x 2) (n∑i =1y i 2－n －y 2)＝11－5×3×0.6( 55－5×32)(2.24－5×0.62)＝24.4≈0.9524＞0.95这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程^y＝0.2x 对该组数据进行拟合合理． ········································································ 8分（2）设对B 项目投资x (1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7－x )百万元．所获总利润y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49＋0.2(7－x ) ············································· 10分＝1.93－ [0.04(x ＋1)＋0.49x ＋1]≤1.93－20.04(x ＋1)×0.49x ＋1＝1.65，当且仅当0.04(x ＋1)＝0.49x ＋1，即x ＝2.5时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． ······· 12分20．(本小题满分12分)（1）证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ．因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D ． ················································ 2分 在直角三角形B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝3． 在三角形B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ． ··············································· 4分 又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC ． ························· 6分 （2）解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，1，0)，B (0，－1，0)，C (3，0，0)，B 1(0，0，3)，因此BB 1→＝(0，1，3)，AC →＝(3，－1，0)，AA 1→＝BB 1→＝(0，1，3)． 因为点P 在棱BB 1上，则设BP →＝λBB 1→＝λ(0，1，3)，其中0≤λ≤1．则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1→＝(－3，－1＋λ，3λ)． ······························ 8分 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0， n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0．取x ＝1，y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)． ……………………………………………………10分 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos ＜n ，CP →＞＝n·CP →|n |×|CP →|＝－235×3＋(λ－1)2＋3λ2 ＝－45，（第20题图）化简得16 λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以BP ＝λBB 1＝12． ·········································································· 12分21．(本小题满分12分)解：由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4y ＋4m ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ．因为直线l 与C 相交，所以△＝16－16m ＞0，得m ＜1． ···························· 2分 （1）由AT →＝2TB →，得y 1＋2y 2＝0， ······················································· 4分所以4＋y 2＝0，解得y 2＝－4，从而y 1＝8，因为y 1y 2＝4m ，所以4m ＝－32，解得m ＝－8． ······································ 6分（2）设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，则y 4－y 3x 4－x 3＝y 4－y 3y 424－y 324＝4y 4＋y 3＝－1，解得y 4＝－4－y 3． 又y 4＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，于是－4－y 3＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，解得x 4＝－4－2m －x 3． ······························· 8分又点N 在抛物线上，于是(－4－y 3)2＝4(－4－2m －x 3)．因为y 32＝4x 3，所以y 32＋4y 3＋16＋4m ＝0， ··········································· 10分 于是MA →·MB →＝(x 1－x 3)(x 2－x 3)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 124－y 324)(y 224－y 324)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[(y 1＋y 3)(y 2＋y 3)＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[y 1y 2＋y 3(y 1＋y 2)＋y 32＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16(4m ＋4y 3＋y 32＋16)＝0，因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆． ··············· 12分22．(本小题满分12分)解：（1）当a ＝12时，f (x )＝e x －12x sin x －x －1，则f ′(x )＝e x －12(x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋12x sin x －cos x ．因为x ∈[0，π]，所以e x ≥1，12x sin x ≥0，因此f ′′(x )≥1－cos x ≥0， ··················· 2分所以f ′(x )在[0，π]上单调递增，于是f ′(x )≥f ′(0)＝0，因此f (x )在[0，π]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0． ····································· 4分 （2）由（1）知，当a ≤12时，f (x )≥e x －12x sin x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，此时函数f (x )仅有1个零点． ··································································· 6分 当a ＞12时，因为f (x )＝e x －ax sin x －x －1，所以f ′(x )＝e x －a (x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋a (x sin x －2cos x )． 当x ∈[π2，π]时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．当x ∈[0，π2]时，f ′′′(x )＝e x ＋a (3sin x ＋x cos x )．因为e x ＞0，a (3sin x ＋x cos x )≥0，所以f ′′′(x )＞0，所以f ′′(x )单调递增．又f ′′(0)＝1－2a ＜0，f ′′(π2)＝e π2＋π2a ＞0，因此f ′′(x )在[0，π2]上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(0，π2)． ································ 8分当x ∈(0，x 0)时，f ′′(x )＜0，所以f ′(x )单调递减； 当x ∈(x 0，π2)时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(x 0)＜f ′(0)＝0，f ′(π)＝e π＋a π－1＞0，因此f ′(x )在[0，π]上存在唯一的零点x 1，且x 1∈(x 0，π)．······························ 10分 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞0，所以f (x )单调递增． 又f (0)＝0，f (x 1)＜f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1＞0，所以f (x )在(x 1，π)上存在唯一零点，因此f (x )在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是(12，＋∞)． ··························································· 12分。
江苏省盐城市、南京市2021届高三年级二模数学试题(详解版)
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i 2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝ ”是“A✶ U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a⋅c＝b⋅c＝2，则c的模为A．1 B． 2 C．2 D．224．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()RN VN-．已知新冠病毒在某地的基本传染数R＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为A．40% B．50% C．60% D．70%5．计算2cos10sin20cos20︒-︒︒所得的结果为A．1 B． 2 C． 3 D．26．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为A ．12－50B ．17－50C ．21－00D ．35－007．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．28．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且当x ＞0时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式(x 2－1)f (x )＜0的解集为A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m //α，n //β，α⊥β，则m ⊥n 或m //nC ．若m //α，α//β，则m //β或m ⊂βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n ⊂α 10．已知a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若a －b ＝1，则a －b ＜1B ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1C ．若2a －2b ＝1，则a －b ＜1D ．若22log log 1a b -=，则a －b ＜1 11．已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |,则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴C ．f (x )的增区间为2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．f (x )的值域为⎡⎣ 12．已知*n N ∈，n ≥2，p ＋q ＝1，设()22k n kn f k C q-=，其中k ∈N ，k ≤2n ，则 A ．()201nk f k ==∑ B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若np ＝4，则f (k )≤f (8)D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑第II 卷 (非选择题 共90分)三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)14．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，右焦点为F ，以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于B ，C 两点，若直线BC 过点F ，则R 的值为 ▲ ．15．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2．若点E 、F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为 ▲ ．16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点()()00x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n+1， 记l n+1与x 轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r 的的n ＋1次近似值．设()31f x x x =+-(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为 ▲ ；设33321n n n n x x a x +=+，n ∈N *，数列{}n a 的前n 项积为T n ．若任意n ∈N *，T n ＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①b ＝3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问 题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin B A C C --=，c ＝3， ▲ ？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设()221log n n b a =+，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求123100c c c c ++++的值．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万 元所获得的利润y 近似满足：y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49，求A ，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，……，(x n ，y n )，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-． ②线性相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱． 参考数据：对项目A 投资的统计数据表中111ni ii x y==∑，212.24ni i y ==∑， 4.4≈2.1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C. (1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线C ：24y x =于A ，B 两点． (1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若→AT ＝2→TB ，求实数m 的值；(2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[]0π，，a ∈R ． (1)当a ＝12时，求证：f (x )≥0；(2)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围．南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数 学 试 题(总分 150 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题 共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数 z 1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3＋4i ，则 z 1z 2＝A ．25B ．－25C ．7－24iD ．－7－24i 【答案】A【解析】＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A. 2．设集合 A ，B 是全集 U 的两个子集，则“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A ∩B ＝∅，而显然可得 A ⊆∁U B ，又 A ⊆∁U B ，可得 A ∩B ＝∅，所以“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的充要条件，故选择 C.3．已知 a ，b 是相互垂直的单位向量，与 a ， b 共面的向量 c 满足 a ·c ＝b ·c ＝2，则 c 的模为A ．1 【答案】DB ． 2C ．2D ．2 2【解析】不妨设 a ，b 分别为平面直角坐标系中 x 轴，y 轴上的单位向量，则 a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设 c ＝(x ,y )，则 a ·c ＝x ＝2，b ·c ＝y ＝2，所以 c ＝(2,2)，所以|c |＝ 22＋22＝2 2，故选择 D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 1 时， 每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假 设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中 有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种 率至少为()A ．40% 【答案】CB ．50%C ．60%D ．70%R 0 V【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0＝N N 2.5，所以 2.5(1－V)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥N 2cos10º－sin20º 5．计算所得的结果为 cos20ºA ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】C【解析】cos10° ＝ c os(30° － 20°) ＝ c os30°cos20° ＋ sin30°sin20°＋ 1sin20°. 故 22cos10°－sin20°3cos20° ＝＝ 3，故选择C. cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位 作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数 码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间 画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 71 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50C ．21-00D ．35-00【答案】B7π 6 7πS 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π12意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.x 2 y 27 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若|AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为3 A ．4 B ． 15C ．2D ．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝ 知 B 点的4a 215 (c －2) () 21 a横坐－ ＝1， a 2 b 2c结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.，可得a ＝f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0，＋ ＞x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1(x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ， 增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ， 故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //nC. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂βD. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α【答案】ACD 【解析】略10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BCa 2－b 2 1【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝a ＋b 1 ＜ ，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b －log 2b ＝1＝log a，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴π，k ⊥Z D ．f (x )的值域为[1，4 8]C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π＝1， π＝4 8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝＋ |cos x |≤(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝ ＋24|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π(k ∈Z )时，取2 “＝”，D 正确；故选择ABD.k * k 2n － k12．已知 n ⊥N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q，其中 k ⊥N ，k ≤2n ，则2n 2nA ． ∑ f (k )＝1k =02nB ． ∑ kf (k )＝2npqk =0n1 nC ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)D ． ∑ f (2k ) f (2k －1)＜ ＜∑ 2 k =0k =1 【答案】AC2n2n2n 2n －1k k － k k 2n k － 1 k 2n k －p k q 2n －1－k ＝ 【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －12n －1 k =0 k =0 k =1 k =0k k 2n k－f (k ) C p qp (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误； ＝ ＝ ， ＝ ， ≤1≤ k － qkf (k ) f (k －1) 1 k — ＋ －1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )qk k =01 n＝ ＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲ 种．（用数字填写答案） 【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种. 4 3 x 2 y 2 14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交 于 B ，C 两点．若直线 B C 过点 F ，则 R 的值为 ⊥ ．13【答案】2【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐 33 2＝ .标为(1， ±2）,R ＝ (2－1)2＋(0 －2) 15．在四棱锥 P －ABCD 中，P A ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 P A ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线段长为▲ ． 【答案】 6【解析】注意到⊥P AC ，⊥PBC ，⊥PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心O为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1P C GC 6l ＝2 R 2－d 2＝ 6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ⊥N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为 r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n，n ⊥N *，数列{a n }≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为 ▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ⊥N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．3【答案】4，2【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3(2)f (x 0)＝； 42 x 3＋1 0x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝,可得出0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 03 2 32x ＋1 n －1 1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1x n －1 n －1 ,即 a ＝ ，所以 n ⊥N * {x }的递推关系式为 x ＝, ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1 2 3 x n 3x n 2x ＋1n －1 n －1 n －1 x 11 3 1 ，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－ ，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以 时 T n ＝2 8 2 x n ＋11x 1 当 n ≥1 时，x ⊥(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题 中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在⊥ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3sin C ，c ＝3，?解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝π又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A π 2π所以 B ＝3或 3 ，ππ 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝2π π若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3，1 1 S ⊥ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3×若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π， 所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，π所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝1若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值． 解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，－1n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，a 22＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3n此时，对任意 n ⊥N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a * n 1－ ≠0， ＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 na n －1以 r ＝－1．(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺 序构成的数列．故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝ －2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百 万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a^的斜率和 项目 A 投资金额 x（单位：x 百万元）12345所获利润 y（单位：y 百万元）0.30.30.50.91n∑ x i y i －nx · y— －i=截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝n ∑ i i =1n∑ x i y i －nx · y i =1 — －②线性相关系数 r ＝．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以n ( n∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2 －2 2－2 )i =1i =1上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．n n参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．2i i i i =1 i =1解(y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5∑ i ＝1 5∑ 22i =1 5 ∑2 2i =1 5∑ x i y i －5 x · y — －i =1 则b ^ ＝^－ ^ ^ － ＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ， 5 ∑ i i =15∑ x i y i －5 x · y— －2 2＝ ＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2－2 ( )i ＝1i ＝1答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，则总利润为：y ＝0.16x －0.49＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)x ＋1 y ＝1.89－0.04x －0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65x ＋1当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ． （1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；4（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为 ，求 BP 的长．5z C 1C 1B 1B 1A 1A 1PxCCBOAy （第 20 题图）A （第 20 题图）解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ，所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ， 因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平 面 ABC ；(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，→ → - - 所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0，- →→ λ， 3λ) ，则CP ＝ C B ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0所以 n ＝(1， 3，－1)，设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →则 sin θ＝|cos<n ， C P >| ＝(1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)||12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2＝ 2 3 1 1 4 ＝ ，得 4λ －2λ＋ ＝0，解得 λ＝ ， 2 4 4 55× 4λ2－2λ＋41 1所以 BP ＝ BB 1＝ .4 221.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． -(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆． 解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，- - → → 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2， 将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0， 所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ， 所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8， 所以实数 m 的值为－8．(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0， 所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4所以 MN 中点为 ( ，－2)，2y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为 ＝ ＝2－n ，2 8 8所以 MN 中点为(2－n ，－2)， 所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4因为 k MN ＝ ＝ ＝ ， y 2－y 2x 3－x 4 3 4y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝ 4· ＝ ， y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2y 3＋y 1 y 3＋y 2 3因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16＝ ＝ ＝－1，y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n 3 所以⊥AMB ＝90º，同理⊥ANB ＝90º， 所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称， 所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0， 即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高 中数学－解析几何系统解析》. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ⊥[0，π]，a ⊥R ． 1 (1)当 a ＝2 时，求证：f (x )≥0；(2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围． 1 1解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1， ＝2时， 1f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])， 所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0， 所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．1 1≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号， 此时函数 f (x )仅有 1 个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．当x∈ π[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．当x∈[0，2]因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0⊥(0，)．2当x⊥(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x⊥(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1⊥(x0，π)．当x⊥(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x⊥(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是1(2，＋∞)．18。
2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题(带答案解析)
………外…………○………学校:_______………内…………○………绝密★启用前2020届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，则A B =I _____________.2．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________. 3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，………线…………○……………线…………○……5．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.6．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x∈时，()3af x x=+，则()f a的值为___________________．7．若将函数()sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x的图象关于x轴对称，则ϕ的最小值为________________.8．在ABCV中，AB=AC=90BAC∠=︒，则ABCV绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.9．已知数列{}n a为等差数列，数列{}n b为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a ab b b a b==-，其中0a>，0b>，则+a b的值为_______________．10．已知点P是抛物线24x y=上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．11．已知x，y为正实数，且2441xy x y++=，则x y+的最小值为________________.12．在平面直角坐标系xOy中，圆()()222:0C x m y r m-+=>.已知过原点O且相互垂直的两条直线1l和2l，其中1l与圆C相交于A，B两点，2l与圆C相切于点D.若AB OD=，则直线1l的斜率为_____________.13．在ABCV中，BC为定长，23AB AC BC+=u u u r u u u r u u u r，若ABCV的面积的最大值为2，则边BC的长为____________．…………订…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…14．函数()xf x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.二、解答题15．如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ； ()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．()1求B 的值；()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =，7cos 25A =-，求b 的值.17．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道»DE.记CBD ∠为θ.…………外…………………○…………订…………○…………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………………○…………订…………○…………线…………○……()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围； ()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(.()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值. 19．已知函数()()3216f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x=-的导函数()h x '在5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点.()1求实数a 的取值范围；()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.20．已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦MN .()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 22．已知a ＞01a a+-2． 23．某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有16-点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有2个红球与()*2,m m m N ≥∈个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.()1若4m =，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；()2若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X ，若商场希望X 的数学期望不超过150元，求m 的最小值.24．已知集合{}1,2,,n A n =L ，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M L ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++L的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M L ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.参考答案1．{}1,3 【解析】 【分析】由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}|50B x x x =-<，∴{}13A B ⋂=，.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题. 2．5 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：由12z i =+，得()221234z i i =+=-+，所以25z ==.故答案为：5. 【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题. 3．14-【解析】 【分析】根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】解：程序的功能是计算()2log 21,02,0xx x y x ⎧+≤=⎨>⎩，若输出的实数y 的值为1-，则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得14x =-，当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14-. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题. 4．325 【解析】 【分析】根据数据先求出0.02x =，再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可. 【详解】解：Q ()0.0150.0350.01101x x ++++⋅=，∴0.02x =.则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为()10.0150.021*******-+⋅⋅=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：325. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题. 5．12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率. 【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 6．0 【解析】 【分析】由题意可得：(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()f a 的值即可. 【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(),0130,0,103a x x f x x ax x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪⎪--≤<⎩.由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133a a+=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 7．2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值. 【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得 ()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.8． 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得. 【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在ABC V 中，AB =AC =90BAC ∠=︒，如下图所示，底面圆的半径为2r AD ===，则所形成的几何体的表面积为()(122S r l l ππ=+=⨯⨯=.故答案为：. 【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 9．5 【解析】 【分析】根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可. 【详解】解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，可得22b =-，则()2221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =，可得4ab =.①又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =， 根据等差数列的性质，可得2132a a a =+， 所以22a b =-+.② 根据①②得出1a =，4b =. 所以5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.10【解析】 【分析】过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PFPA 的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PFPA的最小值. 【详解】解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PMPAM PA PA==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PFPA的值最小.设切点()P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠==.. 【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 11．8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：Q x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.12． 【解析】 【分析】设1l ：0kx y -=，2l ：0x ky +=，利用点到直线的距离，列出式子r =⎪=⎪⎩，求出k 的值即可. 【详解】解：由圆()()222:0C x m y r m -+=>，可知圆心(),0C m ，半径为r .设直线1l ：0kx y -=，则2l ：0x ky +=，圆心(),0C m 到直线1l，OD Q AB OD =∴AB =圆心(),0C m 到直线2lr =，并根据垂径定理的应用，可列式得到r =⎪=⎪⎩，解得k =.故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，()223,33AB AC a x y a +=--=u u u r u u u r ，利用求向量模的公式，可得22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，根据三角形面积公式进一步求出a 的值即为所求.【详解】解：设BC a =，以B 为原点，BC 为x 轴建系，则()0,0B ，(),0C a ，设(),A x y ，0y ≠，则()223,33AB AC a x y a +=--==u u u r u u u r，即22223a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()0y ≠，由12ABCS BC y =⋅V ，可得2222a a y ≤=. 则2BC a ==. 故答案为：2. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 14．11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解.由()1xf x e '=-判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出b 的取值范围. 【详解】 解：令()12f x t -=，则()0f t =，()12f x t =+恰有四个解. ()0f t =有两个解，由()1x f x e '=-，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则()()min 010f x f b ==-<，可得1b >. 设()0f t =的负根为m ， 由题意知，112m b +>-，12m b >-，102f b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则12102b e -->， ∴1ln 22b <+. ∴11,ln 22b ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭故答案为：11,ln 22⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题. 15．()1证明见解析；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1利用线面平行的判定定理求证即可； ()2D 为AB 中点，E 为BC 中点，可得112DE AC ==，2PD =，PE =222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，利用面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】解： ()1证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴//AC DE ，又Q AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，∴//AC 平面PDE ；()2证明：Q D 为AB 中点，E 为BC 中点，∴112DE AC ==，又2PD =，PE = 则222PD PE DE =+，故PDE △为直角三角形，PE DE ⊥，Q 平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC DE =，PE DE ⊥，PE ⊂平面PDE ，∴PE ⊥平面ABC ，又∵PE ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题. 16．()14B π=；()2sin sin AD ADCb C∠=.【解析】 【分析】()1利用正弦定理化简求值即可；()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.【详解】解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4B π=；（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5x =，则4sin 5x ==，24sin 25A ==，又4B π=，则333sin sin sin cos cos sin 44450C A A A πππ⎛⎫=---=⎪⎝⎭()sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛⎫∠=+=+=+=⎪⎝⎭在ACD V 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADCb C∠=. 【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题. 17．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短. 【解析】 【分析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-， 则劣弧»DE的长为2πθ-，因此，优弧»DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()1232sin tan fθπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3πθ=时，()min 533f πθ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.18．()122143x y +=；()2①7；②2. 【解析】 【分析】()1根据题意列出方程组求解即可；()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON u u u r u u u u r 求出线段MN 的长；②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，()()221212434460k x x mk x x m +++++=，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22443m k =+，根据d ===. 【详解】解：()1设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=u u u u u u r u r，解得：y =B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++()()222222121211221434343x x y y x y x y+++=+=+=，1212346x x y y +=-()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得：22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 2d =； 综上，原点O 到直线MN【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.19．()1[]10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求出实数a 的取值范围；()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数b 的最大值；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为()a g x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln ay x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x-=-=>'，所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x ah x x x x--'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]10,28a ∈；()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，①当()412160a ∆=--+≤，即47103a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意； ②当47163a <<时，令()232160f x x x a =--+='，解得：13x ==，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()232160f x x x a =--+='，解得：10x =<，20x =>且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32160b b a b ---≤，整理得216b b a -≤-，因为存在[]16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤，综上，b 的最大值为4；()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2113216k x x a =---，即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦整理得：()232111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，即()()211122360x x x -++=，解得12x =所以切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()ag x x'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln ay x a x a x =+-. 所以2224ln 12aa x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28aa a x =-∈，解得257x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.20．()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；()2113λ=，21λ=-.【解析】 【分析】()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用矩阵的知识求解即可.()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值.【详解】()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以21202021a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-，所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f λ=，解得113λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=，21λ=-. 【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题. 21．16 【解析】 【分析】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可. 【详解】由cos cos cos sin sin 444πππρθρθρθ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t ，整理得28x y =，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-， 所以AB ===将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 22．证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法，证明a 132a +＞即可． 【详解】证明：∵a ＞0，∴a 1a+≥2， ∴a 1a+-2≥0，1a a+-2， 只要证明a 221a +＞（a 1a +）2﹣4（a 1a +）+4，只要证明：a 132a +＞，∵a 1a +≥232＞，∴原不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题． 23．()135；()29. 【解析】 【分析】()1设顾客获得三等奖为事件A，因为顾客掷得点数大于4的概率为13，顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为415，求出()P A ；()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，相应求出概率，求出期望，化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++，由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++，求出m 的最小值. 【详解】()1设顾客获得三等奖为事件A ，因为顾客掷得点数大于4的概率为13， 顾客掷得点数小于4，然后抽将得三等奖的概率为24262264331515C C ⨯=⨯=，所以()1433155P A =+=； ()2由题意可知，随机变量X 的可能取值为100，300，400，且()()()()22221121100333321m m m m C P X C m m +-==+⨯=+++，()()()11222283003321m m C C mP X C m m +==⨯=++，()()()2222244003321m C P X C m m +==⨯=++，所以随机变量X 的数学期望，()()()()()()()()211841003004003321321321m m m E X m m m m m m ⎛⎫-=⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪++++++⎝⎭， 化简得()()()2100200220016003321m m E X m m ++=+++， 由题意可知，()150E X ≤，即()()2100200220016001503321m m m m +++≤++， 化简得2323180m m --≥，因为*m N ∈，解得9m ≥， 即m 的最小值为9. 【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题. 24．()14；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.【详解】()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=L ；()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a +++=L，此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意()*3i i N≤∈，都有11ii a a+-=，且40a =；②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组()122,,,k M M M L 满足题意，且20k a =， 则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且()224124k k kj j a a j +++=≤≤-恒成立，即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.。
南京市、盐城市高三二模数学试题(解析版)
一、填空题1.【题文】函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲．【结束】2.【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为▲．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．【结束】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．【结束】5.【题文】已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲ ．【结束】6.【题文】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．【结束】7.【题文】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．【结束】8.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．【结束】9.【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．【结束】10.【题文】已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．【结束】12.【题文】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．考点：分段函数图像【结束】13.【题文】在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．【结束】14.【题文】设函数f(x)＝ax＋sin x＋cos x．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．【结束】二、解答题15.【题文】(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．证PA⊥平面PBC．从而可得PA⊥BE．【结束】16.【题文】(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)． （1）若x 1＝35，求x 2； （2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．【结束】17.【题文】(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法二(构造直角三角形)：即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分 k M以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，【结束】18.【题文】(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP OQ u u u r u u u r 的最大值．因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．【结束】19.【题文】(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax ＋b xe x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值；（2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．①当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；②设g ′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba的取值范围．当a ＝1时，g (x )＝(x －bx －2)e x．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．【结束】20.【题文】(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有a n＋1a n＜a2a1．可得a 4＝(2a 2－a 1)2a 2．………………8分【结束】21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.【结束】21.【题文】B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．21.【题文】C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．考点：极坐标与直接坐标互化【结束】21.【题文】D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【结束】22.【题文】（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．【结束】23.【题文】（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．考点：赋值法求函数值，数学归纳法【结束】。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
南京市、盐城市2020届高三数学二模试卷含答案
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数 学参考公式：圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{ x | x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x | x (x －5)＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．已知复数z ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为－1，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 4．某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回．．后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )= x ＋a3，则f (a )的值为 ▲ ．7．若将函数f (x )＝sin ( 2x + π3 )的图象沿x 轴向右平移φ（φ>0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为 ▲ ．8．在ΔABC 中，AB ＝25，AC ＝5，∠BAC ＝90º，则ΔABC 绕BC 所在直线旋转一周所形（第4题图）（第3题图）成的几何体的表面积为 ▲ ．9．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3}＝{b 1，b 2，b 3}＝{a ，b ，－2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ▲ ．10．已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，则PFPA的最小值为 ▲ ．11．已知x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m )2＋y 2＝r 2(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ▲ ．13．在△ABC 中，BC 为定长，且|→AB +2→AC |＝3|→BC |．若△ABC 的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ▲ ．14．函数f (x )＝e x －x －b (e 为自然对数的底数，b ∈R )，若函数g (x )＝f (f (x )－12)恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，三棱锥P －ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． （1）求证：AC ∥平面PDE ；（2）若PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝cos C ＋c sin B ． （1）求B 的值．（2）设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD ＝177，cos A ＝－725，求b 的值．（第15题图）PACDE17．(本小题满分14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道︵DE ．记∠CBD 为θ． （1）用θ表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围； （2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点(0，3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ， g (x )＝a ln x ，a ∈R ．函数h (x )＝ f (x )x－g (x )的导函数h'(x )在[52，4]上存在零点．（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，求正实数b 的最大值；（3）若直线l 与曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为－12，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，记T n 为数列{a n }的前a n 项和， 即T n ＝a 1＋a 2＋…＋a a n ．（1）若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，S 4＝5S 2，求T 3的值；（2）若数列{a n }为等差数列，且存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得T na n＜2，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{T n }的通项为T n ＝n (n ＋1)2，求证：数列{a n }为等差数列．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1， MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1．（1）求矩阵N ；（2）求矩阵N 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝12t 2，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2．若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．（1）若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．23．(本小题满分10分)已知集合A n＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将A n的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，M m)，其中m＝2n．记集合M k中元素的个数为a k，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0．（1）当n＝2时，求a1＋a2＋…＋a m的值；（2）利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，M m)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|a i－a i＋1|＝1．南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，3} 2．5 3．－14 4．325 5．126．0 7．π2 8．65π 9．5 10． 2211．8 12．±2 5 5 13．2 14．(1，12＋ln2)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：（1）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ． ············································································ 2分 因为AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AC ∥平面PDE ． ··································································· 4分 （2）因为点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC ．又因为AC ＝2，所以DE ＝1，因为PD ＝2，PE ＝3， 所以PD 2＝PE 2＋DE 2，因此在△PDE 中，PE ⊥DE ． ·························································· 8分 又平面PDE ⊥平面ABC ，且平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE ， 所以PE ⊥平面ABC ， ································································ 12分 又因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ························································· 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以sin B ≠0，从而cos B ≠0，所以tan B ＝1，所以B ＝π4． ························································································· 6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，因为cos A ＝－725，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 8分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7210×2＝175． ················ 10分 在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 12分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ·············································· 14分 17．(本小题满分14分)解：（1）连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB ＝1tan θ ，BC ＝1sin θ ．因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sin θ． ····· 2分又因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB ＝1tan θ ，优弧︵DE 所对圆心角为2π－(π－2θ) ＝π＋2θ，所以优弧︵DE 长l 为π＋2θ， ····························································· 4分 所以f (θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1sin θ＋1tan θ＋1tan θ＋π＋2θ ＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ． ······························································ 6分因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1sin θ＜2，解得13＜sin θ＜1， 所以sin θ的取值范围为(13，1)． ································································ 8分（2）由f (θ)＝3＋π＋2θ＋2cos θ－1sin θ，得f '(θ)＝－2+cos θsin 2θ＋2＝cos θ(1－2cos θ)sin 2θ． · 10分令f '(θ)＝0 ，解得cos θ＝12，因为θ为锐角，所以θ＝π3． ···························· 12分设sin θ0＝13，θ0为锐角，则0＜θ0＜π3．当θ∈(θ0，π3)时，f '(θ)＜0，则f (θ)在(θ0，π3)单调递减；当θ∈(π3，π2)时，f '(θ)＞0，则f (θ)在(π3，π2)单调递增，所以f (θ)在θ＝π3时取得最小值．答：当θ＝π3时，栈道总长度最短． ·························································· 14分18．(本小题满分16分)解：（1）记椭圆C 的焦距为2c ．因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12．因为椭圆C 过点 (0，3)，所以b ＝3． 因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ·································································· 2分（2）①因为点B 为椭圆C 的上顶点，所心B 点坐标为(0，3)． 因为O 为△BMN 的垂心，所以BO ⊥MN ，即MN ⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点关于y 轴对称． ·········································· 4分 不妨设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，其中－3＜y 0＜3．又因为MO ⊥BN ，所以→MO ·→BN ＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－3)＝0，得x 20－y 20＋3y 0＝0． ············································································· 6分 又点M (x 0，y 0)在椭圆上，则x 024＋y 023＝1．由⎩⎨⎧x 20－y 20＋3y 0＝0，x 024＋y 023＝1，解得y 0＝－473或y 0＝3(舍去)，此时|x 0|＝2733．故MN ＝2|x 0|＝4733，即线段MN 的长为4733． ··········································· 8分②方法1设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ······ 10分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ··································································· 12分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 14分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 方法2设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)．因为O 为△BMN 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 3＝－(x 1＋x 2)，y 3＝－(y 1＋y 2)． ·························································· 10分 因为x 23 4＋y 23 3＝1，所以(x 1＋x 2)24＋(y 1＋y 2)23＝1．将x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，代入得x 1x 24＋y 1y 23＝－12． ·································· 12分 若直线MN 的斜率不存在，则线段MN 的中点在x 轴上，从而B 点位于长轴的顶点处， 由于OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1． 若直线MN 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝kx ＋n ． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 24＋y 23＝1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0．(*)则△＝(8kn )2－4(3＋4k 2) (4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2， 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝－8kn 3＋4k 2，x 1x 2＝4n 2－123＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝3n 2－12k 23＋4k 2，代入x 1x 24＋y 1y 23＝－12，得14×4n 2－123＋4k 2＋13×3n 2－12k 23＋4k 2＝－12，即n 2＝k 2＋34． ······ 14分 又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k 2＞k 2＋34，即3k 2＋94＞0恒成立，因此k ∈R ． 原点(0，0)到直线MN 的距离为d ＝|n |k 2＋1＝k 2＋34k 2＋1＝1－14(k 2＋1) ． 因为k 2≥0，所以当k ＝0时，d min ＝32， 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································ 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为h (x )＝f (x )x －g (x )＝x 2－x －(a －16)－a ln x ，所以h'(x )＝2x －1－a x ＝2x 2－x －a x， 令h'(x )＝0，得2x 2－x －a ＝0．因为函数h'(x )在[52，4]上存在零点，即y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上存在零点， 又函数y ＝2x 2－x －a 在[52，4]上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×(52)2－52－a ≤0， 2×42－4－a ≥0．解得10≤a ≤28． 因此，实数a 的取值范围为[10，28]． ······················································· 2分（2）方法1因为当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，即存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，f (0)≥f (x )恒成立，即x 3－x 2－(a －16)x ≤0 对任意x ∈[0，b ]都成立． ········································· 4分 当x ＝0时，上式恒成立； ········································································ 6分 当x ∈(0，b ]时，存在a ∈[10，28] ，使得x 2－x ＋16≤a 成立， ······················· 8分 所以x 2－x ＋16≤28，解得－3≤x ≤4，所以b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分 方法2由f (x )＝x 3－x 2－(a －16)x ，得f '(x )＝3x 2－2x －(a －16)．设△＝4＋12(a －16)＝4(3a －47)，若△≤0，则f '(x )≥0恒成立，f (x )在[0，b ]上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，于是△＞0， ··········· 4分 故f '(x )＝0有两个不同的实数根，记为x 1，x 2(x 1＜x 2)，若x 1＞0，则当x ∈(0，x 1)时，f '(x )＞0，f (x )在(0，x 1)上单调递增，因此当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0时不能取得最大值，所以x 1≤0． ························································································· 6分又x 1＋x 2＝23＞0，因此x 2＞0， 从而当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，若存在实数a ，当x ∈[0，b ]时，函数f (x )在x ＝0处取得最大值，则存在实数a ，使得f (0)≥f (b )成立，即b 3－b 2－(a －16)b ≤0． ························ 8分 所以存在a ∈[10，28]，使得b 2－b ＋16≤a 成立，所以b 2－b ＋16≤28，解得－3≤b ≤4．故当a ＝28，b 的最大值为4． ································································ 10分（3）设直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点A (x 1 ，f (x 1))，与曲线y ＝g (x )相切于点B (x 2 ，g (x 2))． 过A (x 1 ，f (x 1))点的切线方程为y －[x 13－x 12－(a －16)x 1]＝[3x 12－2x 1－(a －16)]( x －x 1)， 即y ＝[3x 12－2x 1－(a －16)]x －2x 13＋x 12．过B (x 2 ，g (x 2))点的切线方程为y －a ln x 2＝a x 2( x －x 2)，即y ＝a x 2x ＋a ln x 2－a ． 又因为直线l 在y 上的截距为－12，所以⎩⎨⎧3x 12－2x 1－(a －16)＝a x 2 ①，－2x 13＋x 12＝－12 ②，a ln x 2－a ＝－12 ③，························································· 12分 由②解得x 1＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧24－a ＝a x 2， a ln x 2－a ＝－12，消去a ，得ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0． ·············· 14分 则（1）知10≤a ≤28，且x 2＞0，则x 2≥57． 令p (x )＝ln x ＋ 1－x 2x ，x ∈[57，＋∞)，则p' (x )＝1 x －1 2x 2＝2x －1 2x 2， 因为p' (x )＞0，所以函数p (x )在[57，＋∞)上为增函数． 又因为p (1)＝0，且函数p (x )的图像是不间断的，所以函数p (x )在[57，＋∞)有唯一零点1， 所以方程ln x 2＋ 1－x 2 2x 2＝0的解为x 2＝1，所以a ＝12， 所以实数a 的值为12． ········································································· 16分20．(本小题满分16分)解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝5S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，所以a 1q 2(1＋q )＝4 a 1(1＋q )．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以a 1，q 均为正数，所以q 2＝4，解得q ＝2．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而a 3＝4，所以T 3＝S 4＝1＋2＋22＋23＝15． ···························································· 2分（2）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ．因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ∈Z ．若d ＜0，令a n ＞0，得n ＜1－a 1d，这与{a n }为无穷数列相矛盾， 因此d ≥0，即d ∈N ． ··········································································· 4分因为S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，所以T n ＝a 1a n ＋a n (a n －1)d 2，因此T n a n ＝a 1＋(a n －1)d 2． 由T n a n ＜2，得a 1＋(a n －1)d 2＜2． ································································ 6分 因为a 1∈N *，d ∈N ，所以2＞a 1＋(a n －1)d 2≥a 1≥1，因此a 1＝1． 于是1＋(n －1)d 22＜2，即(n －1)d 2＜2． ①若d ＝0时，则存在无穷多个n (n ≥2)使得上述不等式成立，所以d ＝0不合题意； ········································································· 8分②若d ∈N *时，则n ＜1＋2d 2． 因为存在唯一的正整数n (n ≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋2d 2≤3，即1≤d 2＜2． 又d ∈N *，所以d ＝1，因此a n ＝1＋(n －1)×1＝n ． ······························· 10分（3）因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1＞0，所以S n ＋1＞S n ，即数列{S n }单调递增．又T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1＞0， 所以T n ＋1＞T n ，即S a n ＋1＞S a n ，因为数列{S n }单调递增，所以a n ＋1＞a n ． ················································· 12分 又a n ∈N *，所以a n ＋1≥a n ＋1，即a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )≥n ，因此a n ＋1≥a 1＋n ≥1＋n ，即a n ≥n （n ≥2），又a 1≥1，所以a n ≥n ． ① ····································· 14分 由T n ＋1－T n ＝n ＋1，得a a n ＋1＋a a n ＋2＋…＋a a n ＋1＝n ＋1，因此n ＋1≥a a n ＋1≥a n ＋1，即a n ≤n ． ②由①②知a n ＝n ，因此a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列． ································································· 16分南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案和评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 1，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，N= M －1． ············································· 2分 因为|M |＝1×1－2×2＝－3， ·································································· 4分 所以N= M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －2 －3 －2 －3 －13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 3 2 3 －13． ············································ 6分 （2）N 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ + 13－2 3－2 3λ + 13＝(λ＋13)2－(－23)2＝( λ－13)(λ＋1)． ·· 8分 令f (λ)＝0，解得λ＝13或－1， 所以N 的特征值是13和1． ········································································ 10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的普通方程为y ＝12(x 2)2＝18x 2． ······················································· 2分 由直线l 极坐标方程ρcos(θ－π4)＝2，得ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2， 即22x ＋22y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2． ···································· 4分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2，y ＝－x ＋2， 消去y ，得x 2＋8x －16＝0， ····································································· 6分 则x 1＋x 2＝－8，x 1x 2＝－16，所以AB ＝1＋(－1)2|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(－8)2－4×(－16) ＝16． ···················································································· 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：方法1因为a ＞0，所以a ＋1a≥2，。
江苏省南京市、盐城市2020届高三二模数学试卷及答案
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。
5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3a f x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =∠BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(a n }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a 1，a 2，a 3}={b 1,b 2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PF PA的最小值为______.11.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C:(x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC += ，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC.(1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若,求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.(1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A 向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B 在线段AC 上,且BD,BE 均与圆C 相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道 .DE记∠CBD 为θ.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长;②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点(1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值;(3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值;(2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n≥2),使得2n n T a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos(4πρθ-=.若直线1交曲线C 于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x 抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m ∈N *)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X 的数学期望不超过150元,求m 的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合A n ={1,2,…n},n ∈N *,n≥2,将A n 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),其中m=2n .记集合M k 中元素的个数为a k ,k ∈N *,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.。
江苏省南京市、盐城市高考二模数学试卷
专业资料整理字说明、证明过程或演算步骤．4 1[ 选修 - ：几何证明选讲 ]21A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段 AB 与圆O 交于点 M ． ．如图，△ ABC 的顶点〔1〕假设BC 是圆O 的切线，且AB 8， BC 4 ，求线段AM 的长度；〔2〕假设线段BC 与圆O 交于另一点 N ，且 AB2 AC ，求证： BN 2MN ．[ 选修 4- 2：矩阵与变换]22 ．设a ，bR ．假设 直 线 l: ax y- 7 0在矩阵 A3 0对应的变换作用下，得到的直线为1 bl ：9x y ﹣91 0 ．XX 数 a ， b 的值．[ 选修 4- 4：坐标系与参数方程]x1 3 tx 4k223．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l :5(t 为参数 ) ( k 为参数 ) 交于A ，B 两4，与曲线 C :4kyyt5点，求线段 AB 的长． [ 选修 4- 5：不等式选讲 ]2446a 2 b 24＞4ab 〔a 22． a b ，求证： ab b 〕[必做题 ]第25题、第 26 题，每题10 分，共计 20 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在直四棱柱ABCD - A 1B 1C 1 D 1中，底面四边形 ABCD 为菱形， A 1 AAB 2， ABCπ ， E ，3F 分别是BC ，AC 1的中点．〔1〕求异面直线EF ， AD 所成角的余弦值；〔2〕点M在线段 ADA 1M．假设CM //平面AEF ，XX 数的值．上， AD11-4-/ 526．现有n(n1)( n 2，n N*)个给定的不同的数随机排成一个以下图所示的三角形数阵：2设 M k是第 k 行中的最大数，其中 1 k n ， k N ．记 M 1＜M 2＜＜M n的概率为p n．（1〕求p2的值；（2〕证明：p n＞Cn2 1．(n 1)!-5-/ 5专业资料整理。
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，n α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．16．（本小题满分14分）ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b ，2e )，其中e（第17题图）D CBA（第16题图）PDCBA为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn， (n ＋2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试（第18题图）数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ．D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）（1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得ADsinπ4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝ 22( 24＋ 144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD /平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分 因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝8 2k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分 因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝32 2k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分 （3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分 因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a＝e时，f (x)＝e x－e x－1．①h (x)＝f (x)－g (x)＝e x－2x－1，h′(x)＝e x－2．由h′(x)＞0得x＞ln2，由h′(x)＜0得x＜ln2．所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分②f ′ (x)＝e x－e．当x＜1时，f′(x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．1°当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[e m－e m－1，＋∞)，g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，因为F(x)的值域为R，所以e m－e m－1≤(2－e)m，即e m－2m－1≤0．（*）由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分2°当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，所以函数f (x)＝e x－e x－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤1e－2．综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，1e－2]．………………… 9分（2）f ′(x)＝e x－a．若a≤0时，f ′(x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，所以a＞0，且f(x)在(－∞，ln a]单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增．…………………… 11分若x1，x2∈(－∞，ln a]，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1， …………………… 2分 从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MNCA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 7－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1， …………… 4分所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0． 即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)． （1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分x z yD 1C 1 BMFEDCAA 1(第22题图)设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n＝(1＋1)n＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n(n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。