第4章_稳定性与李亚普诺方法
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第4章 稳定性与李亚普诺夫方法
4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李亚普诺夫第一法 4.3 李亚普诺夫第二法 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中 的应用 4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统 中的应用
本章主要学习和掌握内容： 1、系统稳定性的一般定义； 2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方 法: 第一法(间接法)和第二法(直接法)；
x 2 0
f1 f1 x x 2 A 1 f f 2 2 x1 x 2 x e1
0 1
λ 1 0 特征方程： λI A (λ 1)(λ 1) 0 0 λ 1 特征值：λ ，λ ；原非线性系统在x e 1处不稳定。 1 1 2 1
例4-2
4.3
李亚普诺夫第二方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以 及标量函数符号性质的概念； 2、学习和掌握实对称矩阵符号性质的概念以 及利用Sylvester判据判别实对称矩阵符号性质 的方法； 3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据 以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性 的方法。
输出稳定判据 ：Σ (A, b, c)输出稳定的充要条 件是传递 函数W(s) 的所有极点均位于s 的左半平面。
λ 1 0 1 1 1λ 2 1.特征值有一 例4 1.A ,b ,c 1 0, 为正, 系统状态不渐近稳定. 0 1 1
若存在状态向量xe 使得状态方程f(xe ,t) 0，则称xe为 系统的平衡状态或平衡点。
例1. x Ax，若A非奇异，则易知满足x Ax＝0的状态向量为 xe 0，且为唯一平衡状态；若A奇异，则满足Ax＝0的状态 向量有无穷多个，即系统存在无穷多个平衡状态。 0 0 0 x1 x1 例2. ;令 x 0，解之得xe 1 ,xe 2 ,xe 3 0 1 1 3 x2 x1 x2 x2 这三个状态向量均为系统的平衡状态。 说明：稳定性都是针对平衡状态而言 的。线性系统在A阵
②
③
非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态，需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 先考察系统在xe1处的稳定性：
f1 x1 f2 x1
其中x [ x1,x2 ,..., xn ]T ,xe [ x1e,x2e,..., xne ]T。
当ε很小时，称s(ε)为xe的邻域；若x0 s(δ) ，则 x 0 xe δ。
若 x f[x, t]解x(t;x 0 ,t0 ) s(ε) ，t t0，则 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε，
即：对于每个 s(ε) ，都存在一个 s(δ) ，当t无限增长时，从
s(δ) 内出发的状态轨线不会 超出s(ε) ，即系统响应是有界的 。
2.渐近稳定：若平衡状态xe是稳定的，且当t无限增长时，状 态轨迹不仅不超出s(ε) ，且最终收敛于xe，称xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定 ：平衡状态xe渐近稳定，且从状态空间中所有 初始状态出发的轨迹都 具有渐近稳定 ，则xe 称大范围渐近稳定 。
f1 x1 f2 x1
x e2
f1 (1 x 2 ) x1 1 0; x 2 x 2 1 f2 (0 x 2 ) x1 1 1; x 2 x 2 1
x e2
f1 f1 (0 x1 ) x1 1 1; A x1 x 2 x 2 1 f2 f2 x1 x 2 x e2
①
如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负实部， 则原非线性系统在平衡状态xe处是渐进稳定的，系 统稳定性与高阶导数项R(x)无关； 如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线 性系统在平衡状态xe处是不稳定的； 如果A的特征值，至少有一个的实部为零，则系统 处于临界情况，原非线性系统在平衡状态xe处的稳 定性取决于高阶导数项R(x)，不能由A的特征值符 号决定。
• 两个推论：
系统状态渐近稳定，必输出稳定； 若输出稳定，且系统能控能观，则系统渐近稳
定。
二、非线性系统稳定性
x f(x, t)对x有连续偏导数，设x e为系统的平衡状态；讨论系统 在x e 处的稳定性：将向量函数f(x, t) 在x e 邻域内按泰勒级数展开得
f x f(x, t) f(xe ,t) T (x xe ) R(x) ； x xe
二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义
用欧几里德范数 x xe 表示状态向量x与xe 距离；点集s(ε)表 示以xe为中心、ε为半径的超球体；若x s(ε), 则 x xe ε。 对于n维状态空间，欧几里德范数 x xe 的计算为：
1 2 2
x xe ＝[( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ... ( xn xne ) ]
稳定性:系统受外界扰动后偏离原平衡状态， 扰动消失后系统回到原平衡状态的能力。
Routh判据， Hurwity判据，Nyquist判据 李亚普诺夫第一方法、第二方法，后者适用于任 何系统的稳定性分析
4.1
李亚普诺夫关于稳定性的定义
主要学习和掌握内容： 1、学习和理解系统稳定性的一般定义。
W(s) c(sI A)1b
极点在左半s平面，系统输出稳定。
(s 1)1 0 1 s -1 1 1 0 ＝ 1 (s 1) 1 (s 1)(s 1) s 1 0
例4-1 Matlab仿真
• 上例中，正特征值被零点对消，出现状态不渐近 稳定而输出稳定的情形。所以如果系统传递函数 不出现零极相消，特征值与极点相同时，系统状 态稳定性与输出稳定性一致。
f1 x e1 (1 x 2 ) x1 0 1; x 2 x 2 0 f2 x e1 (0 x 2 ) x1 0 0; x 2 x 2 0
x e1
(0 x1 ) x1 0 0;
x 2 0
x e1
( 1 x1 ) x1 0 1 1 0
4.2
ห้องสมุดไป่ตู้
李亚普诺夫第一方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断 系统稳定性。
一、线性系统稳定判据 x Ax bu Σ (A, b, c): ；xe 0渐近稳定的充要条件是A y cx 的所有特征值均具有负实部(状态稳定性，内部稳定性) 。 若对于有界输入u引起 的输出y也有界 ，称系统输出稳定 。
例4-2
非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态，需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 再考察系统在xe2处的稳定性：
第二方法特点：不求解微分方程，而借助一个 虚构的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状 态稳定性进行判断。 从能量观点： 若一系统受激励后，其存储能量随时间衰减， 到达平衡状态时，能量达最小，则平衡状态 渐近稳定； 反之，若系统不断从外界吸收能量，储能越 来越大，则平衡状态不稳定； 若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量, 储能既不增也不减，则平衡状态就是李亚普 诺夫意义稳定。
大范围渐近稳定的必要 条件是系统只有一个平 衡状态。 线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定；非线 性系统：通常 使为x e 渐近稳定的球域 s( )不大，常称为小范围渐 近稳定。
4.不稳定 对ε 0和δ 0, 不管δ多小, 由s(δ) 内出发的状态轨线，至少 有一条越出s(ε) ，称平衡状态xe不稳定。
一、预备知识
x e2
x e2
( 1 x1 ) x1 1 0
x 2 1
0 1 1 0
λ 1 2 特征方程： λI A λ 1 ＝0，特征值： λ 1 , 2 j 1 λ 特征值实部为0，系统稳定性取决R(x) ，不能由特征值判别 原非线性系统在x e 2处的稳定性。
关于稳定性定义的小结
李亚普诺夫关于稳定性的定义中，球域s(δ)限制着 初始状态x0的取值范围，球域s(ε) 规定了系统自由 响应x(t)的边界。因此，稳定性定义可概括为： 若x(t)有界，则称平衡状态xe稳定(李亚普诺夫意 义下稳定)； 若x(t)有界且收敛于xe，则称xe渐近稳定； 若球域s(δ) 无限制，x(t)有界且收敛于xe，则称xe 渐进稳定； 若x(t)无界，则称xe不稳定。 经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定系统； 满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称 为临界稳定系统（在工程上属于不稳定系统）。
f1 x 1 f2 f x1 T x f n x1
f 式中:R(x) 为展开式中的高阶导数项， T 为雅可比矩阵。 x
f1 x 2 f2 x 2 fn x 2
f1 xn f2 xn ; fn xn
非奇异时只有一个平衡状态 ，因此可笼统讲 系统稳定性；对 于非线性系统，可能存在多个平衡状态 ，不同平衡状态 下可 能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和 研究。 在研究某个平衡状态的 稳定性时，通常可以通 过坐标变换将
该平衡状态平移到坐标 原点xe 0处，从而转为研究系统 在坐标 原点处的稳定性。
令Δx x - x e， 得近似线性化方程: Δx AΔx f 式中A T x xe 。 x
忽略高阶导数项，
令Δx x - xe，可将原非线性方程 x f(x, t) 近似线性化: f Δx AΔx，式中A T x xe x 将原非线性方程近似线性化为线性方程后：
即系统 x f[x, t]由初态x0 或短暂扰动引起的自由响应是有界的。 李亚普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统稳定性定义为 如下四种情况：
1.李亚普诺夫意义下稳定( 简称稳定) 若系统对任意选定正实 数ε，存在另一正实数δ(ε ,t0 ) ， 使得当 x 0 x e δ(ε, t0 )时，从任意初态x0出发的解均满足 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε, t0 t ，称平衡状态x e 李亚普诺夫 意义下稳定。若δ与t0无关，称平衡状态x e是一致稳定的。
线性系统稳定性只决定于系统的结构及参数，与系 统初始条件及外界扰动大小无关；非线性系统的稳 定性还与初始条件及外界扰动大小有关。 李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定性的 一般定义。
一、系统状态的运动及平衡状态
设系统齐次状态方程为： x f(x, t) 式中，x为n维状态向量， f为与x同维的向量函数，是 x的各 分量x1 , x 2 ,..., x n和时间t的函数，通常为时变非 线性函数 ( 若不 显含t则为定常非线性系统 ) 。 设在初始条件(t0 ,x 0 )下有方程有唯一解： x Φ(t;x 0 ,t0 ) ， 其中初始状态为 x 0 Φ(t0;x 0 ,t0 ) 。系统的解描述了系统 在n 维状态空间中从初始条 件(t0 ,x 0 ) 出发的一条状态运动的 轨迹， 简称为系统的运动或状 态轨迹（或状态轨线） 。
4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李亚普诺夫第一法 4.3 李亚普诺夫第二法 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中 的应用 4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统 中的应用
本章主要学习和掌握内容： 1、系统稳定性的一般定义； 2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方 法: 第一法(间接法)和第二法(直接法)；
x 2 0
f1 f1 x x 2 A 1 f f 2 2 x1 x 2 x e1
0 1
λ 1 0 特征方程： λI A (λ 1)(λ 1) 0 0 λ 1 特征值：λ ，λ ；原非线性系统在x e 1处不稳定。 1 1 2 1
例4-2
4.3
李亚普诺夫第二方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以 及标量函数符号性质的概念； 2、学习和掌握实对称矩阵符号性质的概念以 及利用Sylvester判据判别实对称矩阵符号性质 的方法； 3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据 以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性 的方法。
输出稳定判据 ：Σ (A, b, c)输出稳定的充要条 件是传递 函数W(s) 的所有极点均位于s 的左半平面。
λ 1 0 1 1 1λ 2 1.特征值有一 例4 1.A ,b ,c 1 0, 为正, 系统状态不渐近稳定. 0 1 1
若存在状态向量xe 使得状态方程f(xe ,t) 0，则称xe为 系统的平衡状态或平衡点。
例1. x Ax，若A非奇异，则易知满足x Ax＝0的状态向量为 xe 0，且为唯一平衡状态；若A奇异，则满足Ax＝0的状态 向量有无穷多个，即系统存在无穷多个平衡状态。 0 0 0 x1 x1 例2. ;令 x 0，解之得xe 1 ,xe 2 ,xe 3 0 1 1 3 x2 x1 x2 x2 这三个状态向量均为系统的平衡状态。 说明：稳定性都是针对平衡状态而言 的。线性系统在A阵
②
③
非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态，需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 先考察系统在xe1处的稳定性：
f1 x1 f2 x1
其中x [ x1,x2 ,..., xn ]T ,xe [ x1e,x2e,..., xne ]T。
当ε很小时，称s(ε)为xe的邻域；若x0 s(δ) ，则 x 0 xe δ。
若 x f[x, t]解x(t;x 0 ,t0 ) s(ε) ，t t0，则 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε，
即：对于每个 s(ε) ，都存在一个 s(δ) ，当t无限增长时，从
s(δ) 内出发的状态轨线不会 超出s(ε) ，即系统响应是有界的 。
2.渐近稳定：若平衡状态xe是稳定的，且当t无限增长时，状 态轨迹不仅不超出s(ε) ，且最终收敛于xe，称xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定 ：平衡状态xe渐近稳定，且从状态空间中所有 初始状态出发的轨迹都 具有渐近稳定 ，则xe 称大范围渐近稳定 。
f1 x1 f2 x1
x e2
f1 (1 x 2 ) x1 1 0; x 2 x 2 1 f2 (0 x 2 ) x1 1 1; x 2 x 2 1
x e2
f1 f1 (0 x1 ) x1 1 1; A x1 x 2 x 2 1 f2 f2 x1 x 2 x e2
①
如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负实部， 则原非线性系统在平衡状态xe处是渐进稳定的，系 统稳定性与高阶导数项R(x)无关； 如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线 性系统在平衡状态xe处是不稳定的； 如果A的特征值，至少有一个的实部为零，则系统 处于临界情况，原非线性系统在平衡状态xe处的稳 定性取决于高阶导数项R(x)，不能由A的特征值符 号决定。
• 两个推论：
系统状态渐近稳定，必输出稳定； 若输出稳定，且系统能控能观，则系统渐近稳
定。
二、非线性系统稳定性
x f(x, t)对x有连续偏导数，设x e为系统的平衡状态；讨论系统 在x e 处的稳定性：将向量函数f(x, t) 在x e 邻域内按泰勒级数展开得
f x f(x, t) f(xe ,t) T (x xe ) R(x) ； x xe
二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义
用欧几里德范数 x xe 表示状态向量x与xe 距离；点集s(ε)表 示以xe为中心、ε为半径的超球体；若x s(ε), 则 x xe ε。 对于n维状态空间，欧几里德范数 x xe 的计算为：
1 2 2
x xe ＝[( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ... ( xn xne ) ]
稳定性:系统受外界扰动后偏离原平衡状态， 扰动消失后系统回到原平衡状态的能力。
Routh判据， Hurwity判据，Nyquist判据 李亚普诺夫第一方法、第二方法，后者适用于任 何系统的稳定性分析
4.1
李亚普诺夫关于稳定性的定义
主要学习和掌握内容： 1、学习和理解系统稳定性的一般定义。
W(s) c(sI A)1b
极点在左半s平面，系统输出稳定。
(s 1)1 0 1 s -1 1 1 0 ＝ 1 (s 1) 1 (s 1)(s 1) s 1 0
例4-1 Matlab仿真
• 上例中，正特征值被零点对消，出现状态不渐近 稳定而输出稳定的情形。所以如果系统传递函数 不出现零极相消，特征值与极点相同时，系统状 态稳定性与输出稳定性一致。
f1 x e1 (1 x 2 ) x1 0 1; x 2 x 2 0 f2 x e1 (0 x 2 ) x1 0 0; x 2 x 2 0
x e1
(0 x1 ) x1 0 0;
x 2 0
x e1
( 1 x1 ) x1 0 1 1 0
4.2
ห้องสมุดไป่ตู้
李亚普诺夫第一方法
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断 系统稳定性。
一、线性系统稳定判据 x Ax bu Σ (A, b, c): ；xe 0渐近稳定的充要条件是A y cx 的所有特征值均具有负实部(状态稳定性，内部稳定性) 。 若对于有界输入u引起 的输出y也有界 ，称系统输出稳定 。
例4-2
非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态，需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 再考察系统在xe2处的稳定性：
第二方法特点：不求解微分方程，而借助一个 虚构的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状 态稳定性进行判断。 从能量观点： 若一系统受激励后，其存储能量随时间衰减， 到达平衡状态时，能量达最小，则平衡状态 渐近稳定； 反之，若系统不断从外界吸收能量，储能越 来越大，则平衡状态不稳定； 若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量, 储能既不增也不减，则平衡状态就是李亚普 诺夫意义稳定。
大范围渐近稳定的必要 条件是系统只有一个平 衡状态。 线性系统：渐近稳定 大范围渐近稳定；非线 性系统：通常 使为x e 渐近稳定的球域 s( )不大，常称为小范围渐 近稳定。
4.不稳定 对ε 0和δ 0, 不管δ多小, 由s(δ) 内出发的状态轨线，至少 有一条越出s(ε) ，称平衡状态xe不稳定。
一、预备知识
x e2
x e2
( 1 x1 ) x1 1 0
x 2 1
0 1 1 0
λ 1 2 特征方程： λI A λ 1 ＝0，特征值： λ 1 , 2 j 1 λ 特征值实部为0，系统稳定性取决R(x) ，不能由特征值判别 原非线性系统在x e 2处的稳定性。
关于稳定性定义的小结
李亚普诺夫关于稳定性的定义中，球域s(δ)限制着 初始状态x0的取值范围，球域s(ε) 规定了系统自由 响应x(t)的边界。因此，稳定性定义可概括为： 若x(t)有界，则称平衡状态xe稳定(李亚普诺夫意 义下稳定)； 若x(t)有界且收敛于xe，则称xe渐近稳定； 若球域s(δ) 无限制，x(t)有界且收敛于xe，则称xe 渐进稳定； 若x(t)无界，则称xe不稳定。 经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定系统； 满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称 为临界稳定系统（在工程上属于不稳定系统）。
f1 x 1 f2 f x1 T x f n x1
f 式中:R(x) 为展开式中的高阶导数项， T 为雅可比矩阵。 x
f1 x 2 f2 x 2 fn x 2
f1 xn f2 xn ; fn xn
非奇异时只有一个平衡状态 ，因此可笼统讲 系统稳定性；对 于非线性系统，可能存在多个平衡状态 ，不同平衡状态 下可 能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和 研究。 在研究某个平衡状态的 稳定性时，通常可以通 过坐标变换将
该平衡状态平移到坐标 原点xe 0处，从而转为研究系统 在坐标 原点处的稳定性。
令Δx x - x e， 得近似线性化方程: Δx AΔx f 式中A T x xe 。 x
忽略高阶导数项，
令Δx x - xe，可将原非线性方程 x f(x, t) 近似线性化: f Δx AΔx，式中A T x xe x 将原非线性方程近似线性化为线性方程后：
即系统 x f[x, t]由初态x0 或短暂扰动引起的自由响应是有界的。 李亚普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统稳定性定义为 如下四种情况：
1.李亚普诺夫意义下稳定( 简称稳定) 若系统对任意选定正实 数ε，存在另一正实数δ(ε ,t0 ) ， 使得当 x 0 x e δ(ε, t0 )时，从任意初态x0出发的解均满足 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε, t0 t ，称平衡状态x e 李亚普诺夫 意义下稳定。若δ与t0无关，称平衡状态x e是一致稳定的。
线性系统稳定性只决定于系统的结构及参数，与系 统初始条件及外界扰动大小无关；非线性系统的稳 定性还与初始条件及外界扰动大小有关。 李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定性的 一般定义。
一、系统状态的运动及平衡状态
设系统齐次状态方程为： x f(x, t) 式中，x为n维状态向量， f为与x同维的向量函数，是 x的各 分量x1 , x 2 ,..., x n和时间t的函数，通常为时变非 线性函数 ( 若不 显含t则为定常非线性系统 ) 。 设在初始条件(t0 ,x 0 )下有方程有唯一解： x Φ(t;x 0 ,t0 ) ， 其中初始状态为 x 0 Φ(t0;x 0 ,t0 ) 。系统的解描述了系统 在n 维状态空间中从初始条 件(t0 ,x 0 ) 出发的一条状态运动的 轨迹， 简称为系统的运动或状 态轨迹（或状态轨线） 。