第4章_稳定性与李亚普诺方法

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现代控制理论第4章

现代控制理论第4章

4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
(1) 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性,或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看,往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的,则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数:
1892年,俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i

,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式: (10)
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

VxxTPxx2p21 p22
p2n
x1
x2
xn
xnpn1 pn2
pnn
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(4-17)
如果pij=pji,则称P为实对称阵。对于二次型V(x)=
x T P x ,若P为实
对称阵,则必存在正交矩阵T,通过变换
x Tx,使之化成
V x x T P x x T T T P T x x T ( T 1 P T ) x
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§4-3 李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统运动方程。而是借助 于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进 行稳定性分析的。如果一个系统被激励后,其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减, 到达平衡状态时,能量将达到最小值,那么这个平衡状态试渐进稳定的。反之,如果 系统不断的从外界吸收能量,储能越来越大,那么这个平衡状态就是不稳定的。如果 系统的储能既不增加,也不消耗,那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。
例如V(x)=
(x1 x2)2
(5)V(x)>0或V(x)<0,则称V(x)为不定的。
例如V(x)=
x1 x2
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[例4-3]判别下列各函数的符号性质。
(1)设x=[x1 x2 x3]T,标量函数为
V(x)= (x1x2)2 x32
因为有V(0)=0,而且对非零x,例如
半正定的。
x1 , x2 xn和时间t的函数。
一般地,为时变的非线性函数。如果不显含t,则为定常的非线性函数。
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设方程式(4-1)在给定条件(t0,x0)下,有唯一解

稳定性与李雅普诺夫

稳定性与李雅普诺夫

1
V (x) xT
2
0
0
x
n
上式,为二次型函数的标准型。它只包含变量的平方项,其中 i
为对称阵P的互异特征值,且均为实数。 •二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值
i 均大于零。
矩阵P的符号性质
设P为n×n的实对称阵,V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函 数。 1)若V(x)正定,则P正定,记做P > 0; 2)若V(x)负定,则P负定,记做P < 0; 3)若V(x)半正定(非负定),则P半正定(非负定), 记做P ≥ 0; 4)若V(x)半负定(非正定),则P半负定(非正定), 记做P ≤ 0;
p2n
x2
pnn
xn
如果pij=pji,则称P为实对称阵。
二次型函数的标准型
对于二次型函数,V (x) xTPx 若P为实对称阵,则必 存在正交矩阵T,通过变换 x Tx ,使之化成
V (x) xTPx (Tx)T PTx xTT TPTx xT (T TPT)x
P T T PT
不稳定
分析下列系统的稳定性
小范围(局部) 稳定性 渐进稳定性
大范围(全局)
不稳定性
表面有摩擦
李雅普诺夫稳定性判别方法
第一法(间接法):先求解系统的微分方程,然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。
第二法(直接法):构造李雅普诺夫函数,根据这 个函数的性质判断系统的稳定性。--适用与任何 复杂系统
1)V(x) > 0,则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22; 2)V(x) ≥ 0,则称V(x)为半正定(或非负定)。例如
V(x)=(x1 +x2)2; 3)V(x) < 0,则称V(x)为负定。例如V(x)=-(x12 +2x22); 4)V(x) ≤ 0,则称V(x)为半负定(或非正定)。例如

稳定性与李雅谱诺夫方法

稳定性与李雅谱诺夫方法

(3)
成立,则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统,不一定都存在平衡状态,有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
,有:
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离,用点集
表示以
为中心 为半径的超球体,
(4)
在n维状态空间中,有:
(5)
当 很小时,则称 为 的邻域。因此,若有 位于球 , 则意味着 域 内,便有: 同 理,若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时,可由函
计算出
;再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为:
式中,
为连续的正定对称矩阵。取V(x,t)对时间的全导数,得:
即 (5) 式中
由稳定性判据可知,当 一个正定对称矩阵,则 定的。
为正定对称矩阵时,若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为:
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P,使得ATP+PA<0
定理:线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为:任意给定正定实对称矩阵Q,若存在正定实对称矩阵P, 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意: 1. 先选Q>0,之后代入李雅谱诺夫方程求取P,然后判定P的正定性,进而得出系统稳定与否的结论; 2. 通常选Q=I;

第4章+稳定性与李雅普诺夫方法

第4章+稳定性与李雅普诺夫方法

若 xe 的稳定性(渐近稳定)不依赖于t0 ,则称其为 一致稳定(渐近稳定)。
图(a)、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
4.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法。他的基本思路是通过系统状态方程的解来 判断系统的稳定性。
一、线性系统的稳定性判据
其传递函数的极点为: s1 1,s2 1
有极点在s平面的左半平面,所以系统的状态不是渐进稳定的。
(2)由输出传递函数
Wuy (s) C(sI A)1 B 1
0
s
0
1
0 1 1
(s 1)
1
s 1 1 (s 1)(s 1) (s 1)
f1 f1

x1
x2
f x

f2

x1
f2 x2
f1
xn

f2
xn




f x
称为雅克比矩阵。

fn
fn
x1 x2
fn

xn nn
若令 x x xe ,忽略高阶项,可得系统的线性化方程:
的。 (3) V (x) 0 ,则称 V (x) 为负定的。例如: (4) V (x) 0 ,则称 V (x) 为半负定(或非正定)
的。 (5)V (x) 0 或 V (x) 0 ,则称 V (x) 为不定的。


1) V (x) x12 x22 正定的

2) V (x) (x1 x2 )2 半正定的
1 0 1
x


0

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种:渐近稳定 x2 S( )
经典 理论 中的 稳定 就是 这里 所说 的渐 近稳 定

S( )

x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种:大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初 始状态x0的每一个解,当t→,都收敛到xe,称系统的平 衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t

t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点,称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
(1)平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
(1)平衡状态
对于非线性系统,方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个,即 可能有多个平衡状态。如

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面,故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了,所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见,只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象,并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》,最早建立了运动稳定性的一般理论,并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解,而后分析其解运动的稳定性,称 为间接方法;第二类方法不必求解常微分方程组,而是提 供出解运动稳定性的信息,称为直接方法,它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ,0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言,其平衡状态满足
Xe AX e ,0 若A是非奇异矩阵,则只有 X e ,0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个,在坐标原点;反之,则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言,平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上:
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的,即
im
t
X
X,e 那么随着系统的运动,其储存的能量将随时间

第4章 稳定性与Lyapunov方法

第4章 稳定性与Lyapunov方法

x − xe =
∑ (x
i ) 2
xe 的 ε 邻域(球域) s (ε ) 定义为点集
98
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统(4-1-1)的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ,即 x 0 − x e ≤ δ ,如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ,即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ,那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界,可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的,如果对于任意 ε > 0 ,存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ,使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ,有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关,而与 t 0 无关,则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的,时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是:对于某个有界的初始状态,从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
也是一个自治系统。因而,系统的内部稳定性只考虑自治系统(4-1-1) 。
4.1.1 系统的平衡点
系统(4-1-1)的解记为 x = Φ (t ; x0 , t 0 ) ,构成 R 线性空间中的一个运动轨迹。
n
【定义 4.1.1】称 xe 是系统(4-1-1)的一个平衡点,如果 f ( xe , t ) = 0, ∀t ≥ t 0 。 一个系统可以没有平衡点,一个平衡点或多个平衡点。非线性系统的平衡点一般比较复杂,

第4章 李雅普诺夫

第4章 李雅普诺夫
University of Science and Technology LiaoNing
现代控制理论 二、二次型及其定号性 1、二次型 、
定义: 个变量 定义:n个变量
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
x1 , x2 ,L xn
的二次齐次多项式为: 的二次齐次多项式为:
V ( x 1 , x 2 , L x n ) = a 1 1 x 12 + a 1 2 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n
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现代控制理论
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫第二方法 李亚普诺夫第二方法称为直接法, 李亚普诺夫第二方法称为直接法,基本思想是用能量变 化的观点分析系统的稳定性 。

若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 减少,则系统就能稳定;反之, 减少,则系统就能稳定;反之,若系统在运动过程 不断地从外界吸收能量,使其储能越来越大 越来越大, 中,不断地从外界吸收能量,使其储能越来越大, 系统就不能稳定。 系统就不能稳定。
可见,除 x2 = 0时, d d E ( x1 , x2 ) = 0外,在正阻尼(f >0)情况下, E ( x1 , x2 ) dt dt 在所有其它点处都是负的,即系统总能量是衰减的,故系统是稳定的。 下图为总能量 E ( x1 , x2 ) = 1 2 1 2 x2 + kx1 的几何表示。 2 2
& = dE = Cx x + Lx x = Cx ( 1 x ) + Lx (− R x − 1 x ) = − Rx 2 & & E 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 dt C L L

第4章 李亚普诺夫稳定性分析PPT课件

第4章 李亚普诺夫稳定性分析PPT课件
11
李亚普诺夫稳定性理论
4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后,系统自
由运动的性质,与外部输入无关。
对于系统自由运动,令输入u=0,系统的齐次状
态方程为
x f(x,t)
x为n维状态向量, 且显含时间变量t
求解
f (x,t) 为线性或非线性,定常或
时变的n维向量函数,其展开式为
9
李亚普诺夫稳定性理论
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式,然后根据解的性质来判断 系统的稳定性,其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
李亚普诺夫稳定性理论
1
整体概况
李亚普诺夫稳定性理论
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
李亚普诺夫稳定性理论
第4 章 李亚普诺夫稳定性分析
3
李亚普诺夫稳定性理论
主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.7 李亚普诺夫直接法应用举例
基于输入-输出描述法描述的是系统Байду номын сангаас外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳 定性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性, 且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态 稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳 定性。

现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论

现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论

p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵,且它的所有主子行列式均非负,则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值, T 偶数阶主子行列式为正值,则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法(间接法) 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1)李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件:
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1

f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为: x
Ax
20
结论: 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ,则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的,与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0,稳定性与g ( x) 有关,
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足

第4章 稳定性与李亚普诺夫方法

第4章 稳定性与李亚普诺夫方法

第四章稳定性与李亚普诺夫方法第四章稳定性与李亚普诺夫方法§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义对于非线性系统通常存在多个平衡状态。

§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义x§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义二. 稳定性的几个定义§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义2. 渐近稳定§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义4.不稳定§4-1 李亚普诺夫关于稳定性的定义§4-2 李亚普诺夫第一法§4-3 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法基本思想:§4-3 李亚普诺夫第二法一.预备知识§4-3 李亚普诺夫第二法(4). 如果标量函数§4-3 李亚普诺夫第二法§4-3 李亚普诺夫第二法例:对于非线性系统§4-3 李亚普诺夫第二法例:对于线性系统§4-3 李亚普诺夫第二法§4-3 李亚普诺夫第二法定理2:设系统的状态方程为:§4-3 李亚普诺夫第二法§4-3 李亚普诺夫第二法例:系统的状态方程为§4-3 李亚普诺夫第二法不恒等于0,x§4-3 李亚普诺夫第二法§4-3 李亚普诺夫第二法例:系统的状态方程为:§4-3 李亚普诺夫第二法一. 线性定常系统的渐近稳定性判据§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用∞§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用其主子行列式:二. 线性时变系统的渐近稳定性判据三. 求解参数最优化问题§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用一. 雅可比矩阵法(克拉索夫斯基法))f =x §4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用二. 变量梯度法§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用是)(x V §4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用因此,为了确定李亚普诺夫函数§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用则为:)(x§4-5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用。

ch4李亚普诺夫稳定性分析

ch4李亚普诺夫稳定性分析
2019/2/14 18
稳定性判据:(定理2)
1 线性定常连续系统的传递函数是 G ,当且仅 ( s ) C ( sI A ) B 当其极点都在s的左半平面时,系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的(在此,虚轴上的临界稳定,对应等幅周 期振荡,控制工程上认为是不稳定的)。
Im
图解表示:
征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
[例1] 设系统方程为:x 06 2 x u , 1 1 1
y 01 x
试确定其内部稳定性。 [解 ] 6 det( I A ) ( 2 )( 3 ) 0 求系统的特征方程: 1 1
2019/2/14
6
1)二次型 V(x) xTPx为正定,或实对称矩阵P为正定的充要 条件是P的所有主子行列式均为正,即:
p11 p P 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
p 11 p 12 p 0 , 0 , , P 0 如果 1 11 2 n p 21 p 22
围,其稳定范围不可能是整个状态空间。)
结论:如果线性定常系统是渐近稳定的,则它一定是大范
围渐近稳定的。
2019/2/14 14
4、不稳定:(系统的自由响应是无界的) 如果对于某一实数 0 ,不论 取得多么小,由 S( ) 内
出发的轨迹,只要有一个轨迹超出 S ( ) ,则称平衡状态xe是
lim x (t)
t
x(t )为系统被调量偏离其平衡位置的大小,

为 任意小的规定量。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2)如果A的特征值,至少有一个具有正实部,则原非线 性系统在xe是不稳定的。
3)如果A的特征值,至少有一个的实部为零。系统处于 临界情况,原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决 于高阶导数项R(x)。
例2 设系统状态方程为:
x1 x1 x1x2
试分析系统在x平2 衡x状2 态x1x处2 的稳定性。
s1 1 (s1)(s1) s1
传递函数的极点位于s平面的左半平面,所以 系统的输出稳定。
状态稳定和输出稳定
1)状态不稳定,输出不一定不稳定 2)只有当系统的传递函数不出现零极对消现象,并
且矩阵A的特征值和系统传递函数的极点相同时, 系统的状态稳定和输出稳定才是一致的。
非线性系统的稳定性
设系统的状态方程为:
标量函数的符号性质
设V(x)为有n维矢量x所定义的标量函数,x 且在x=0处,恒有V(x)=0。所有在域Ω中的任何非 零矢量x,如果 1)V(x)0 ,则称V(x)为正定的,如: 2)V(x)0 ,则称V(x)为半正定(或非负定)的。 3)V(x)0 ,则称V(x)为负定的。 4)V(x)0 ,则称V(x)为半负定(非正定)的。 5)V(x)0或 V(x)0 ,则称V(x)为不定的。
x 1(1x2)x1x1x2x2 x 2x2x1(1x1)x2x1
状态矩阵为 A 10 01 特征值为±j1,实部为0,不能由线性化方 程得出原系统在 x e2 处稳定性的结论。
李雅普诺夫第二法(直接法)
基本思路:从能量的观点分析,借助于一个李雅普诺 夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。
W (s)c(sIA)1b
的极点全部位于s的左半平面。
例1 设系统的状态空间表达式为:
x 01 10x 11u

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法1 现代控制理论 教学课件(共37张PPT)

第四章 稳定性与李亚普诺夫方法1  现代控制理论 教学课件(共37张PPT)
s( ) x 0
s( ) x(t)(t,x0,t0)
x2
S ( )
S ( )
xe
x1
x2
S ( )
S ( )
xe
x1
x2
S ( )
S ( )
xe
x1
x(t)有界
x(t)有界且 limx(t)0 t 第十六页,共37页。
x(t)无界
16
4-2李亚普诺夫第一(dìyī)法
1. 线性系统的稳定判据(pàn jù) 2. 非线性系统的稳定性
第四章 稳定性与李亚普诺夫方法1 现代(xiàndài)控制理论 教学课件
第一页,共37页。
4-1李亚普诺夫关于(guānyú)稳定 性的定义
1. 系统(xìtǒng)状态的运动及平衡 状态
2. 稳定性的几个定义
2
第二页,共37页。
4-1-1系统状态(zhuàngtài)的运动及平衡状态
(zhuàngtài)
且对任意小量 0, 总有
lt i m (t,x0,t0)xe
那么称平衡状态是渐近稳定的
第十页,共37页。
10
4-1-2稳定性的几个(jǐ ɡè)定义
经典理论(lǐlùn)稳定性定义〔渐近稳定性〕
几何(jǐ hé)意 义:
x2
S ( )
S ( )
xe
x1
x2
S()
x1
t0 S( )
x2 x1 S()
xx 1 2 x 2 2 x n 2x T x1 /2
x2
向量的距离:
长度 xxe 称为向 x与 量 xe的距离,记为
x1
x x ex 1 x e 2 x 2 x e 2 x n x e 2

现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总

现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总
状态稳定性
两个推论:
线性定常系统如果是状态稳定的,则系统一定 是输出稳定的 。
线性定常系统如果是输出稳定的,则系统未 必是状态稳定的。
参见例4.1
4.3 李雅普诺夫第二法 无需求解微分方程,直接判断系统稳定性。
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过 程中,若能量随时间衰减以致最终消失,则系统迟早 会达到平衡状态,即系统渐近稳定。 反之,系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减, 则称为李雅普诺夫意义下的稳定。
mx kx

x
x1
x2
x
x
0 xe 0
状态方程
x1
x2
x2
k m
x1
系统能量 正定
能量不变 恒等于0
V
(x)
1 2
kx12
1 2
mx22
V (x) kx1x1 mx2x2 0
李雅普诺夫意义下的稳定
定理4
时变系统 x f (x,定t)常, t 系 t统0 :
x f (x), t 0
+
S
R
C
uc
E
解:选择电容电压uc为状态变量x1
RCx1 x1 0
t
x1(t) x1(0)e RC
V (x)
1 2
CU
2 c
1 2
Cx12
1 2
Cx12
(0)e
2t RC
0
V(x) 2 V (x) 0 RC
渐近稳定!
4.3.1 预备知识 1、标量函数的符号性质
在零平衡状态 xe 0的邻域内
仅有数学方程,没有物理意义的系统
虚构一个与时间有关的能量函数(李雅普诺夫
函数)V (x,t) ——标量函数。 求出能量随时间变化率 V(x,t)。

稳定性和李雅普诺夫方法

稳定性和李雅普诺夫方法
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统:由特征方程旳根来判断稳定性。 非线性系统:先线性化,再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解:系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化,得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故,该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立,则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ,且 A非奇异,则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在,也不一定唯一。
如:
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有:
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳!
在 xe2 处线性化,得
A
0 1
1
0
特征值为 j ,实部为0。故,该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数,且在 x=0 处,恒有V (0) 0,
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4.2
李亚普诺夫第一方法
主要学习和掌握内容: 1、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断 系统稳定性。
一、线性系统稳定判据 x Ax bu Σ (A, b, c): ;xe 0渐近稳定的充要条件是A y cx 的所有特征值均具有负实部(状态稳定性,内部稳定性) 。 若对于有界输入u引起 的输出y也有界 ,称系统输出稳定 。
W(s) c(sI A)1b
极点在左半s平面,系统输出稳定。
(s 1)1 0 1 s -1 1 1 0 = 1 (s 1) 1 (s 1)(s 1) s 1 0
例4-1 Matlab仿真
• 上例中,正特征值被零点对消,出现状态不渐近 稳定而输出稳定的情形。所以如果系统传递函数 不出现零极相消,特征值与极点相同时,系统状 态稳定性与输出稳定性一致。



如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负实部, 则原非线性系统在平衡状态xe处是渐进稳定的,系 统稳定性与高阶导数项R(x)无关; 如果A的特征值至少有一个具有正实部,则原非线 性系统在平衡状态xe处是不稳定的; 如果A的特征值,至少有一个的实部为零,则系统 处于临界情况,原非线性系统在平衡状态xe处的稳 定性取决于高阶导数项R(x),不能由A的特征值符 号决定。
x e2
x e2
( 1 x1 ) x1 1 0
x 2 1
0 1 1 0
λ 1 2 特征方程: λI A λ 1 =0,特征值: λ 1 , 2 j 1 λ 特征值实部为0,系统稳定性取决R(x) ,不能由特征值判别 原非线性系统在x e 2处的稳定性。
关于稳定性定义的小结


李亚普诺夫关于稳定性的定义中,球域s(δ)限制着 初始状态x0的取值范围,球域s(ε) 规定了系统自由 响应x(t)的边界。因此,稳定性定义可概括为: 若x(t)有界,则称平衡状态xe稳定(李亚普诺夫意 义下稳定); 若x(t)有界且收敛于xe,则称xe渐近稳定; 若球域s(δ) 无限制,x(t)有界且收敛于xe,则称xe 渐进稳定; 若x(t)无界,则称xe不稳定。 经典控制理论中,渐近稳定的系统才称为稳定系统; 满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称 为临界稳定系统(在工程上属于不稳定系统)。


二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义
用欧几里德范数 x xe 表示状态向量x与xe 距离;点集s(ε)表 示以xe为中心、ε为半径的超球体;若x s(ε), 则 x xe ε。 对于n维状态空间,欧几里德范数 x xe 的计算为:
1 2 2
x xe =[( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ... ( xn xne ) ]
f1 x e1 (1 x 2 ) x1 0 1; x 2 x 2 0 f2 x e1 (0 x 2 ) x1 0 0; x 2 x 2 0
x e1
(0 x1 ) x1 0 0;
x 2 0
x e1
( 1 x1 ) x1 0 1 1 0
大范围渐近稳定的必要 条件是系统只有一个平 衡状态。 线性系统:渐近稳定 大范围渐近稳定;非线 性系统:通常 使为x e 渐近稳定的球域 s( )不大,常称为小范围渐 近稳定。
4.不稳定 对ε 0和δ 0, 不管δ多小, 由s(δ) 内出发的状态轨线,至少 有一条越出s(ε) ,称平衡状态xe不稳定。
令Δx x - x e, 得近似线性化方程: Δx AΔx f 式中A T x xe 。 x

忽略高阶导数项,
令Δx x - xe,可将原非线性方程 x f(x, t) 近似线性化: f Δx AΔx,式中A T x xe x 将原非线性方程近似线性化为线性方程后:
• 两个推论:
系统状态渐近稳定,必输出稳定; 若输出稳定,且系统能控能观,则系统渐近稳
定。
二、非线性系统稳定性
x f(x, t)对x有连续偏导数,设x e为系统的平衡状态;讨论系统 在x e 处的稳定性:将向量函数f(x, t) 在x e 邻域内按泰勒级数展开得

f x f(x, t) f(xe ,t) T (x xe ) R(x) ; x xe

若存在状态向量xe 使得状态方程f(xe ,t) 0,则称xe为 系统的平衡状态或平衡点。
例1. x Ax,若A非奇异,则易知满足x Ax=0的状态向量为 xe 0,且为唯一平衡状态;若A奇异,则满足Ax=0的状态 向量有无穷多个,即系统存在无穷多个平衡状态。 0 0 0 x1 x1 例2. ;令 x 0,解之得xe 1 ,xe 2 ,xe 3 0 1 1 3 x2 x1 x2 x2 这三个状态向量均为系统的平衡状态。 说明:稳定性都是针对平衡状态而言 的。线性系统在A阵


非线性系统有2个 0 1 x1 x1 x1x2 例4 2. ;xe 1 ;xe 2 平衡状态,需分 : 0 1 别讨论其稳定性 x x x x 2 1 2 2 先考察系统在xe1处的稳定性:
f1 x1 f A 1 f f 2 2 x1 x 2 x e1
0 1
λ 1 0 特征方程: λI A (λ 1)(λ 1) 0 0 λ 1 特征值:λ ,λ ;原非线性系统在x e 1处不稳定。 1 1 2 1


第二方法特点:不求解微分方程,而借助一个 虚构的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状 态稳定性进行判断。 从能量观点: 若一系统受激励后,其存储能量随时间衰减, 到达平衡状态时,能量达最小,则平衡状态 渐近稳定; 反之,若系统不断从外界吸收能量,储能越 来越大,则平衡状态不稳定; 若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量, 储能既不增也不减,则平衡状态就是李亚普 诺夫意义稳定。
非奇异时只有一个平衡状态 ,因此可笼统讲 系统稳定性;对 于非线性系统,可能存在多个平衡状态 ,不同平衡状态 下可 能表现出不同的稳定性,因而必须分别讨论和 研究。 在研究某个平衡状态的 稳定性时,通常可以通 过坐标变换将
该平衡状态平移到坐标 原点xe 0处,从而转为研究系统 在坐标 原点处的稳定性。
即:对于每个 s(ε) ,都存在一个 s(δ) ,当t无限增长时,从
s(δ) 内出发的状态轨线不会 超出s(ε) ,即系统响应是有界的 。
2.渐近稳定:若平衡状态xe是稳定的,且当t无限增长时,状 态轨迹不仅不超出s(ε) ,且最终收敛于xe,称xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定 :平衡状态xe渐近稳定,且从状态空间中所有 初始状态出发的轨迹都 具有渐近稳定 ,则xe 称大范围渐近稳定 。

f1 x 1 f2 f x1 T x f n x1
f 式中:R(x) 为展开式中的高阶导数项, T 为雅可比矩阵。 x
f1 x 2 f2 x 2 fn x 2

f1 xn f2 xn ; fn xn
f1 x1 f2 x1
x e2
f1 (1 x 2 ) x1 1 0; x 2 x 2 1 f2 (0 x 2 ) x1 1 1; x 2 x 2 1
x e2
f1 f1 (0 x1 ) x1 1 1; A x1 x 2 x 2 1 f2 f2 x1 x 2 x e2

稳定性:系统受外界扰动后偏离原平衡状态, 扰动消失后系统回到原平衡状态的能力。
Routh判据, Hurwity判据,Nyquist判据 李亚普诺夫第一方法、第二方法,后者适用于任 何系统的稳定性分析

4.1
李亚普诺夫关于稳定性的定义
主要学习和掌握内容: 1、学习和理解系统稳定性的一般定义。

第4章 稳定性与李亚普诺夫方法
4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李亚普诺夫第一法 4.3 李亚普诺夫第二法 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中 的应用 4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统 中的应用
本章主要学习和掌握内容: 1、系统稳定性的一般定义; 2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方 法: 第一法(间接法)和第二法(直接法);
其中x [ x1,x2 ,..., xn ]T ,xe [ x1e,x2e,..., xne ]T。

当ε很小时,称s(ε)为xe的邻域;若x0 s(δ) ,则 x 0 xe δ。
若 x f[x, t]解x(t;x 0 ,t0 ) s(ε) ,t t0,则 x(t;x 0 ,t0 ) x e ε,
一、预备知识
例4-2
4.3
李亚普诺夫第二方法
主要学习和掌握内容: 1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以 及标量函数符号性质的概念; 2、学习和掌握实对称矩阵符号性质的概念以 及利用Sylvester判据判别实对称矩阵符号性质 的方法; 3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据 以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性 的方法。

线性系统稳定性只决定于系统的结构及参数,与系 统初始条件及外界扰动大小无关;非线性系统的稳 定性还与初始条件及外界扰动大小有关。 李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定性的 一般定义。
一、系统状态的运动及平衡状态
设系统齐次状态方程为: x f(x, t) 式中,x为n维状态向量, f为与x同维的向量函数,是 x的各 分量x1 , x 2 ,..., x n和时间t的函数,通常为时变非 线性函数 ( 若不 显含t则为定常非线性系统 ) 。 设在初始条件(t0 ,x 0 )下有方程有唯一解: x Φ(t;x 0 ,t0 ) , 其中初始状态为 x 0 Φ(t0;x 0 ,t0 ) 。系统的解描述了系统 在n 维状态空间中从初始条 件(t0 ,x 0 ) 出发的一条状态运动的 轨迹, 简称为系统的运动或状 态轨迹(或状态轨线) 。
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