一题多解与多题一解(高中数学)
“多题同解”与“一题多解”在高中数学教学中的价值研究
ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ＋ ｉ ） 的图象上各点通过怎样的变换，
＾ 丌 Biblioteka 、变式 教学 的理论 解 析
得到 ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｉ ＋ ｉ ） 的 图象７． 如何把 ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｉ
耳 １ ， ｜
变式教学在具体 的教学过程 中可 以按 不 同的教学模式与内容 ，划分成三种类 型： 第一 ， 定理 与概念型 ； 第 二， 例题 与习题型 ； 第三 ，教学与学法型 而本文所展开论述的 “ 多题 同解”与 “ 一题多解 ”就属于例题与 习题型 ，具体地 说，就是在解题过程 中，在 学生掌握基本解法后，通过采取改变题 目原 条件或题 目所设原情境等方 法，巩固学生对 知识的掌握程度与变通 能力，使学生能够对 问题产生不同方 向、不同层次和不同角度 的 思考 ，从而提 出新 的问题 、发现同题的多种 解法 ，让 思维不再局限在固有不变的模式和 范 围内。 １ ． 针对 “ 多题同解 ”与 “ 一题 多解 ”的 界定 解题 是推进数学认知、培养学生 思维 能 力 的关键手段 ，更是数学教学的核心 内容 。 数 学家波利亚 曾说过 ， 掌握数学就意味着擅 长解题 。教师 要想提 高学生 的解题 能力，必 须 能够 为他们提供模仿与实践的大量机会 。 高中数 学最常见 的变式 “ 一题多解 ”，指 的 是将原题 目设为 中心点，再 向四方进行拓展 和 深化 ，层层揭示数学的非本质与本质属 性。这类 教学可 以加深学生对 问题 的认知 ， 减轻解题 的思维负担 ，并能在一定程度上激 发兴趣 ，开拓解题思路，实现提升发 散性 思 维的 目的，让学生更善于全面观察问题，综 合运用多方知识解题 。另一种从一道题 为出 发点，通过一系 列的逆 向或横 向的思维 改 变，将 原题扩展 为多类题 ，并对 “ 同根题 ” 进行研 究， 找 出共性， 形成完整 的知识 结构； 又或是归纳总结某个解题方法 ，将 其形成具 体技巧用以解 决其他题 目，实现 多题 归一的 目的。 这一种变式即是 “ 多题 同解 ”。 ２ ．两种教学方式在实践教 学中的现状 在新课改的推广过程 中，各种 变式教学 的理论纷纷涌现， “ 一题多解 ”与 “ 多题 同 解 ”的教 学理念逐渐深入人心 ，得到 了广泛 的认可 。调查结果显示 ，近 几年教师对变式 教学关注度明显上升，多数教师在教学过程 中经常使用 “ 一题多解 ”、 “ 一法 多用”、 “ 图形变式 ”以及 “ 引申教学 ”等方法 ，变 式教学逐渐成为高中主流教学方式 。经教学 实践证 明， 变式 教学作为一种有效 的、科学 的教学方式 ，虽不能为学习提供一条捷径 ，
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
一题多解与多题一解案例
一题多解与多题一解案例一、一题多解案例： 例：已知141=+ba 且a >0,b >0.求b a +最小值. 解法1:(1代换).由a >0,b >0,141=+ba 得: 942545441)41)((1)(=⋅+≥++=+++=++=⋅+=+b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a 当且仅当ba ab 4= ,即b =2a ,即a =3,b =6时,(b a +)min =9.解法2:(凑常数法).由141=+b a 且a>0,b>0得)4)(1(--b a =4, 又∵140,110<<<<ba ,∴a >1,b >4. ∴1-a >0,4-b >0. ∴4)4)(1()4()1(=--≥-+-b a b a ∴9≥+b a .当且仅当41-=-b a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法3:(增量法)∵141=+b a 且0,0>>b a .∴410,110<<<<ba . ∴4,1>>b a .令)0,0(4,1>>+=+=y x y b x a 代入141=+ba 得,4=xy , ∴,9255)4()1(=+≥++=+++=+xy y x y xb a 当且仅当2==y x 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法4:(消元法)由已知得,14-=a ab 且1>a , ∴514114+-+-=-+=+a a a a a b a ∵014,01>->-a a , ∴9514)1(25141=+-⋅-≥+-+-=+a a a a b a .当且仅当141-=-a a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法5:(配方法)由)0,0(141>>=+b a ba 得,4)4)(1(=--b a ,1(>a )4>b .则5)4)(1(2)41(5)4()1(2+--+---=+-+-=+b a b a b a b a 9)41(2+---=b a .当且仅当41-=-b a 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法6:(三角代换)∵141=+b a 且140,110<<<<b a .令α2cos 1=a, ααπαα222sin 4,cos 1),20(sin 4==<<=b a b . ∴=+=+αα22sin 4cos 1b a α2sec α2csc 4+)1(4122ααctg tg +++= =5+tg αα224ctg ++≥52αα224ctg tg ⋅=9 当且仅当,2ααctg tg =即2=αtg ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法7:(判别式法)设s b a =+,则a s b -=.将a s b -=代入141a b +=整理得,0)3(2=+-+s a s a . ∵110<<a∴1>a ∴方程0)3()(2=+-+=s a s a a f 应在),1(+∞上有实解.则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥--=∆1230)1(04)3(2s f s s 或0)1(≤f 解得,9≤s . 当.6,3,9===b a s 时 当6,3==b a 时,9)(min =+b a .二、多题一解案例（都是空间平面化方法）1.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===若对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ D ）A.1B.2C.13+D.72. 如图，已知三棱锥BCD A -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于１， 30=∠BAC ，N M ,分别在棱ＡＣ和ＡＤ上，则NB MN BM ++的最小值是（ B ）A. 3B. 2C.1D.23. 圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，从点A 到点C 在圆柱侧面上的最短距离为（ B ）（A ）10cm （B ）4252+πcm （C ）52cm （D ）512+πcm ABC D N M4. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的 最短路线的长为 cm. 135.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC AC ===，13AA =，,D E 分别是棱1BB ，1CC 上的动点，则1AD DE EA ++的最小值是（ D ）A ．13B ．5C ．7D ．35。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
一题多解,多解归一
一题多解，多解归一作者：杨露露来源：《读与写·下旬刊》2018年第08期中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）24-0146-01解题，作为数学教学活动过程中的核心内容，它既是推进数学认知过程的有效手段，也是培养学生数学思维能力的重要途径.在解题教学中，越来越多的人提倡“一题多解”.但是面对“一题多解”，教师有些茫然，导致他们在教学中经常会进入一些误区.例如盲目地罗列多种解法，重“量”轻“质”，教师以为把自己的“研究成果”无私地奉献给学生，却不知道学生在惊叹于教师的高明之余茫然于各种解法的得到，甚至会使学生产生自卑感等消极的心态.教师致力于寻找各种不同的解法却忘了对多种解法中的思想方法理解透彻、融会贯通.目前这种状况就需要教师对“一题多解”的教学及时反思，找出相应的教学策略。
面对“一题多解”，教师应何去何从呢？1.一题多解，多解归一，一题一解对于书上的解答或者是学生提出的多种解法，教师都应该对这多种解法进行分析，分析多种解法中分别运用的方法，涉及到的知识点，蕴含的数学思想方法.如果几种解法虽然算式、程序不完全一样，而解题的立义和根据无根本的不同，其实可以多解归一.一个题目的多种解法中总会找到共通点，教师应充分挖掘其内在联系及背后的思想方法。
“一题”之所以能“多解”，往往就在于这些解法之间是有联系的，这些联系之间是有规律可循的，通过“多解”后的“归一”，让学生能站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认识世界，这样就可以形成强大的认识力，由此获得对数学的通透理解。
[1]到底讲哪些方法好？时间允许吗？该不该给学生讲所有的方法？等等这些问题困惑着一线教师。
笔者认为，其实问题的关键不在于解法的多少，而在于透过这些不同的解法，能够挖掘出多种解法的内在联系，提炼出多种解法中的思想方法。
因此最根本的是掌握基本概念、定义、性质等，进而把问题化归转化为已知问题求解。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用
教学研究“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用李凤悦（青海省湟中县多巴中学，青海西宁811601）摘要：“一题多解”与“多题一解”是提高数学教学质量和培养学生解题能力的有效途径和方法，本文对该教学方法的应用原则和模式、以及在新授课和复习课中的应用方式进行了探索。
关键词：一题多解；多题一解；解题应用为了提高高中数学教学的有效性，开展数学教学要以学生发展为中心，通过设计和运用符合学生身心特点的教学方法，就能高效地实现教学目标，完成教学任务。
但是在目前的高中数学教学中，面对高考的压力，许多教师仍然采用“题海战术”的方式进行教学，这样不但无助于提高教学有效性，而且增加了学生的负担，使学生失去对数学的学习兴趣。
而“一题多解”与“多题一解”教学方法的运用，能有效提高教学质量，培养学生的数学解题能力。
一、“一题多解”与“多题一解”教学原则和模式（一）教学原则在高中数学教学中，运用“一题多解”与“多题一解”进行教学应坚持以下原则：一是目标导向原则，以教学目标为牵引来选择和使用该教学方法，将渗透新课改的教学理念，就能较好完成教学目标；二是分层教学原则，运用该教学方式，要能满足不同层次学生的学习需要，使所有学生的学习能得到提高；三是选题典型原则，在教学中要发挥每个习题的作用，就要选择具有典型的题目根据学情开展变式教学；四是主体参与原则，运用该方式进行教学，要注重发挥学生的主体作用，让学生在积极的参与过程中提高解题能力；五是探究学习原则，利用该方式进行变式教学，要有利于学生开展自主、合作探究学习，使学生的学习能力得到增强。
（二）教学模式运用“一题多解”与“多题一解”进行教学，应坚持如下基本模式：“设置例题———引导探究———培养思维———变式拓展———变式训练”这样五个基本环节，这几个环节不是简单的递进关系，它是复合交叉，从学情出发，进行分层教学和因材施教的有效教学模式。
例1在研究y=A sin（ωx+φ）图像的画法时，可启发学生理解该函数图像与y=sin x的图像之间的关系，并把该题目设计成“题组”的形式，开展变式解题研究：如，（1）y=sin（x+1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？（2）y=2sin x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（3）y=sin2x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（4）y=sin（2x-1）如何是从y=sin2x的图像变换出来的？（5）y=2sin（2x-1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？通过这样进行“一题多解”就能让学生完整掌握正弦函数的图像变换过程。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践毛淑萍
一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践毛淑萍发布时间：2022-04-19T14:54:08.494Z 来源：《基础教育课程》2022年1月作者：毛淑萍[导读] 随着新课改的推出，我国教育的质量在随之得到提高。
浙江省诸暨市湄池中学毛淑萍 311814摘要：随着新课改的推出，我国教育的质量在随之得到提高。
高中的教育是培养社会所需人才的主要场所，高中对于学生的学习和发展有着很重要的影响。
在高中教学中，怎样来提升学生学习知识的效率是现阶段最需要重视的问题。
在数学教学中，数学教师可以使用一题多解和多题一解的方法来进行教学，对于这两种方法的价值进行研究，并进行实践。
关键词：一题多解；多题一解；高中数学；价值和实践在高中教学中，对于数学这一学科而言，数学的理论知识比较复杂，而且学生一定要具备较强的思维能力，这样也就导致学生在学习数学知识的时候遇到了困难。
想要提升学生的数学成绩，数学教师就一定要培养学生的思维能力，让学生了解数学的解题方式。
因此，就可以使用一题多解和多题一解的方法来进行教学，从而有效地提升学生的数学成绩和教学的效率，促进学生可以更好的发展。
一、在高中数学中使用一题多解的教学方法（一）一题多解教学方法的价值分析对于高中数学教学而言，在以往的教学方法当中，一般都是数学教师把数学知识和公式等内容灌输给学生，让学生被动的学习数学知识，这样的教学方法是比较枯燥的。
在高中数学教学中，使用一题多解的方法可以让学生在解决数学问题的时候，培养自己的思维能力，对数学的特点进行发掘。
并且还可以丰富数学知识，活跃数学课堂的气氛，让学生对数学知识产生兴趣，主动的学习数学知识，解决数学问题，使学生的思维能力得到提高，让学生的综合能力得到发展。
（二）一题多解教学方法的实践在高中数学教学中，使用一题多解的教学方法时，数学教师一定要根据将要教学的内容来进行设计。
在开始教学前，要选择好数学题目，根据学生的兴趣来进行选择，这样才可以在进行教学的时候，激发学生学习的积极性。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
高中数学拔尖一题多解第2讲：恒成立(含解析)
一题多解第2讲多姿多彩恒成立，精彩各异策略多典型例题【例1】(I) x a x y 对任意的,0x y 恒成立,求a 的取值范围;对任意的,0x y 恒成立,求k 的取值范围.【例2】已知函数 2242cos 1sin 1(0)x f x x x x x,若 f x M 恒成立,则M 的取值范围是。
【例3(1)a x ay 对任意,(0,)x y 恒成立,则实数a 的取值范围是。
【例4】设,a b c n N ,且11na b b c a c恒成立,n 的最大值是。
【例5】若关于x 的不等式e (1)0xa xb 在R 上恒成立,求(1)a b 的最大值.【例6】已知函数1()1(0)f x x x,若存在实数,()a b a b ,使()y f x 的定义域为(,)a b 时,值域为(,)ma mb ,则实数m 的取值范围是（）A.14mB.104mC.14m且0m D.14m【例7】设函数222()()ln 2f x x a x a,其中0,x a R ,存在0x R ,使得045f x 成立,则实数a 的值是（）A.15B.25C.12D.1【例8】设()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x 时,2()f x x .若对任意的[,2],()x t t f x t 2()f x 恒成立,则实数t 的取值范围为。
【例9】已知函数2()1,f x x ax a a R ,若对于任意的(0,4)a ,存在0[0,2]x ,使得t0f x 成立,则实数t 的取值范围为。
强化训练1.已知函数321()1(,)3f x x ax bx a bR 在区间[1,3] 上是减函数,求a b 的最小值.2.设a R ,若0x 时,均有2[(1)1]10a x x ax 成立,求a 的值.3.已知函数()ln f x a x x ,对任意的1,e ,()0ex f x恒成立,则a 的范围为。
4.已知(1)1ln 0a x x 对于任意的1,22x恒成立,则a 的最大值为。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用【摘要】在高中数学教学中,“一题多变”与“一题多解”是提高高中数学教学实效性的重要方多变”与“一题多解”的关系,论述"一题多变"与"一题多解"在高中数学教式，更是培养学生核心思维能力的有效途径。
本文将浅析高中数学教学中的“一题学中的重要意义,并探索“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的实践策略.【关键词】“一题多变”与“一题多解”一、一题多变一题多变在数学教育研究中具有突出地位,变式题的宗旨在于通过"变中发现不变"来学习抽象化和"以不变应万变"来学习公理化。
使得方法理解得以深化和广化。
一题多变可以很好地培养学生的思维与解题能力，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。
但在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题。
采用一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入佳境，从而使学生开拓知识视野，增强获取知识的能力，发展创新思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。
解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径，找到解决问题的要害，这是培养学生提高学习能力的根本所在，下面我我们用一个例题来看一题多变力争达到抛砖引玉的效果。
【思路引导】（1）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解.（2）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（3）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（4）等式两边分别除以得到新的数列的递推关系：，然后利用（1）的方法求解.1.等式两边同时取常用对数得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列求解.2.等式两边取倒数得到新的数列递推关系：，然后利用（1）的方法求解.当然这个题还可以根据学生的实际情况进行更多的变式，本文不在赘述。
数学解题之一题多解与多题一解
摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力开展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。
本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以到达对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间在的联系。
与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。
所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。
也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握根底知识、根本技能外，还要注意培养学生的思维能力。
培养学生的思维能力是新课程改革的根本理念，也是数学教育的根本目标之一。
“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体表达，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进展思考和做出判断。
〞数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。
因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。
市区播送电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。
本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。
一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用
教学研究一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用李 阔（吉林省四平市第一高级中学3年20班，吉林 四平 136000）【摘要】科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
【关键词】科学技术；新课程标准；一题多解；一题多变一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用(2021年整理)
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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学，是一门自然学科.对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐.熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学,还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力.在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生.对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习,及习题的安排。
一题多解 多题一解 一题多变(顶角是20度的等腰三角形问题)原创
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现，它们有共同之处，就是构造适当的等边三角形进行转化。
举例如下：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60゜，∠BCE=50゜.求∠AED的度数解法（一）解：如图2，作∠CBM=20°,点M在AC上，在AB上取点N，使BN=BM，在AM上取点P，使PM=MN，∵∠A=20゜, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,∴∠NBM=60°∴△BMN为等边三角形，∵∠CBM=20°∴∠BMC=∠BCM=80°∴BC=BM=BN=MN=PM∴∠BNM=60°, ∠NMP=180°-∠BMN-∠BMC=40°∠MNP=∠MPN=70°∴∠ANP=180°-∠MNP-∠BNM=50°连接CN，在△BMN中，∵BC=BN，∠NBC=80°∴∠BCN=50°，∴点N就是图1中的点E，连接PB，在△PBM中，∵BM=PM，∠PMB=100°∴∠PBM=40°，∵∠CBM=20°∴∠CBP=60°，∴点P就是图1中的点D，∴∠AED=50°解法二解：如图3，作∠CBM=20°,交AC于点M，连接EM，∵∠A=20°, AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80° ,BC=BM，∠NBE=60°∵∠BCE=50°∴∠BEC=180°–80°–50°= 50°∴BE=BC=BM∴△BMN为等边三角形，∴∠BEM=60°∵∠BMC =80°∴∠BMD=100°∵∠DBC =60°，∠CBM=20°∴∠DBM=40°在等腰△MDB中∴∠BDM=180°–100°–40°=40°AB CNMP(图2)AB CDE(图1)AB CEMD(图3)∴DM =BM =EM 在等腰△MDE 中 ∵∠BMD =100°∴∠MED =∠MDE =70°∴∠AED =180°-70°-60°=50°解法三：解：如图4 作等边三角形AGD 交AE 与F∴ ∠AGD ＝∠DBC ＝60°∠GAF ＝40° ∵∠A ＝20°AB ＝AC ∴ ∠ABC=∠ACB=80°又∵∠DBC ＝60°∴∠BDC ＝40°∴∠GAF ＝∠BDC ∴∠ABD ＝∠BAC ＝ 20° ∴AG=AD=DB△ AGF ≌△DBC∴AF=DC 又∵AB ＝AC∴BF=AD =DG ………① 又∵∠ABC =80°∠BCE =50゜∴∠BEC=50゜∴BE =BC=GF …………..② 由①②得 BF-BE=DG-GF 即：EF ＝FD又∵∠EFD =∠AFG ＝80°∴∠AED =（180°－80°）÷2=50° 2、（2004年山东省实验中学招生数学试题）12、在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=20°,在AB 边上取点M,使BM=AC,则AMC 的大小为解法一_ 图 4_ GC解：作∠FAC=20°使AF＝AB 交AC与E 连结BF CF ∠BAF=80°-20°＝60°可得△BAF为等边三角形，∴BA=BF=AF∵BM=AC ∠FAC=∠CBM=20°∴△MBC≌△ACF ∠BMC=∠ACF∠CBF=60°-20°=40°BC=BA=AF∴∠BCF=(180°-40°)÷2=70°∴∠ACF=80°+70°=150°∴∠BMC=150°∠AMC=30°解法二解：作BD⊥AC交AC与D ∴∠DBC=10°在BD上取点E 使EA=AC 连结EC可得△EAC为等边三角形，∴EC=AC=BM∠BCE=80°-60°＝20°∴∠BCE=∠CBM BC是公共边∴△BCE≌△CBM ∠BCM＝∠DBC=10°∠AMC=∠BCM+∠ABC =30°解法三解：如图作等边三角形△BCN 连结MN ∠MBN=60°＋20°＝80°＝∠BAC∵BM=AC BN=BCC∴△NBM ≌△BAC∠BNM=20° ∠BMN ＝80° ∠MNC=60°-20°=40° ∵NM=BN=NC∴ ∠NMC=(180°-40°)÷2=70° ∴∠BMC =80°+70°=150° ∴∠AMC=30°补充练习：【题1】等腰三角形ABC ，顶角∠C=20°，D 、E 分别在CA 和CB 上，∠EAB=70°，∠DBA ＝60°，求∠DEA 度数。
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用
“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用作者：闫萧寒来源：《求知导刊》2014年第12期摘要：数学知识内容丰富、形式多变，对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义、推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
“一题多解”与“多题一解”的解题策略能够提升学生的数学问题解答能力，对学生数学水平的提升具有重要的影响。
下面就几道典型的一题多解与多题一解问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与多题一解问题，领略一题多解与多题一解问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。
关键词：“一题多解”；“多题一解”；中学数学教学；数学教学质量意大利著名的数学家、物理学家伽利略·伽利雷曾经说过：“数学是描述世界的语言。
”数学符号和数学公式精确、简洁而优美，为我们的生活带来了无限的便利，指引我们更好地认识世界、感受世界。
“一题多解”与“多题一解”的思想能够有效满足新课程改革背景下，对中学数学教学的要求，改善传统教学方式中的缺点和不足之处，使学生能够形成一定的数学思维，为学生未来的数学知识学习和综合能力的发展奠定良好的基础。
一、“4多”原则对数学教学的作用“4多”原则主要指的是多看、多想、多做和多问，“4多”原则能够直接影响中学数学教学的质量和效果。
1.多看数学知识离不开多看、多学，学生需要多看书，做好课前预习、课后复习才能将课本中的数学知识和数学难点进行深刻的理解。
多看对于中学数学教学具有积极的影响，学生对课堂教学内容产生了一定的了解，就会使课堂教学活动变得更加轻松、愉快，使中学数学教学达到事半功倍的效果[1]。
2.多想数学教学不仅在于指导学生学习数学知识点、提升学生的问题解答能力和数学知识灵活运用能力，更在于使学生通过数学知识的学习、应用，形成一定的数学逻辑思维能力和数学独立思考能力[2]。
3.多做俗话说：“熟能生巧。
”多做、多练能够增加学生对数学知识的深刻理解，巩固学生的数学知识和提升学生对数学知识灵活运用的能力，融会贯通，把不同内容的数学知识点关联起来，帮助学生建立一个完整的知识结构和框架体系[3]。