北师版数学高二-第二章2排序不等式学案
高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大选修4_5
名师点拨 1.排序不等式中能构造的和按数组中的某种“搭配”的
顺序被分为三种形式:顺序和、逆序和、乱序和,对这三种不同的
搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与逆”,而
故原不等式成立.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟 当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可 以根据欲证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将欲证 不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、逆序和或乱序和,从 而借助排序不等式证得结论.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 1 已知 a,b,c 均为正数,求证:������2������2+���������+���2������������+2+������ ������2������2≥abc.
+
������������������,
即������2������2+���������2������������������2��� +������2������2≥a+b+c.
又因为 a,b,c 为正数,所以 abc>0,a+b+c>0.
所以������2������2+���������+���2������������+2+������ ������2������2≥abc.
利用排序不等式,有
������1 ������2
+
������������23+…+���������������������-���1
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∵a3≥b3≥c3 且b1c≥a1c≥a1b， ∴由排序不等式，得
a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b≥a3·a1c＋b3·a1b＋c3·b1c，
③
a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b≥a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a.
④
(③＋④)÷2，得
bac3＋cba3＋acb3 ≥a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2.
由排序不等式，得 b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥b＋c2 c＋a＋a2 c＋a＋b2b， b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥b＋b2 c＋a＋c2 c＋a＋a2b. 两式相加，得 2b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥bb2＋＋cc2＋aa2＋＋cc2＋aa2＋＋bb2.
解：不妨设 x≥y≥z>0， 则 x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x. 由乱序和≥逆序和，得 xy2＋yz2＋zx2≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.
又 x＋y＋z＝1， 则xy2＋yz2＋zx2≥1， 当且仅当 x＝y＝z＝13时等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
(1,2,3) (45,25,30)
S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝185
(1,2,3)
S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝180
(45,30,25) (最小值)
备注 乱序和 乱序和 乱序和 逆序和
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解析：由图可知阴影面积＝a1b1＋a2b2，空白面积＝ a1b2＋a2b1.根据顺序和≥逆序和，可知答案． 答案：≥
利用排序不等式求解简单的实际问题
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高二数学北师大版选修4-5课件2.2 排序不等式
(2)定理 2(排序不等式): 设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn,则(顺序和) a1b1+a2b2+…+anbn≥(乱序和)a1������������ 1 +a2������������ 2 +…+an������������ ������ ≥(逆序和)a1bn+a2bn-1+…+anb1. 其中 j1,j2,…,jn 是 1,2,3,…,n 的任一排列方式.上式当且仅当 a1=a2=…=an(或 b1=b2=…=bn)时取“=”号.
自主思考你对排序不等式的证明是怎样理解的? 提示:在排序不等式的证明中 ,用到了 “探究——猜想——检验——证明” 的思想方法.这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的 “排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使 用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一 些常识的事例来理解.对于出现的“逐步调整比较法”,要引起注意,研究数组 这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题是比较简单 易懂的.
§2
排序不等式
课程目标 1.了解排序不等式的数学思想和背景. 2.了解排序不等式的结构与基本原理. 3.理解排序不等式的简单应用.
学习脉络
1.定理 1 设 a,b 和 c,d 都是实数,如果 a≥b,c≥d,那么 ac+bd≥ad+bc,此式当且仅 当 a=b(或 c=d)时取“=”号. 2.定理 2 (1)顺序和、乱序和、逆序和: 设实数 a1,a2,a3,b1,b2,b3 满足 a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,则 a1b1+a2b2+a3b3≥a1������������ 1 +a2������������ 2 +a3������������ 3 ≥a1b3+a2b2+a3b1,其中 j1,j2,j3 是 1,2,3 的任 一排列方式.上式当且仅当 a1=a2=a3(或 b1=b2=b3)时取“=”号. 通常称 a1b1+a2b2+a3b3 为顺序和,a1������������ 1 +a2������������ 2 +a3������������ 3 为乱序和, a1b3+a2b2+a3b1 为逆序和(倒序和).
高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大选修4_5010
§2 排序不等式学习目标 1.了解顺序和、乱序和、逆序和的有关概念.2.掌握排序不等式的结构特征，并能应用排序不等式证明一些不等式．知识点 排序不等式思考 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少． 梳理 (1)顺序和、乱序和、逆序和的概念设实数a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3满足a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≥123123j j j a b a b a b ＋＋≥a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1，其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝a 3(或b 1＝b 2＝b 3)时取“＝”号．通常称a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3为顺序和，123123j j j a b a b a b ＋＋为乱序和，a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1为逆序和(倒序和)． (2)排序不等式①定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ， 此式当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号． ②定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥(乱序和)1212a n j j n j b a b a b ＋＋＋≥(逆序和)a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1,2，…，n 的任一排列方式，上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号.类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，∴1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. ∴原不等式成立．反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明 因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0. 又0＜a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知，顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题 例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明 由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b， 注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b )＝a ＋b ＋c .故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )． 反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ， 则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二 利用排序不等式求最值 例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋bc ＋a＋ca ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(逆)序和式，然后利用顺(逆)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值． 跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋ac (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 答案 n解析 设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ， 则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式，得逆序和≤乱序和≤顺序和， 故最小值为逆序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n . 4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明 由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a ≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、逆序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与逆”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz答案 B解析根据排序原理，逆序和最小，即az＋by＋cx最小．2．已知a，b，c＞0，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于零或等于零C．小于零D．小于零或等于零答案 B解析当a＝b＝c＝1时，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝0；当a＝1，b＝2，c＝3时，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝62.3．设a，b，c都是正数，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是( ) A．M≥0B．M≤0C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关D．不能确定答案 A解析不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.∵a 3≥b 3≥c 3，且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab ， ∴M ≥0.4．锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定答案 C解析 不妨设A ≥B ≥C ， 则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式可知，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )， 上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥ 12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B ) ＝P ＝a ＋b ＋c2，即Q ≥P .5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0， 则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N答案 B解析 ∵x ≥y ，∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是__________，最小值是________． 答案 32 28解析 由逆序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，逆序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头处接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________． 答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式，得⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )，∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________．答案 5解析 由所求代数式的对称性， 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥逆序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， 所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， 所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(a b ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n .因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n .又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)． 四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明 由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0＜x ≤y ≤z ， 于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由逆序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y ，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x. 将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n. 由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋x n －1·x ＋…＋1·x n，所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋xn －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，所以x ＋x 3＋…＋x 2n －1≥nx n.②①＋②，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n， 同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时， 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2021学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大版选修4_5
)
A.a1b1+a2b2
B.a1a2+b1b2
1
C.a1b2+a2b1
D.
2
解析:∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,
a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1,
1
且 a1b1+a2b2> > 12 + 21.
§2 排序不等式
1.理解顺序和、乱序和、逆序和等有关概念.
2.了解排序不等式的根本形式,会运用排序不等式证明一些简单
不等式问题和实际应用问题.
1.定理1
设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac+bd ≥ad+bc,此式当且
仅当a=b(或c=d)时取“=〞号.
【做一做1】 假设0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,那么
=(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn),
1
故 S≥ (1 + 2 + ⋯+an)(b1+b2+…+bn),
1
即 a1b1+a2b2+…+anbn≥ (1 + 2 + ⋯+an)(b1+b2+…+bn).
题型一
题型二
题型二
所含字母大小不确定的不等式的证明
高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大版选修4_5
从而 1 ≥ 1 ≥ 1 .
������������ ������������ ������������
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
(2)由(1)已证的
1 ������������
B.a1a2+b1b2
D.
1 2
解析:∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,
a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1,
且
a1b1+a2b2>
1 2
>
������1������2
+
������2������1.
D 典例透析 IANLITOUXI
1.定理1 设a,b和c,d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac+bd ≥ad+bc,此式当 且仅当a=b(或c=d)时取“=”号.
【做一做1】 若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数 式中最大的是( )
A.a1b1+a2b2 C.a1b2+a2b1
是对等的,要先设出a,b,c的大小顺序,再利用排序不等式加以证明.
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题型一 题型二
2017_2018学年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大版选修4_5
又因为 a,b,c 为正数,所以 abc>0,a+b+c>0.
2 2 ������ ������2 +������2 ������2 +������2 ������ 所以 ≥abc. ������+������+������
探究一
探究二
思维辨析
探究二
利用排序不等式求最值
������ ������ ������
1 ������1
>
1 1 >…> ,且 ������2 ������������-1
b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n. 利用排序不等式,有
������1 ������2 ������������-1 ������2 + ������ +…+ ������ ������ 3
探究一
探究二
思维辨析
因忽视等号成立的条件而致误 【典例】已知a1,a2,a3,b1,b2,b3∈[1,2],且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3 不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围. 错解不妨设1≤a1≤a2≤a3≤2,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且 1≤c1≤c2≤c3≤2,则 a1c3+a2c2+a3c1≤a1b1+a2b2+a3b3≤a1c1+a2c2+a3c3,∴3≤a1b1+a2b2+a 3b3≤12,∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为[3,12]. 正解设1≤a1≤a2≤a3≤2,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且 1≤c1≤c2≤c3≤2,则 a1c3+a2c2+a3c1≤a1b1+a2b2+a3b3≤a1c1+a2c2+a3c3,∴3≤a1b1+a2b2+a 3b3≤12. ∵a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,∴不等式中的等号不成 立,∴a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).
北师大版数学高二选修4-5学案第二章2排序不等式
§2 排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．2．体会运用经典不等式的一般思想方法．1．定理1设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么______≥ad ＋bc ，此式当且仅当______(或c ＝d )时取“＝”号．【做一做1】若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中最大的是( )．A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D ．122．(1)顺序和、乱序和、逆序和：设实数a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3满足a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≥a 1bj 1＋a 2bj 2＋a 3bj 3≥______________，其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝a 3(或b 1＝b 2＝b 3)时取“＝”号．通常称a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3为__________，a 1bj 1＋a 2bj 2＋a 3bj 3为________，a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1为________(倒序和)．(2)定理2(排序不等式)：设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)__________≥(乱序和)__________________≥(逆序和)________________．其中j 1，j 2，…，j n 是1,2,3，…，n 的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号．【做一做2】设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证：12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2． 答案：1．ac ＋bd a ＝b【做一做1】A ∵a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝1，a 1b 1＋a 2b 2－a 1b 2－a 2b 1＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)＞0，∴a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1，且a 1b 1＋a 2b 2＞12＞a 1b 2＋a 2b 1． 又∵1＝a 1＋a 2≥2a 1a 2，∴a 1a 2≤14． ∵0＜a 1＜a 2，∴a 1a 2＜14． 同理b 1b 2＜14， ∴a 1a 2＋b 1b 2＜14＋14＝12， ∴a 1b 1＋a 2b 2＞12＞a 1a 2＋b 1b 2， ∴a 1b 1＋a 2b 2最大．2．(1)a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1 顺序和 乱序和 逆序和(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1bj 1＋a 2bj 2＋…＋a n bj n a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1【做一做2】分析：利用排序不等式来证明．证明：设b 1，b 2，…，b n 为a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且b 1＜b 2＜…＜b n ，因为b 1，b 2，…，b n 是n 个互不相等的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n ．又∵1＞122＞132＞...＞1n 2， 由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋...＋a n n 2≥b 1＋b 222＋...＋b n n 2≥1×1＋2×122＋...＋n ×1n 2＝1＋12＋ (1)， ∴12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2．1．对排序不等式的证明的理解剖析：对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 所含字母大小顺序已确定的不等式的证明【例1】已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c． 分析：由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关键和基础．题型二 对所证不等式中的字母的大小先作出假设再证明【例2】设a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32． 分析：题目中没有给出a ，b ，c 的大小关系，且a ，b ，c 在不等式中的地位是对等的，要先设出a ，b ，c 的大小顺序，再利用排序不等式加以证明．反思：当假设了a ≥b ≥c 后，所用的两个数组可以完全确定了，但必须注意成立的前提是a ，b ，c 三者的地位是对等的．题型三 不等式中的字母的大小需讨论【例3】设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n ．分析：题中只给出了x ＞0，但是对于x ≥1，x ＜1并不确定，因此，我们需要分类讨论． 反思：分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序关系．答案：【例1】证明：(1)∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b， 又∵c ＞0，∴1c＞0． 从而1bc ≥1ca． 同理，∵b ≥c ＞0，于是1b ≤1c， 又∵a ＞0，∴1a＞0． 于是得1ca ≥1ab． 从而1bc ≥1ca ≥1ab． (2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab ，和顺序和≥乱序和，得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3． 又∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3， ∴b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3 ＝1c ＋1a ＋1b． 综上，原不等式成立．【例2】证明：设a ≥b ≥c ＞0⇒a ＋b ≥c ＋a ≥c ＋b ．∵a ≥b ≥c ＞0，∴1b ＋c ≥1a ＋c ≥1a ＋b． 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得ab ＋c ＋b a ＋c ＋c b ＋a ≥b b ＋c ＋c a ＋c ＋a b ＋a，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a a ＋c ＋b b ＋a． 将上面两个不等式相加再除以2，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32． 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．【例3】证明：(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序不等式：顺序和≥逆序和，得1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n ．①又因为x ，x 2，…，x n,1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序不等式：乱序和≥逆序和，得 1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，得x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ．②将①和②相加，得 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n ．③(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ． ①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，原不等式成立．1已知a ，b ，c ∈R ，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( )．A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2aB ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2aC ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2aD ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a 2设a ，b ，c 都是正数，M ＝bc a ＋ca b ＋ab c，N ＝a ＋b ＋c ，则M ，N 的大小关系是( )． A ．M ≥N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M ≤N3已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a _______y y ＋b(填“＞”或“＜”)． 4已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc ． 答案：1．B 根据排序不等式，取两组数a ，b ，c 和a 2，b 2，c 2．不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2．所以a 2×a ＋b 2×b ＋c 2×c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．2．A 由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，则ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a． 由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a ≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即M ≥N ．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．3．＞ ∵1a ＞1b，∴b ＞a ＞0， 又x ＞y ＞0，由排序不等式，知bx ＞ay ．∴x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay x ＋a y ＋b＞0， ∴xx ＋a ＞y y ＋b ．4．证明：根据所证明的不等式中a ，b ，c 的“位置”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ． 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ． ∵a ，b ，c 为正数，∴abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0．于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc ．。
北师大版数学高二-选修4-5 2.2排序不等式学案
选修4-5 2.2排序不等式学案【学习目标】1．了解排序不等式的结构与基本原理；2．理解排序不等式的简单应用． 【重点难点】排序不等式与其它不等式的有关知识综合考查一、自主学习要点1：顺序和、乱序和、反序和的概念 设a 1≤a 2≤a 3≤…≤an ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤bn 为两组实数，c 1，c 2，…，cn 是b 1，b 2，…，bn 的任一排列，则称ai 与bi (i ＝1,2，…，n )的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 为反序和．要点2．排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤an ，b 1≤b 2≤…≤bn 为两组实数，c 1，c 2，…，cn 是b 1，b 2，…，bn 的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝an 或b 1＝b 2＝…＝bn 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和．二、合作，探究，展示，点评题型一 利用排序原理证明不等式【例1】 已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .【变式1】 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.题型二 利用排序原理证明几项不等式【例2】 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2.【变式2】 设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .题型三 利用排序原理求最值 【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【变式3】 设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a3b ＋c ＋1b 3a ＋c ＋1c 3a ＋b的最小值．三、知识小结《排序不等式》课时作业 （5，6，8题务必用排序不等式证明）1．若a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n≤⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n·⎝⎛⎭⎪⎫b 1＋b 2＋…＋b n n.当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．2．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a nn≤a 21＋a 22＋…＋a 2nn.3．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .4．设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.5．设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .6．设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.7．设x i ，y i (i ＝1,2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n 是y 1，y 2，…，y n 的一个排列．求证：∑ni ＝1 (x i －y i )2≥∑ni ＝1(x i －z i )2.8．已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．。
北师大版数学高二2.2排序不等式 学案
2.2排序不等式【学习目标】：1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;2. 体会运用经典不等式的一般思想方法【学习重点】：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题【学习难点】：运用经典不等式的一般思想方法 【课前自主学习】：阅读教材P 32-34,并填空。
1、探究 如图， 设AOB α∠=，自点O 沿OA 边依次取n 个点12,,,n A A A ， OB 边依次取取n 个点12,,,n B B B ，在OA 边取某个点i A 与OB 边 某个点j B 连接，得到i j AOB ∆，这样一一搭配，一共可得到 n 个三角形。
显然，不同的搭配方法，得到的i j AOB ∆ 不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大（或最小） 设,(,1,2,,)i i j j OA a OB b i j n ===，由已知条件，得 123123,n n a a a a b b b b <<<<<<<< 因为i j AOB ∆的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题：1212,,,,,,,n n c c c b b b 设是数组的任何一个排列 则1122n n S a c a c a c =+++何时取最大（或最小）值？ 我们把1122n n S a c a c a c =+++叫做数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 的乱序和. 其中, 1121321n n n n S a b a b a b a b --=++++称为 序和. 2112233n n S a b a b a b a b =++++称为 序和.这样的三个和大小关系如何?2、定理(排序不等式, 又称排序原理):12,n a a a ≤≤≤设12n b b b ≤≤≤为两组数, 1212c ,,,,,,n n c c b b b 是的任意一个排列, 则121321n n n n a b a b a b a b --++++1122n n a c a c a c ≤+++112233n n a b a b a b a b ≤++++. 当且仅当12,n a a a ===或12n b b b ===时, 等号成立.。
高中数学第2章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大版选修45
【自主解答】 不妨设 a≥b≥c，则 a＋b≥a＋c≥b＋c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b. 由排序不等式得，b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b，b＋a c＋c＋b a＋ a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b， 上两式相加 ，则 2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥3， 即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c 时，b＋a c＋c＋b a＋a＋c b取最小值32.
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【自主解答】 (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b，又 c>0，∴1c>0，从而b1c≥c1a.
同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c.
∵a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b.从而b1c≥c1a≥a1b.
(2)
由
(1)
知b1c
≥c1a≥
1 ab
，于
是由
“
顺序
和≥
乱
序和
”得
，
a5 b3c3
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[构建·体系]
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1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M≥N
C．M<N
D．M≤N
【解析】 由排序不等式，知 M≥N. 【答案】 B
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2．设 a，b，c 为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则 P 与 Q 的大
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[小组合作型] 利用排序(pái xù)不等式证明不等 式中所给字母的大小顺序已确定的 情况
已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba3c53＋cb3a53＋cc3b5 3≥1a＋1b＋1c.
北师版数学高二《不等式》名师教案
A选修4_5 不等式选讲课 题： 第14课时 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：1、重要的结论：已知x ，y 都是正数，则：(1)、如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2； (2)、如果和x+y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值241S 。
二、典型例题：例1、当x 取什么值时，函数2294xx y +=有最小值？最小值是多少？例2、求函数1622++-=x x x y （0≥x ）的最小值。
例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。
假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。
这台电脑使用多少年报废最合算？分析：例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。
假定它与桌面上A 点的水平距离是a ，那么电灯距离桌面的高度h 等于多少时，A 点处最亮？（亮度公式：θsin 2r kI =，这里k 为常数，r 是电灯到照射点的距离，θ分析：例5、求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当xx 322=即2123=x 时633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在x 使得xx x 2122==；解二错在x 62不是定值（常数）正确的解法是：33322236232932323232323232==⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322=即263=x 时3min 3623=y例6、若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值。
高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版
§2 排序不等式学习目标 1.了解顺序和、乱序和、逆序和的有关概念.2.掌握排序不等式的结构特征，并能应用排序不等式证明一些不等式．知识点 排序不等式思考 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少． 梳理 (1)顺序和、乱序和、逆序和的概念设实数a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3满足a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≥123123j j j a b a b a b ＋＋≥a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1，其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝a 3(或b 1＝b 2＝b 3)时取“＝”号．通常称a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3为顺序和，123123j j j a b a b a b ＋＋为乱序和，a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1为逆序和(倒序和)． (2)排序不等式①定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc ， 此式当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号． ②定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥(乱序和)1212a n j j n j b a b a b ＋＋＋≥(逆序和)a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1,2，…，n 的任一排列方式，上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号.类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，∴1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. ∴原不等式成立．反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明 因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0. 又0＜a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知，顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题 例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明 由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0，所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b， 注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b )＝a ＋b ＋c .故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )． 反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ， 则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二 利用排序不等式求最值 例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得 2⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋bc ＋a＋ca ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(逆)序和式，然后利用顺(逆)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值． 跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋ac (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 答案 n解析 设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ， 则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式，得逆序和≤乱序和≤顺序和， 故最小值为逆序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n . 4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明 由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a ≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、逆序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与逆”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz答案 B解析根据排序原理，逆序和最小，即az＋by＋cx最小．2．已知a，b，c＞0，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于零或等于零C．小于零D．小于零或等于零答案 B解析当a＝b＝c＝1时，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝0；当a＝1，b＝2，c＝3时，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝62.3．设a，b，c都是正数，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是( ) A．M≥0B．M≤0C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关D．不能确定答案 A解析不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.∵a 3≥b 3≥c 3，且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab ， ∴M ≥0.4．锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定答案 C解析 不妨设A ≥B ≥C ， 则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式可知，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )， 上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥ 12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B ) ＝P ＝a ＋b ＋c2，即Q ≥P .5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0， 则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N答案 B解析 ∵x ≥y ，∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是__________，最小值是________． 答案 32 28解析 由逆序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，逆序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头处接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________． 答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式，得⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )，∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________．答案 5解析 由所求代数式的对称性， 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥逆序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， 所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， 所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(a b ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n .因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n .又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)． 四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明 由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0＜x ≤y ≤z ， 于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由逆序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y ，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x. 将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n. 由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋x n －1·x ＋…＋1·x n，所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋xn －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，所以x ＋x 3＋…＋x 2n －1≥nx n.②①＋②，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n， 同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时， 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.。
《§2 排序不等式》学历案
《§2 排序不等式》学历案姓名：学生姓名班级：具体班级学号：学生学号一、主题与课时北师大版高中选修4 5第二章“几个重要的不等式”中的§2排序不等式，预计2课时。
二、课标要求1、理解排序不等式的基本概念和原理。
2、能够运用排序不等式解决简单的数学问题，提升数学推理和运算能力。
3、在探究排序不等式的过程中，体会数学思维的严谨性和逻辑性，培养逻辑推理等数学核心素养。
三、学习目标1、我能说出排序不等式的内容，就像能说出自己喜欢的明星的名字一样熟练。
2、我可以识别在不同的数集和问题情境中，什么时候可以使用排序不等式，就像能在一堆钥匙里找到开门的那把一样准确。
3、我能够运用排序不等式来解决一些简单的不等式证明和求最值问题，就像能轻松解开一个小谜题一样。
4、我要学会通过对排序不等式的探究，培养自己的逻辑思维能力，就像锻炼自己的小脑袋瓜变得更聪明一样。
四、评价任务1、通过完成课堂上的问答和小组讨论，检测我是否能达到目标1。
2、做一些专门设计的练习题，如果我能准确判断出是否使用排序不等式，就说明我达到了目标2。
3、解决一些有难度梯度的不等式证明和求最值的题目，如果大部分都能做对，那我就达到了目标3。
4、在整个学习过程中，观察我逻辑思维能力有没有提高，比如看我解题的思路是不是更清晰有条理了，这就能检测我是否达到目标4。
五、学习过程（一）情境导入咱们来想象一个有趣的场景。
学校要举办一场趣味运动会，有三个班级A、B、C，每个班级都有三名同学参加跳绳比赛。
这三名同学的跳绳水平不一样，咱们用数字来表示他们每分钟跳绳的个数。
A班的三名同学跳绳个数分别是100、80、60；B班的是90、70、50；C班的是85、75、65。
现在要进行团体比赛，怎么安排比赛顺序能让每个班的总成绩最好呢？这其实就和我们今天要学的排序不等式有点关系哦。
（二）任务一：排序不等式是什么1、先来看一些简单的数字排列。
假设有两个数组：＄a ＝＼｛1,2,3\｝＄和$b=＼｛3,2,1\｝＄。
北师版数学高二《不等式》 同步教学设计
选修4_5 不等式选讲课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。
a - 图1-1 a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。
如图1-2所示。
–a a 图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
方法1：分域讨论★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？）例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。
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§2排序不等式[自主学习]1．顺序和、乱序和、逆序和的概念设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n，bj1，bj2，…，bj n(其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式)，为b1，b2，…，b n的任一排列方式．则s1＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为顺序和；s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n称为乱序和；s3＝a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为逆序(倒序)和．2．排序不等式(1)定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc.此式当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．(2)定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n.则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n≥(逆序和)a1b n＋a2b n ＋…＋a n b1.－1其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝a n(或b1＝b2＝…＝b n)时取“＝”号．[合作探究]1．定理2中哪个和最大？哪个和最小？提示：顺序和最大，逆序和最小．2．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？提示：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. 本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a ≥b ≥c ，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．(1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ，又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca. 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c，∵a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab .从而1bc ≥1ca ≥1ab .(2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab ，于是由“顺序和≥乱序和”得，a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3(∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3)≥ c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．1．设0<a 1≤a 2≤…≤a n,0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一组排列，证明：a 1b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1. 证明：因为0<a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n .又因为0≤b 1≤b 2≤…≤b n ；故由排序不等式得：b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n ≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n ≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n于是得：ln(a 1b 1a 2b 2…a n b n )≥ln(a 1c 1a 2c 2…a n c n )≥ln(a 1b n a 2b n －1…a n b 1)． 又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)为单调增函数，于是a 1b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1.需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况＋a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.解答此题需要假设a ≥b ≥c 推出a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a ，再利用排序不等式进行论证．不妨设a ≥b ≥c ， 则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a .故由排序不等式，得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，① a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c，② (①＋②)÷2可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c .又∵a 3≥b 3≥c 3且1bc ≥1ac ≥1ab ，由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ，④ (③＋④)÷2可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b . 综上可知，a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证．2．已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：2⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋a 2＋c 2a ＋c ＋a 2＋b 2a ＋b .证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， ∴a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c .∴a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1a ＋c ≥1a ＋b .由排序不等式得：a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2a ＋c ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2a ＋c ＋a 2a ＋b . 两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋a 2＋c 2a ＋c ＋a 2＋b 2a ＋b. 3．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n .∴原不等式成立．本课时考点常以解答题的形式考查排序不等式在证明不等式中的应用．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证： a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1 ≥a 1＋a 2＋…＋a n .本题考查排序不等式及不等式的性质，证明不等式等基础知识，考查推理论证及求解能力．由所证不等式的对称性，不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ， ∴a 21≤a 22≤…≤a 2n，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序， 由“乱序和≥逆序和”得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ， 即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .一、选择题1．设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，P ＝a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．P ≥Q解析：设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，可知a 21≥a 22≥…≥a 2n ，a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11.由排序不等式，得a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 21a －11＋a 22a －12＋a 2n a －1n ， 即a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 1＋a 2＋…＋a n. ∴P ≥Q ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立． 答案：D2．设a ，b ，c 都是正数，M ＝bc a ＋ca b ＋abc ，N ＝a ＋b ＋c ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M ≤N解析：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ·1c ＋ac ·1b ＋bc ·1a ≥ab ·1b ＋ac ·1a ＋bc ·1c ，即M ≥N .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 答案：A3．已知a ，b ，c 都是正数，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( ) A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a B ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a C ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a D ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a解析：根据排序不等式，取两组数a ，b ，c 和a 2，b 2，c 2.不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2·a ＋b 2·b ＋c 2·c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．答案：B4．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有 Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A ＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .答案：C 二、填空题5．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n与n 的大小关系是________．解析：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，因为c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2…，a n 的一个排列，所以1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n 的一个排列，故由排序不等式：逆序和≤乱序和，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n ≥n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立．答案：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n≥n6．已知a ，b ，c 都是正数，则a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥________.解析：设a ≥b ≥c ≥0， 所以a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序原理，知ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a b ＋a ，① a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ，② ①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32.答案：327．设a ，b ，c 为正数，则a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ________a 10＋b 10＋c 10(填≥，>，≤，<)．解析：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ca ≥1ab， 故由排序不等式“顺序和≥乱序和”，得 a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式“逆序和≤乱序和”，得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a .② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10. 答案：≥8．设a ，b ，c ∈R ＋，则1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc __________1abc .解析：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2， ∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2·b ＋b 2·a ＝ab (a ＋b )． 同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤ 1ab (a ＋b )＋abc ＋1bc (b ＋c )＋abc ＋1ca (c ＋a )＋abc＝1a ＋b ＋c ·(1ab ＋1bc ＋1ca )＝1abc .答案：≤ 三、解答题9．在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC . 以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，① 又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )．得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①②得原不等式成立．10．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )3a b c++.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有： a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c ) 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )，故a a b b c c≥(abc )3a b c++.11．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)为增函数，y ＝cos x 在(0，π2)为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式“乱序和>逆序和”得sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．。