曲线上一点处的切线教案
2023最新-曲线运动教案(优秀9篇)
曲线运动教案（优秀9篇）作为一名默默奉献的教育工作者，通常会被要求编写教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
那么写教案需要注意哪些问题呢？它山之石可以攻玉，以下内容是为您带来的9篇《曲线运动教案》，希望能够满足亲的需求。
曲线运动教案篇一一。
教学内容：第一节曲线运动第二节运动的合成与分解要点1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。
2、知道物体做曲线运动的条件是所受的合外力的方向与它的速度方向不在一条直线上。
3、在一个具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动；知道合运动和分运动是同时发生的，并且互相不影响。
4、知道什么是运动的合成，什么是运动的分解，理解运动合成和分解遵循平行四边形定则。
5、会用作图法和直角三角形知识解决有关位移和速度的合成、分解问题。
重点、难点解析一、曲线运动1、曲线运动的速度（1）曲线运动的方向是时刻改变的。
（2）质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是在曲线上这一点的切线方向。
（3）曲线运动一定是变速运动。
，则曲线运动的平均速度应为时间t内位移与时间的比值，如下图所示1201731390 随时间取值减小，由下图可知时间t内位移的方向逐渐向A点的切线方向靠近，当时间趋向无限短时，位移方向即为A点的切线方向，故极短时间内的平均速度的方向即为A点的瞬时速度方向，即A点的切线方向。
style=#39;width:108pt;2、物体做曲线运动的条件运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3、曲线运动中速度方向与加速度方向的关系做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它的速度方向也不在同一直线上。
（2）速度（3）加速度（2）将船渡河的运动沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图所示，则为轮船实际上沿河岸方向的运动速度，为轮船垂直于河岸方向的运动速度。
当时：①要使船垂直横渡，则应使=0，此时渡河位移即实际航程最小，等于河宽d。
②要使船渡河时间最短，则应使最大，即当。
曲线的切线(详解)
曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
HPM视角下的“曲线上一点处的切线”教学
HPM视角下的“曲线上一点处的切线”教学*江苏省仪征中学(211400)邓迎春摘要切线概念的理解和掌握是微积分的基础,微积分的整个发展过程离不开本课涉及的“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想.笔者从HPM视角,用发生教学法来设计和实施“曲线上一点处的切线”的教学,让学生了解相关知识和思想的产生、发展过程,从而激发学生的学习兴趣,渗透数学文化,培养数学核心素养,增强人文情感.关键词切线;HPM;数学核心素养苏教版高中数学选修2-2第一章“导数及其应用”1.1.2的第一课时的内容是“曲线上一点处的切线”.此前,学生在必修2第二章“平面解析几何初步”的学习中对圆的切线有了认识,在选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”中又学习了圆锥曲线的切线,而在这一课时,教材从平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势出发,直接提出“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?”这一问题,并通过不断放大曲线上一点P附近的图形,得到曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,该直线l是经过P的所有直线中最逼近曲线的一条直线,称为曲线在点P处的切线.教材这样直截了当地给出一般曲线的切线问题,进而引入导数的概念,尽管相当节约教学时间,但存在如下缺点:没有向学生阐明以前已经有了切线的定义,这节课为什么又来研究曲线在一点处的切线的必要性,不能让学生产生足够的学习动机;没有从学生已有的知识出发,学生感受不到知识的发生发展过程,对切线的现代定义会感到突兀、茫然,不易接受.《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:“在教学中,可以组织学生收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料,包括一些重要历史人物(牛顿、莱布尼兹、柯西、魏尔斯特拉斯等)和事件,采取独立完成或者小组合作的方式,完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告.”而切线概念的理解和掌握是微积分的基础,微积分的整个发展过程离不开本课涉及的“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想.基于此,考虑到教材略去了切线概念的历史背景,笔者从HPM视角,用发生教学法来设计和实施“曲线上一点处的切线”的教学,让学生了解相关知识和思想的产生、发展过程,从而激发学生的学习兴趣,渗透数学文化,培养数学核心素养,增强人文情感.1史料概括切线历史从古希腊到文艺复兴经历了近两千年.从数学史的角度看,从圆的切线概念开始,人们对曲线的切线的认识,大致经历了四个过程.1.1圆的切线公元前3世纪,古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》第3卷中将圆的切线定义为“与圆相遇,但延长后不与圆相交的直线”.他认为切线与圆的公共点个数为1,切线不能穿过圆,圆位于切线的同一侧,切线与圆周之间不能再插入其他直线,切线与圆心至切点连线垂直.1.2圆锥曲线的切线在欧几里得之后,古希腊著名数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中将圆的切线定义推广到圆锥曲线的切线.与欧几里得看待圆的切线方式类似,阿波罗尼斯是从以下几个角度分析的:圆锥曲线位于切线的同一侧,切线和圆锥曲线之间不能在插入其他直线,切线与直径相应纵坐标线平行.1.3螺线的切线阿基米德(公元前287-公元前212)将螺线的切线看作是与螺线只有一个公共点,且落在螺线之外的直线.《论螺线》命题13:“若一直线与螺线相切,则他与螺线只接触于一点.”这里的螺线是针对第一圈而言的.由此可见,和欧几里得、阿波罗尼斯类似,阿基米德仍然从“公共点的个数”的角度来看切线.1.4一般曲线的切线从公元前3世纪之后,长达1800多年的时间里,切线问题都没有什么实质性的进展,直到17世纪,数学家因为解决光学、运动学和几何学等问题才重新对切线问题进行深入的研究.17世纪法国数学家费马和笛卡尔分别给出了割线逼近切线和通过法线来求切线的方法.17世纪下叶,切线为割线之极限位置的思想已经成为数学家的共识,这样,人们对切线的认识才从几何直观阶段上升为分析阶段.2教学设计基于切线定义的产生和切线方法推导的历史背景和历史方法,我们可以拟定“曲线上一点处的切线”的教学目标:(1)从具体情境中抽象出切线模型,像数学家一样“再发*本文是江苏省中小学教学研究室第十二期教研立项课题“HPM视角下高中数学教学设计的实践研究”(2017JK12-L210)的阶段性成果”.现”“再创造”出切线的定义,体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想;(2)掌握用割线逼近切线的具体求解过程.在具体教学中,重构、借鉴切线定义产生和方法求解的历史,我们可以设计“圆的切线的定义”—“圆锥曲线切线的定义”—“一般曲线切线的定义”—“由形到数具体求解切线方程”的流程,并且用问题串的形式链接每个环节,引导学生积极发现,主动探究.3教学设计和实施3.1设置情境,激发兴趣问题1一束光线照射到光滑的玻璃球上一点,同学们能作出它的反射光线吗?问题2一个物体在水中随着水波做正弦运动,你能知道它在某一刻的运动方向吗?学生动手模拟作图,并分组讨论,老师点评.总结出上述问题都和曲线的切线有关,并介绍研究曲线的切线历史原因—–17世纪数学家遇到的三类问题.第一类是光的反射问题.早在公元1世纪,古希腊数学家海伦(Henon)就已经证明了光的反射定律:光射向平面时,入射角等于反射角.海伦还将该定律推广到圆弧的情形,此时入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等.那么,对于其他曲线光是如何反射的呢?第二类是曲线运动的速度问题.对于直线运动,速度方向与位移方向相同或相反,但如何确定曲线运动的速度方向呢?第三类是曲线的交角问题.即如何求两条相交曲线所构成的角呢?这三大问题都需要确定曲线的切线.设计意图:创设情境是教学设计的重要内容之一.本节课笔者历史问题的引入,由已知的平面的反射引申到曲面的反射,由直线运动速度的方向引申到曲线运动某点速度的方向,引出本节课的课题,再辅以历史知识.M.克莱因所说:“历史是教学的指南”,要以史为镜,以史为鉴,教师有必要向学生介绍为什么需要研究曲线的切线的历史原因,首先,一门学科的历史知识乃是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”“有助于使该学科更具吸引力”(Cajori,1899),能够激发学生学习兴趣,使他们树立正确的价值观.其次,一门学科的历史是这门学科的教学指南,因为学生的理解具有历史相似性:“学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”(Cajori,1899).通过历史的解说,教师可以让学生明白:数学并不是一门枯燥呆板的学科,而是一门不断进步的生动有趣的学科.将数学史引入教学,可以激励、唤醒、鼓舞学生,激发学生的学习动力和好奇心,调动求知欲,发展创造思维,培养发现精神.同时,在问题情境中,需要用数学的眼光观察世界,将实际问题转化为数学问题,培养了学生数学建模的核心素养.3.2复习回顾,引出课题问题3我们已经学过哪些曲线的切线?又是如何定义的?学生自主回顾并回答:首先学习的是圆的切线,当直线和圆有且只有一个公共点时直线和圆相切,而这个定义已经不满足直线和圆锥曲线相切的定义.直线和双曲线的渐近线平行时,直线可能与双曲线有一个公共点,但这时不是相切,直线和抛物线的对称轴平行时,直线和抛物线也只有一个公共点,这时仍不是相切.教师总结,简单介绍切线的数学史并提问:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(欧几里得《几何原本》),与圆锥曲线有一个公共点且全在圆锥曲线之外的直线是圆锥曲线的切线(阿波罗尼斯《圆锥曲线论》).但这些特殊曲线的切线的定义能不能用来解决问题2中的正弦函数图像上某点的切线问题呢?由此,发现之前切线的定义已经不能满足一般曲线的需要,从而引出课题—–曲线上一点处的切线.设计意图:知识的产生和发展需要推动力,一方面是生产生活的需要,另一方面是知识内部发展的需要.切线的发展历史上经历了近1800年,而学生在之前已经学过了圆和圆锥曲线的切线,那今天为什么又要研究切线的必要性必须跟学生交待清楚,是因为要研究一般曲线的切线问题,但原先已有的切线定义已经不适合一般曲线的切线的定义,所以我们才需要进一步的研究和学习.通过回顾、发现问题再来研究新的知识,用数学的思维思考世界,在逻辑上和情感上学生都更容易接受.3.3大胆猜测,理性探究问题4问题1和2都和曲线上某点的切线有关,那如何做出曲线在该点处的切线呢?学生讨论,大胆猜想:利用转化和化归的思想,可否将曲线转化成直线?师提示(图片展示):联想“天圆地方”,在天空拍摄的地球是圆的,而我们所处的地域感觉是平的,问什么呢?学生受到启发:可以将曲线在某点处无限放大.教师利用多媒体展示曲线在点附近放大的图像.从图1来看:(1)曲线在点P附近看上去几乎成了直线l.(2)继续放大,曲线在点P 附近将逼近一条确定的直线l ,这条直线是过P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线.图1(3)在点P 附近可以用这条直线l 代替曲线(在很小的范围内以直代曲),那么可以用直线的斜率来刻画曲线经过点P 时上升或下降的“变化趋势”.问题5过点P 的直线有无数条,怎样找到曲线在过点P 处的最逼近曲线的直线l 呢?如图2,直线l 1,l 2为经过曲线上一点P 的两条直线.(1)试判断那一条直线在点P 附近更加逼近曲线?(2)在点P 附近能作出一条比l 1,l 2更加逼近曲线的直线l 3吗?(3)在点P 附近能作出一条比l 1,l 2,l 3更加逼近曲线的直线l 4吗?学生动手操作,并相互比对.设计意图本模块内容是本节课的思维重点.眼见为实,通过多媒体展示的曲线在其上一点P 处的逐渐放大的过程可以让学生体会曲线在很小范围内以直代曲的数学思想;动手成真,让学生通过观察、自主画图用割线斜率逼近切线斜率的方法作曲线在某点处的切线过程可以体会无限逼近的数学思想而割线斜率逼近切线斜率又是“以直代曲”的一种数量化.本模块中又借助了几何直观感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题,培养了学生直观想象的数学核心素养.本模块的处理只有学生的亲历,体悟才能深切.3.4意义建构,概念生成请同学抽象概括曲线上一点处的切线的定义,其余同学补充完善.切线的定义:如图3,设Q 为曲线C 上不同于P 的一点,这时,直线P Q 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动,割线P Q 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时,直线P Q 最终成为在点P 处最逼近曲线的直线l ,这条直线l 称为曲线在点P 处的切线.学生活动(投影学生作品):(1)请同学用“割线逼近切线”的思想方法作出圆上一点P 处的切线.(2)请同学用“割线逼近切线”的思想方法作出问题2中,物体在正弦曲线上一点P 处的切线.并请学生自主、合作归纳总结本模块活动的意义:(1)用“割线逼近切线”的思想方法作出切线适合所有曲线;(2)作圆的切线时用“切线与圆心至切点连线垂直”这个更方便;(3)从切点个数看,切线与曲线的公共点的个数可以不止一个,而联系圆锥曲线,会发现当直线和曲线公共点个数只有一个时也不一定相切.教师点评:同学们归纳的很好.切线是割线无限逼近的,直线和曲线的公共点的个数可以用来判定之前的直线和圆,直线和椭圆的相切,但已经不能用于判定直线和一般曲线是否相切问题.切线的发展历史上经历了近1800年,从公元前3世纪圆的切线和圆锥曲线切线定义之后,又经过了1800多年,到17世纪,为了解决光学、运动学和几何学等问题,才重新对切线进行深入的研究,法国数学家费马和笛卡尔分别给出了割线逼近切线和通过法线来求切线的方法.17世纪下叶,切线为割线之极限位置的思想已经成为数学家的共识,这样,人们对切线的认识才从几何直观阶段上升为分析阶段.任何知识的产生、发展都不是一蹴而就、一帆风顺的,要经过不断地继承、发展和完善.图2图3图4设计意图1、概念生成过程中,很好的培养了学生数学抽象的核心素养;2、因为需要解决新问题而对某知识的进一步研究,从而产生新的理论,一般来说新的理论要满足两点:一是解决了新问题,二是还要满足老问题.本模块设计了两个学生活动,用新的思想方法解决了问题情境中提出的两个问题,得到一系列的结论,联系了旧知,又巩固了新知,潜移默化中发展了学生的问题意识和创新意识;3、教师点评时,介绍切线漫长、曲折的数学史,培养了学生对待数学知识正确的情感态度和价值观,有助于帮助学生形成理性思维和科学精神.3.5学以致用,巩固升华问题6我们从“形”的角度,采用割线无限逼近的方法找到了曲线在点P 处的切线l ,能否从“数”的角度求出切线呢?师生共同探讨解决问题.如图4,设曲线C 上一点P (x 0,f (x 0)),过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x 0+∆x,f (x 0+∆x )),则割线P Q的斜率为k P Q=f(x0+∆x)−f(x0)(x0+∆x)−x0=f(x0+∆x)−f(x0)∆x当点Q沿曲线C向点P运动,并无限靠近点P时,割线P Q逼近点P处的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当∆x无限逼近于0时,f(x0+∆x)−f(x0)∆x无限逼近于点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.例1已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.学生分析:为求得过点(2,4)的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任一一条割线入手.教师规范板书:设P(2,4),Q (2+∆x,(2+∆x)2),则割线P Q的斜率为k P Q=(2+∆x)2−4∆x=4+∆x.当∆x无限趋近于0时,割线P Q斜率无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为4.学生整理解题步骤(口答,其余同学补充):1、写出定点P(x0,f(x0))的坐标,设动点Q(x0+∆x,f(x0+∆x))的坐标;2、求出割线斜率k P Q=f(x0+∆x)−f(x0)(x0+∆x)−x0=f(x0+∆x)−f(x0)∆x3、化简割线斜率;4、当∆x无限趋近于0时,割线斜率“逼近”一个常数,即为切线斜率.设计意图数缺形时少直观,形少数时难入微.本模块从数的角度具体求曲线上一点处的切线.让学生用数学的语言表达世界,根据定义将文字语言转化为数学语言,符号语言,再通过例题的具体求解,总结出一般步骤,培养了学生数学抽象、逻辑推理、数学计算和直观想象的数学核心素养.3.6回顾反思师:请同学们回顾本节课的学习流程,反思本节课的学习收获.生:学习了切线一般化的概念,会求曲线在一点处的切线的斜率.生:学习了“以直代曲”“无限逼近”的数学思想,强化了“数形结合”,“特殊与一般”的数学思想.生:还了解了切线的历史,知道了它的发生发展过程.师:很好!同学们分别从本节课知识层面,思想方法层面和历史发展层面总结了本节课.那同学们觉得这节课之后还将学习哪些内容?生:研究较为复杂的函数图像在一点处的切线的斜率.生:求切线方程.生:已知切线上一点,但它不一定是切点,求切线方程.师:很不错.我们不仅看到现在,还能想象未来.曲线在一点处的切线的斜率是导数的几何意义,当然,我们高中阶段研究导数,主要目标是研究导数在函数中的应用,后面我们将学习利用导数处理函数的单调性、最值等问题.设计意图反思是对思维过程、思维结果进行再认识的检验过程,它是学习中不可或缺的重要环节.通过反思本节课的整个流程,在HPM的视角下,可以让学生不再是孤立的接受一个知识,而是将历史、现在,甚至未来连成一条线,动态地、整体地掌握.4教学反思4.1重视历史相似性的教学方法M.克莱因说:“我坚信历史顺序是教学的指南.”个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程,个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序,教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段.切线的发展历史上大致经历了四个过程,从圆的切线,圆锥曲线的切线,螺线的切线到曲线的切线,而根据课本教材的顺序,也是大致按照这样一个过程,所以在教学时我们不妨基于历史的顺序,遵循学生已有的认知基础,用发生教学法来设计教学流程.4.2融合数学史,启用问题引领,让学生主动参与探究过程本节课共设计了6个主体问题.从历史问题引入本节课的关键词—切线,再回顾旧知发现圆的切线和圆锥曲线的切线的定义的局限性,创造学生的认知冲突,导出新知:如何解决一般曲线上一点处的切线,师生共同探索得到切线的定义,再解决疑惑,应用新知,问题环环相扣,层次清晰、逻辑性强,学生受到问题的引领和启发,不间断的思考,讨论,主动参与,积极探索,很大程度的调动了学生的主观能动性.学生在整个过程中,以一个研究者的角度,从已有知识出发,在历史的长河中充分感受到切线知识的产生和发展完善的过程,而在“再创造”的过程中,可以较为自然地接受切线的分析定义.参考文献[1]吴甬翔,汪晓勤.曲线的切线:从历史到课堂[J].高等理科教育,2009(3):38-43.[2]刘洪华.基本活动经验视角下“曲线上一点处的切线”[J].上海中学数学,2015(3):15-17.。
高中物理第五章“曲线运动”全章教案(高一)
05.1曲线运动一、教学目标：1、知道什么是曲线运动；2、知道曲线运动中速度的方向是怎样确定的；3、知道物体做曲线运动的条件。
二、教学重点：1、什么是曲线运动2、物体做曲线运动的方向的确定3、物体做曲线运动的条件三、教学难点：物体做曲线运动的条件四、教学方法：实验、讲解、归纳、推理法五、教学步骤：导入新课：前边几章我们研究了直线运动，下边同学们思考两个问题：1、什么是直线运动？2、物体做直线运动的条件是什么？在实际生活中，普遍发生的是曲线运动，那么什么是曲线运动？本节课我们就来学习这个问题。
新课教学（一）用投影片出示本节课的学习目标1、知道轨迹是曲线的运动，叫做曲线运动。
2、理解曲线运动是一种变速运动。
3、知道物体做曲线运动的条件。
（二）学习目标完成过程1、曲线运动（1）放录像，展示几种物体所做的运动a：导弹所做的运动；汽车转弯时所做的运动；人造卫星绕地球的运动；b：归纳总结得到：物体的运动轨迹是曲线。
（2）提问：上述运动和曲线运动除了轨迹不同外，还有什么区别呢？（3）用CAI课件对比小车在平直的公路上行驶和弯道上行驶的情况。
学生总结得到：曲线运动中速度方向是时刻改变的。
−过渡：怎样确定做曲线运动的物体在任意时刻的速度方向−→呢？2：曲线运动的速度方向（1）放录像：a：在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出；b：撑开的带着水的伞绕伞柄旋转，伞面上的水滴沿伞边各点所划圆周的切线方向飞出。
（2）分析总结得到：质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向。
（3）推理：a：只要速度的大小、方向的一个或两个同时变化，就表示速度矢量发生了变化。
b：由于做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，所以曲线运动是变速运动。
−过渡：那么物体在什么条件下才做曲线运动呢？−→3：物体做曲线运动的条件（1）用CAI课件模拟实验：一个在水平面上做直线运动的钢珠，如果从旁给它施加一个侧向力，它的运动方向就会改变，不断给钢珠施加侧向力，或者在钢珠运动的路线旁放一块磁铁，钢珠就偏离原来的方向而做曲线运动。
高中数学教案【6篇】
高中数学教案【6篇】篇一：中学数学优秀教案篇一教学目标：1、理解并驾驭曲线在某一点处的切线的概念；2、理解并驾驭曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；3、理解切线概念实际背景，培育学生解决实际问题的实力和培育学生转化问题的实力及数形结合思想。
教学重点：理解并驾驭曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法。
教学难点：用无限靠近、局部以直代曲的思想理解某一点处切线的斜率。
教学过程：一、问题情境1、问题情境。
如何精确地刻画曲线上某一点处的改变趋势呢？假如将点P旁边的曲线放大，那么就会发觉，曲线在点P旁边看上去有点像是直线。
假如将点P旁边的曲线再放大，那么就会发觉，曲线在点P旁边看上去几乎成了直线。
事实上，假如接着放大，那么曲线在点P旁边将靠近一条确定的直线，该直线是经过点P的全部直线中最靠近曲线的一条直线。
因此，在点P旁边我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P旁边，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）。
2、探究活动。
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，（1）试推断哪一条直线在点P旁边更加靠近曲线；（2）在点P旁边能作出一条比l1，l2更加靠近曲线的直线l3吗？（3）在点P旁边能作出一条比l1，l2，l3更加靠近曲线的直线吗？二、建构数学切线定义：如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线。
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P旁边靠近曲线C，当点Q无限靠近点P时，直线PQ 最终就成为经过点P处最靠近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线。
这种方法叫割线靠近切线。
思索：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？三、数学运用例1 试求在点（2，4）处的切线斜率。
解法一分析：设P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），则割线PQ的斜率为：当Q沿曲线靠近点P时，割线PQ靠近点P处的切线，从而割线斜率靠近切线斜率；当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4。
高一物理教案设计(优秀5篇)
高一物理教案设计（优秀5篇）篇一：高一物理必修一教案篇一教学目标【教学目标】1、知道曲线运动是一种变速运动，它在某点的瞬时速度方向在曲线这一点的切线上。
2、理解物体做曲线运动的条件是所受合外力与初速度不在同一直线上。
3、培养学生观察实验和分析推理的能力。
4、激发学生学习兴趣，培养学生探究物理问题的习惯。
教学重难点【重点难点】1、重点：曲线运动的速度方向；物体做曲线运动的条件。
2、难点：物体做曲线运动的条件。
教学过程【教学过程】复习提问前边几章我们研究了直线运动，同学们思考以下两个问题：1、什么是直线运动？2、物体做直线运动的条件是什么？在实际生活中，普遍发生的是曲线运动，那么什么是曲线运动？本节课我们就来学习这个问题。
新课学习展示图片：卫星绕地球的运动人造地球转弯的火车这几幅图中物体的运动轨迹有何特点？（轨迹是曲线）请大家举出一些生活中的曲线运动的例子一、曲线运动的速度方向：1思考：曲线运动与直线运动除了运动轨迹不同，还有什么区别？2.观察课本P32图6.1-1和图6.1-2思考：砂轮打磨下来的炽热微粒。
飞出去的链球，它们沿着什么方向？3、讨论或猜测，曲线运动的速度方向应该怎样？4、是不是象我们大家猜测的这样呢？让我们来看一个演示实验：教师演示课本P32演示实验验证学生的猜测，从而得到结论：曲线运动速度的方向：切线方向5、什么是曲线的切线呢？结合课本P33图6.1-4阅读课本P33前两段加深曲线的切线的理解。
6、阅读课本P33第四段，试分析推理曲线运动是匀速运动还是变速运动？速度是________（矢量。
标量），所以只要速度方向变化，速度矢量就发生了________，也就具有________，因此曲线运动是________。
二、物体做曲线运动的条件：1、提出问题：既然曲线运动是变速运动，那么由可知具有加速度，又由可知受力不为零，那到底有什么样的特点呢？2、实验探究器材：光滑玻璃板小钢球磁铁演示：小钢球在水平玻璃板上做匀速直线运动。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：一、曲线切线概述二、求曲线切线的方法1.直角三角形法2.切线斜率法3.导数法三、实例分析四、曲线切线的应用五、总结与展望正文：一、曲线切线概述曲线切线是指在曲线上的某一点，与该点处曲线相切的直线。
在数学、物理等领域中，求曲线切线有着广泛的应用。
掌握曲线切线的求法，有助于我们更好地理解和分析曲线性质，为后续研究打下基础。
二、求曲线切线的方法1.直角三角形法直角三角形法求曲线切线的基本思路是：在曲线上的某一点作一条垂直于该点处曲线的直线，与曲线交于另外两点，构成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
2.切线斜率法切线斜率法是指在曲线上的某一点，通过计算曲率来求得切线斜率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个指标，其数值越大，曲线的弯曲程度越大。
根据曲率可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
3.导数法导数法是指利用曲线在某一点的导数值来求得切线斜率。
导数表示曲线在该点处的切线斜率，因此可以直接作为切线斜率的近似值。
求得切线斜率后，可以得到切线方程。
三、实例分析以抛物线为例，设抛物线方程为y = ax^2 + bx + c。
在抛物线上任取一点（x0，y0），求该点的切线方程。
首先，求抛物线在点（x0，y0）处的导数：y" = 2ax + b然后，将x0代入导数公式，得到切线斜率：k = y"(x0) = 2ax0 + b最后，根据切线斜率和点（x0，y0）可以求得切线方程：y - y0 = k(x - x0)四、曲线切线的应用曲线切线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如求解曲线与坐标轴的交点、计算曲线长度、求解曲线的曲率等。
在实际问题中，掌握曲线切线的求法有助于解决许多实际问题。
五、总结与展望本文介绍了曲线切线的概念，以及求曲线切线的直角三角形法、切线斜率法和导数法。
通过实例分析，了解了如何在抛物线上求切线方程。
曲线切线在实际问题中具有广泛的应用，值得我们深入研究。
过椭圆双曲线上任意一点作切线的新方法
过椭圆双曲线上任意一点作切线的新方法假设我们有一个椭圆双曲线，由以下方程给出：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b是椭圆的半长轴和半短轴。
现在，假设我们要确定椭圆上任意一点P（x0, y0）处的切线。
我们可以将切线表示为一般方程y = mx + c，其中m是切线的斜率，c是切线与y轴的截距。
首先，我们假设一个x方向的小变化dx，然后使用该变化来计算相应的y方向的小变化dy。
通过对椭圆方程进行微分，我们可以得到：$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx}(1)$$2x\frac{dx}{dx}\frac{1}{a^2} + 2y\frac{dy}{dx}\frac{1}{b^2} = 0$简化后，我们得到：$x + y\frac{dy}{dx}\frac{a^2}{b^2} = 0$现在，我们可以使用该方程来计算dy：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}$根据切线的斜率定义，我们有m = dy/dx。
因此：$m = -\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}$接下来，我们将使用这个斜率来计算切线的截距。
$y0=m*x0+c$解出c，我们得到：$c=y0-m*x0$现在，我们可以使用斜率m和截距c，以及点P的坐标，来确定椭圆上任意一点P处的切线。
总结起来，过椭圆双曲线上任意一点作切线的新方法如下：1. 给定椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$和点P （x0, y0）。
2. 计算切线的斜率m：$m = -\frac{x0}{y0}\frac{b^2}{a^2}$。
3.计算切线的截距c：$c=y0-m*x0$。
4. 切线的方程为y = mx + c。
曲线运动教案(汇总13篇)
曲线运动教案（汇总13篇）篇1：曲线运动教案一、教学目标1.知识与技能(1)知道曲线运动是一种变速运动，它在某点的瞬时速度方向在曲线这一点的切线上;(2)理解物体做曲线运动的条件是所受合外力与初速度不在同一直线上.2.方法与过程(1)类比直线运动认识曲线运动、瞬时速度方向的判断和曲线运动的条件;(2)通过实验观察培养学生的实验能力和分析归纳的能力.3.情感态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生探究物理问题的习惯.二、教学重难点1.曲线运动中瞬时速度方向的判断2.理解物体做曲线运动的条件三、教学过程1.新课导入，引入曲线运动教师：在必修一里我们学习了直线运动，我们知道物体做直线运动时他的运动轨迹是直线，需要满足的条件是物体所受的合力与速度的方向在同一条直线上。
但在现实生活中，很多物体做的并非是直线运动，比如玩过山车的游客的运动、火车在其轨道上的运动、风中摇曳着的枝条的运动、人造地球围绕地球的运动(图片)。
问题1：在这几幅图片中，物体的运动轨迹有什么特点?(运动的轨迹是一条曲线)教师：我们把像这样运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。
设计意图：通过复习直线运动引入生活中更为常见的曲线运动，并借助实例归纳出曲线运动的概念，帮助学生认识曲线运动。
2.曲线运动的方向问题2：我们知道物体在做直线运动时，物体的速度方向始终是保持不变的，那么在做曲线运动时，物体的速度的方向又有什么特点呢?(方向时刻在改变)问题3：那么，我们该如何确定物体做曲线运动时每时每刻所对应速度的方向呢?教师：我们来猜想一下，钢珠从弯曲的玻璃管中滚落出来，运动方向会是下面那一种情况呢?学生：猜想教师：现在咱们从理论上分析一下，钢珠从弯曲玻璃管中滚落出来的运动方向当B点无限接近A点时，这条割线变成了曲线在A点的切线，这一过程中AB段的平均速度变成了A点的瞬时速度，瞬时速度的方向沿切线方向。
所以钢珠从弯曲玻璃管中滚落出来的运动方向也应该沿试管出口处的切线方向。
《导数的概念——曲线的切线》说课稿
案例与课例导数的概念(一)———曲线的切线(说课稿)(重庆市第八中学 400030) 周迎春1 教材分析1.1 地位和作用曲线的切线内容是人教版选修Ⅱ第三章第一节(导数的概念)的重要部分,它是学习了极限知识后进一步学习导数的引入课,起着承前启后的作用.且曲线的切线斜率是本章将要学习的主要内容———导数的几何意义.因此本节内容是学习本章的主要引子和奠基,其核心概念是曲线在一点处的切线及切线斜率的极限定义,核心思想是极限思想.1.2 学情分析高三学生已有较好的知识基础(与本节内容相关的圆及圆锥曲线的切线知识,极限知识等),探究能力和学习能力需进一步增强,认识问题的能力正逐步从感性经验向理性转化,需进一步从观念和深度上发展.因此,教学时更应加强对学生能力的训练和培养,更应从观点和方法上进行指导.教学过程中,学生可能遇到的难点主要是用极限的思想方法思维问题(在学生已有的思维经验中体验较少).2 教学目标及制定目标的依据2.1 知识、技能目标(一个理解,一个掌握)(1)理解曲线在一点处的切线及切线斜率的极限定义.(2)掌握曲线在一点处的切线方程求法.制定目标的依据:本节课是一堂概念型操作课.因此,教学时应在加深学生对曲线的切线﹑切线斜率的极限定义理解的基础上,进一步掌握切线斜率的极限数学模型及应用,为后续学习奠定基础.2.2 能力目标(两个善于)(1)培养学生善于从实际问题中去发现问题,并将其转化为数学模型的能力.(2)培养学生善于用运动变化的观点去认识问题的能力.制定目标的依据:数学源于生活,又服务于生活,这正是数学强大生命力的根源所在.《基础教育课程改革纲要》明确指出:“教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展,应引导学生质疑﹑调查﹑探究,在实践中学习.”因此,教学时应注意培养学生从实际问题中去发现问题,并将其转化为数学问题的能力,使其逐步形成用数学思想、数学方法解决实际问题的意识和习惯,这正是新课程改革的要求.同时,世界万物是运动变化的,运动是绝对的,注意培养学生用运动变化的观点认识问题的能力也很重要.2.3 情感、态度、价值观目标(两种精神)(1)培养学生主动探索,勇于发现的科学精神.(2)新旧知识对比教学,培养学生科学求实的精神,使学生养成用批判的、发展的观点认识客观事物的思维品质.制定目标的依据:教育不应只是教师传授给学生某学科的知识,而是要培养学生在学习过程中积极探究、体验﹑发现的科学精神.更应指导学生学会认识问题的思想和方法.3 教学重点和难点(结合教材内容、学生认知水平及新课程改革的要求确定)3.1 教学重点理解曲线在一点处的切线及切线斜率的极限定义,掌握曲线在一点处切线方程的求法.3.2 教学难点理解切线的极限定义及切线斜率的极限数学模型建立.92案例与课例4 教学方法与手段教学方法:发现式探究教学法(本节课是概念性操作课,若直接给出切线的概念,学生很容易因概念的教条化、难理解而索然无味.依据这一点,选取教学角度时,不是直接讲解切线的定义是什么,而是充分利用新旧知识的联系与区别(已有的圆及圆锥曲线的切线定义对某些复杂曲线不适用),引起学生的认知冲突,激起学生主动去探究、发现新知识的求知欲.然后通过学生观察多媒体演示,在教师的问题启发下从“形、数”两个角度思考、体验,自己探究发现切线的定义及切线斜率的极限数学模型.)教学手段:多媒体辅助教学.通过多媒体的形象演示及动感体验加深学生对概念的理解.5 教学过程设计5.1 课题引入抓住数学源于生活﹑服务于生活的特点,课堂首先从学生身边的、生活中最常见的最优化问题(罐装汽水、可乐等圆柱形容器在容积一定时,怎样能让其用料最省等)引入本章将要学习的主要内容---导数,然后由导数的最初研究史进一步引入本节课的正题.这样引入,学生对枯燥难学的数学会有一种亲切感,感觉它不陌生,就在身边,用于日常生活.5.2 探究新知(1)重现相关知识,铺垫新知建构.(观察图片,回顾曾学过的圆及圆锥曲线的切线定义(与曲线只有一个公共点,且位于曲线的一侧),创设问题情景)(2)引起认知冲突,激发探究欲望.(学生观察另一图片,发现已有的切线概念对某些复杂曲线不适用(直线与曲线只有一个公共点,却不是曲线的切线,直线与曲线有两个公共点,但从形象和感知判断它却是曲线在某点处的切线),引起学生的认知冲突,激起学生的求知欲,激发学生主动去探索﹑发现曲线的切线本质到底是什么?)(3)体验、探究、发现,获取新知.(在教师的引导下,学生观察、体验、探究、发现曲线的切线及切线斜率的极限定义.)这是本节课的一个重点和难点.为突破它.首先,“形”的探究.多媒体动态演示辅助教学,引导学生用运动的观点去认识曲线的切线(这符合客观事物运动变化的本质规律),尤其引导学生观察、体验点Q向P点无限接・・・・近的过程(此时可用语调变化启发思维的着力点),使学生能从“形”的角度观察、体会、发现:曲线y=f(x)在点P处的切线就是过点P的一条割线上的动点Q无限接近点P时,割线PQ的极限位置.(怎样进一步研究曲线的切线?一般的方式是求出切线方程,这就需要进一步确定切线斜率,怎样求切线斜率的代数表示?)第二,“数”的探究.学生再观察曲线的切线的产生过程,从“数”的角度进一步探究切线斜率的数学模型,通过观察、探究,学生自己发现:切线是割线的极限位置,它的斜率也是割线斜率的极限,割线PQ的斜率为k PQ=ΔyΔx(引导学生观察图片得),那么,切线PT的斜率到底怎样刻画?(这又是一个难点,点Q向点P无限接近的过程怎样用数学表达式刻画?)此时,先引导学生得出Δy的变化依赖于Δx(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)),于是PQ到P T的斜率变化只需考虑Δx的变化趋势.再观察演示,学生发现点Q向点P无限接近应刻画为Δx→0.对学生的这一认识给予肯定(强化极限思想),指出它对以后进一步学习微积分学、高等数学乃至其他学科都将非常有用.第三,形数结合(师生共同)得出切线斜率的“数”的模型:K PT=lim△x→0K PQ=lim△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x.(4)例题解析、练习反馈例题、练习题的选取,应结合学生的认知特点,由浅入深.例1选取教材上的例题,主要让学生在理解切线及切线斜率的极限定义后体会切线斜率的求法(并引导学生一起提炼求曲线在某点处切线的具体步骤:①求切线斜率K=lim△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x,②点斜式写切线方程).课堂练习(1)由教材练习题改编,旨在让学03案例与课例生熟悉掌握切线的求法.练习(2)的练习情况可能将出现一些问题,此时,可通过实物投影展示学生练习的情况,对做得好的肯定表扬作样板,对存在问题的解答提醒所有同学注意(这样,一方面教师可根据学生掌握的情况进行及时的教学反馈与调节.另一方面可充分利用学生的练习结果生成的教学资源,提高教学效益.这正是新课程理念下充分开发课程资源的一种方法,符合新课程改革的要求).同时,针对练习(2)中存在的问题逐步板书,以进一步促进学生对切线方程求法的规范掌握,借此巩固上一章所学的极限知识.(5)变式探究、加强反思(求曲线y=x2过点(3,5)的切线方程)学生基本掌握了切线的定义及方程求法后给出这一问题.该问题的设计旨在让学生凭借已有认知经验得出错误结论后通过相互讨论、探究、发现研究切线问题的本质:研究曲线过一点的切线问题时,关键要弄清该点是否为切点.这极好地反馈了学生对切线问题的认识情况和深刻程度,并通过学生犯错后的反思、归纳、总结加深对知识概念的理解.5.3课堂小结(小结从知识和思想方法两个角度)(1)知识小结:曲线在一点处的切线及切线斜率的概念,切线斜率及切线方程的求法.(2)思想方法小结:①利用极限思想研究问题的方法.②数形结合的思想.③将实际问题抽象转化为数学问题的建模方法.④用运动的、发展的、批判的观点认识客观事物的方法.5.4 作业布置(1)教材上的课后练习(巩固切线方程的求法).(2)研究性问题:研究运动物体瞬时速度的求法.(学生已有一定的运动学知识,结合切线定义及切线斜率的极限数学模型的理解去探究瞬时速度的求法,以此进一步加深学生对方法的理解,加强对其自学、探究能力培养(这符合认识事物螺旋上升的客观规律,也符合本节课的设计目的))6 教学设计说明6.1 理论依托说明教学设计依托建构主义.建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的,而是认知主体积极建构的”.本节课的整个教学过程,教师都不直接告诉学生是什么,而是在学生已有认知基础上,通过问题情景创设,激发学生思维,让学生主动去观察、体验、探究发现结论,建构新知识.6.2 教学过程推进说明教学过程推进采用问题驱动.问题是数学的心脏,问题能牵动学生思维.本节课主要是用极限思想研究曲线的切线及切线斜率,而学生已有的认知基础中,用极限的思想进行思维的经验很少.因此,教学过程中主要通过教师的恰当设问激发、牵动学生思维,形成师生互动,层层推进,探究学习.(几个关键环节的设问如下)①已有圆及圆锥曲线的切线定义对某些复杂曲线不适用,怎样定义曲线的切线更科学?(该问题旨在回顾已有圆及圆锥曲线的切线概念后引起学生的认知冲突,激起学生思维,激发学生主动去探究﹑发现曲线的切线的科学定义,形成师生互动,探究学习.)②点Q沿着曲线向点P无限接近时,割线PQ 无限地向切线PT靠近.能否根据这种变化过程来定义切线呢?无限靠近・・・・又该怎样理解?(该问题旨在引导学生观察、探究发现切线定义,并启发其从极限角度思考.)③怎样进一步研究曲线的切线?一般的方式应是求出切线的方程,这就需要进一步确定切线的斜率,怎样求切线斜率的代数表示?(该问题旨在学生观察、探究、发现曲线的切线“形”的概念之后,激发学生继续探究切线斜率的极限数学模型的思维.)6.3 课堂结构设计说明.①引入课题,进入正题(5分钟)②体验、探究、发现,建构新知(重点和难点, 20分钟)③例题解析,练习反馈(加深对切线及切线斜率极限定义的理解,10分钟)④变式探究,加强反思(学生充分思考、讨论、13课改前线走进高中数学新课程的几点认识(浙江省泰顺一中 325500) 吴旭鸯 (浙江省泰顺县第七中学 325500) 王世美 实施高中数学新课程是一场“既试验课标又试验教材”的数学教育变革,在实施过程中,施教者难免会遇到诸多困惑和问题,如模块教学的理解、学习方式的转变、教学内容及其度的把握、信息技术有效整合等,这些问题都有待进入新课程教师的思考与研究,从而促使高中数学新课程的顺利实施.2006年秋季浙江省高中开始实施新课程,诚然在这之前,许多实验区的一线老师依据新课程的理念和思路,大胆地进行了课堂教学改革,创造性地组织数学课堂教学,积累了很多宝贵的经验.然而这毕竟是一场“既试验课标又试验教材”的数学教育变革,在实施中必然会遇到诸多问题,如初高中的衔接、模块教学的理解、学习方式的转变、教学内容及度的把握、学分考试与认定、信息技术整合等,这些问题有待我们思考和研究,从而使数学新课程的实验能够到达“光辉的顶点”.下面结合自己的教学实践,从三个方面谈谈对实施新课程的理解与思考.1 吃透课程标准,理解模块教学新的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)已取代《教学大纲》成为指导我们教学的主要的纲领性文件,它明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排.它的意义与《考试大纲》同样重要.因此,我们要像重视学习《考试大纲》那样学习研究《标准》,避免出现课标已不要求的内容费时费力;要求降低的内容要求再提高;要求的重点内容强化力度又不够.因此,认真研究新课标、钻研新教材是摆在我们每一位高中教师面前的一项重要的任务.虽然教材大部分内容仍然没变,但毕竟增加了部分新知识,涉及知识的更新问题.当然更重要的是,要转变教学观念,改变教法,尽快与《标准》提出的全新的课程观、教学观、学习观、教材观、教师观、学生观的要求相衔接.对于实施高中数学模探究切线问题的关键,7分钟)⑤课堂小结(加深知识印象,提炼方法技巧,3分钟左右)6.4 板书设计说明①曲线在一点处的切线定义(事先制作好,需要时投影出来)②切线斜率的极限数学模型:K PT=lim△x→0△y△x=lim△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x(板书,以加强学生对该模型的理解)③例题解析、课堂练习例1 (分析后多媒体投影展示)课堂练习(学生先练习,接着用实物展台展示同学的解答,然后点评,并结合练习(2)中存在的问题进行逐步板书说明)④变式探究(学生思考、讨论、探究充分后多媒体投影点评)⑤课时小结(多媒体投影展示,并对每一个板块作相应链接回放)最后留在板面上的内容为:切线方程的求法步骤.(投影屏幕展示)切线斜率的极限数学模型(教学过程中已板书好留在黑板上)练习(2)的解题过程板书(展现切线方程的求法规范过程)6.5 课时安排说明导数的概念要求分四课时教学,本课时只安排学习曲线的切线.主要考虑:一方面,通过课题引入向学生介绍本章引言,激发学生学习本章的兴趣;另一方面,让学生理解透切线的概念、切线斜率数学模型的建立及发生过程,掌握其研究方法・・・・・・・,为后续学习奠定基础.23。
《曲线运动》教学设计
红蜡块可看成是同时参与了下面两个运动，在玻璃管中竖直向上的运动（由A到B）和随玻璃管水平向右的运动（由A到D），红蜡块实际发生的运动（由A到C）是这两个运动合成的结果。
（3）用课件重新对比模拟上述运动；
（4）总结得到什么是分运动和合运动。
板：①红蜡块实际发生的运动(A C)叫做合运动；
红蜡块沿玻璃管在竖直方向的运动(A B)和随管做的水平方向的运动(A D)，叫做分运动。
a在长约80—100cm一端封闭的管中注满清水，水中放一个由红蜡做成的小圆柱体R（要求它能在水中大致匀速上浮），将管的开口端用胶塞塞金。
b，将此管紧贴黑板竖直倒置，在蜡块就沿玻璃管匀速上升，做直线运动，记下它由A移动到B所用的时间。
c、然后，将玻璃管重新倒置，在蜡块上升的同时，将玻璃管水平向右匀速移动，观察到它是斜向右上方移动的，经过相同的时间，它由A运动到C。
四、物体做曲线运动的条件：
利用投影动画提出问题：
（1）对比力合成与分解
（2）运动的合成和分解遵循平行四边形定则
让学生两人一组，独立设计并完成实验。给你一磁铁，如何使小钢球：
1加速仍做直线运动；
2减速仍做直线运动；
3做曲线运动？
巡回指导，了解学生的实验过程，解决可能遇到的问题。
那么一个在水平面上做直线运动的钢球，受到磁铁的吸引又会出现怎样的情景呢？
新课程要求
一、知识与技能
1．知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。
2．通过运动描述的实例，让学生对合运动与分运动有了初步的认识。
3．知道物体做曲线运动的条件是所受的合外力的方向与它的速度方向不在一条直线上。
二、过程与方法
1．体验曲线运动与直线运动的区别。
“曲线上一点处的切线”的教学设计
２１ 年第 １ ０１ ２期
中学数 学 月刊
・５ ・
‘ ‘ 曲线上 一点处的切线” 的教学设计
王 应标 （ 苏省 清 江 中学 江 ２ ３０ ） ２ ０ １
作 者 简 介 王 应标 ，９ ４ １ 月 出 生 于 江 苏 淮安 ， １６ 年 １
１８ 年 毕 业 于徐 州 师 范 学 院数 学 系，０ ５年 ９月被 评 为 ９４ ２０
ｚ 的方程为 Ｙ一 一 （ １ ＋√ ． ｚ一 ）
方 法 ２ 根 据 切 线 与 圆有 唯一 的公 共 点 来 转 化 ． 切 设
了 有 效 而 彻 底 的算 法 化 解 决 ． 导 数 研 究 函数 的 性 质 ， 用 由
于 具 有 更 简 单 的逻 辑 结 构 ， 有 力 的 解 题 方 法 ， 贴 近 本 更 更
江 苏省 中学 数 学 学 科 特 级 教 师 ，０ ６年 １ ２０ ２月被 评 为 江 苏 省教 授 级 中学 高级 教 师． ０ ７年 ５月被 确 定 为 省 “３ ２０ ３３
工 程 ” 养对 象 ， 任 淮 安 市 中 学 数 学教 学 专 业 委 员会 培 担
曲线切线求法
曲线切线求法1. 引言在数学中，曲线切线是指曲线上一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似。
求解曲线切线是解析几何中常见的问题之一，对于理解曲线的性质和研究其变化趋势具有重要意义。
本文将介绍常见的曲线切线求法，包括直角坐标系下的求法和参数方程下的求法。
2. 直角坐标系下的曲线切线求法2.1 曲线方程与斜率首先，我们需要确定曲线的方程，并计算出该点处的斜率。
以一元函数为例，在直角坐标系下，函数可以表示为y=f(x)，其中f(x)为给定函数。
对于给定点P(x0,y0)，我们可以通过计算导数f’(x)来得到该点处的斜率k。
2.2 切点坐标确定接下来，我们需要确定切点坐标。
由于切点在曲线上，所以它满足曲线方程y=f(x)。
将x0代入方程中可以得到相应的y值。
2.3 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
2.4 示例假设我们要求解曲线y=x2在点P(2,4)处的切线。
首先，我们计算出函数f(x)=x2的导数f’(x)=2x。
然后，将x=2代入函数得到y=4。
接下来，我们使用切线方程的点斜式构建切线方程y-4=4(x-2)。
3. 参数方程下的曲线切线求法3.1 曲线参数化对于参数方程表示的曲线，我们需要将其参数化，以便计算切线。
假设曲线由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出。
3.2 切点坐标确定与直角坐标系下类似，我们需要确定切点坐标。
将给定参数t代入参数方程中得到相应的x和y值。
3.3 斜率计算在参数化后的表达中，我们可以通过计算导数dy/dx来得到斜率k。
3.4 构建切线方程已知切点坐标和斜率，我们可以使用直线的点斜式来构建切线方程。
与直角坐标系下类似，切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中(x0,y0)为切点坐标，k为斜率。
3.5 示例假设我们要求解参数方程x=cos(t)，y=sin(t)表示的单位圆在点P(√3/2, 1/2)处的切线。
曲线上一点处的切线-PPT课件
求曲线在某点处的切线方程的
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率；
2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
拓展研究
3.1.2 瞬时 变化率
1、平均变化率 一般的，函数 的平均变化率为
在区间上
例1、已知函数 分别计算在区间[-3，1]，[0，5]上 及 由本例得到什么结论? 的平均变化率。 一次函数y=kx+b在区间[m,n 平均变化率就等于k.
练习: P58-59:1,2
如何求曲线上一点的切线 ? y=f(x) 割 线 y Q (1)概念:曲线的割线和切线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时
x
(2)如何求割线的斜率?
y
Q o P x
y=f(x)
y=f(x)
Q (3)如何求切线的斜率 ? y
割 线
T
切线
o
P
x
例1:已知 求曲线y=f(x)在x=2 处的切线的斜率.
利用割线求切线
,
练习:P59,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
切点坐标解决有关切线问题的钥匙 教案
切点坐标解决有关切线问题的钥匙导数的应用在高考考查中越来越受到重视，其中有一类是考查切线问题，一般解决与曲线y=f(x)切线有关问题时，可先设出切点坐标Q （x 0,y 0），然后运用切点坐标的一拖三作用解题，即：切线的斜率为k=f ′(x 0)；切点在切线上：y-y 0=k(x-x 0)或00x x y y k --=；切点在已知曲线上y 0=f(x 0)；将问题转化为函数与方程问题求解。
例1：(2004年某某文15)已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是_______ 解：显然P 在曲线上，若P 为切点，则y ′|x=2=x 2|x=2=4，故切线方程为y=4x-4 若P 不为切点，设切点Q （x 0,y 0）,则 切线斜率k=y ′|x=x0=x 02 (I)y 0=31x 03+34(II)y 0-4=x 02(x 0-2) (III)由（II ）（III ）得:x 03-3x 02+4=0,x 0=-1或x 0=2（舍） 故切线为：y=x+2综上得切线为：y=4x-4或y=x+2注：本题在标答中将P 不是切点的情况遗漏了；求解中三次式的因式分解可采用试根法。
例2：已知函数y=f(x)=x 3+px 2+qx 图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，求p,q 的值。
解：设与x 轴相切的切点A(a,0)(a ≠0) 则f ′(a)=3a 2+2pa+q=0 又f(a)=a 3+pq 2+qa=0 解得：p=-2a,q=a 2又由f ′(x)=3x 2-4ax+a 2=0,得：x=3a或x=a (舍)时，y 极小值=-4即f(3a)=-4,a=-3,得：p=6,q=9评：解题中首先由切点在直线y =0上，设出切点坐标，再由切线斜率为0、切点在曲线上及可导函数在极值点处导数为0建立关于a, p ,q 的方程组是解题关键。
例3：（2004苏锡常镇四市联考）若直线y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线， 则a=解：设y=x 与y=x 3-3x 2+ax 切于点P(x 0,y 0)则y ′|x=x0=3x 02-6x 0+a=1又P 在曲线上，x 03-3x 02+ax 0+a=x 0,消a 得：x 03-3x 02+6x 02-3x 03=0,解得：x 0=0，或x 0=23从而a=1或a=413评：求a 的值就是解方程（组）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线上一点处的切线
响水县第二中学 授课人：陈强 时间：2016.11.19
教学目标
1、知识技能目标：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率概念及求法．
2、过程方法目标：掌握“局部以直代曲”和“用割线逼近切线”的思想方法．
3、情感态度价值观目标：培养学生从实际问题中去发现问题、解决问题(数学思想)的能力. 教学重点
理解曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。
教学难点
对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解以及会求在某点处的切线斜率．
教学过程
一、情境导入
1.函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为2121
()()f x f x x x --． 即：曲线上两点的连线（割线）的斜率（平均变化率）近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势.
2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）
从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．
（1）观察“点P 附近的曲线”你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”近） 二、建构数学
1．割线逼近切线
动画演示，观察点Q 的运动，直线PQ 线PQ 斜率的变化，生成概念．
Q 为曲线上不同于点P 的一点，这时， 直线PQ 称为曲线的割线；
随着点Q 沿曲线向点P 运动， 割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线，
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最 终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，
这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．
2．割线斜率逼近切线斜率
切线的概念提供了求切线斜率的方法．
再提中心问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？我又用怎样数学模型来刻画曲线上P 点处的变化趋势呢？ 为了更好地反映点Q 沿曲线向点P 运动，我们选择了一个变量x ∆．
不妨设(())P x f x ，，(())Q x x f x x +∆+∆，，则割线PQ 的斜率为
()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x
+∆-+∆-==+∆-∆，当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率
就会无限逼近点P 处切线斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x
+∆-∆无限趋近点(())P x f x ，处切线斜率．
三、例题展示：
例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率．
变式1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程
变式2：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．
例2：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设()t s 后
运动员相对于水面的高度为
2() 4.9 6.510H t t t =-++，试确定2t s =时运动员的速度。
练习：练习：已知f(x)=
x ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？
四、课堂小结
1、曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。
(局部以直代曲)
2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。
Q 无限逼近P 时
割线
点处的切线
Q 无限逼近P 时
割线PQ 的斜率点处的切线斜率
令横坐标无限接近
Q 无限逼近P 时
函数在区间点处的瞬时变化率（导数） (或[xQ,xP]）上的平均变化率 即区间长度趋向于0
五、课后作业：
1、求曲线12)(2++=x x x f 在点（1,4）处的切线方程。
2、求曲线5221)(2
+-=x x x f 在x=1处的切线的倾斜角。
3、
x x y +=2
在点P 处的切线斜率为3，求点P 坐标。