数学建模截断切割的优化设计之令狐文艳创作

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中考数学切割线定理之令狐文艳创作

9．已知：如图，与切于，为直径，，为一弦。求与的度数。
10.已知：，与分别切于、两点，延长到，使，求证：。
【课外练习】
1．切于，是过点的割线,且，则的度数为（）
A． B． C． D．
2．过外一点引圆的两切线、，、是切点，，，则半径的长为（）
2．圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为2，则这个四边形的面积为（）
A．6B．12C．24D．48
3．外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（）
A．任意三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4．、分别切圆于、，、两点分圆所得两弧比为，则的度数为（）
A． B． C． D．
课题
令狐文艳
切割线定理
教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题；
2．理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法；
3．使学生理解切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；
10.已知：如图，在中，，，以为弦的圆与切干点，与交于点。求证：．
【经典例题】
【例1】已知：如图，切圆于，为圆直径，，，。求的长。
【例2】如图所示，中，，以为直径的交于点，切线交于。求证：。
【例3】如图所示，、是的切线，、为切点，于，交于，求证：。
【例4】已知，为的直径，过点作的切线，交于点，的延长线交于。
A． B． C． D．
3．是的直径，是延长线上一点，且，是的切线，且，则半径为（）

截断切割的优化设计

长方摘要本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。

当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径一、问题的重述与分析在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。

通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式二、模型假设1、机器切割与刀具无任何误差2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合5、切割刀具为一个且水平放置6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动三、符号说明A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cma，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面（为方便做题，分别记为253614）r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位:元vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6其它变量如果出现则在使用时另行说明四、模型建立模型一：1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式A1C 62 a b C5 B3 A 4模型二：根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面2、5面3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。

数学建模---最优化的有效切割问题

模式 1 2 3 4 5 6 7 需求 4米根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余料 3 1 3 3 1 1 3
约束满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管，共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
整数非线性规划模型
钢管下料问题2
增加约束，缩小可行域，便于求解
每根原料钢管长19米
需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根
4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19
特殊生产计划：对每根原料钢管模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：13+10+8=31
钢管下料问题2 目标函数（总根数）
Min x1 x2 x3
模式合理：每根余料不超过3米
约束条件
满足需求
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19

截断切割的优化程序设计

截断切割的优化程序设计
赵红娥;高鑫
【期刊名称】《辽宁工学院学报》
【年(卷),期】1998(018)003
【摘要】本文针对在工业生产实际中贵重材的截断切割，遵照工艺的要求，设计出方便，易用，准确的Ｃ语言程序，程序可根据已知待加工长方体的尺寸和目标体的尺寸及预置的切割线给出加工费用最小的次序，同时也可为预置位置的划定提供帮助。

【总页数】4页(P41-43,46)
【作者】赵红娥;高鑫
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TG48
【相关文献】
1.最优化在截断切割中的应用 [J], 罗智明;李成福
2.截断切割优化模型与仿真 [J], 李海林;石东洋
3.截断切割优化模型 [J], 袁志庆;刘小平
4.方体截断切割实际切割面积的一般公式及应用 [J], 舒晓惠
5.截断切割的优化模型 [J], 毕守东;胡焱;郭晓冰;凌成;许迎东
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关于切割问题的优化设计

jm，根据这个对应关系可以建立如下关系矩阵：
使用m（k）种不同下料方式所使用的原材料的数目为，同样用矩阵表示，则有所需原材料数目为：
2.2决策目标函数的选择[2]
①决策目标函数1：以原材料损耗最少为目标，应用于每个原材料所剩下的余料表达式为：
以原材料损耗最少的目标函数Z1为：
x（k）j：在第k种原材料上第j种切割方式的使用次数，
即用第j种切割方式切割第k种原材料的数量；
②决策目标函数2：以原材料的下料方式最少为目
③决策目标函数3：以原材料花钱最少为目标
变切割方式需要的费用有可能会比剩下的余料费用要高，所以我们以花钱最少为目标的目标函数3
2.3确定约束条件[3]
由于每种零件所需要的数量已经给你给定，
条件如下所示：
因为零件的长度都已经给定，原材料的长度和锯缝的大小都会对切割方式有限制，所以对于任意一种切割方所得的零件的总长度要小于原料的总长度，
3模型求解
对目标函数（1）、（2）、（3）在约束条件。

国赛建模b题之令狐文艳创作

“拍照赚钱”类软件任务定价规律的探讨与改良方案分析令狐文艳摘要随着互联网技术的发展，人们在经济水平飞速发展的同时，各种观念也在不断变化；例如互联网技术已通过其庞大的用户量及强大的执行效率使得许多曾需要专人投入大量成本的传统行业趋于大众化、分散化。

例如最近市场上新兴的“拍照赚钱”软件，它利用人们的零散时间随时随地拍照赚钱，备受大众青睐。

然而该类软件仍然存在定价不合理、任务完成度不高等阻碍该类软件发展的瓶颈。

本文通过对客户与任务位置、完成任务收益等变量进行数学模型分析，提出了一些比该类软件现行运作模式更科学、更高效的方案。

第一问中，为确定现有定价方案的问题，我们以任务分配范围内不同的城区作为基本单位，将任务根据定价分为三份，并通过建立线性回归方程了解了各客观变量对定价产生的影响，再通过对失败案例的因子分析找到了导致失败的变量及它们对失败变量的影响程度。

第二问设计新方案时，以为拍照赚钱平台带来最大利润为根本目的，将现有方案与变量间相互作用情况相似的垄断性市场中打车平台收费方案进行类比，分析并一一对应相应的变量关系，再通过现有的对打车平台获利最大值计算的模型变量的类比得出新方案。

第三问中，通过聚类分析可以将5个相聚较近的变量进行“打包”。

“打包”的点即为包点，将其代入第一问中地址相关信息，可求出打包后每个地区所具有的“包点”的个数，再由第二问公式问求出定价，并与原始结果进行对照。

第四问中，将所给密集数据视为在同一点进行“打包”，求出打包结果所在点的GPS并代入第一问中的值关键词：自然区域分区、多项线形回归预测、因子分析、类比、Curve Fitting Tool、聚类分析、一、问题重述随着科技日新月异的发展，人们获取钱财的方法越来越多，“众包”一词也出现在大众视野。

众包指的是一个公司或机构把过去由员工执行的工作任务，以自由自愿的形式外包给非特定（而且通常是大型的）大众网络的做法。

众包的任务通常是由个人来承担，但如果涉及到需要多人协作完成的任务，也有可能依靠开源的个体生产的形式出现。

截断切割大学生数学建模word版

截断切割数学建模论文摘要本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题，利用重心偏移法，考虑了第七及第k+1次切割之间的联系，建立了动态规划的数学模型，并用直接搜索法进行了求解。

本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价，并给了当e=0时的简明优化准则，最后用具体实例验证了模型的可靠性，并对一些初值进行了详细的讨论，给出了所有的最优解。

本文还对模型进行了误差分析，并对模型进行了推广。

关键词动态规划切割方式 f-原则一、问题的提出与分析某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。

这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。

从一个长方体中加工出一个已知尺寸，位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

并对某部门用的如下准则作出评论：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

该问题可以采用重心偏移法。

在切割之前，长方体的重心是确定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的规律，它只是沿着长、宽或高的方向偏移。

待原长方体加工成成品长方体之后，长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。

这就是长方体的重心偏移过程。

该问题是一个动态规划问题，是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。

首先是建立分级决策的模型。

用d k 表示第k 次决策，J k 表示第k 级的级收益，现在一定条件下，寻求一组可行决策变量{}621,,,d d d ，使问题的总收益J 为最佳。

二、基本假设与符号约定（一）基本假设1．由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。

但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。

为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。

假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。

那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。

比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。

但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。

为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。

假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。

那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。

接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。

常见的方法有线性规划、动态规划等。

以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。

1513烦恼的设计师(来自SGOI)之令狐文艳创作

【数据结构•hash表】烦恼的设计师（SGOI）令狐文艳Time Limit:10000MS Memory Limit:65536KTotal Submit:55 Accepted:18Description烦恼的设计师（来自SGOI）春天到了，百花齐放，西湖公园里新设置了许多花坛，设计师想用不同的花摆出不同的图案以吸引游人，于是设计了各种图案并且在花圃中选好了要摆放的花。

不幸的是负责搬运和摆放的工人因为临时有事，只将花放到花架上就匆匆离开了，并没有按照设计师原来的设计方案摆放，结果花坛杂乱不堪,设计师只好自己来调整花的位置。

由于设计师通常从事脑力劳动，较少从事搬运和摆放花盆的体力工作，所以请你帮忙找出一种移动方法使工作量最小。

不同种类的花有不同的类型编号，虽然地球上花的种类很多，但因为公园里的花不超过1,000,000种，所以花的类型编号不超过1,000,000。

另一方面，出于美学考虑，一个花坛里摆放的不同种类的花不超过3种，且不同种类的花的数量不可太接近，对于任意两种花，数量多的花的盆数至少是数量少的花的2倍。

花坛是正六边形的，共摆放有19盆花，每盆花都放在一个转盘上，转动一盆花下面的转盘，会使周围的6盆花顺时针或逆时针移动一个位置（但不可把花转到花坛外），称为一次操作。

你的任务：用最少的操作使花坛由初始状态转化为符合设计图纸的目标状态。

例如：初始状态目标状态如图，只需将处于圆心位置的那盆花的转盘顺时针转动一个位置，红色的花就移动到了目标位置。

Input输入文件共11行，1至5行描述花坛的初始状态，7至11行表示花盆应摆放的位置。

中间以空行分隔，5行数字分别表示花坛的5个行，其中第1、5两行有3个整数，第2、4两行有4个整数，第3行有5个整数，表示每一行的花的类型，不同的数代表不同种类的花。

Output输出文件，一行，包含一个整数，即最少的操作数，数据保证20步之内有解。

Sample Input1 1 11 2 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 11 1 11 1 1 11 12 1 11 1 1 11 1 1Sample Output1Hint题意描述:给定两个正6边形的花坛，要求求出从第一个变化到第二个的最小操作次数以及操作方式。

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。

接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。

想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。

而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。

为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。

假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。

比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。

首先，我们来考虑一种简单的切割方案。

如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。

比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。

但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。

那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。

我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。

设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。

则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。

为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。

假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。

数学建模截断切割的优化设计

工业中截断切割的优化设计一摘要本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,同时证明了e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标2.对于e ¹0 时我们提出了实用准则最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域二问题的重述、在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。

对本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的问题：1> 需考虑的不同切割方式的总数。

2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。

3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。

4> 对于e=0 的情况有无简明的优化准则。

5> 用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面，底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有4 组：1) r=1,e=0;2) r=1.5,e=0;3) r=8,e=0;4) r=1.5, 2 £e £15 ;三模型的假设和符号说明1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合3水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整后再平行移动刀具因此调整费用e 是否付出仅取决于先后两次垂直切割是否平行而不记是否穿插着水平切割4毛坯与工作台接触的底面是事先指定的5毛坏、成品均为长方体，且这两个长方体的对应面是平行的，如下图a,b, c 毛坯的长宽高单位厘米aa,b b,c c 最终产品的长宽高单位厘米毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面(有时我们为了叙述问题的方便将其依次记为5,6,3,4,1,2)d j 最终产品与毛坯的对应表面的距离j = 1,2,，，，6r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位元vi 第i 次切割被切割掉部分的体积单位立方厘米si 第i 次切割时切割面积分别表示在切割第侧面时的费率，依题意：其它变量如果出现则在使用时另行说明四模型的建立(2,3,4,5,6) (3,4,5,6) (4,5,6) (5,6) (6)(1,3,4,5,6) (2,4,5,6) (3,5,6) (4,6) (5) (1,2,4,5,6) (2,3,5,6) (3,4,6) (4,5) (4)(1,2,3,4,5,6,)(1,2,3,5,6) (2,3,4,6) (3,4,5) (3)(1,2,3,4,6) (2,3,4,5) (2)(1,2,3,4,5) (1,2,3,4) (1,2,3) (1,2) (1)e=0的情形:={1,2,3,4,5,6}表示初态，即没有进行任何加工；对应一个完整的加工策略事实上为={1,2,3,4,5,6}的一个全排列；而={1,2,3,4,5,6}的任一子集S应某个策略在对毛坯加工过程中某个中间状态；3）在对毛坯加工过程中某个中间状态S它仅与在它之前截掉了那些面的组合有关,而与过程(即排列)无关；4）={1,2,3,4,5,6}的64个子集构成方体切割的所有可能的状态（包括初始状态，终态）：以的64个子集构造有向图G,，以S为起点，以为终点连边，且, 使得对有向图G边赋权：任取有向图G边，不设其以S起点，以为终点，，w (或记为）w（,）表示在状态S，截去i所需费用这些集合按照其包含元素数目的多少可分为7组，从多到少排序，相邻两组间构成一个决策阶段；1因此得如下“6”阶段动态规划问题：Min ,)S.t ={1,2,3,4,5,6}….为的一全排列=\{}w（,）的表述：记分别表示方体的长、宽、高（这1面到2面、3到4、5到6的距离），可得：)=(A,B,C)=w,)=五．模型求解定理（最优准则）：设e=0，若策略….满足：，则策略….必为截断切割的最优策略。

数学建模中的切割及解答

下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。

此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：2x1+x2+x3+x4>=100;2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 7.000000Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000第二问：min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);Local optimal solution found at iteration: 15Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 0.1000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 1.300000 0.0000009 1.400000 0.00000010 1.500000 0.000000。

数学建模经典案例最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题一、问题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、假设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑P6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1u2u3u4u5u66175569r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、 e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在图G 中对应有向路的必经点如下表：z)情况二（二）M1－M3－M4－M2(1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4(1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2(0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)z=0,1,2我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。

数学归纳法证明例题之令狐文艳创作

数学归纳法例题令狐文艳例请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．那么当n =k +1时，有：这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N )．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{a n}中的第4m+1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．N的4K+1次方-N为何是10的倍数？先证明n^5-n一定是10 的倍数再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数下面分情况讨论n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数而(2,5)互质所以n^5-n是10 的倍数所以当k=1时成立假设当k=r时成立即n^(4r+1)-n=10s则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)=n^4*10s+n^5-n由于n^5-n是10的倍数所以当k=r+1时也成立证明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数n=3时，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立设n≤k,k>3时成立则：2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1时成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除证明设A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，当n=4k(k为整数)时，1^n、3^n的个位数均为1，2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除当n≠4k时，⑴若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴A能被5整除⑵当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴A能被5整除⑶当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴A能被5整除综上所述，当且仅当指数n不能被4整除时，A能被5整除，也即当且仅当指数n不能被4整除时，1^n＋2^n＋3^n＋4^n能被5整除。

层次分析数学建模案例之令狐文艳创作

令狐文艳基于层次分析法的护岸框架最优方案选择【摘要】长期以来，四面六边透水框架在河道整治等工程中，因其取材方便、自身稳定性、透水性、阻水性好、适合地形变化等特性优点而被广泛的应用。

但是，在抛投和使用过程中，存在被水流冲击而翻滚移位、结构强度的不足、难以合理互相钩连的问题，使框架群不能达到理想的堆砌效果。

本文主要探讨如何合理设计改进现有护岸框架，以最大程度减少框架群被水流冲击翻滚移位的情况，增加框架群在使用过程中互相钩连程度和结构强度，达到减速促淤效果。

针对问题，我们结合四面六边透水框架本身的优势特性，在原有框架的基础上进行改进设计，根据三角形稳定性的特性，通过应用机理分析，进行物理图形构造，设计出三种供选方案。

模型一：构建四面六边带触脚框架模型（图5.2），该模型在四面六边透水框架的基础上，运用触脚设计，较好的融合增强四面六边透水框架本身的优点特性，使框架达到不易翻滚，并与其他的框架自然地相互钩连。

模型二：构建六面九边带触脚框架模型（图5.6），该模型是对模型一的改进，综合模型一和原型模型的结构，不仅具备良好的亲水性、阻水性和稳定性，而且触脚比模型一更多，使框架更加稳定，不易翻滚、框架群之间也更容易钩连；同时，模型二施工简单，更容易构造，也更加节约经济造价成本。

模型三：构建双四面六边护岸框架模型（图 5.12），该模型设计内外双层四面六边透水框架体，旨在增加护岸框架结构强度和稳定性及阻水性。

运用内外双层结构设计，形成内外双层保障。

由三角形的稳定性可以得知该模型结构强度高、稳定性强。

模型四：应用层次分析法对如何科学、合理地进行选择护岸框架，进行系统的分析。

选取施工时架空率易接近4到6、结构强度、不易翻滚程度、框架群间易钩连程度、生产成本及易生产、施工简易度六个因素指标为准则层，选取原有护岸框架和本文设计的三个框架模型作为方案层，运用Matlab软件计算比较，最后得出结论为：模型二（六面九边带触脚框架模型）为最优护岸框架模型。

碎纸片拼接复原(国一)之令狐文艳创作

基于分治算法碎纸片的拼接复原模型令狐文艳摘要本文针对不同切割方式碎纸片的拼接问题，通过对图像数字化处理得到灰度矩阵，建立了复原模型并得到复原后的图像。

针对单面仅纵切碎纸片的拼接问题，根据完整文件最左边部分无文字的特点，运用matlab编程可确定出第一张碎纸片。

随后，根据贪婪算法的思想，以确定位置的碎纸片与剩余未拼接碎纸片相邻边缘灰度值的平方欧氏距离最短为目标函数，可逐步求得碎纸片的拼接顺序,进而将其复原.中文碎纸片顺序为：8、14、12、15、3、10、2、16、1、4、5、9、13、18、11、7、17、0、6；英文碎纸片顺序为：3、6、2、7、15、18、11、0、5、1、9、13、10、8、12、14、17、16、4。

本问碎纸片拼接过程没有人工干预，实现了全自动化的拼接。

对于既横切又纵切碎纸片拼接问题，本问采用分治算法的思想，先对中、英文碎纸片分别层次聚类分析，将最可能位于同一行的碎纸片归为同一类，其中中文碎纸片分为11类，英文碎纸片分为10类；再对分类后的碎纸片使用编程加人工干预的半自动拼接方式，得到11块仅横切的碎纸片块；最终对得到的11块仅横切的碎纸片块进行类间拼接，实现文件的复原。

中文碎纸片第一列顺序为：49、61、168、38、71、14、94、125、29、7、89；英文碎纸片第一列顺序为：191、201、86、19、159、20、208、70、132、171、81。

此问中有两次人工干预的过程，第一次位于类内拼接处，第二次位于类间拼接处。

中文文件总共干预了33块，英文文件总共干预了40块。

考虑双面碎纸片拼接问题时，本问延续了分治算法的思想。

由于每张碎纸片含有正反两面，在聚类分析时，可将正反两面的灰度值相加为一列特征值作为它们是否可能位于同一行的依据，进而将双面碎纸片分为9类。

再对这9类碎纸片使用编程加人工干预的半自动拼接方式，得到22块仅横切的碎纸片块；最终对这22块仅横切的碎纸片块进行类间拼接，实现文件的复原。

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10模型的推广令狐文艳十、模型的推广由于折旧费用相对总成本费用很少，折旧费用对公司经济利益的影响能力是很有限的，由上面模型求解过程也有力地说明了这点。

因此，在实际问题中，公司在预定财务计划的时候，可以忽略掉折旧费用的计算来对计划进行估算。

同时，我们给出下面的理论证明：对于建造费用和房产的折旧费用给出如下相对保守的比较：由于房产公司它的月建造能力最少是22套，建材成本按i 月份与i+2月份建房数目相同计算，即：i J =G+0.52i N ⨯)1(i u +⨯2+i J =G+0.52i N ⨯)1(2++⨯i u∆J = (G+0.5×222*1.1)－( G+0.5×222)=0.1*0.5*222 ∆J 表示：这是∆J 的最小可能值对于i Z ＝0.1×所有房子的损耗总月数比较∆J 与i Z ，只有当所有房子的损耗总的月数≥0.5*222，即≥242时i Z 才相对占优。

可见∆J 影响盈利的能力远大于i Z 。

所以这时应该适当地多考虑房地的早建设。

证明了上述论述的正确性。

即 :公司在实际中可根据估算公式：X K G S L ---= 进行预算。

九、模型的推广通过对题目的解读我们不难发现这是一类规划问题。

我们建立了一个双目标整数线性规划模型。

仔细分析我们建立的模型不难发现：这个模型不仅仅适用于出版社的资源配置问题，它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。

规划问题是运筹学的一个重要分支。

它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。

本文模型的建立是为了解决一定量的资源分配给多部门的问题，若A部门分到的资源多，其余部门分的资源就会相对的减少。

通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。

决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。

本题的求解是一个典型的规划问题，我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资时，有限的资金如何分配到各种投资方式上；工厂选址时，要兼顾距离原料区和服务区的路程……这一类问题均能得到较好的解决。

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