第六章 地理系统的聚类分析

计量地理学基础
张金萍
聊城大学环境与规划学院 2006-7
第六章 地理系统的聚类分析
聚类分析的基本思想 主要聚类方法
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§1 聚类分析的基本思想
一、聚类分析的意义和作用
聚类分析法： 基本思路： 具体做法： 特点：
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第六章 地理系统的聚类分析
drk max{dpk , dqk}
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m
m
xi2k
x
2 jk
k 1
k 1
式个上中地一页：点i和和第j代j个表地两下点个一的地页第点k（个样地品理返）指回，目标x录值ik,x。jk分别代退表出第
第六章 地理系统的聚类分析
§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量-夹角余弦
相似系数矩阵
c os11 cos21
c os n1
性质：
§2 主要聚类方法
一、系统分类法
聚类分析的分类：
Q型聚类分析 R型聚类分析
基本做法：
将n个地点各自看成一类，定义类与类间的距离； 选择距离最小的一对合成一新类； 计算新类与其它类间的距离，重复第一步。
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§2 主要聚类方法
一、系统分类法
定义类与类之间距离的方法：
三、分类统计量-夹角余弦
二维： 三维：
n 维：
cos
xi1x j1 xi2 x j2
( xi21
xi22
)(
x
2 j1
x
2 j2
)
cos
xi1x j1 xi2 x j2 xi3 x j3
( xi21
xi22
xi23 )(
x
2 j1
x
2 j2
x
2 j3
)
cosij
m
xik x jk
k 1
1.442
4.d78=1.442，将G7 和G8合并成新类G9，
0.862
记为G9={G7，G8}，并 0.723
记入联结表中。
5.作出分类谱系图。 0.043
G9 G8
G7
G6
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G1 G2 G3 G4 G5
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第六章 地理系统的聚类分析
§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
xj
1 n
n i 1
xij
Sj
n
(xij x j )2
i 1
n 1
变换后，每一列均 值为0，方差为1，且 与指标的量纲无关。
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第六章 地理系统的聚类分析
§1 聚类分析的基本思想
二、原始数据处理
（二）数据的标准化
级差标准化
xi'j
xij min(x j ) max(x j ) min(x j )
1.442 0.862 0.723
G8 G7
1.442 0.862 0.723
G9 G8
G7
0.043
G6
0.043
G6
G1 G2 G3 G4 G5
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G1 G3 G2 G4 G5
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第六章 地理系统的聚类分析
§2 主要聚类方法
二、聚类形成的方法
（二）最长距离法
定义新类与其它类距离的原理不同； 其余相同。
(i 1,2, , n; j 1,2, , m)
变换后，数据的变化范围都在0到1之间， 也消除了量纲的影响。
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§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量
x2
Pi(xi1,xi2)
（一）相似系数
xi2 P1
1.夹角余弦（cosθ） xj2
P2 Pj(xj1,xj2)
二维空间：
cos cos(1 2 )
O 2
cos1 cos2 sin1 sin2 1
xi1
xj1
x1
xi1 x j1 xi2 x j2 P1 P2 P1 P2
P1 xi21 xi22
P2
x
2 j1
x
2 j2
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第六章 地理系统的聚类分析
§1 聚类分析的基本思想
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§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量-欧氏距离
相关阵 性质：
d11 d12 d1n
D d21
d22
d2
n
dn1 dn2
d
nn
对角线元素为0
对称方阵
取值越小，相似程度越强。
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联结表
联结顺序
1 2 3 4
新类
联结法 类别
距离系数
G6
G1、G2
0.043
G7
G3、G1、G2
0.723
G8
G4、G5
0.862
G9 G3、G1、G2、 G4、G5 1.442
第上一页步
第下二一页步
返第回三目步录
第六章 地理系统的聚类分析
第退四出步
§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
c os12 c os 22
c os n 2
cos1n
c
os2
n
c
os
nn
对角线元素为1 取值范围：-1~1
对称方阵
绝对值越大，相似程度越强。
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第六章 地理系统的聚类分析
§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量
（一）相似系数 2.相关系数（r）
m
(xik xi )(x jk x j )
（一）数据的对数变换
xi'j ln xij
（二）数据的标准化
标准差标准化 级差标准化
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§1 聚类分析的基本思想
二、原始数据处理
（二）数据的标准化
标准差标准化
xi'j
xij x j Sj
(i 1,2, , n; j 1,2, , m)
其中：
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§1 聚类分析的基本思想
二、原始数据处理
为什么要对聚类分析的原始数据进行标准化 处理？
原始地理数据矩阵
1
地2 点
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n
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…
1 2 … m 指标
x11 x12
x21
x22
x1m
x2
m
xn1
xn2
xnm
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第六章 地理系统的聚类分析
§1 聚类分析的基本思想
二、原始数据处理
n维空间中：i(xi1,xi2,…,xim),j (xj1,xj2,…,xjm)
m
dij
(xik x jk )2
k 1
式中：i和j代表两个地点（样品），xik,xjk分别代表 第i个地点和第j个地点的第k个地理指标值。
欧氏距离系数：dij (2)
1 m
m
( xik
k 1
x jk )2
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§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量-相关系数
相关阵
性质：
r11 r12 r1n
R r21
r22
r2n
rn1 rn2
rnn
对角线元素为1 取值范围：0~1
对称方阵
取值越大，相关程度越强。
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§1 聚类分析的基本思想
（二）距离系数 2.欧氏距离（dij(1)）
空间中两点的距离：
d (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
称为三维空间中的欧几里德距离，简称欧氏距离。 距离小表示两点接近，反之则远离。
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§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量-夹角余弦
rij
k 1 m
m
(xik xi )2 (x jk x j )2
k 1
k 1
在数据标准化后，相关系数公式简化为：
rij
1 m
m k 1
xik
x jk
式中：i和j代表两个地点（样品），xik,xjk分别代 表第i个地点和第j个地点的第k个地理指标值。
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第六章 地理系统的聚类分析
最短距离法 最长距离法 类平均法 重心法 离差平方和法
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§2 主要聚类方法
二、聚类形成的方法
（一）最短距离法
应用广泛；
定义两类之间的距离：两类间所有样本中最近的 两个样本距离；
dij表示地点i与j的距离； G1,G2,…表示类别。
drk min{d pk , dqk}
1. 在D(0)中，选出距离系数最小的，即d12=0.043，将 G1和G2合并成新类G6，记为G6={G1，G2}，并记入 联结表中。 再利用最短距离公式计算G6与其它各类之间的距离。
d63 min{ d13, d23} min{1.167 ,0.723} 0.723
d64 min{ d14 , d24} min{ 2.484 ,2.060} 2.060
三、分类统计量
（二）距离系数 1.绝对距离（dij(1)）
m
dij (1) xik x jk k 1
式中：i和j代表两个地点（样品），xik,xjk分别代 表第i个地点和第j个地点的第k个地理指标值。
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§1 聚类分析的基本思想
三、分类统计量
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新类的记号
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第六章 地理系统的聚类分析
旧类的记号
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
例：有一组5个 区域，2个指标 的地理资料矩阵 如表所示。试对 这5个区域用最 短距离法进行聚 类分析。
区域
1 2 3 4 5 均值 标准差
指标x1
1 2 4 6 8 4.2 2.86
G4 G5
0 0.862
0
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
3.在D(2)中，选出距离系数最小的，即d45=0.862， 将G4和G5合并成新类G8，记为G8={G4，G5}，并记入 联结表中。
计算G8与其它各类之间的距离。
d87 min{ d47 , d57} min{1.442 ,2.252} 1.442
从而形成距离系数矩阵D(2)。
G7 G8 D(2) GG87 1.4042 0
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第六章 地理系统的聚类分析
§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
注意：分类谱系图不能交叉。例如：
联结顺序
1 2 3 4
新类
联结法 类别
距离系数
G6
G1、G3
0.043
G7
G2、G4
0.723
G8
G5、G2、G4
0.862
G9 G1、G3、 G5、G2、G4 1.442
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第六章 地理系统的聚类分析
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
d65 min{ d15, d25} min{3.337 ,2.910} 2.910
从而形成距离系数矩阵D(1)。
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第六章 地理系统的聚类分析
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
G6 D(1) GGGG5643 220...9070162003
G3
0 1.442 2.252
G4 G5
0 0.862
0
2.在D(1)中，选出距离系数最小的，即d63=0.723， 将G6和G3合并成新类G7，记为G7={G6，G3}，并记入 联结表中。
计算G7与其它各类之间的距离。
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第六章 地理系统的聚类分析
0 0.723 2.060 2.910
0 1.442 2.252
0 0.862
0
2 3 4 5
-0.77 -0.07 0.63 1.33
-0.71 -0.45 0.81 1.31
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
指标x2
3 4 5 10 12 6.8 3.96
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§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
1.数据的标准差标准化处理。 2.计算初始距离系数矩阵D(0)。
区域 指标x1 指标x2
G1
G2
G3
G4 G5
1
-1.12 -0.96
D(0) GGGGG15432 1320....1340063847743
§2 主 要 聚 类 方 法
二、聚类形成的方法-最短距离法
d74 min{ d64 , d34} min{ 2.060 ,1.442} 1.442
d75 min{ d65, d35} min{ 2.910 ,2.252} 2.252
从而形成距离系数矩阵D(2)。
G7 D(2) GGG754 12..4204522