线性代数 向量空间
线性代数中的向量空间及其基本性质
线性代数中的向量空间及其基本性质向量空间是线性代数中的一个重要概念。
它起源于欧氏空间中的几何向量，但不仅仅局限于几何背景。
向量空间是所有线性组合构成的集合，在数学中有广泛的应用，如线性代数、微积分、统计学等。
本文将就向量空间及其基本性质进行详细的阐述。
一、向量空间的定义定义1：设V为一个数域k上的非空集合，称V上的元素为向量。
如果：① V中定义了向量的加法（+），使得∀u，v∈V，都有u+v∈V；② V中定义了数乘，即对于任意的k∈K，都有ku∈V；满足：①加法交换律：∀u，v∈V，都有 u +v=v +u；②加法结合律：∀u，v，w∈V，都有 u +(v +w)=(u +v)+w；③加法有零元：∃0∈V，使得对于任意的u∈V，都有u+0=u；④加法有负元：∀u∈V，∃v∈V，使得u+v=0；⑤数乘结合律：∀k，l∈K，∀u∈V，都有 (kl)u=k(lu)；⑥数乘分配律1：∀k∈K，∀u，v∈V，都有k(u+v)=ku+kv；⑦数乘分配律2：∀k，l∈K，∀u∈V，有 (k+l)u=ku+lu；⑧数乘有单位元1：∀u∈V，都有1u=u。
则称V是数域k上的向量空间，简称向量空间。
向量空间的典型例子包括n元有序实数对$(x_1,x_2,...,x_n)$以及所有n次实系数多项式构成的集合$P_n(R)$。
二、基本概念1. 向量向量是指向量空间中的元素。
2. 零向量零向量是指满足向量空间中定义的加法有零元的向量，用0表示。
3. 运算在向量空间中，有两种运算：加法和数乘。
向量空间中的任何向量都可以通过加法和数乘来表示。
4. 线性组合若给定向量空间V中的n个向量${\{v_1, v_2, …, v_n}\}$以及n 个标量${\{k_1, k_2, …, k_n}\}$，则它们的线性组合是指如下表达式：${v=k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=\sum_{i=1}^n k_iv_i}$其中，${v_1, v_2, …, v_n}$是向量空间V中的向量，${k_1,k_2, …, k_n}$是一个数域k中的标量。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
高考数学中的线性代数中的向量空间
高考数学中的线性代数中的向量空间在高考数学中的线性代数部分，向量空间是一个非常重要的概念。
它不仅仅是一种数学对象，还应用于科学和工程领域，成为一个重要的工具。
本文将对向量空间的定义、基本性质以及实际应用等方面进行探讨。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是一种包含了向量加法和数乘运算的集合。
具体来说，向量空间必须满足下列性质：1. 对于任意两个向量u和v，它们的和u+v也是一个向量。
2. 对于任意一个向量u和任意一个数k，它们的积ku也是一个向量。
3. 向量加法是满足交换律和结合律的。
4. 存在一个零向量，使得对于所有的向量u，u+0=u。
5. 对于每一个向量u，存在它的负向量-v，使得u+v=0。
6. 数乘运算满足结合律和分配律。
7. 对于任意两个数k和j以及向量u，有(k+j)u=ku+ju，以及k(u+v)=ku+kv。
如果一个集合满足上述性质，就称它是一个向量空间。
一般地，向量空间的元素被称为向量。
二、向量空间的基本性质向量空间有许多基本性质，这使得它成为了一种非常有用的数学对象。
下面介绍一些重要的基本性质。
1. 一个向量空间的零向量是唯一的。
2. 向量的加法和数乘都是封闭的，也就是说，向量空间中的任意向量加上另一个向量空间中的向量或与一个标量乘法的结果仍然在向量空间中。
3. 向量空间的任意向量都有唯一的负向量。
4. 向量的加法和乘法都是满足分配律的。
5. 向量空间中的任意向量可以用基向量的线性组合表示出来。
6. 向量空间中的基向量是线性无关的。
在向量空间中，我们可以利用基向量和系数，将每一个向量表示成一个线性组合。
这个表示方法在数学和工程领域中都非常有用，例如在计算机图像处理和机器学习中。
三、向量空间在实际应用中的例子向量空间是一个非常有用的数学工具，它在科学和工程领域中有许多应用。
下面介绍一些例子。
1. 图像处理在计算机图像处理中，我们将一幅图像看成像素组成的向量。
这些向量在RGB或CMYK空间中表示每个像素的颜色。
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
[考研数学]自考线性代数第二章向量空间
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第二章 向量空间打印本页内容提要：n 维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。
向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。
一、向量空间及其子空间1.n 维向量及其线性运算例：坐标原点0（0，0）为起点，以M （x,y ）为终点的向量OM ，称为点M 的位置向量或点M 的向径，可用有序数组（X ，Y ）来表示，而M 1（x 1，y 1）为起点，M 2（x 2，y 2）为终点的向量m 1m 2可用二元有序数组（x 2－x 1，y 2－y 1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a 1，a 2，a 3）来表示。
定义： 称由n 个数a 1，a 2……a n 组成的有序数组（a 1，a 2……a n ）为一个n 维向量，数a i 称为该向量的第i 个分量。
（i=1,2……，n ）行向量：（a 1，a 2……a n ）列向量：α,β，x ，y……等来表示向量，用ai, xi, yi ……等来表示向量的分量向量的相等：如果两个n 维向量α=（ a 1，a 2……a n ），β=（ b 1，b 2……b n ）的对应分量相等，即ai=bi （I=1,2……n ）则称向量α与β相等，记为α=β零向量：分量全是零的n 维向量称为n 维零向量，记为0负向量：对于向量α=（a 1，a 2……a n ）称-α=（-a 1,-a 2.……-an ）为α的负向量。
向量的线 性运算：加法运算=（a1,a2,---,an）=（b1，b2，---bn）与的和为：+=（a1+b1，a2+b2，……，an+bn）数乘运算：k（或k）=（ka1，ka2，……，kan）减法运算：-=+（-）=（a1-b1，a2-b2，……an-bn）向量的线性运算法则：（1）+=+（2）（+）+=+（+）（3）+0=（4）+（-）=0（5）1=（6）k（l）=（kl）（7）k（+）=k+k（8）（k+l）=k+l向量的转置和乘法矩阵一致例：设向量=（4，7，-3，2）=（11，-12，8，58）求满足5-2=2（-5）的向量解：∵5-2=2（-5）∴15=2+2∴=（+）=（15，-5，5，60）=（2，，8）由向量的定义，一个mxn的矩阵可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，……，ain）（i=1，2，……m）组成的，或看成是由n个m维列向量=（j=1，2，…，n）组成的。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线性代数笔记11——向量空间
线性代数笔记11——向量空间 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。
在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
线性组合 线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。
从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。
如果有两个⼆维向量： 下⾯是可能存在的线性组合： 最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。
此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。
单个向量同样存在线性组合。
下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间 概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。
这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。
下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。
向量张成的空间 如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。
简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。
如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线： 同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
线性代数 向量空间
r 基， 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r维向量 维数， 空间． 空间． 的维数为r 记做dimV=r 若V的维数为r，记做dimV=r
称为0维向量 ）只含有零向量的向量空间V称为 说明 （1）只含有零向量的向量空间 称为 维向量 空间， 它没有基． 空间，即dimV=0,它没有基． 它没有基 看作向量组， （2）若把向量空间 V看作向量组，那么 V 的基 ） 就是向量组的极大无关组 极大无关组, 维数就是向量组的 就是向量组的极大无关组 V 的维数就是向量组的 秩. 例6 任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R n 的一个基,
所以向量组 a1 ，a2 ， ，am 的极大无关组就是 L 的一个基 ， L 向量组 a1 ，a2 ， ，am 的秩就是 L 的维数 . L
三定 3 若 量 a ， 2 ，， r 是 量 间 的 个 ， . 义： 向 组 1 a L a 向 空 V 一 基
那么 V 中任一向量 x 可唯一表示为 x = x1a1 + x2 a2 + L + xr ar，
3.5向 3.5向 量 空 间
又称线性空间） （Vector Space, 又称线性空间）
一、向量空间简介
定义1 维向量的集合，如果集合V非空， 定义1 设V为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法 加法及 两种运算封闭 封闭， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 向量空间． 集合V为向量空间． 说明 所谓封闭 ，是指在集合 V 中进行加法
Q
a = (0 , a2 , L , a n ) T ∈ V , b = (0 , b2 , L , bn ) T ∈ V , a + b = (0, a2 + b2 ,L , an + bn )T ∈ V ,
线性代数-向量空间
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 ⊂ V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n维向量所组成的向量空间， 显然V ⊂ Rn 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 α1,α2, ,αr ∈V，且满足
一般地，由向量组a1, a2 ,, am所生成的向量空 间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R}
例5 设向量组a1 ,,am与向量组b1 ,,bs等价， 记
V1 = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R} V2 = {x = µ1b1 + µ2b2 + + µ sbs µ1 , µ2 ,µ s ∈ R}
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 α1 ,α 2 , ,α r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V = {x = λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r λ1 , ,λr ∈ R}
例6 设矩阵 2 2 − 1
0
1
0
−2 3
1
0
1
1
−5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 −2
3
3
1
0
0
1
−1
2 3
1 0 0 2 4
线性代数中的向量空间理论
线性代数中的向量空间理论向量空间是线性代数中重要的概念之一，它以向量作为基本元素，以及定义在向量上的运算来构成一个数域上的线性空间。
向量空间理论从数学的角度解释了向量的性质和运算规律，为解决具有线性结构的问题提供了有效的数学工具。
本文将重点介绍向量空间的定义、基本性质和常见应用。
一、向量空间的定义向量空间V被定义为一个非空集合，其中定义了两种运算：向量的加法和数乘运算。
具体要求满足以下8个条件：1. 加法封闭性：对于V中的任意向量x和y，它们的和x+y仍然在V中。
2. 加法结合律：对于V中的任意向量x，y和z，有(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 加法交换律：对于V中的任意向量x和y，有x+y=y+x。
4. 存在零向量：存在一个零向量0，对于V中的任意向量x，有x+0=x。
5. 存在逆向量：对于V中的任意向量x，存在一个逆向量-x，使得x+(-x)=0。
6. 数乘封闭性：对于V中的任意向量x和实数a，它们的数乘积ax 仍然在V中。
7. 数乘结合律：对于V中的任意向量x和y，以及实数a，有a(x+y)=ax+ay。
8. 数乘分配律：对于V中的任意向量x和实数a、b，有(a+b)x=ax+bx和(a*b)x=a(bx)。
二、向量空间的基本性质1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，任意向量与零向量的和等于自身。
2. 逆向量的唯一性：向量空间中的每个向量都存在唯一的逆向量。
3. 零乘性质：对于V中的任意向量x和实数a，有a0=0和(-a)x=-(ax)。
4. 向量加法单位：对于V中的任意向量x，有1x=x。
5. 数乘加法单位：对于V中的任意向量x和实数a，有(ax)+(-a)x=(a+(-a))x=0x=0。
三、向量空间的常见应用1. 几何向量的表示：向量空间为解决几何问题提供了数学工具，通过向量运算可以实现向量的平移、旋转、缩放等操作，并用向量表示线段、直线、平面等几何对象。
2. 线性方程组的解法：线性方程组的解可以通过向量空间的概念得到简洁而通用的表示方法，进而求解线性方程组的解或研究其性质。
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
线性代数-向量空间
同理可证 L(β1 β2 …，βr) L(α1, α2 , …,αs)
故
L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
k (ka1, ka2 ,, kan ) R n
故Rn,是一个向量空间。 例3.4.2 证明 （1）集合
V1 (0, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
是一个向量空间；
（2）集合
V2 (1, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
不是一个向量空间。 证 （1）显然集合V1非空，对任意
过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次 线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为 α=(k1,k2, …,km)T，于是
k11 k2 2 km m
(1 ,2 ,,m)
(1 ,2 ,,m)P 0
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。 前面我们已经指出，同一向量在不同
基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之 间的关系如何呢？
设
x11 x2 2 x3 3
把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量 的对应分量，可得线性方程组
x1 x2 x3 2
2x3 3
2x1 x2 5
解之，得
x1
9 2
,
x2 4,
x3
3 2
于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
( 9 , 4, 3 )
2
2
3.4.3 基变换与坐标变换 我们知道，向量空间V的基不是唯一
线性代数 第五章 向量空间
称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向 线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量 维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2
mn1n , mn2n ,
m11
M=
m21
mnnn .
mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n
mnn
1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向 的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分
线性代数中的向量空间基础
线性代数中的向量空间基础线性代数是数学中的一个重要学科，其中向量空间是其中的一个基础概念。
本文将从向量的定义开始介绍向量空间的概念和基础。
一、向量的定义在数学中，一个向量通常被定义为一个有大小和方向的量，用箭头表示。
向量可以有任意多个维度，我们通常将向量表示为一列数或者一行数的形式，例如：\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} 或者 [1, 2]二、向量空间的定义向量空间是所有向量的集合，并且满足以下条件：1. 对于所有的向量，它们的和仍然在集合内。
即如果 u 和 v 是向量空间中的向量，则 u + v 也在向量空间中。
2. 对于所有的向量，它们的数量积仍然在集合内。
即如果 u 是向量空间中的向量，k 是一个标量，则 ku 也在向量空间中。
3. 向量空间必须包含零向量，即大小为 0 的向量。
向量空间是线性代数中最基本的概念之一，任何一个向量都必须属于某一个向量空间。
三、向量空间的几何表示向量空间的几何表示通常是在三维空间中表示，我们可以将空间中的每个向量看作三个坐标轴上的一个终点，例如：\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} 表示三维空间中从坐标原点到 (1, 2, 3) 这个点的向量。
四、向量空间的基在向量空间中，存在一组向量，可以用它们来表示向量空间中的任意向量。
这些向量被称为向量空间的基，简称为基。
一个向量空间的基必须满足以下条件：1. 基中的向量必须线性无关，即不能表示成其他向量的线性组合。
2. 基中的向量必须能够表示向量空间中的所有向量。
通常情况下，向量空间的基不是唯一的，在选择基的时候，我们希望它尽可能的简单。
五、基的性质在向量空间中，基有一些基本的性质：1. 基中的向量的个数相等。
2. 基中的向量唯一的组合方式可以表示向量空间中的所有向量。
3. 基中的向量不能有任何一个向量的线性组合表示成另一个向量的线性组合。
4. 基的顺序并不影响向量的表示。
线性代数第四章-向量空间
第四章 向量的线性相关性§1n 维向量一个含有0，1的数集P ，如果对于P 中任意两个数的四则运算结果仍在这个数集中（除数不为0），则称该数集P 为一数域。
容易验证整数集不是数域；有理数集Q 、实数集R 、复数集C 均为数域，以后分别称之为有理数域、实数域和复数域。
对于任一数域P ，有Q P C ⊂⊂。
定义1：数域P 中n 个数构成的有序数组12(,,,)n a a a L 称为数域P 上的n 维向量，向量常用希腊字母,,αβγ等表示。
其中i a 称为向量的第i 个分量。
若n 维向量12(,,,)n a a a α=L 和12(,,,)n b b b β=L 的对应分量相等，即i ia b =（1,2,i n =L ），称向量α与β相等，记为αβ=。
向量12(,,,)n a a a α=L 也称为n 维行向量。
n 维行向量可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
矩阵中关于加法与数乘的性质也适合向量的加法与数乘。
向量有时为了方便也写成列的形式()1212,,,nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪' ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 。
称为n 维列向量。
作为列向量时可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
数域P 上全体n 维向量的集合对于线性运算称为数域P 上的n 维向量空间，记为n P 。
§2 线性相关性一、线性表示定义2：设12,,,s αααL 是一组n 维向量，12,,,s k k k L 是一组数，称向量1122s s k k k ααα+++L 为向量组12,,,s αααL 的一个线性组合。
如果某一向量α可表示成1122s s k k k αααα=+++L ，则称向量α可由12,,,s αααL 线性表示。
例如向量组()11,2,1α=-，()22,3,1α=-，()30,1,1α=-，有3122ααα=-，称3α可由12,αα线性表示。
注意：线性方程组AX B =的增广矩阵可写成分块矩阵形式12(,,,|)s αααβL 。
线性代数与向量空间
线性代数与向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量、向量组以及它们之间的线性关系和运算规律。
向量空间是线性代数的核心概念之一，在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性代数的基本概念和向量空间的特点。
一、向量的定义与性质1.1 向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用字母加箭头表示，如→a。
1.2 向量的性质（1）向量加法：向量与向量相加，按照平行四边形法则进行。
（2）向量数量乘法：向量乘以一个实数，得到一个与原向量长度相似但方向可能相反的向量。
二、向量空间的定义与性质2.1 向量空间的定义向量空间是由一组向量组成的集合，满足以下条件：（1）向量空间中的任意两个向量的加法仍然在向量空间中。
（2）向量空间中的向量与实数的乘积仍然在向量空间中。
（3）向量空间中存在一个零向量，使得任意向量与零向量相加得到自身。
（4）向量空间中的任意向量都有一个相反向量。
2.2 向量空间的性质（1）向量空间中的向量加法满足交换律和结合律。
（2）向量空间中的标量与向量进行运算满足结合律和分配律。
（3）向量空间中的零向量是唯一的。
（4）向量空间中的每个向量都有唯一的相反向量。
三、向量空间的子空间及其性质3.1 子空间的定义子空间是向量空间中的一个子集，本身也是一个向量空间，满足以下条件：（1）子空间中的任意两个向量的加法仍然在子空间中。
（2）子空间中的向量与实数的乘积仍然在子空间中。
（3）子空间包含零向量。
3.2 子空间的性质（1）子空间是向量空间的一个子集，其中的向量运算和标量运算仍然满足向量空间的性质。
（2）子空间的维度小于等于原向量空间的维度。
（3）子空间中的向量组也是线性相关或线性无关的。
四、向量空间的基与维度4.1 基的定义基是指向量空间中的一个向量组，它可以通过线性组合来表示向量空间中的任意向量。
4.2 维度的定义维度是指向量空间的基中向量的个数，记作dim(V)。
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若存在数 k1 , k 2 , k 3 使 k1a1 k2a2 k3a3 0
k1 k 2 k 3 0 即 k1 2 k 2 6 k 3 0 k 3k 3k 0 2 3 1 1 1 1
因为其系数行列式 D= 1 2 6 8 0 1 3 3 于是方程组只有零解， 1 k 2 k 3 0 k
所组成的集合叫做向量组。
设
k a1 ,a 2 ,a s , 是n维向量组， 1 , k 2 , k s
是一组实数， 则称k1 a1 k 2 a 2 k s a s
是向量组a1 , a 2 ,as 的线性组合。
例如向量
a1=(4 ,1,3 ,- 2) , a 2=(1,2 ,- 3 ,2) , a 3=(16,9 ,1,- 3) ,
V2 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 1 ,
V1 ,V2 是不是 R n 子空间？为什么？ 问
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用． 答 36维的． 如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
(1)
则称向量组a1 ,a2 ,as 线性相关；
否则称之为线性无关。
(1 即当且仅当 k1 k2 k s 0 时， )式才成立，
则称向量组 a1 ,a2 ,as , 线性无关。
注 意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关.
（2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
必要条件是两向量的对应分量成比例。其几
设 n 维向量 a (a1 , a2 , an ) T ,
b (b1 , b2 , bn )T
则当且仅当a i b（i 1,2, n）时, i 称向量 a与 b 相等，记作a b
定义4.3 分量全为零的向量0,0,0) 称为零向量， (
记作0 0， ， （ 0， 0）
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个n维列向量所组成的向量 1 , 2 , , m , 组 构成一个 m 矩阵 n
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m 个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
何意义是两向量共线。
（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
(4) 对于任一向量组不是线性无关就是线性 . , 相关
例4.7
对向量组a1
1 = 1 , 1
a2
0 = 2 , 5
a3
由于
- a1 -a2
1 0 1 = - 1 - 2 = - 3 = -2a3 1 5 6
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算
n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实数a1 , a 2 , a n 组成的有序数组 称为实数域上的 维向量。 n
记作：a (a1 , a 2 ,a n ) （称行向量）
AX b
特别地 当b为零向量时，即 0，称为m个 AX
方程n个未知量的齐次线性方 程组。
二、n维向量空间
定义4.6
实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为 为实数域上的n维向量空间。记作 R n
设V是R n的一个非空子集，如果 满足 定义4.7
（1） 若对 a, b V, 则a b V （2） 若对 a V , k R, 则ka V
就称V是R n的子空间
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
运算规律
由上述定义，对任意的维向量a,b,c及实数k , l， n 向量加法与数乘运算满 足下列八条性质： (1) a b b a
(2) (a b) c a (b c ) ( 3) a 0 a (4) a ( a ) 0 (5) 1a a (6) k (la) (kl )a (7) k (a b) ka kb (8) (k l )a ka la
1 2 3 = , 2 3
即
a1 a2 2a3 0
- 1，1，不全为零，按定义 1 ,a2 ,a3 ,线性相关。 - 2 a
例4.8 试判断下列向量组的线性相关性
a1 = (1,1,1)T , a2 = (1,2,3)T , a3 = (1,6,3)T ,
也称向量b可由向量组
例如 对向量 有
a1 ,a 2 ,a s , 线性表示。
a1 = (0,1)T , a2 = (1,1)T , a3 = (-2,4)T , b = (3,5)T
b = -4a1 + 5a2 a3 及 b = 2a1 + 3a2 + 0a3 3 还有 b = 11a1 + 0a2 - a3 2
3a1 + 5 a2 - a3 = (1,4 ,- 7 ,7) T ,
就是这3个向量
T
T
T
a1 , a2 , a3 的一个线性组合。
设b, a1 , a 2 ,a s , 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1 , k 2 , k s 使得
k1a1 k 2 a 2 k s a s b 则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 ,a s , 的线性组合，
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
定义4.2
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
二、向量组的线性相关与线性无关
定义4.9
如果对给定向量组A： a1 ,a2 ,as ,
k1 , k 2 , k s
存在不全为零的实数
使得
k1a1 k2a2 k s a s 0
所以 b是a1 , a2 , a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
n维向量
n维向量的概念、表示
n维向量的运算 向量
向量在生产实践与科 学研究中的广泛应用
向量空间的概念
向量空间
解析几何与线性代数
中向量的联系与区别
思 考 题
设 V1 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 0,
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
例4． V ( x ,0,0)T x R是R 3的子空间 1
例4． 2 V (0,0,0,0)T }是R 4的子空间，通常称其 为零子空间。
例4． 3
V ( x,0,1) x R不是R 的子空间
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
第二节 向量组的线性相关性
向量、向量组与矩阵 向量组的线性相关与线性无关
向量组线性相关的判定定理
一、向量、向量组与矩阵
对于矩阵 (aij ) mn 有n个m维列向量 A
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地 矩阵A (aij ) mn 又有m个n维行向量 ,
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2ຫໍສະໝຸດ a1 n a2n a in a mn
n维行向量
第n个分量
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)