线性代数 向量空间
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一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
例4． V ( x ,0,0)T x R是R 3的子空间 1
例4． 2 V (0,0,0,0)T }是R 4的子空间，通常称其 为零子空间。
例4． 3
V ( x,0,1) x R不是R 的子空间
所以
a1 ,a2 ,a3 ,
线性无关。
例4.9
试 判断下列向量组的线性相关性
a1 a2 也记作a (a1 , a 2 ,a n )T 或a （称列向量） a n
其中ai 称为向量 的第i ( i 1,2, n)个分量 a
例如
( 1 2 n , , , )
第2个分量 第1个分量
T 3
(a,0,1) (b,0,1) (a b,0,2) V
即V对向量的加法不封闭。
例4． V (0, x 2 , x 3 , x n ) x i R, i 2,3, n 4
T
是R n的子空间。
三、向量组的线性组合与线性表示
定义4.8 由若干个同维数的列向量（或行向量）
所组成的集合叫做向量组。
设
k a1 ,a 2 ,a s , 是n维向量组， 1 , k 2 , k s
是一组实数， 则称k1 a1 k 2 a 2 k s a s
是向量组a1 , a 2 ,as 的线性组合。
例如向量
a1=(4 ,1,3 ,- 2) , a 2=(1,2 ,- 3 ,2) , a 3=(16,9 ,1,- 3) ,
所以 b是a1 , a2 , a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
n维向量
n维向量的概念、表示
n维向量的运算 向量
向量在生产实践与科 学研究中的广泛应用
向量空间的概念ຫໍສະໝຸດ Baidu
向量空间
解析几何与线性代数
中向量的联系与区别
思 考 题
设 V1 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 0,
也称向量b可由向量组
例如 对向量 有
a1 ,a 2 ,a s , 线性表示。
a1 = (0,1)T , a2 = (1,1)T , a3 = (-2,4)T , b = (3,5)T
b = -4a1 + 5a2 a3 及 b = 2a1 + 3a2 + 0a3 3 还有 b = 11a1 + 0a2 - a3 2
何意义是两向量共线。
（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
(4) 对于任一向量组不是线性无关就是线性 . , 相关
例4.7
对向量组a1
1 = 1 , 1
a2
0 = 2 , 5
a3
由于
- a1 -a2
1 0 1 = - 1 - 2 = - 3 = -2a3 1 5 6
运算规律
由上述定义，对任意的维向量a,b,c及实数k , l， n 向量加法与数乘运算满 足下列八条性质： (1) a b b a
(2) (a b) c a (b c ) ( 3) a 0 a (4) a ( a ) 0 (5) 1a a (6) k (la) (kl )a (7) k (a b) ka kb (8) (k l )a ka la
第二节 向量组的线性相关性
向量、向量组与矩阵 向量组的线性相关与线性无关
向量组线性相关的判定定理
一、向量、向量组与矩阵
对于矩阵 (aij ) mn 有n个m维列向量 A
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
特别地
ka ( ka1 ,
ka2 ,
kan )T
取k 1, 有 ： a (a1 ,a 2 , ,a n )T 称 其 为 a 的 负 向 量 。 此 外 (b)写 作 a b称 之 为 a a与b的 差.
注意 向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则 进行运算
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个n维列向量所组成的向量 1 , 2 , , m , 组 构成一个 m 矩阵 n
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m 个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
就称V是R n的子空间
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
V2 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 1 ,
V1 ,V2 是不是 R n 子空间？为什么？ 问
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用． 答 36维的． 如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算
n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实数a1 , a 2 , a n 组成的有序数组 称为实数域上的 维向量。 n
记作：a (a1 , a 2 ,a n ) （称行向量）
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
定义4.2
定义4.4 设 a (a1 , a2 ,an )T , b (b1， b2， bn )T
规定a与b和 a b为：
a b (a1 b1 , a2 b2 , an bn )
T
定义4.5
设 a ( a1 , a 2 , a n ) , k R ，
T
规 定 数k与 向 量a的 数 乘 为 ：
AX b
特别地 当b为零向量时，即 0，称为m个 AX
方程n个未知量的齐次线性方 程组。
二、n维向量空间
定义4.6
实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为 为实数域上的n维向量空间。记作 R n
设V是R n的一个非空子集，如果 满足 定义4.7
（1） 若对 a, b V, 则a b V （2） 若对 a V , k R, 则ka V
解
若存在数 k1 , k 2 , k 3 使 k1a1 k2a2 k3a3 0
k1 k 2 k 3 0 即 k1 2 k 2 6 k 3 0 k 3k 3k 0 2 3 1 1 1 1
因为其系数行列式 D= 1 2 6 8 0 1 3 3 于是方程组只有零解， 1 k 2 k 3 0 k
a11 a 其中 A 21 a m 1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 x b a2 n , X 2, b 2 amn xn bm
(1)
则称向量组a1 ,a2 ,as 线性相关；
否则称之为线性无关。
(1 即当且仅当 k1 k2 k s 0 时， )式才成立，
则称向量组 a1 ,a2 ,as , 线性无关。
注 意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关.
（2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
必要条件是两向量的对应分量成比例。其几
3a1 + 5 a2 - a3 = (1,4 ,- 7 ,7) T ,
就是这3个向量
T
T
T
a1 , a2 , a3 的一个线性组合。
设b, a1 , a 2 ,a s , 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1 , k 2 , k s 使得
k1a1 k 2 a 2 k s a s b 则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 ,a s , 的线性组合，
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
设 n 维向量 a (a1 , a2 , an ) T ,
b (b1 , b2 , bn )T
则当且仅当a i b（i 1,2, n）时, i 称向量 a与 b 相等，记作a b
定义4.3 分量全为零的向量0,0,0) 称为零向量， (
记作0 0， ， （ 0， 0）
1 2 3 = , 2 3
即
a1 a2 2a3 0
- 1，1，不全为零，按定义 1 ,a2 ,a3 ,线性相关。 - 2 a
例4.8 试判断下列向量组的线性相关性
a1 = (1,1,1)T , a2 = (1,2,3)T , a3 = (1,6,3)T ,
n维行向量
第n个分量
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)
坐 标 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
n 维向量的实际意义
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地 矩阵A (aij ) mn 又有m个n维行向量 ,
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
二、向量组的线性相关与线性无关
定义4.9
如果对给定向量组A： a1 ,a2 ,as ,
k1 , k 2 , k s
存在不全为零的实数
使得
k1a1 k2a2 k s a s 0
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
例4． V ( x ,0,0)T x R是R 3的子空间 1
例4． 2 V (0,0,0,0)T }是R 4的子空间，通常称其 为零子空间。
例4． 3
V ( x,0,1) x R不是R 的子空间
所以
a1 ,a2 ,a3 ,
线性无关。
例4.9
试 判断下列向量组的线性相关性
a1 a2 也记作a (a1 , a 2 ,a n )T 或a （称列向量） a n
其中ai 称为向量 的第i ( i 1,2, n)个分量 a
例如
( 1 2 n , , , )
第2个分量 第1个分量
T 3
(a,0,1) (b,0,1) (a b,0,2) V
即V对向量的加法不封闭。
例4． V (0, x 2 , x 3 , x n ) x i R, i 2,3, n 4
T
是R n的子空间。
三、向量组的线性组合与线性表示
定义4.8 由若干个同维数的列向量（或行向量）
所组成的集合叫做向量组。
设
k a1 ,a 2 ,a s , 是n维向量组， 1 , k 2 , k s
是一组实数， 则称k1 a1 k 2 a 2 k s a s
是向量组a1 , a 2 ,as 的线性组合。
例如向量
a1=(4 ,1,3 ,- 2) , a 2=(1,2 ,- 3 ,2) , a 3=(16,9 ,1,- 3) ,
所以 b是a1 , a2 , a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
n维向量
n维向量的概念、表示
n维向量的运算 向量
向量在生产实践与科 学研究中的广泛应用
向量空间的概念ຫໍສະໝຸດ Baidu
向量空间
解析几何与线性代数
中向量的联系与区别
思 考 题
设 V1 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 0,
也称向量b可由向量组
例如 对向量 有
a1 ,a 2 ,a s , 线性表示。
a1 = (0,1)T , a2 = (1,1)T , a3 = (-2,4)T , b = (3,5)T
b = -4a1 + 5a2 a3 及 b = 2a1 + 3a2 + 0a3 3 还有 b = 11a1 + 0a2 - a3 2
何意义是两向量共线。
（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
(4) 对于任一向量组不是线性无关就是线性 . , 相关
例4.7
对向量组a1
1 = 1 , 1
a2
0 = 2 , 5
a3
由于
- a1 -a2
1 0 1 = - 1 - 2 = - 3 = -2a3 1 5 6
运算规律
由上述定义，对任意的维向量a,b,c及实数k , l， n 向量加法与数乘运算满 足下列八条性质： (1) a b b a
(2) (a b) c a (b c ) ( 3) a 0 a (4) a ( a ) 0 (5) 1a a (6) k (la) (kl )a (7) k (a b) ka kb (8) (k l )a ka la
第二节 向量组的线性相关性
向量、向量组与矩阵 向量组的线性相关与线性无关
向量组线性相关的判定定理
一、向量、向量组与矩阵
对于矩阵 (aij ) mn 有n个m维列向量 A
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
特别地
ka ( ka1 ,
ka2 ,
kan )T
取k 1, 有 ： a (a1 ,a 2 , ,a n )T 称 其 为 a 的 负 向 量 。 此 外 (b)写 作 a b称 之 为 a a与b的 差.
注意 向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则 进行运算
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m 个n维列向量所组成的向量 1 , 2 , , m , 组 构成一个 m 矩阵 n
A ( 1 , 2 ,, m )
1T m 个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 , m , B 构成一个m n矩阵 T m
就称V是R n的子空间
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
V2 x ( x1 , x2 ,, xn ) x1 ,, xn R满足x1 xn 1 ,
V1 ,V2 是不是 R n 子空间？为什么？ 问
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用． 答 36维的． 如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算
n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实数a1 , a 2 , a n 组成的有序数组 称为实数域上的 维向量。 n
记作：a (a1 , a 2 ,a n ) （称行向量）
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
定义4.2
定义4.4 设 a (a1 , a2 ,an )T , b (b1， b2， bn )T
规定a与b和 a b为：
a b (a1 b1 , a2 b2 , an bn )
T
定义4.5
设 a ( a1 , a 2 , a n ) , k R ，
T
规 定 数k与 向 量a的 数 乘 为 ：
AX b
特别地 当b为零向量时，即 0，称为m个 AX
方程n个未知量的齐次线性方 程组。
二、n维向量空间
定义4.6
实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为 为实数域上的n维向量空间。记作 R n
设V是R n的一个非空子集，如果 满足 定义4.7
（1） 若对 a, b V, 则a b V （2） 若对 a V , k R, 则ka V
解
若存在数 k1 , k 2 , k 3 使 k1a1 k2a2 k3a3 0
k1 k 2 k 3 0 即 k1 2 k 2 6 k 3 0 k 3k 3k 0 2 3 1 1 1 1
因为其系数行列式 D= 1 2 6 8 0 1 3 3 于是方程组只有零解， 1 k 2 k 3 0 k
a11 a 其中 A 21 a m 1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 x b a2 n , X 2, b 2 amn xn bm
(1)
则称向量组a1 ,a2 ,as 线性相关；
否则称之为线性无关。
(1 即当且仅当 k1 k2 k s 0 时， )式才成立，
则称向量组 a1 ,a2 ,as , 线性无关。
注 意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关.
（2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
必要条件是两向量的对应分量成比例。其几
3a1 + 5 a2 - a3 = (1,4 ,- 7 ,7) T ,
就是这3个向量
T
T
T
a1 , a2 , a3 的一个线性组合。
设b, a1 , a 2 ,a s , 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1 , k 2 , k s 使得
k1a1 k 2 a 2 k s a s b 则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 ,a s , 的线性组合，
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
设 n 维向量 a (a1 , a2 , an ) T ,
b (b1 , b2 , bn )T
则当且仅当a i b（i 1,2, n）时, i 称向量 a与 b 相等，记作a b
定义4.3 分量全为零的向量0,0,0) 称为零向量， (
记作0 0， ， （ 0， 0）
1 2 3 = , 2 3
即
a1 a2 2a3 0
- 1，1，不全为零，按定义 1 ,a2 ,a3 ,线性相关。 - 2 a
例4.8 试判断下列向量组的线性相关性
a1 = (1,1,1)T , a2 = (1,2,3)T , a3 = (1,6,3)T ,
n维行向量
第n个分量
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)
坐 标 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
n 维向量的实际意义
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地 矩阵A (aij ) mn 又有m个n维行向量 ,
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
二、向量组的线性相关与线性无关
定义4.9
如果对给定向量组A： a1 ,a2 ,as ,
k1 , k 2 , k s
存在不全为零的实数
使得
k1a1 k2a2 k s a s 0