增益与相位裕量

K
s(10.2s)1(0.0s5)
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调
整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40
解：
增益裕度
相位穿越频率 x
(x)G (jx)H (jx) 1 80
(x ) 9 a 00 r . 2 x c a t0 r g . 0c x 5 t 1 g 80
K
1
1(T1
T3)
T2 T3 T1T3
A
(T1T3)T2T1T3T3 K1 6
5.7相对稳定性 5.7.1相位裕度和增益裕度
G 平面
Im
1
0 Re
判断系统稳定 的又一方法
K 大时 K 小时
图5-46 G( j) 的极坐标图
0
h(dB)0
1 8 0 G (j c)H (j c)
h 2lA0 oG (g jx)H (jx)
第15讲
程向红
控制系统的校正
系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正
A
1
例5-6 设一个闭环系统具有下列
Im 0
GH 平面
开环传递函数 G(s)H(s) K s(Ts1)
试确定该闭环系统的稳定性。
Re
解
H(s)G(s)
1
在右半s平面内有一个极点 s 1
T
P1
0
Байду номын сангаас
图5-44 H(j)G(j)极坐标图
7
相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 c
A (j c)G (j c)H (jc) 1
定义相角裕度为 1 8 0 G (j c)H (j c)
当 0 时，相位裕量为正值；
当 0 时，相位裕度为负值。
增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h
4K
1 K
Re
图5-45表明 H(s)G(s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 R1
0
ZRP0
图5-45 H(j)G(j)极坐标图
说明
1H(s)G(s)
没有零点位于右半s平面内，闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是
回路闭合后A，变成稳定系统的例子。 3
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)(T1T2s2T2K s1)T (3s1) 式中 K,T1,T2和T3
均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
T1,T2和T3 之间满足什么关系？
解 ： G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 ) 频率特性
G (j )
K
ej( )
[1 ( T 1 T 22 )2 (T 2)2 ]1 [ (T 3)2 ]
1 8(0 c ) 1 8 10 0 7 4 6
A
12
Magnitude (dB)
K1 K2.5
K5.2
Bode Diagram 20
10
0
-10
-20
-30
-40 -90
h(dB) h(dB) h(dB)
Phase (deg)
-135
-180
-225
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
c
x
0
Log
Negative
dB
Gain Margin
cLog
0
x
90 180 270
Log
Positive Phase Margin
Stable System
A
90 180 270
Log
Negative Phase Margin
Unstable System
9
Positive Im
Gain Margin
11
2 0 7 12d8B
相位裕度
增益穿越频率 c 截止频率
根据K=1时的开环传递函数
G(jc)H(jc)1
G (jc)jc(1j0.21 c)1(j0.0 5c)
1
1
c (10.0 4c2)1(0.002 c2)5
c 1
(c ) 9 a 00 r . 2 c c a t0 r g . 0c c 5 1 tg 0
Kc
G Plane Negative Im
Phase Margin
G Plane
1
h
1
1
-1
Re
G( j) -1
Re
G( j)
Positive Phase Margin
1 h
Negative Gain Margin
Stable System
Unstable System
A
10
例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
图5-44中的奈奎斯特图表明，
H(s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次
R1
ZR P 2
这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，
因此系统是不稳定的。 A
2
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。
0
Im GH 平面
3
在右半s平面内有一个极渐点近线s 1 P1 因此开环系统是不稳定的
()arc1 tT T g12T 22arc3 t gT
G (j0)Kj0
G (j )0j0
A
4
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T 1 1 ,T 2 2 ,T 3 3 ,K 2
0
ReA0a.l5Axis
1
1.5
2
5
G (j)[T 1 T 2(j)2 T 2 K j 1 ]T (3j 1 )
设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency) x
(x )G (jx )H (jx ) (2 k 1 )
k0,1,
定义幅值裕度为
1 h
G(jx)H(jx)
若以分贝表示，则有 h 2Al0 oG (g jx)H (jx)
8
Positive
dB
Gain Margin
即 a 10.02r 0 .2.2 xc xx 0 .0t0.a 05g 5xr x0 .0 c x 5 t 9 g1 0 0.2 x t0.g0 (1 5 x 20 )1tgt1xg 1tt1g0g 22
在 x 处的开环对数幅值为
h (d) B 2l0 o G (g jx)H (jA x)
展开
？与负实
轴的交点
K
T 1 T 2 T 3 (j)3 (T 1 T 2 T 2 T 3 )j()2 (T 2 T 3 )j 1
K
1 T 2(T 1 T 3)2 (T 2 T 3 T 1 T 2 T 32)j
令虚部为零即可 T2T3T1T2T3 20
c
T2 T3 T1T2T3
与负实轴相交于 G (jc)1T2(T 1 K T 3)2c1T2(T 1 K T 3)T T 2 2T 1T T 3 3