运筹学邮递员问题
运筹学最短路邮递员问题
算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ωij ≥0 情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示vs 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示vs 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
或v1 →v4。
v1 →vv31→5v36 或
v1 →v4→v6
22
30
41
59
23
16
v2v24→1 v61262
v3v33→1 v6 17 30
v4v42→3 v167 23
v5v51→8 v618 v6
41
31
21
2
6
5
08
7
1
17
2
1
9
32
5
9 3
79
66
11 2 13
431 4
9
1
10
21
p（v2）=3 3
v2
p（v1）=0 v1
p（v3）=4
6
51 1
v4
7 4
v5
v3 2 3
5
v7
26 v6 9
15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
数学与应用数学论文-中国邮递员问题的数学模型名师教案与资料
目录前言 (1)第一章中国邮递员问题的整数规划模型 (2)1.1 图论中模型 (2)1.2 中国邮递员问题的整数规划模型[5] (6)1.2.1 传统中国邮递员问题的建模 (6)1.2.2 广义中国邮递员问题及其建模 (7)1.2.3随机中国邮递员问题及其建模[7] (11)第二章中国邮递员问题的DNA计算 (14)2.1 DNA计算模型 (14)2.2 中国邮递员问题的图论模型变换 (15)2.3中国邮递员问题的DNA算法[11] (16)2.4 总结 (19)第三章中国邮路问题的数学模型 (20)3.1 问题的重述 (20)3.2 需解决的问题 (21)3.3 问题假设 (21)3.4 符号说明 (22)3.5 问题一的建模与求解 (23)（一）模型的分析与建立 (24)3.6 模型的求解 (27)结语 (30)致谢 (31)参考文献 (32)前言图论是一个新的数学分支，也是一门很有实用价值的学科，它在自然科学，社会科学等各领域均有很多应用。
近年来，计算机技术在图论中的应用使得图论得到飞速的发展，应用范围也不断拓广，已渗透到诸如语言学，逻辑学，物理学，化学，电讯工程，计算机科学以及数学的其它分支中。
特别在计算机科学中，如形式语言，数据结构，分布式系统，操作系统等方面均扮演着重要的角色。
最早的图论问题要追溯到1736年的哥尼斯堡七桥问题，而且在19世纪关于图论的许多重要结论都已相继提出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
其实现实生活中的许多问题都是可以通过图论中的相关知识得以解决的，这些例子俯拾即是。
例如，住在城市里的人出行的街道, 抽象出来就是由顶点(结点)和边(线) 构成的图, 在这个图上, 清洁工人必须把这个城市的所有街道清扫一遍，也就是走完所有的边，于是, 清洁工人马上遇到一个十分重要的图论问题: 怎样扫才能一条不落地把所有街道扫上一遍，而且使得所走的总路程最短，这就是典型的欧拉回路问题。
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
运筹学课件4.8 中国邮递员问题
哥尼斯堡七桥问题与欧拉图 中国邮递员问题 求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法 奇偶点图作业法的改进方法
一、哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
哥尼斯堡七桥问题 欧拉图与一笔画问题
A
A C B 哥尼斯堡七桥问题 C D
D
B
二、中国邮递员问题
1962年，管梅谷先生提出 中国邮递员问题 若图中无奇点，欧拉圈即为所求 若图中有奇点，则奇点必为偶数，在奇点间加边 （重复走），使其变为偶数而成欧拉图。 中国邮递员问题是要求所加边的权之和最小。
三、求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法
在奇点间加边，构造初始可行方案。 寻找改进可行方案：在两奇点间检查所有链，若 某链的长度小于已加重复边的长度，则在该链的 每边加上重复边，去掉原重复边。 重复以上步骤，直到任意两奇点间加重复边的链 是最短的为止。
求解中国邮递员问题：例子
v2
1 2 3 6
v3
4 2
5 1 2 2
v1
v6
v4
3
v5
例子的初始可行解
v2
1 2 3 6
v3
v4
4 2 3
5 1 2 2
5
v1
v6
2
v5
例子的修正解
v2
1 1 2 3 6
v3
v4
4 2 3
5 1 2 2 2
v1
v6
v5Leabharlann 四、奇偶点作业法的改进方法
奇偶点作业法的瓶颈是需检查太多的链 可以首先求出任意一对奇点之间的最短路， 从中选出总路长最小的组合方案。 也可以由奇点构成偶图，求最小匹配得到 最优解。
(优选)中国邮递员问题
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要 求呢？
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
v1 2
v8 4
v7
5 v2 6
3 v9 4
3 v6
5
4
4
9
4
v3
v4
v5
图2
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？
若不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案
最优方案必须满足以下（1）（2）两个条件：
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
O(|V (G) |2| E(G) |)
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题（Chinese Postman Problem）1．问题的提出例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走的路为最短?5 6 78问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。
1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。
2．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈Euler圈：经图G的每条边的简单圈Euler图：具有Euler圈的图Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈点v 的次：与点V 关联的边的数目奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数命题1：G 的奇点个数为偶数命题2：G 中有伪Euler 圈 ⇔ G 无奇点中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。
对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。
我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。
命题3：E *是最小可行集 ⇔ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑∀μ∈∩∈∩\初等圈重复的边 非重复的边4．算法思路由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i − 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。
中国邮递员问题 ppt课件
中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
中国邮递员问题
中国邮递员问题第一篇：中国邮递员问题运筹学第六组运筹学个人心得之中国邮递员问题我们第六组做的第二次案例就是中国邮递员问题，这个问题是运筹学中的经典命题。
这个案例讲的是：在中国的六个县城，每个县城都有一个县局，县局下面设立若干个邮政所，每天邮递员的任务就是从县局出发，依次到每一个邮政所送邮件，要求每个邮政所都必须去，而且只能去一次。
这就涉及到一个路线的规划问题，怎么走才能使得邮递员走的路最少，而且能够完成任务。
在做题之前考虑了很久，真不知道从何着手，国为以前确实没有接触过这个类型的题，没有一个能够行得通的办法。
后来，我们选定了一个代表性的区域，来尝试求解，国为第六个区域的变量最多，所以就选择这个区域作为突破口。
只要第六个区域求解成功，其它五个区域便迎刃而解了。
首先，我们画了一个由第六区域的十七个点所组成的17*17矩阵，一一对应设定变量，在去除对角线的17个变量之后，我们得到272个变量。
这是一个非常庞大的变量群体，若按传统的线性规划方法求解，求解过程将会变得异常艰辛，而且以前的模板，求解工具都不能求解这么多变量。
所以我们一度陷入混乱，求解工作停滞不前。
后来老师在对这价目案例作初步的讲解的时候，提出了用运输模型来对这个问题进行求解，此话一出，真是如醍醐灌顶，酣畅极了，眼前简直豁然一亮，真想“拍案而起”。
若用运输模型求解，这个问题将会变得非常简单。
一方面由于每行的出发点只能有一个，而每列的终点也只能有一个，这样看来，邮运筹学第六组递员总是变成了一个产销平衡的运输问题，产量和销量都有是1。
这样我们就完成了求解工作，在第一次求解得出结论后，我们画了一个路线图，发现有几个两点循环，没有形成一条大通路，于是我们重新加入了两点循环约束，进行二次求解；在第二次求解完成后，我们又重新画了路线图，结果发现有四点循环于是我们又加入四点循环约束，进行第三次求解，在得到第三次求解的结果后，我们又画出了路线图，这次刚好形成了一个完整的通路，保证了邮递员每点都走到且行走的路线最合理。
中国邮递员问题
h
5
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要
求呢？
h
6
一笔画问题
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制
的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。
谢谢!
上述两算法都是在连通欧拉图中求欧拉 回路的算法.
h
11
中国邮递员问题
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1960年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
h
15
求解中国邮递员问题的算法
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
h
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求解中国邮递员问题的算法（例）
h
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求解中国邮递员问题的算法（例）
h
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解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也
中国邮递员问题算法
G-E（C）仍然无奇数度结点。
?
由于G是连通的，C中应至少存在一点v，使G-
E（C）中有一条包含v的回路C′。（见示意图）
2019/7/8
计算机学院
7
C
v
C'
这样，就可以构造出一条由C和C′组成的 G的回路，其包含的边数比C多，与假设矛盾。 因此，C必是Euler回路，结论成立。
2019/7/8
计算机学院
类似于无向图的讨论，对有向图我们有以下 结论： 定理13-1.2 ⅰ）有向连通图G含有有向欧拉道路，当且仅当
除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度， 而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出 度大1，另一个结点的出度比入度大1。 ⅱ）有向连通图G含有有向欧拉回路，当且仅当G 中的所有结点的入度等于出度。
计算机学院
16
显然，当这个图是欧拉图时，任何一条欧拉回路都 符合要求；当这个图不是欧拉图时，所求回路必然要重复 通过某些边。
对此，管梅谷曾证明，若图的边数为m，则所求回 路的长度最小是m，最多不超过2m，并且每条边在其中 最多出现两次。中国邮递员问题，一般为在带权连通图 中找一条包括全部边的且权最小的关回键路是。：复制哪些边？
V6
d(V2,V5)=3， d(V3,V5)=4
G
各路径:V1V2(3),V3V5(4)—7
V1V3(5),V2V5(3)—8
V1
V1V5(4),V2V3(2)—6
∴两条长度最短P1=V1V7V5,P2=V2V3
3．构造G’的任一E图就是中国邮递员 V6
问题的解。
G′
V2
3
2
1 3
3 6
V3
3
V7
7
免费)中国邮递员问题
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图4
4 4 v 5
检查图4中圈（v1,v2, v9, v6,v7, v8,v1）
的总长度为24，但圈上重复边总权为13， 大于该圈总长度的一半，因此可以做一次 调整，使重复边总长度下降为15。见图5。
v1 5 v2 5 v3
2
v8 3 v9 4
2
v 8 3 v 9
4
v 7 3 v 6
6
4
4 9 v 4
图3
4 4 v 5
第二步：调整可行方案
而给原来没有重复边的边上加上重复边， 图中仍然没有奇点。因而如果在某个圈上 重复边的总权数大于这个圈的总权数的一 半，像上面所说的那样做一次调整，将会 得到一个总权下降的可行方案。
其次，如果把图中某个圈上的重复边去掉，
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯
堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来(如图)。 问是否可能从这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回到起点？
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他
用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示 连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为 一个网络，把七桥问题化成判断连通网络 能否一笔画的问题。之后他发表一篇论文， 证明了上述走法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条件这一著名的 结论。
v 1 3
v2
2
4
v 3
2 v4
5 6 4
v5
8 v6
4
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次，
我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称为 重复边，于是这条路线就是相应的新图中的尤 拉图。 原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。 我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
中国邮递员问题
– 第四步：检查有重复边的线路是否是多余的。即检查重复边的两端是 否已有其他线路相连通，如有的话，可将重复边连同原边从线路图中 删去。发现重复边V4V5的两端可通过其他线路相连，可将V4V5及重复 边一起从线路图中删去。即可得送货线路如下：V0—V1—V2—V3— V5—V6—V10—V9—V12—V7—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度减少为215千米。总长度较前减少了20千米。
A
6
2 2 I 5 4
H 1
4
G 1 F 5
J 3 K 2
D
3
B 3 C
5
E
图中重复边的总距离W1为18＜23(总距离的一半），为可行解； 检查是否每一个闭合圈的重复边的总距离都小于该闭合圈的总距离 的一半。 在圈（A,B,K,J,I,H)中，重复边总距离为8，小于该圈总距离19 的一半，满足要求，不需改进；在圈（B,C,D,K)中，不需改进； 在圈（D,E,F,J)中，不满足要求需改进
A 6 B 3 C 4 5
2
2 I
H 1 J 3 K 2 D
4 3
G 1 F 5
5
E
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1、《物流管理实务》，梁金萍 主编，清华大学出 版社，2010。 2、《运筹学》
– 第二步：考虑到从配货中心出发的送货车辆，在送完所有的门店货物 后，仍需要返回配货中心，故再需对生成的最小树采用中国邮递员线 路的算法进行扩充。 奇点有：V0，V1，V3，V4，V6，V7，V8，V9，V10，V12。故需增加边 V3V5，重复边V0V1，V5V6，V4V9，V9V10，V7V12，V8V12，V9V12等 7条。 粗线部分已给出了送货车量从配送中心出发，送货到10家门店后返回 配货中心的具体路线。即可为：V0—V1—V2—V3—V5—V6—V5—V4— V9—V10—V9—V12—V7—V12—V8—V12—V9—V4—V11—V1—V0。线 路的总长度为251千米。
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
•
新的T（vj）=min{老的T（vj），p（vi）+ ωij }
• 若T（vj）= p（vi）+ ωij ，则记k（vj ）=vi（前点标记）;
• 3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若vt 已获得p
标号，则已找到最短路，由k（vt）反向追踪，就可找出vs 到vt 的最
短路径，p（vt）就是vs 到vt 的最短距离。否则，转2°。
p（v2）
=3 3
p（v1） v1
p（v=30）
=4
6
v2
51 1
v4
7 4
v5
v3 3 2
5
v7
26 v6 9 15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
向继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表
示vs到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，
表示vs到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
• 1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞;
• 2°由刚刚获得p标号的vi 点出发，改善它的相邻点vj 的T标号,即
对于点v2 ：d（v2）=min｛16+31,22+23,30+18,41｝=41， v对2→于v点6 v；1 ：d（v1）=min｛16+41,22+31,30+23,41+18,59｝
试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。
关于中国邮递员问题研究和发展的历史回顾
２ ０ １ ０数 学分类号 ９ ０ Ｃ０ ８ ， ６ ８ Ｒ１ ０ ， ０ ５ Ｃ８ ５
Ａ ｈｉ ｓ ｔ ｏｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ ｏ ｎ ｔ ｈｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ａ ｎｄ ｄｅ ｖｅ ｌ ｏｐｍ ｅ ｎ ｔ
ｏ ｆ Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ ｐ ｏ ｓ ｔ ｍａ ｎ ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ
０ 引 言
在 数 学 史上 ，以中 国命 名 的 问题 或 定理 出现 得 不 多．有 一个 “ 中 国余 数 定理 ”是 广 为人 知 的． 这个 定理 在１ ０ ０ ０ 多 年前就 知道 了． 不过 ，在近 代又 出现 了一个 以中 国命 名 的 问 题 ，那就 是 “ 中国邮递 员 问题 （ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｐ ｏ ｓ ｔ ｍａ ｎ Ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ 以下简称 Ｃ Ｐ Ｐ ） ”． 这个 问题 是 ： 个 邮递 员每 次 上班 ， 要 走 遍他 负 责送信 的所 有 街道 最后 回到邮 局 ，问应 该 怎样 走才 能 使所 走 的路程 为最 短？ 这个 问题之 所 以被称 为 “ 中国邮递 员 问题 ” ， 可 以想 象是在 中 国并且是 由中国人 最早 提 出 的．事实 上 ， Ｃ Ｐ Ｐ最早 是 出现在 我 写 的文 ｆ １ ］ 中．在 这篇 文 章 中， 同时还给 出了解这 个 问题 的一 个算法 ， 就 是奇 偶 点 图上 作业 法 ． 但 是在 『 １ ］ 中， 没 有给 出所提 问题 的名 称 ．
２ ０ １ ５ 年９ 月
Ｓ ｅ ｐ ｔ ． ， ２ ０ １ ５
运 筹 学 学 报
Ｏｐｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
第ｌ ９ 卷 第３ 期
中国邮递员问题(第五版)
中国邮递员问题引言H T T P ://W W W .588K U .C O M /P P Tu 中国邮递员问题是由山东师范大学管梅谷同志1960年首先提出的。
u 该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg)七桥问题。
u 这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题或定理之一。
u 七桥问题是图论和拓扑学的起源。
引言1哥尼斯堡七桥问题2欧拉图及判定定理3Fleury算法4中国邮递员问题5奇偶点图上作业法6理论根据（选讲）哥尼斯堡(Königsberg)今称加里宁格勒，建城于1255年，是位于波罗的海海岸的俄罗斯海港城市与加里宁格勒州的首府。
加里宁格勒州位于波兰北方、立陶宛西南，原为德国东普鲁士一部分，现为俄罗斯的外飞地。
图1 加里宁格勒图2 哥尼斯堡七桥示意图有一条普雷格尔(Pregel)河流经哥尼斯堡，河上有七个桥。
一个散步者能否从某处出发走遍七个桥且每个桥只走一次，最后回到出发点？哥尼斯堡七桥问题大数学家欧拉在1736年解决了这个问题。
欧拉Euler(1707-1783)莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）u瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。
u欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一。
u欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文。
u30岁左右右眼几乎完全失明，60岁左右左眼又几乎完全失明。
u在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。
u1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。
n 将上图中A，B，C和D这四个区域各看成一个顶点，两区域之间有一个桥相连，就将相应的两个顶点连一条边，得到一个图。
AB CD图3 七桥问题对应图欧拉Euler(1707-1783)的走法为一个欧拉通路。
n如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回路）。
n具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
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v1 v2
v3
v5
A D 图8.26
B
v4
图8.27
v6
4
二．图上作业法 从一笔画问题的讨论可知，一个邮递员 在他所负责投递的街道范围内，如果街道构 成的图中没有奇点，那么他就可以从邮局出 发，经过每条街道一次，且仅一次，并最终 回到原出发地。但是，如果街道构成的图中 有奇点，他就必然要在某些街道重复走几次。 例如 , 在图 8.27 表示的街道图中， v1 表 示邮局所在地，每条街道的长度是 1 ，邮递 员可以按照以下的路线行走：
5
v1-v2-v4-v3-v2-v4-v6-v5-v4-v6-v5-v3-v1,
总长是12。 也可以按照另一条路线走：
v1-v2-v3-v2-v4-v5-v6-v4-v3-v5-v3-v1,
总长是11。 按 照 第 1 条 路 线 走 ， 在 边 [v2,v4],[v4,v6],[v6,v5] 上各走 3 两次，按照 第 2 条路线走，在边 [v3,v2],[v3,v5]上各走了 两次。
9
（一）初始邮递路线的确定方法 由于任何一个图中，奇点的个数为偶数， 所以如果一个连通图有奇点，就可以把它们两 两配成对，而每对奇点之间必有一条链（图是 连通的），我们把这条链的所有边作为重复边 追加到图中去，这样得到的新连通图必无奇点， 这就给出了初始投递路线。 例如，在图 8.29 中， v1 是邮局所在地，并 有四个奇点 v2,v4,v6,v8, 将它们两两配对，比 如v2和v4为一对，v6和v8为一对。
一．一笔画问题 一笔画问题，也称为遍历问题，是很 有实际意义的。 设有一个连通多重图 G ，如果在 G 中存 在一条链，经过G的每条边一次且仅一次， 那么这条链叫做欧拉链。如在G中存在一 个简单圈，经过G的每条边一次，那么这 个圈叫做欧拉圈一个图如果有欧拉圈， 那么这个图叫做欧拉图。很明显，一个 图G如果能够一笔画出，那么这个图一定 是欧拉图或者含有欧拉链。
推论 一个多重连通图G有欧拉链的 充分必要条件是G有且仅有两个奇点。
这个推论的证明留给读者作为习题。 从这个定理的证明可以看出，识别一个连通 图能否一笔画出的条件是它是否有奇点。若有奇 点，就不能一笔画出。若没有奇点，就能够一笔 画出，并回到原出发地。
3
比如前面提到的哥尼斯堡七桥问题， 欧拉把它抽象成具有四个项点，并且都 是奇点的图 8.26 的形状。很明显，一个 漫步者无论如何也不可能重复的走完七 座桥，并最终回到原出发地。图 8.27 。 仅有两个奇点，可以一笔画出。 C
6
在连通图 G 中，如果在边 [vi,vj] 上重复走几次，那么就在点 vi,vj 之 间增加了几条相应的边，每条边的 权和原来的权相等，并把新增加的 边叫做重复边。显然，这条路线构 成新图中的欧拉圈。如图 8.28a, b 所示。并且，邮递员的两条边走路 线总路程的差等于新增加重复边总 权的差。
若G1是连通的，则由归纳假设，G1有欧拉圈C1。 把C1中的边[w,μ]换成[μ,v],[w,v]，即是G中的 欧拉圈。若G1有两个分图G1’，G1’’，令v在G1’中。 由归纳假设，G1’，G1’’分别有欧拉圈C1’，C1’’，把 C1” 中的边 [μ,w] 换成 [μ,v],C1’ 及 [v,w] 即是 G 中 的欧拉圈。
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中国邮递员问题
v1
5 2
v8
3
4
v7
3
v2
5
6
v9
4
4
v6
4 4
v3
9
v4
v5
图8.29
11
在连接 v2 和 v4 的链中任取一条 ，比如链 （ v2,v1,v8,v7,v6,v5,v4 ） , 在 加 入 重 复 边 [v2,v1],[v1,v8],[v8,v7],[v7,v6],[v6,v5],[v5,v4 ]. 同 样 ， 任 取 连 接 v6 和 v8 的 一 条 链 (v8,v1,v2,v3,v4,v5,v6), 在 加 入 重 复 边 [v8,v1],[v1,v2],[v2,v3],[v3,v4],[v4,v5],[v5,v6 ].于是，得到图8.30 在连通图 8.30 中，没有奇点，故它是欧拉 图。对于这条邮递路线，重复边的总长 为:2W12+W23+W34+2W45+2W56+W67+W78+2W18=51。
1
定理 一个连通多重图 G 是欧拉图的 充分必要条件是G中无奇点。
证:必要性，显然。 充分性，不妨设，连通多重图 G至少有三 点，对 G 的边数 q 用数学归纳法。因为 G 是连通的， 并且不含奇点，故q>=3。 当 q=3 时，显然 G 是欧拉图。假设 q=n 时成立， 看q=m+1的情形：由于 G是无奇点的连通图，并且 G的点数p>=3，因此存在三个点μ，v,w,使得[μ， v],[w,v]∈E 。从 G 中去掉边 [μ， v],[w,v] ，增 加新的边[μ，w]，得到一个新的多重图G1，G1有 q-1条边，且仍不含奇点，G1至多有两个分图。
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（v2,v1,v8,v7,v6,v5,v4） (v8,v1,v2,v3,v4,v5,v6)
v1
5
2
v8
3
4
v7
3
v2
5
6
v9
4
4
v6
4
v3
9
v4
4
v5
图8.30
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（二）改进邮递路线，使重复边的总长不断减 少。 从图 8.30 中可以看出，在边 [v1,v2] 旁边有两 条重复边，但是如果把他们都从图中去掉，所得 到的连通图仍然无奇点，还是一个邮递路线，而 总 长 度 却 有 所 减 少 。 同 理 ， 在 边 [v1,v8],[v4,v5],[v5,v6]旁边的重复边也是一样的。 一般地，在邮递路线上，如果在边 [vi,vj]旁 边有两条以上的重复边，从中去掉偶数条，那么 可以得到一个总长度较少的邮递路线。
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v1-v2-v4-v3-v2-v4-v6-v5-v4-v6-v5-v3-v1
v1
v3
v5
v1
v3
v5
v2
a
v4
v6
v2
v4
b
v6
v1-v2-v3-v2-v4-v5-v6-v4-v3-v5-v3-v1
图8.28
8
中国邮递员问题也可以表示为：在 一个有奇点的连通图中。要求增加一 些重复边，使得新的连通图不含有奇 点，并且增加的重复边总权最小。 我们把增加重复边后不含奇点的新 的连通图叫做邮递路线，而总权最小 的邮递路线叫做最优邮递路线。 (下略) 下面我们来介绍初始邮递 路线的确定，改进，以及一个邮递路 线是否是最优路线的判定标准的方法 -----图上作业法。