江苏省普通高校对口单招数学试卷及答案

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1．若集合{1,2}M =，{2,3}N =，则MN 等于 （ ）A ．{2}B ．{1}C ．{1,3}D ．{1,2,3}2．若函数()cos()f x x ϕ=+（πϕ≤≤0）是R 上的奇函数，则ϕ等于 （ ） A ．0 B ．4π C ．2πD ．π 3．函数2()f x x mx n =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是 （ ） A ．2m =-B ．2m =C ．2n =-D ．2n =4．已知向量(1,)a x =，(1,)b x =-．若a b ⊥，则||a 等于 （ ）A ．1BC ．2D ．45．若复数z 满足(1)1i z i +=-，则z 等于 （ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．i -6．若直线l 过点(1,2)-且与直线2310x y -+=平行，则l 的方程是 （ ） A ．3280x y ++=B ．2380x y -+= C ．2380x y --=D ．3280x y +-=7．若实数x 满足2680x x -+≤，则2log x 的取值范围是 （ ）A ．[1,2]B ．(1,2)C ．(,1]-∞D ．[2,)+∞8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为a ，则方程012=++ax x 有两个不相等实根的概率为 （ ） A ．32 B ．31 C ．21 D ．1259．设双曲线22221x y a b-=（0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为方程为 （ ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．12y x =± 10．若偶函数()y f x =在(,1]-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ） A ．3()2f -<(1)f -<(2)f B ．(1)f -<3()2f -<(2)f C ．(2)f <(1)f -<3()2f - D ．(2)f <3()2f -<(1)f -11．若圆锥的表面积为S ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）A ．C ．12．若过点(3,0)A 的直线l 与圆C ：22(1)1x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 （ ）A ．(B ．[C ．(,)33-D ．[]33- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．sin150︒=． 14．已知函数()f x 11x =+，则[(1)]f f =． 15．用数字0，3，5，7，9可以组成个没有重复数字的五位数（用数字作答）． 16．在ABC ∆中，====B A b a 2cos ,23sin ,20,30则． 17．设斜率为2的直线l 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与y 轴交于点A ．若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则此抛物线的方程为．18．若实数x 、y 满足220x y +-=，则39xy+的最小值为． 三、解答题（本大题7小题，共78分）19．（6分）设关于x 的不等式||x a -<1 的解集为(,3)b ，求a b +的值． 20．（10分） 已知函数x x x f cos )tan 31()(+=．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若21)(=αf ，)3,6(ππα-∈，求αsin 的值． 21．（10分）已知数列{n a }的前n 项和为n S 2n n =-，n N +∈．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设2na nb =1+，求数列{n b }的前n 项和n T ．22．（10分）对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点． 已知2()(1)(1)f x ax b x b =+++-．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）假设12a =，求证：对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点． 23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为31与p ．假设乙投篮两次，均未命中的概率为254．（1）若甲投篮4次，求他恰命中3次的概率； （2）求乙投篮的命中率p ；（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数ξ的概率分布与数学期望． 24．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求①二面角1D EC D --的大小（用反三角函数表示）；②点B 到平面1ECB 的距离．BA25．（14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为23，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为5．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，且过点(9,)D m 的直线DA 、DB 与此椭圆的另一个交点分别为M 、N ，其中0m ≠．求证：直线MN 必过x 轴上一定点（其坐标与m 无关）．江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13．12 14．23 15．96 16．1317．28y x = 18．6 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本小题6分）解：由题意得11x a -<-< ，……………………………………………………………… 1分 11a x a -+<<+， ………………………………………………………… 1分113a ba -+=⎧⎨+=⎩ ，……………………………………………………………… 2分 解得21a b =⎧⎨=⎩， ……………………………………………………………… 1分所以3a b +=．………………………………………………………… 1分20．（本小题10分）解：（1）由题意得()cos f x x x =………………………………………………… 1分2sin()6x π=+ ， …………………………………………………… 2分所以函数()f x 的最小正周期2T π=．…………………………… 1分（2）由1()2f α=得 1sin()64πα+=， ………………………………………………………… 1分因为(,)63ππα∈-，所以(0,)62ππα+∈， ………………………… 1分cos()64πα+==， ………………………… 1分从而sin sin[()]66ππαα=+- sin()cos cos()sin 6666ππππαα=+-+1142== ………………………… 3分 21．（本小题10分）解：（1）当1n =时，211110a S ==-= ， ……………………………… 1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-22()[(1)(1)]n n n n =-----22n =-， …………………………………………… 2分综合得 22n a n =-，n ∈N + ……………………………………… 2分（2）222121n an n b -=+=+141n -=+， ………………………………… 1分 21(1444)n n T n -=+++++1(14)14n n ⨯-=+-4133n n =+-． ………………………………… 4分22．（本小题10分）（1）解：由题意得2(21)(21)x x x +-++--=， …………………………… 1分即2230x x --=，解得11x =-，23x =， …………………………………… 2分所以函数()f x 的不动点是1-和3．…………………………… 1分 （2）证明：由题意得21(1)(1)2x b x b x +++-=，①…………………………… 1分 即21(1)02x bx b ++-=， …………………………… 1分 因为判别式22(1)b b ∆=--222b b =-+…………………………… 2分2(1)1b =-+0>， …………………………… 1分所以方程①有两个相异的实根，即对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点． …… 1分 23．（本小题14分）解：（1）记甲投篮4次，恰命中3次的概率为1P ，由题意得1P =334128C ()3381⨯⨯=．…………………………… 4分 （2）由题意得24(1)25p -=， …………………………… 3分 解得35p =．…………………………………………… 1分 （3）由题意ξ可取0，1，2 ， ………………………………… 1分154)531()311()0(=-⨯-==ξP ，15853)311()531(31)1(=⨯-+-⨯==ξP ，1535331)2(=⨯==ξP ． 所以ξ的概率分布列为……………………………………………3分1514153215811540)(=⨯+⨯+⨯=ξE ．……………………………………2分24．（本小题14分）（1）证明：连接1AD ．在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1AD AA =，所以11AA D D 为正方形，从而11AD A D ⊥．因为点E 在棱AB 上，所以1AD 就是1ED 在平面11AA D D 上的射影，从而11D E A D ⊥． …………………………………………… 4分（2）解：①连接DE ．由题意知11AD AA ==，1AE EB ==．在Rt DAE ∆中，DE ==在Rt EBC ∆中，EC ==，从而2224DE EC DC +==，所以EC DE ⊥， 又由1D D ⊥面ABCD 知1D D EC ⊥，即1EC D D ⊥， 从而EC ⊥面1D DE ，所以1EC D E ⊥，因此1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角． ………………… 2分 在1Rt D DE ∆中，11tan 2D D D ED DE ∠===， 得1D ED∠arctan2=， 即二面角1D EC D --的大小为arctan2． ………………… 3分 ②设点B 到平面1ECB 的距离为h ，由11EB BC BB ===知11EC BC B E ==1242ECB S ∆==．…………………………… 1分 因为11B ECB B ECBV V --=，所以111133ECB ECB S h S BB ∆∆⋅=⋅，即11113232h ⋅⋅=⋅⋅，所以3h =， 故点B 到平面1ECB的距离为3． …………………………… 4分 25．（本小题14分）解：（1）设右焦点为)0,(c ，则由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=532c a a c ， …………………………………………… 2分 解得 ⎩⎨⎧==23c a ，所以 549222=-=-=c a b ，椭圆C 的方程为 15922=+y x ．……………………………………… 2分 （2）由（1）知 )0,3(),0,3(B A -,直线DA 的方程为 )3(12+=x my ………………………………………1分 直线DB 的方程为 )3(6-=x my ……………………………………… 1分设点M 的坐标为 ),(11y x ，点N 的坐标为 ),(22y x ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=159)3(1222y x x m y ， ……………………………………… 1分 得 0451291254)1295(22222222=-+++m x m x m ， 由于),0,3(-A M ),(11y x 是直线DA 与此椭圆的两个交点，所以 2222211295451293m m x +-=⋅-， 解得221803240m m x +-=，从而2118040)3(12mmx m y +=+=．…………2分 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=159)3(622y x x m y ， ……………………………………… 1分 得 04569654)695(22222222=-+-+m x m x m ， 由于),0,3(B N ),(22y x 是直线DB 与此椭圆的两个交点，所以 22222269545693m m x +-=⋅，解得22220603m m x +-=，从而2222020)3(6m mx m y +-=-=． ………… 2分 若21x x =，则由 222220603803240mm m m +-=+-，得402=m 此时121==x x ，从而直线MN 的方程为1=x ，它过点E )0,1(； 若21x x ≠，则402≠m ，直线ME 的斜率2222401018032408040m m m m m mk ME-=-+-+=，直线NE 的斜率222240101206032020m m mm m mk NE-=-+-+-=，得 NE ME k k =, 所以直线MN 过点)0,1(E ，因此直线MN 必过x 轴上的点)0,1(E ． ……………………………… 2分。