lecture_02老少皆宜数学题
高考数学专家讲座2月2日习题

于是,H(x)≤H(1),即 H(x)≤-1<0,即 M′(x)<0,
∴M(x)在[1,e]上单调递减,∴M(x)≥M(e)=2e-e3, 于是有 m>2e-e3,故实数 m 的取值范围是(2e-e3,+∞).
-4-
∴f′(1)=3a+2b+c=0.①
由 f′(x)是偶函数得:b=0.②
又 f(x)在 x=0 处的切线与直线 y=x+2 垂直,
∴f′(0)=c=-1.③
1 由①②③得:a=3,b=0,c=-1,即
f(x)=13x3-x+3.
(2)由已知得:存在实数 x∈[1,e],使 ln x-mx <x2-1,
答案:A 3.已知函数 f(x)=13x3+ax2+3x+1 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( )
A.( 3,+∞) B.(-∞,- 3) C.(- 3, 3) D.(-∞,- 3)∪( 3,+∞) 解:f′(x)=x2+2ax+3. 由题意知方程 f′(x)=0 有两个不相等的实数根,
所以 Δ=4a2-12>0, 解得:a> 3或 a<- 3.
ln
a x-x>-x+2,即
a<xln
x+x2-2x.
设函数 g(x)=xln x+x2-2x,则 g′(x)=ln x+2x-1.
因为 x∈(1,+∞),所以 ln x>0,2x-1>0,
所以当 x∈(1,+∞)时,g′(x)=ln x+2x-1>0,
故函数 g(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增,
所以 x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.
根据题意可知存在 x∈[1,2],使得 g(x)=x2-2ax+4≤-1,即 x2-2ax+5≤0,
即
x5 a≥2+2x能成立,令
推荐学习K12高考数学专题训练 20分钟专题突破(4)旧人教版

数学20分钟专题突破04平面解析几何一.选择题1. 直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移1个单位,所得到的直线为( ) (A)1133y x =-+ (B)113y x =-+ (C)33y x =- (D)113y x =+2.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界),A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点.若点()P x y ,、点()P x y ''',满足x x '≤且y y '≥,则称P 优于P '.如果Ω中的点Q 满足:不存在Ω中的其它点优于Q ,那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A .AB ︵ B . BC ︵ C .CD ︵ D . DA ︵3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为 A .2- B .2 C .4- D .44.P 是双曲线22x y 1916-=的右支上一点,M 、N 分别是圆(x +5)2+y 2=4和(x -5)2+y 2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为A. 6B.7C.8D.9二.填空题:1.若椭圆22:11x C y m +=+的一条准线方程为2-=x ,则=m ;此时,定点)0,21(与椭圆C 上动点距离的最小值为 .2.与双曲线221169x y -=有共同的渐近线,且经过点(A -的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于3.已知点P (x,y )是抛物线y 2=x 上任意一点,且点P 在直线0=++a y ax 的上方,则实数a 的取值范围为 .4.已知抛物线)1,0(,22P y x 过点=的直线与抛物线相交于),(),(221,1y x B y x A 两点,则21y y +的最小值是___________三.解答题已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(1)求椭圆E 的方程:(2)若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,(1,0),(1,0)F H -,当DFH 内切圆的面积最大时。
(lecture03)2老少皆宜数学题new.ppt

20 2019/4/14
第三类 技 巧 型
21 2019/4/14
先来看一个简单的题目 铺垫一下:
22 2019/4/14
1021 Fibonacci Again
题目分析:
能被3整除的整数的特点? 如果两个数的和能被3整除,这两个数 有什么特点? 关于能否被3整除,这两个数一共有多 少种组合?
第四类 纸老虎型
33 2019/4/14
HDOJ_1071 The Area
第一眼:傻了…
想一想
笑了…
36 2019/4/14
抛物线公式:y=ax^2+bx+c 已知三点 -〉a、b、c 系数
公式已知 - 〉如何求面积? 会简单积分吗?
37 2019/4/14
第五类 AC基础型
38 2019/4/14
抱歉
如果平面上有n个点,并且每个点至少有2条 曲线段和它相连,就是说,每条曲线都是封 闭的,同时,我们规定: 1)所有的曲线段都不相交; 2)但是任意两点之间可以有多条曲线段。
如果我们知道这些线段把平面分割成了 m份, 你能知道一共有多少条曲线段吗?
42 2019/4/14
分析:从特殊到一般的方法
25 2019/4/14
回到正题
26 2019/4/14
Problem B: Number Sequence
题目特点:
这个题目是一个比较典型的ACM竞 赛题,尽管在真正的大赛中这个题目可 能算比较简单的,但在本次比赛中,本 题难度属于中等,可以说,能做出本题 的队伍基本都有二等奖以上。 但如果不认真分析,有可能会掉入 陷阱。
28 2019/4/14
Question:
高中数学第二课复习题

高中数学第二课复习题高中数学第二课复习题在高中数学的学习过程中,第二课是非常重要的一课,它为我们打下了坚实的基础。
为了巩固这些知识点,我们需要进行复习。
本文将为大家提供一些高中数学第二课的复习题,希望能够帮助大家更好地掌握这些内容。
1. 有一辆火车以每小时80公里的速度行驶,一个小时后另一辆火车以每小时100公里的速度出发,两辆火车相向而行,问多久后两辆火车相遇?解析:这是一个典型的相遇问题。
我们可以设两辆火车相遇的时间为t小时。
根据题意,第一辆火车行驶了80t公里,第二辆火车行驶了100t公里。
由于两辆火车相向而行,所以它们的总路程等于两辆火车行驶的路程之和。
即80t + 100t = 总路程。
根据题意,总路程等于两辆火车相遇时的距离,即80t + 100t= 距离。
解方程可得:180t = 距离。
因此,t = 距离 / 180。
根据题意,我们可以得知距离 = 80 + 100 = 180。
将距离代入方程可得:t = 180 / 180 = 1。
因此,两辆火车将在1小时后相遇。
2. 某商品原价为500元,现在打八折出售,问现在的价格是多少?解析:打折问题是高中数学中常见的应用题。
打八折意味着将原价的80%作为售价。
我们可以用以下公式来计算现在的价格:现价 = 原价× 折扣。
将原价500元代入公式可得:现价= 500 × 0.8 = 400元。
因此,现在的价格是400元。
3. 已知函数f(x) = 2x + 1,求f(3)的值。
解析:这是一个函数运算的问题。
我们需要将x = 3代入函数f(x)中,即f(3) =2 ×3 + 1 = 6 + 1 = 7。
因此,f(3)的值为7。
4. 某数的平方减去这个数的两倍,得到的结果是12,求这个数。
解析:这是一个方程求解的问题。
我们可以设这个数为x。
根据题意,x² - 2x = 12。
将方程化简可得:x² - 2x - 12 = 0。
2025数学大一轮复习讲义人教版 第二章 必刷小题3 基本初等函数

15.已知函数f(x)=lg(|x|+1),则使不等式f(2x+1)<f(3x)成立的x的取值范 围是___x_x_<_-__15_或__x_>_1____.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(x)=lg(|x|+1)的定义域为R,
因为f(-x)=lg(|-x|+1)=lg(|x|+1)=f(x),
所以f(x)是偶函数,
因为当x>0时,f(x)=lg(|x|+1)=lg(x+1)单调递增,
Байду номын сангаас
所以当x<0时,f(x)=lg(|x|+1)单调递减,
由f(2x+1)<f(3x)可得|2x+1|<|3x|,
解得 x<-15或 x>1,
所以 x 的取值范围是xx<-15或x>1
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.若0<a<1,则下列关系成立的是
√A.loga(1-a)>loga(1+a)
√B.loga(1+a)<0
1
1
C. (1 a)3 (1 a)2
√D.a1-a<1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为0<a<1,所以0<1-a<1+a,
因此loga(1-a)>loga(1+a),故A正确; 因为0<a<1,所以1<1+a<2,
6·lg 2·lg
3t ,4z=4log6t=4lglg6t,
lg t>0,
由
C
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而C++则在处理字符串方面较为方便。
14 22.01.2021
Problem E: Elevator
题目评述:
实际上,这是本次比赛最简单的一题, 浙大、浙工大等当时训练水平相对较高 的学校基本上10分钟之内解决该题,这 也是一个没有算法的题目。
if (n%8==2 || n%8==6)
printf("yes\n");
else
printf("no\n");
return 0;
}
26 22.01.2021
回到正题
27 22.01.2021
Problem B: Number Sequence
题目特点:
这个题目是一个比较典型的ACM竞 赛题,尽管在真正的大赛中这个题目可 能算比较简单的,但在本次比赛中,本 题难度属于中等,可以说,能做出本题 的队伍基本都有二等奖以上。
Sample Input 6 12 Sample Output 3
思考:
要输出的结果和哪些 因素有关? 请发表见解。
42 22.01.2021
思考题(2):
(3月4日HDOJ的练习赛题目)
要点分析:
1、暴力的复杂度是多少? 2、哪些陷阱? 3、关键在哪? 4、顺利应该多长时间?
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题目分析:
能被3整除的整数的特点? 如果两个数的和能被3整除,这两个数
有什么特点? 关于能否被3整除,这两个数一共有多
少种组合?
还要看程序吗?
25 22.01.2021
Hdoj_1021程序清单:
数学选修测试题(一)

数学选修2-2试题(一)一、选择题(每小题5分共计60分)1.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为( )A .'0()f xB .'02()f xC .'02()f x -D .0 2. 函数3y x x =+的递增区间是( )A .),0(+∞B .)1,(-∞C .),(+∞-∞D .),1(+∞ 3. 13()i i --的虚部为( )A .8iB .8i -C .8D .8- 4. 数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于( ) A .28 B .32 C .33 D .275. 已知3()z =- ,那么复数z 在平面内对应的点位于( )A .第一象限B . 第二象限C .第三象限D .第四象限6. 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .必要非充分条件7. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( )8. 若复数z 满足)1z z i +=,则2z z +的值等于( )A .1B .0C .1-D .122-+ 9. 函数()323922y x x x x =---<<有( )A .极大值5,极小值27-B .极大值5,极小值11-C .极大值5,无极小值D .极小值27-,无极大值 10. 已知2()(1,)nnf n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 无数个11. ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足( )A .()f x =()g xB .()f x -()g x 为常数函数C .()f x =()0g x =D .()f x +()g x 为常数函数 12. 下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应, 其中正确的命题个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 二、填空题(每小题5分共计30分)1.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________; 2. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .3. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;4. 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
人教A版数学选修2-2习题 第一章 导数及其应用 1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式 Word版含

第一章导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式级基础巩固一、选择题.已知()=,则′()=( )))))解析:因为′()=),所以′()=).答案:.已知()=,若′(-)=-,则的值等于( )..-..-解析:若=,则()=,所以′()=,所以′(-)=×(-)=-适合条件.答案:.一个物体的运动方程为()=-+,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是( ).米秒.米秒.米秒.米秒解析:()=′()=-+,所以()=-+=(米秒).答案:.若曲线=的一条切线与直线+-=垂直,则的方程为( ).+-=.--=.++=.-+=解析:因为与直线+-=垂直,所以的斜率为.因为′=,所以切线的斜率是,得=,所以=.所以切点坐标为(,).所以切线方程为-=(-),即--=.答案:.已知曲线=-的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )...解析:′=-,由-=,得=或=-,由于>,所以=.答案:二、填空题.已知①=(),②=(),③=()都是路程关于时间的函数,且′()=,′()=,′()=,则运动速度最快的是(填序号).解析:由导数的几何意义知,=()的瞬时速度为,=()的瞬时速度为,=()的瞬时速度为,且都是匀速运动,故最快的是③.答案:③.已知=--+,则其导函数的值域为.解析:′=+-≥=,所以′∈),()=,解不等式′()+′()≤的解集为.解析:′()=-,′()=,所以不等式′()+′()≤,变为-+≤.即≥,又≤,所以=,又∈,所以=.答案:.已知抛物线=,直线--=,求抛物线上的点到直线的最短距离.解:根据题意可知与直线--=平行的抛物线=的切线,对应的切点到直线--=的距离最短.设切点坐标为(,),因为′=,则′===,所以=,所以切点坐标为,所以切点到直线--=的距离==,所以抛物线上的点到直线--=的最短距离为.。
2022高考数学精讲精练(新人教a版)第02章函数b

2022高考数学精讲精练(新人教a 版)第02章函数b第6课 二次函数【考点导读】1.明白得二次函数的概念,把握二次函数的图像和性质;2.能结合二次函数的图像判定一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__;对称轴方程为32x =;顶点坐标为 31(,)24-,与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0),最小值为14-. 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__-2___,顶点坐标为(2,3)-,递增区间为(,2]-∞-,递减区间为[2,)-+∞.3. 函数221y x x =--的零点为11,2-.4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <;有两正根的充要条件为0,0,0b c aa∆≥->>;有两负根的充要条件为0,0,b caa∆≥-<>. 5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值范畴是__________.【范例解析】例1.设a 为实数,函数1||)(2+-+=a x x x f ,R x ∈. (1)讨论)(x f 的奇偶性;(2)若2a =时,求)(x f 的最小值. 分析:去绝对值.解:(1)当0=a 时,函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 现在,)(x f 为偶函数.当0≠a 时,1)(2+=a a f ,1||2)(2++=-a a a f ,[1,2])()(a f a f -≠,)()(a f a f --≠.现在)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数. (2)⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=212 3)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ,在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f .故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43.点评:注意分类讨论;分段函数求最值,先求每个区间上的函数最值,再确定最值中的最值.例2.函数()f x 212ax x a=+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ,求)(a g 的表达式.分析:二次函数在给定区间上求最值,重点研究其在所给区间上的单调性情形. 解:∵直线1x a=-是抛物线()f x 212ax x a=+-的对称轴,∴可分以下几种情形进行讨论:(1)当0>a 时,函数()y f x =,2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段,由1x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增,故)(a g (2)f =2+=a ; (2)当0=a 时,()f x x =,2]x ∈,有)(a g =2;(3)当0<a 时,,函数()y f x =,2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段,若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时,)(ag f ==, 若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时,)(a g 11()2f a a a =-=--, 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时,)(a g (2)f =2+=a . 综上所述,有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a .点评:解答本题应注意两点:一是对0a =时不能遗漏;二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向,对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性.【反馈演练】 1.函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥.2.已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ,且图像在x 轴上截得的线段长为8,则此二次函数的解析式为2215y x x =-++.3. 设0>b ,二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一:则a 的值为 ( B )A .1B .-1C .251--D .251+-4.若不等式210x ax ++≥关于一切1(0,)2x ∈成立,则a 的取值范畴是5[,)2-+∞. 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解,则实数m 的取值范畴是(,5][5,)-∞-⋃+∞.6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值,记作()g a .(1)求()g a 的表达式; (2)求()g a 的最大值.解:(1)由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =,当12a≤-时,即2a ≤-时,()(1)25g a f a =-=+;当112a -<<,即22a -<<时,2()()322a a g a f =-=-;当12a ≥,即2a ≥时,()(1)52g a f a ==-;综上,225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.(2)当2a ≤-时,()1g a ≤;当22a -<<时,()3g a ≤;当2a ≥时,()1g a ≤.故当0a =时,()g a 的最大值为3.7. 分别依照下列条件,求实数a 的值:(1)函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2; (2)函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4.解:(1)当0a <时,max ()(0)f x f =,令12a -=,则1a =-;当01a ≤≤时,max ()()f x f a =,令()2f a =,a ∴=;当1a >时,max ()(1)f x f =,即2a =. 综上,可得1a =-或2a =.(2)当0a >时,max()(2)f x f =,即814a +=,则38a =;当0a <时,max ()(1)f x f =-,即14a -=,则3a =-.综上,38a =或3a =-. 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈. (1)对任意12,x x R ∈,比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小; (2)若[1,1]x ∈-时,有()1f x ≤,求实数a 的取值范畴.解:(1)对任意1x ,2x R ∈,212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥.(2)又()1f x ≤,得1()1f x -≤≤,即211x a -≤+≤,得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩,解得10a -≤≤.第7课 指数式与对数式【考点导读】1.明白得分数指数幂的概念,把握分数指数幂的运算性质;2.明白得对数的概念,把握对数的运算性质;3.能运用指数,对数的运算性质进行化简,求值,证明,并注意公式成立的前提条件;4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算. 【基础练习】1.写出下列各式的值:(0,1)a a >≠=3π-; 238=____4____; 3481-=127;log 1a =___0_____; log a a =____1____;log 4=__-4__.2.化简下列各式:(0,0)a b >> (1)2111333324()3a ba b ---÷-=6a -;(2)2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+.3.求值:(1)35log (84)⨯=___-38____;(2)33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____;(3)234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____.【范例解析】 例1. 化简求值:(1)若13a a -+=,求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值; (2)若3log 41x =,求332222x x x x--++的值.分析:先化简再求值.解:(1)由13a a -+=,得11222()1a a --=,故11221a a --=±; 又12()9a a -+=,227a a -+=;4447a a -∴+=,故44224438a a a a --+-=-+-.(2)由3log 41x =得43x =;则33227414223x xx xx x---+=-+=+. 点评:解条件求值问题:(1)将已知条件适当变形后使用;(2)先化简再代入求值. 例2.(1)求值:11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+; (2)已知2log 3m =,3log 7n =,求42log 56.分析:化为同底. 解:(1)原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=; (2)由2log 3m=,得31log 2m=;因此33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn++===++++.点评:在对数的求值过程中,应注意将对数化为同底的对数. 例3. 已知35a b c ==,且112a b+=,求c 的值. 分析:将a ,b 都用c 表示. 解:由35a b c ==,得1log 3c a=,1log 5c b=;又112a b+=,则log 3log 52c c+=, 得215c =.0c >,c ∴=.点评:三个方程三个未知数,消元法求解.【反馈演练】1.若21025x =,则10x -=15.2.设lg321a =,则lg0.321=3a -. 3.已知函数1()lg1x f x x-=+,若()f a b =,则()f a -=-b .4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ,则x 0的取值范畴是(-∞,-1)∪(1,+∞).5.设已知f (x 6) = log 2x ,那么f (8)等于12.6.若618.03=a ,)1,[+∈k k a ,则k =__-1__. 7.已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩<<<,且89)(2=c f .(1)求实数c 的值; (2)解不等式182)(+>x f .解:(1)因为01c <<,因此2c c <, 由29()8f c =,即3918c +=,12c =. (2)由(1)得:4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得,当102x <<时,解得142x <<.当112x <≤时,解得1528x <≤,因此()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念,结合函数y x =,2y x =,3y x =,1y x=,12y x =的图像了解它们的变化情形;2.明白得指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探究并明白得指数函数的单调性;3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范畴是(1,2). 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左,沿y 轴方向向下平移2个单位,得到()2x f x =的图像,则()f x =222x -+. 3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __;单调递增区间1(,]2-∞-;值域14(0,0.3].4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数,则实数a 的取值12-.5.要使11()2x y m-=+的图像不通过第一象限,则实数m 的取值范畴2m ≤-. 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点,则此定点坐标为1(,0)2.【范例解析】例1.比较各组值的大小:(1)0.20.4,0.20.2,0.22, 1.62; (2)b a -,b a ,a a ,其中01a b <<<; (3)131()2,121()3. 分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性. 解:(1)0.20.200.20.40.41<<=,而0.2 1.6122<<,0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<.(2)01a <<且b a b -<<,b a b a a a -∴>>.(3)111322111()()()223>>. 点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注意通过0,1等数进行间接分类.例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值;解:因为()f x 是奇函数,因此(0)f =0,即111201()22x x b b f x a a +--=⇒=∴=++又由f (1)= -f (-1)知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+,求证: (1)函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数; (2)方程()0f x =没有负根. 分析:注意反证法的运用. 证明:(1)设121x x -<<,122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x a a x x --=-+++,1a >,210x x a a ∴->,又121x x -<<,因此210x x ->,110x +>,210x +>,则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数.(2)设存在00x <0(1)x ≠-,满足0()0f x =,则0021x x a x -=-+.又001xa <<,002011x x -∴<-<+即0122x <<,与假设00x <矛盾,故方程()0f x =没有负根.点评:本题要紧考察指数函数的单调性,函数和方程的内在联系.【反馈演练】1.函数)10()(≠>=a a a x f x 且关于任意的实数y x ,都有( C ) A .)()()(y f x f xy f =B .)()()(y f x f xy f +=C .)()()(y f x f y x f =+D .)()()(y f x f y x f +=+2.设713=x,则( A ) A .-2<x <-1 B .-3<x <-2 C .-1<x <0 D .0<x <13.将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像,可得到函数2log (1)y x =+的图像.A .先向左平行移动1个单位B .先向右平行移动1个单位C .先向上平行移动1个单位D . 先向下平行移动1个单位4.函数b x a x f -=)(的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( C )A .0,1<>b aB .0,1>>b aC .0,10><<b aD .0,10<<<b a5.函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3,则a 的值为___2__. 6.若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根,求实数m 的取值范畴. 解:由4220x x m ++-=得,219422(2)224xxxm =--+=-++<,(,2)m ∴∈-∞ 7.已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-. (1)判定()f x 的奇偶性;(2)若()f x 在R 上是单调递增函数,求实数a 的取值范畴. 解:(1)定义域为R ,则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--,故()f x 是奇函数. (2)设12x x R <∈,12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-, 当01a <<时,得220a -<,即01a <<; 当1a >时,得220a ->,即a >综上,实数a的取值范畴是(0,1))⋃+∞.第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.明白得对数函数的概念和意义,能画出具体对数函数的图像,探究并明白得对数函数的单调性;2.在解决实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型;3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数,对数函数的单调性问题. 【基础练习】 1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4.2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞. 【范例解析】例1. (1)已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数,则实数a 的取值范畴是_________.(2)设函数2()lg()f x x ax a =+-,给出下列命题:①)(x f 有最小值; ②当0=a 时,)(x f 的值域为R ; ③当40a -<<时,)(x f 的定义域为R ;④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增,则实数a 的取值范畴是4-≥a . 则其中正确命题的序号是_____________. 分析:注意定义域,真数大于零.解:(1)0,1a a >≠,2ax ∴-在[0,1]上递减,要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数,则1a >;又2ax -在[0,1]上要大于零,即20a ->,即2a <;综上,12a <<. (2)①)(x f 有无最小值与a 的取值有关;②当0=a 时,2()lg f x x R =∈,成立;③当40a -<<时,若)(x f 的定义域为R ,则20x ax a +->恒成立,即240a a +<,即40a -<<成立;④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增,则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅,不成立.点评:解决对数函数有关问题第一要考虑定义域,并能结合对数函数图像分析解决. 例3.已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2,求函数)(x f 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.分析:利用定义证明复合函数的单调性. 解:x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x xx 得由因此函数)(x f 的定义域为(-1,0)∪(0,1).因为函数)(x f 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x ,有)()11log 1(11log 1)(22x f x xx x x x x f -=-+--=+---=-,因此)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在(0,1)内的单调性,任取x 1、x 2∈(0,1),且设x 1<x 2 ,则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0,即)(x f 在(0,1)内单调递减,由因此)(x f 奇函数,因此)(x f 在(-1,0)内单调递减.点评:本题重点考察复合函数单调性的判定及证明,运用函数性质解决问题的能力. 【反馈演练】1.给出下列四个数:①2(ln 2);②ln(ln 2);③;④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2.设函数()log ()(0,1)af x x b a a =+>≠的图像过点(2,1),(8,2),则a b +等于___5_ _.3.函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,则定点A 的坐标是(2,1)--. 4.函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为12.5.函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6.下列四个函数:①lg y x x =+; ②lg y x x =-;③lg y x x =-+;④lg y x x =--.其中,函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7.求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值. 解:2222()log 2log (log 1)(log 2)4x f x x x x =⋅=+-222log log 2x x =--令2log t x =,1[,4]2x ∈,则[1,2]t ∈-, 即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值. 故函数()f x 的最大值为0,最小值为94-. 8.已知函数()log ax b f x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>.(1)求()f x 的定义域;(2)判定()f x 的奇偶性;(3)讨论()f x 的单调性,并证明. 解:(1)解:由 0x bx b+>-,故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞.(2)()log ()()a x bf x f x x b-+-==---,故()f x 为奇函数. (3)证明:设12b x x <<,则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-,第6题12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-.当1a >时,12()()0f x f x ∴->,故)(x f 在(,)b +∞上为减函数;同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数;当01a <<时,12()()0f x f x ∴-<,故)(x f 在(,)b +∞,(,)b -∞-上为增函数.第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负,判定一元二次方程根的存在性及根的个数,了解函数零点与方程根的联系.2.能借助运算器用二分法求方程的近似解,并明白得二分法的实质.3.体验并明白得函数与方程的相互转化的数学思想方法. 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点.2.已知函数()f x 的图像是连续的,且x 与()f x 有如下的对应值表:则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个. 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[-c ,c ]上的奇函数,其图象如图所示:令()()g x af x b =+, 则下列关于函数()g x 的结论:①若a <0,则函数()g x 的图象关于原点对称;②若a =-1,-2<b <0,则方程()g x =0有大于2的实根; ③若a ≠0,2b =,则方程()g x =0有两个实根; ④若0a ≠,2b =,则方程()g x =0有三个实根. 其中,正确的结论有___________. 分析:利用图像将函数与方程进行互化.解:当0a <且0b ≠时,()()g x af x b =+是非奇非偶函数,①不正确;当2a =-,0b =时,()2()g x f x =-是奇函数,关于原点对称,③不正确;当0a ≠,2b =时,2()f x a=-,由图知,当222a -<-<时,2()f x a=-才有三个实数根,故④不正确;故选②.点评:本题重点考察函数与方程思想,突出考察分析和观看能力;题中只给了图像特点,因此,应用其图,察其形,舍其次,抓其本.例2.设2()32f x ax bx c =++,若0a b c ++=,(0)0f >,(1)0f >. 求证:(1)0a >且12-<<-ab; (2)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.分析:利用0a b c ++=,(0)0f >,(1)0f >进行消元代换. 证明:(1)(0)0f c =>,(1)320f a b c =++>,由0a b c ++=,得b a c =--,代入(1)f 得:0a c ->,即0a c >>,且01c a <<,即1(2,1)b ca a=--∈--,即证.(2)11()024f a =-<,又(0)0f >,(1)0f >.则两根分别在区间1(0,)2,1(,1)2内,得证.点评:在证明第(2)问时,应充分运用二分法求方程解的方法,选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标,如不能实现1()02f <,则应在区间内选取其它的值.本题也可选3b a-,也可利用根的分布来做.【反馈演练】1.设123)(+-=a ax x f ,a 为常数.若存在)1,0(0∈x ,使得0)(0=x f ,则实数a 的取值范畴是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞. 2.设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=,(2)2f -=-,则关于x 的方程()f x x =解的个数为( C )A .1B .2C.3D .43.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠,且方程()f x x =无实数根,下列命题:①方程[()]f f x x =也一定没有实数根;②若0a >,则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立;③若0a <,则必存在实数0x ,使00[()]f f x x> ④若0a b c ++=,则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立. 其中正确命题的序号是 ①②④ .4.设二次函数2()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<.求实数a 的取值范畴.解:令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+,则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩,,,,01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩,,03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范畴是(03-,.5.已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值;解:()f x 是偶函数,()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+=由于此式关于一切x R ∈恒成立,1k ∴=-6.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(.若a>b >c , 且f (1)=0,证明f (x )的图象与x 轴有2个交点. 证明:2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=->且且()f x ∴的图象与x 轴有两个交点.第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能依照实际问题的情境建立函数模型,结合对函数性质的研究,给出问题的解答.2.明白得数据拟合是用来对事物的进展规律进行估量的一种方法,会依照条件借助运算工具解决一些简单的实际问题.3.培养学生数学地分析问题,探究问题,解决问题的能力. 【基础练习】1今有一组实验数据如下:现预备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,①2log v t = ②12log v t= ③212t v -=④22v t =-其中最接近的一个的序号是______③_______.2.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,打算提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时估量年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价-投入成本)×年销售量. (Ⅰ)写出本年度估量的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范畴内? 解:(Ⅰ)由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )-1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )(0 < x < 1)整理得 y = -60x 2 + 20x + 200(0 < x < 1).(Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x .答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时刻的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时刻的关系用图二的抛物线段表示.(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时刻的函数关系式p =f (t );写出图二表示的种植成本与时刻的函数关系式Q =g (t );(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102kg ,时刻单位:天)解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时刻的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ,,由图二可得种植成本与时刻的函数关系为 g (t )=2001(t -150)2+100,0≤t ≤300. (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t ),则由题意得 h (t )=f (t )-g (t ), 即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ,,当0≤t ≤200时,配方整理得 h (t )=-2001(t -50)2+100,因此,当t =50时,h (t )取得区间[0,200]上的最大值100; 当200<t ≤300时,配方整理得:h (t )=-2001(t -350)2+100,因此,当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.综上:由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上能够取得最大值100,现在t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,则这两个正三角形面积之和___________2cm.2.某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃,已知山顶的温度是14.1℃,山脚的温度是26℃,则此山的高度为_____17_____m.3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x 2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为____45.6___万元.4.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?解:由题意得xy+41x2=8,∴y=xx482-=48xx-(0<x<42).则框架用料长度为l=2x+2y+2(x22)=(23+2)x+x16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8-42时等号成立.现在,x=8-42,y=故当x为8-42m,y为时,用料最省. 第4题。
八年级数学上学期第二课辅导训练 试题

八年级上学期数学学科〔二〕制卷人:歐陽文化、歐陽理複;制卷時間:二O 二二年二月七日姓名_______评价________一、 填空题:1. 如图,要用“SAS 〞说明ΔABC ≌ΔADC ,假设AB=AD ,那么需要添加的条件是 .2. 如图,在ΔABC 中,AD ⊥BC ,CE ⊥AB.垂足分别为D.E ,AD.CE 交于点H ,请你添加一个适当的条件: ,使ΔAEH ≌ΔCEB.〔第1题〕 〔第2题〕3. 不相等,但为全等图形的四位数是 . “角平分线上的点到这个角 〞来观察以下图:OM 是∠AOB 的平分线,P 是OM 上的一点,且PE ⊥OA ,PF ⊥OB.垂足分别为E.F , 那么 = ..〔第4题〕 〔第5题〕H EDA BC5.如图,ΔABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,AB=6㎝,那么ΔDEB的周长为㎝.6.如图,有一个直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,问P点运动到AP= 位置时,才能使ΔABC≌ΔPQA.二.选择题:7. 以下说法正确的选项是〔〕A.所有正方形都是全等图形.B.面积相等的两个三角形是全等图形.C.所有半径相等的圆都是全等图形.D.所有长方形都是全等图形.8.以下条件中不能判断两个三角形全等的是〔〕A.有两边和它们的夹角对应相等.B.有两边和其中一边的对角对应相等.C.有两角和它们的夹边对应相等.D.有两角和其中一角的对边对应相等.9. 在ΔABC和ΔFED中,假如∠A=∠F,∠B=∠E,要使这两个三角形全等,还需要的条件是〔〕A.AB=DEB.BC=EFC.AB=FED.∠C=∠D10. 如图,ΔABC≌ΔCDA,∠BAC=∠DCA,那么BC的对应边是〔〕11.如图,AD平分∠BAC,AB=AC,那么此图中全等三角形有〔〕〔第10题〕 〔第11题〕 〔第12题〕12. 如图,AB.CD 相交于O ,O 是AB 的中点,∠A=∠B=80°,假设∠D=40°,那么∠C=〔 〕 °°°13.如图,ΔABC 中,AB=AC ,BE=EC ,那么由“SSS 〞 可断定〔A 、 ΔABD ≌ΔACDB 、 ΔABE ≌ΔACEC 、 ΔBED ≌ΔCED D 、 以上答案都不对ΔMNP 中,Q 为MN 的中点,且PQ ⊥MN ,那么以下结论中不正确的选项是〔 〕 A.ΔMPQ ≌ΔNPQ B.MP = NPC.∠MPQ =∠NPQD.MQ = NP三.操作题:15.〔1〕你能把如下图的(a)长方形分成2个全等图形?把如下图的(b)能分成3个全等三角形吗?把如下图的(c)分成4个全等三角形吗?〔a〕〔b 〕 〔c 〕〔2〕你会把以下图〔d〕和〔f〕分成四个全等的图形吗?试一试.〔保存你画的痕迹〕〔d〕〔f〕四.解答题:16、如图,AC平分∠BAD,∠1=∠2,求证:AB=AD第16题17、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.〔1〕用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN;〔保存作图痕迹,不写作法和证明〕〔2〕设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状并证明你的结论.18、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.试猜测线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜测.19、我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下,它们会全等?〔1〕阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下::△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C l,∠C=∠C l.求证:△ABC≌△A1B1C1.〔请你将以下证明过程补充完好.〕证明:分别过点B,B1作BD⊥CA于D, B1 D1⊥C1 A1于D1.(2)归纳与表达:由(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.20、:如图,四边形ABCD中,AB=CD, AD=BC, 试答复以下问题:(1)证明:∠A=∠C;(2)假设E、F分别在AB、CD上且AE=CF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某点连接成一条新段,猜测并说明它与图中哪条线段相等〔只需说明一组〕①我连接,并猜测 = .②理由:〔3〕假设E、F分别在AB、CD上且DE=BF,此时AE=CF成立吗?假设成立,说明理由,假设不成立,也说明理由或者画出示意图.制卷人:歐陽文化、歐陽理複;制卷時間:二O二二年二月七日。
八年级数学下学期精英班竞赛讲座反比例函数测试试题

卜人入州八九几市潮王学校城金海双语实验八年级下学期数学精英班竞赛讲座〔反比例函数〕测试例题剖析例1假设函数y=k222k kx+-的图象是双曲线,且在第二、四象限,•那么k的值是多少?例2函数y=kx和y=kx〔k<0〕•在同一坐标系中的图象是〔〕例3如图,正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=kx〔k>0〕的图象交于点A,假设取k为1,2,3,…,20,对应的Rt△AOB的面积分别为S1,S2,…,S20,那么S1+S2+…+S20=_________.例4正比例函数y=-x与反比例函数y=-1x的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D〔如图〕•,•那么四边形ABCD•的面积为________.例5如下列图,反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、•Q两点,并且P点的纵坐标是6.〔1〕求这个一次函数的解析式;〔2〕求△POQ的面积.稳固练习一、填空题1.假设一次函数y=kx+b的图象如下列图,那么抛物线y=x2+kx+b•的对称轴位于y•轴的_______侧;反比例函数y=kbx的图象在第_______象限,在每一个象限内,y随x•的增大而________.2.反比例函数y=kx的图象经过点A〔m,n〕,其中m,n是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,那么A点坐标为________.3.如图:函数y=-kx〔k≠0〕与y=-4x的图象交于A、B两点,过点A作AC⊥y轴,•垂足为点C,那么△BOC的面积为________.〔1〕点P关于y轴对称的点P1的坐标是〔n,-2n〕;〔2〕点P到原点O;〔3〕直线y=-nx+2n不经过第三象限;〔4〕对于函数y=n x5.反比例函数y=1mx的图像上两点A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕,当x1<0<x2时,有y1<y2,那么m的取值范围是〔〕〔A〕m<0〔B〕m>0〔C〕m<12〔D〕m>126.反比例函数y=kx的图象如图〔a〕所示,那么二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为〔〕。
人教B版高中数学选修22第2章推理与证明知能基础测试

【成才之路】2021-2016学年高中数学 第2章 推理与证明知能基础测试 新人教B 版选修2-2时刻120分钟,总分值150分.一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.k 棱柱有f (k )个对角面,那么k +1棱柱的对角面个数f (k +1)为( ) A .f (k )+k -1 B .f (k )+k +1 C .f (k )+k D .f (k )+k -2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k -2条侧棱形成k -2个对角面,而过与其相邻的两条侧棱的截面原先为侧面,此刻也成了一个对角面,故共增加了k -1个对角面,∴f (k +1)=f (k )+k -1.应选A.2.已知a >0,b >0,a 、b 的等差中项为12,且α=a +1a ,β=b +1b ,那么α+β的最小值为( )A .3B .4C .5D .6[答案] C[解析] 由已知得a +b =1,∴α+β=a +1a +b +1b =1+a +b a +a +b b =3+b a +ab≥3+2=5.应选C.3.已知f (x )=x 3+x (x ∈R ),a 、b 、c ∈R ,且a +b >0,b +c >0,c +a >0,那么f (a )+f (b )+f (c )的符号为( )A .正B .负C .等于0D .无法确定[答案] A[解析] ∵f ′(x )=3x 2+1>0, ∴f (x )在R 上是增函数.又a +b >0,∴a >-b .∴f (a )>f (-b ). 又f (x )=x 3+x 是奇函数, ∴f (a )>-f (b ),即f (a )+f (b )>0. 同理:f (b )+f (c )>0,f (c )+f (a )>0, ∴f (a )+f (b )+f (c )>0,应选A.4.以下代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( )A .6+6·7kB .2+7k -1C .2(2+7k +1) D .3(2+7k)[答案] D[解析] 特值法:当k =1时,显然只有3(2+7k)能被9整除,应选D. 证明如下:当k =1时,已验证结论成立,假设当k =n (n ∈N *)时,命题成立,即3(2+7n )能被9整除,那么3(2+7n +1)=21(2+7n)-36.∵3(2+7n)能被9整除,36能被9整除, ∴21(2+7n)-36能被9整除, 这确实是说,k =n +1时命题也成立. 故命题对任何k ∈N *都成立.5.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n -1=3n (na -b )+c 对一切n ∈N *都成立,那么a ,b ,c 的值为( )A .a =12,b =c =14B .a =b =c =14C .a =0,b =c =14D .不存在如此的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n =1,得1=3(a -b )+c , 令n =2,得1+2×3=9(2a -b )+c , 令n =3,得1+2×3+3×32=27(3a -b )+c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a -3b +c =118a -9b +c =781a -27b +c =34,∴a =12,b =c =14.应选A.6.观看以下各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,那么a 10+b 10=( )A .28B .76C .123D .199[答案] C[解析] 法一:由a +b =1,a 2+b 2=3得ab =-1,代入后三个等式中符合,那么a 10+b 10=(a 5+b 5)2-2a 5b 5=123,应选C.法二:令a n =a n+b n,那么a 1=1,a 2=3,a 3=4,a 4=7,…得a n +2=a n +a n +1,从而a 6=18,a 7=29,a 8=47,a 9=76,a 10=123,应选C.7.观看以下各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,那么52021的末四位数字为( )A .3125B .5625C .0625D .8125[答案] D[解析] ∵55=3125,56=15625,57=78125, 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125, 510末四位数字为5625,511末四位数字为8125, 512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替显现, ∴52021=54×502+7末四位数字为8125.8.已知函数f (x )知足f (0)=0,导函数f ′(x )的图象如下图,那么f (x )的图象与x 轴围成的封锁图形的面积为( )B .43 C .2 D .83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知,f ′(x )=2x +2,设f (x )=x 2+2x +c ,由f (0)=0知,c =0,∴f (x )=x 2+2x , 由x 2+2x =0得x =0或-2.故所求面积S =-⎠⎛-20(x 2+2x )dx =⎪⎪⎪-13x 3+x 20-2=43. 9.平面上有n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成f (n )块区域,有f (1)=2,f (2)=4,f (3)=8,那么f (n )的表达式为( )A .2nB .n 2-n +2C .2n-(n -1)(n -2)(n -3) D .n 3-5n 2+10n -4 [答案] B[解析] 四个选项的前三项是相同的,但第四项f (4)=14(如图)就只有B 符合,从而否定A ,C ,D ,选B ,一样地,可用数学归纳法证明f (n )=n 2-n +2.应选B.10.已知等比数列a n =13n -1,其前n 项和为S n =∑k =1na k ,那么S k +1与S k 的递推关系不知足( )A .S k +1=S k +13k +1B .S k +1=1+13S kC .S k +1=S k +a k +1D .S k +1=3S k -3+a k +a k +1[答案] A[解析] S k +1=a 1+a 2+…+a k +a k +1 =S k +a k +真.S k +1=1+13+…+13k=1+13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13+…+13k -1=1+13真.3S k =3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13+…+13k -1=3+1+13+…+13k -2=3+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+13+…+13k -2+13k -1+13k -a k -a k +1=3+S k +1-a k -a k +真.事实上,S k +1=S k +a k +1=S k +13k .A 不真.应选A.11.以下结论正确的选项是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2 B .当x >0时,x +1x≥2C .当x ≥2时,x +1x的最小值为2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值[答案] B[解析] A 错在lg x 的正负不清;C 错在等号成立的条件不存在;依照函数f (x )=x -1x的单调性,当x =2时,f (2)max =32,故D 错.应选B.12.如图(1),在△ABC 中,AB ⊥AC 于点A ,AD ⊥BC 于点D ,那么有AB 2=BD ·BC ,类似地有命题:如图(2),在三棱锥A -BCD 中,AD ⊥面ABC ,假设A 在△BCD 内的射影为O ,那么S 2△ABC =S △BCO ·S △BCD ,那么上述命题( )A .是真命题B .增加条件“AB ⊥AC ”后才是真命题 C .是假命题D .增加条件“三棱锥A -BCD 是正三棱锥”后才是真命题 [答案] A[解析] 由已知垂直关系,不妨进行如下类比:将题图(2)中的△ABC ,△BCO ,△BDC 别离与题图(1)中的AB ,BD ,BC 进行类比即可.严格推理如下:连结DO 并延长交BC 于点E ,连结AE ,那么DE ⊥BC ,AE ⊥BC .因为AD ⊥面ABC ,因此AD ⊥AE .又因为AO ⊥DE ,因此AE 2=EO ·ED ,因此S 2△ABC =(12BC ·EA )2=(12BC ·EO )·(12BC ·ED )=S △BCO ·S △BCD .应选A.二、填空题(本大题共4个小题,每题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.设函数f (x )=x x +2(x >0),观看:f 1(x )=f (x )=x x +2,f 2(x )=f (f 1(x ))=x3x +4,f 3(x )=f (f 2(x ))=x 7x +8,f 4(x )=f (f 3(x ))=x 15x +16,……依照以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=________.[答案]x2n-1x +2n[解析] 观看f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见,f n (x )的分子为x ,分母中x 的系数比常数项小1,常数项依次为2,4,8,16……2n.故f n (x )=x2n-1x +2n.14.在平面上,咱们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c 2=a 2+b 2.假想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ,若是用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积,S表示截面面积,那么类比取得的结论是________.[答案]S2=S21+S22+S23[解析]类比如下:正方形↔正方体;截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和,结论S2=S21+S22+S23.证明如下:如图,作OE⊥平面LMN,垂足为E,连接LE并延长交MN于F,∵LO⊥OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面MON,∵MN⊂平面MON,∴LO⊥MN,∵OE⊥MN,∴MN⊥平面OFL,∴S△OMN=12MN·OF,S△MNE=12MN·FE,S△MNL=12MN·LF,OF2=FE·FL,∴S2△OMN=(12MN·OF)2=(12MN·FE)·(12MN·FL)=S△MNE·S△MNL,同理S2△OML=S△MLE·S△MNL,S2△ONL=S△NLE·S△MNL,∴S2△OMN+S2△OML+S2△ONL=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)·S△MNL=S2△MNL,即S21+S22+S23=S2.15.关于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如下图的“割裂”,仿此,记53的“割裂”中的最小数为a,而52的“割裂”中最大的数是b,那么a+b=________.[答案]30[解析] 类比规律∴a =21,b =9故a +b =30.16.观看以劣等式:31×2×12=1-122,31×2×12+42×3×122=1-13×22,31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,……,由以上等式推测到一个一样的结论:关于n ∈N *,31×2×12+42×3×122+…+n +2n n +1×12n =________. [答案] 1-1n +1·2n[解析] 由已知中的等式:31×2×12=1-122=1-12×2, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,…, 因此关于n ∈N *,31×2×12+42×3×122+…+n +2n n +1×12n =1-1n +12n.三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 17.(此题总分值12分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0,bx 2+2cx +a =0,cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.[证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根, 那么Δ1=4b 2-4ac ≤0,Δ2=4c 2-4ab ≤0, Δ3=4a 2-4bc ≤0.相加有a 2-2ab +b 2+b 2-2bc +c 2+c 2-2ac +a 2≤0, 即(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2≤0.由题意a 、b 、c 互不相等,∴①式不能成立.∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.18.(此题总分值12分)在圆x 2+y 2=r 2(r >0)中,AB 为直径,C 为圆上异于A 、B 的任意一点,那么有k AC ·k BC =-1.你能用类比的方式得出椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中有什么样的结论?并加以证明.[解析] 类比取得的结论是:在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中,A 、B 别离是椭圆长轴的左右端点,点C (x ,y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点,那么k AC ·k BC =-b 2a2证明如下:设A (x 0,y 0)为椭圆上的任意一点,那么A 关于中心的对称点B 的坐标为B (-x 0,-y 0),点P (x ,y )为椭圆上异于A ,B 两点的任意一点,那么k AP ·k BP =y -y 0x -x 0·y +y 0x +x 0=y 2-y 20x 2-x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,x 20a 2+y20b 2=1.两式相减得,x 2-x 20a 2+y 2-y 20b 2=0,∴y 2-y 20x 2-x 20=-b 2a 2,即k AP ·k BP =-b 2a2. 故在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点,那么有k AB ·k BP =-b 2a2.19.(此题总分值12分)已知a 、b ∈R ,求证:|a |+|b |1+|a |+|b |≥|a +b |1+|a +b |.[证明] 设f (x )=x1+x ,x ∈[0,+∞).设x 1、x 2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 21+x 2-x 11+x 1=x 2-x 11+x 11+x 2.因为x 2>x 1≥0,因此f (x 2)>f (x 1).因此f (x )=x1+x 在[0,+∞)上是增函数.(大前提) 由|a |+|b |≥|a +b |≥0(小前提) 知f (|a |+|b |)≥f (|a +b |) 即|a |+|b |1+|a |+|b |≥|a +b |1+|a +b |成立.20.(此题总分值12分)设a ,b ∈R +,且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b +ab 2. [证明] 证法1:用分析法. 要证a 3+b 3>a 2b +ab 2成立,只需证(a +b )(a 2-ab +b 2)>ab (a +b )成立.又因a +b >0, 只需证a 2-ab +b 2>ab 成立. 只需证a 2-2ab +b 2>0成立.即需证(a -b )2>0成立.而依题设a ≠b ,那么(a -b )2>0显然成立. 由此命题得证. 证法2:用综合法.a ≠b ⇒a -b ≠0⇒(a -b )2>0⇒a 2-2ab +b 2>0⇒a 2-ab +b 2>ab .注意到a ,b ∈R +,a +b >0,由上式即得(a +b )(a 2-ab +b 2)>ab (a +b ). ∴a 3+b 3>a 2b +ab 2.21.(此题总分值12分)(2021·甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式:12-22+32-42+…+(2n -1)2-(2n )2=-n (2n +1)(n ∈N *).[证明] (1)当n =1时,左侧=12-22=-3,右边=-1×(2+1)=-3, 故左侧=右边,∴当n =1时,等式成立; (2)假设n =k 时,等式成立,即12-22+32-…+(2k -1)2-(2k )2=-k (2k +1)成立, 那么n =k +1时,左侧=12-22+32-…+(2k +1)2-(2k +2)2=-k (2k +1)+(2k +1)2-4(k +1)2=(2k +1)[(2k +1)-k ]-4(k +1)2=(k +1)(-2k -3) =-(k +1)[2(k +1)+1],综合(1)、(2)可知等式12-22+32-42+…+(2k -1)2-(2n )2=-n (2n +1)关于任意正整数都成立.22.(此题总分值14分)(2021·湖北理,22)已知数列{a n }的各项均为正数,b n =n ⎝⎛⎭⎪⎫1+1n na n (n ∈N +),e 为自然对数的底数.(1)求函数f (x )=1+x -e x的单调区间,并比较⎝⎛⎭⎪⎫1+1n n 与e 的大小;(2)计算b 1a 1,b 1b 2a 1a 2,b 1b 2b 3a 1a 2a 3,由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式,并给出证明;(3)令c n =(a 1a 2…a n )1n,数列{a n },{c n }的前n 项和别离记为S n ,T n ,证明:T n <e S n . [解析] (1)f (x )的概念域为(-∞,+∞),f ′(x )=1-e x. 当f ′(x )>0,即x <0时,f (x )单调递增; 当f ′(x )<0,即x >0时,f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x >0时,f (x )<f (0)=0,即1+x <e x. 令x =1n ,得1+1n <e 1n ,即(1+1n)n<e.①(2)b 1a 1=1·(1+11)1=1+1=2; b 1b 2a 1a 2=b 1a 1·b 2a 2=2·2(1+12)2 =(2+1)2=32;b 1b 2b 3a 1a 2a 3=b 1b 2a 1a 2·b 3a 3=32·3(1+13)3=(3+1)3=43.由此推测:b 1b 2…b n a 1a 2…a n=(n +1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n =1时,左侧=右边=2,②成立. (2)假设当n =k 时,②成立,即b 1b 2…b k a 1a 2…a k=(k +1)k.当n =k +1时,b k +1=(k +1)(1+1k +1)k +1a k +1,由归纳假设可得b 1b 2…b k b k +1a 1a 2…a k a k +1=b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k +1a k +1=(k +1)k(k +1)(1+1k +1)k +1=(k +2)k +1. 因此当n =k +1时,②也成立.依照(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由c n 的概念,②,算术-几何平均不等式, b n 的概念及①得T n =c 1+c 2+c 3+…+c n=(a 1)11+(a 1a 2)12+(a 1a 2a 3)13+…+(a 1a 2…a n )1n=b 1112+b 1b 2123+b 1b 2b 3134+…b 1b 2…b n1n n +1≤b 11×2+b 1+b 22×3+b 1+b 2+b 33×4+…+b 1+b 2+…+b n n n +1=b 1[11×2+12×3+…+1n n +1]+b 2[12×3+13×4+…+1n n +1]+…+b n ·1n n +1=b 1(1-1n +1)+b 2(12-1n +1)+…+b n (1n -1n +1) <b 11+b 22+…+b n n=(1+11)1a 1+(1+12)2a 2+…+(1+1n )n a n <e a 1+e a 2+…+e a n =e S n . 即T n <e S n .。
数学竞赛平面几何讲座5讲-第二讲-巧添辅助-妙解竞赛题

第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB =AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED =2∠CED =∠A .求证:BD =2CD .分析:关键是寻求∠BED =2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD =2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB =EF ,从而获取.证明:如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA =∠BCA =∠ABC =∠AFC ,即∠BFD =∠CFD .故BF :CF =BD :DC .又∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,从而∠FBE =∠ABC =∠ACB =∠BFE . 故EB =EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG =GF . 因∠GEF =21∠BEF =∠CEF ,∠GFE =∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF =FC . 于是,BF =2CF .故BD =2CD .1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC =60°,∠BAD =∠BCD =90°, AB =2,CD =1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB =____.分析:由∠BAD =∠BCD =90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解:因∠BAD =∠BCD =90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP =∠ABCABGCD FE图1ABCDPO 图2=60°.设AD =x ,有AP =3x ,DP =2x .由割线定理得(2+3x )3x =2x (1+2x ).解得AD =x =23-2,BC =21BP =4-3. 由托勒密定理有BD ·CA =(4-3)(23-2)+2×1=103-12.又S ABCD =S △ABD +S △BCD =233. 故sin ∠AOB =263615 . 例3 已知:如图3,AB =BC =CA =AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证:△ABC 的面积S =43AP ·BD . 分析:因S △ABC =43BC 2=43AC ·BC ,只 须证AC ·BC =AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明:记BD 与AH 交于点Q ,则由AC =AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ =∠ADQ . 又AB =AD ,故∠ADQ =∠ABQ .从而,∠ABQ =∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC =90°+∠PCH =∠BCD ,∠CBQ =∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC =AP ·BD . 于是,S =43AC ·BC =43AP ·BD . 2、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.A图3BPQDHC2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =DC =DB =p ,BC =q .求对角线AC 的长. 分析:由“AD =DC =DB =p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系.解:延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC =AE . 从而,BC =AE =q .在△ACE 中,∠CAE =90°,CE =2p ,AE =q ,故 AC =22AE CE -=224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y =-x 2+2x +8与x 轴交于B 、C 两点,点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析:由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解:如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x =1,与x 轴交于两点B (-2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则 两圆与抛物线均交于两点P (1-22,1)、 Q (1+22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC <90°.且有3=DP =DQ <AD ≤DA 0=9,即AD 的取值范围是3<AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证:AB 2-AN 2=BM ·BN .分析:因AB 2-AN 2=(AB +AN )(AB -AN )=BM ·BN ,而由题设易知AM =AN ,联想割线定理,构A EDCB图4图5造辅助圆即可证得结论. 证明:如图6,∵∠2+∠3=∠4+∠5=90°, 又∠3=∠4,∠1=∠5, ∴∠1=∠2.从而,AM =AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE =AF =AN . 由割线定理有 BM ·BN =BF ·BE =(AB +AE )(AB -AF ) =(AB +AN )(AB -AN ) =AB 2-AN 2, 即 AB 2-AN 2=BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证:EP 2+FQ 2=EF 2.分析:因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明:如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG .因∠FDC =∠ABC =∠CGE ,故F 、D 、C 、 G 四点共圆.由切割线定理,有 EF 2=(EG +GF )·EF =EG ·EF +GF ·EF =EC ·ED +FC ·FB=EC ·ED +FC ·FB =EP 2+FQ 2,即 EP 2+FQ 2=EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A 'B 'C '的三边分别为a 、b 、c 与a '、b '、c ',且∠B =∠B ',∠A +∠A '=180°.试证:aa '=bb '+cc '.E A ND B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'B'ca b c'b'分析:因∠B =∠B ',∠A +∠A '=180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明:作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A +∠A '=180°=∠A +∠D , ∠BCD =∠B =∠B ',∴∠A '=∠D ,∠B '=∠BCD .∴△A 'B 'C '∽△DCB .有DC B A ''=CB C B ''=DB C A '',即 DC c '=aa '=DBb '.故DC =''a ac ,DB =''a ab .又AB ∥DC ,可知BD =AC =b ,BC =AD =a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC =AB ·DC +AC ·BD , 即 a 2=c ·''a ac +b ·''a ab . 故aa '=bb '+cc '.练习题1. 作一个辅助圆证明:△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB =DCBD. (提示:不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB =DEBD=DCBD.)A BCDa b b c图92. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE =3a ,BC =CD =DE ,∠BCD =∠CDE =180°-2a .求证:∠BAC =∠CAD =∠DAE .(提示:由已知证明∠BCE =∠BDE =180°-3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC =∠CAD =∠DAE .)3. 在△ABC 中AB =BC ,∠ABC =20°,在AB 边上取一点M ,使BM =AC .求∠AMC 的度数. (提示:以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM =21∠BKM =10°,得∠AMC =30°.)4.如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证:AB ·AE +AD ·AF =AC 2. (提示:分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG =AH ,由割线定理可证得结论.)FD AB EC图105. 如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线CD过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC=AD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证:AC2=AB·AE.(提示:作△BCD的外接圆⊙O3,延长BA交⊙O3于F,证E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AE=AF,由相交弦定理即得结论.)图116.已知E是△ABC的外接圆之劣弧BC的中点.求证:AB·AC=AE2-BE2.(提示:以BE为半径作辅助圆⊙E,交AE及其延长线于N、M,由△ANC∽△ABM证AB·AC =AN·AM.)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证:a b -ba=1. (提示:证b 2=a 2+ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)。
高数同济六版课件D2习题

通过对极限定义的深入理解,可以求解一些 基本的极限问题。
利用极限运算法则
熟练掌握极限的四则运算法则,可以简化极 限的求解过程。
利用等价无穷小替换
在求解极限时,可以利用等价无穷小替换某 些复杂的表达式,从而简化计算。
利用洛必达法则
对于某些未定式的极限,可以利用洛必达法 则进行求解。
导数计算及应用举例
利用已知结论简化计算
在求解数学问题时,可以充分利用已知的结论和性质进行简化计算。
03 典型例题精讲
极限与连续典型例题
求极限
通过四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则等方法 求解各类极限问题。
判断连续性
利用极限性质判断函数在某点的连续性,并会求间断 点的类型。
无穷小量阶的比较
掌握高阶、低阶、同阶和等价无穷小的概念,会比较 无穷小量的阶。
和专注度。
作业完成情况
02
大部分学员按时完成了作业,作业质量较高,体现出了良好的
学习态度和能力。
测验成绩
03
通过课堂测验,发现学员们对本次课程的内容掌握情况较好,
成绩普遍较高。
下一阶段学习计划安排
01
学习多元函数微积 分
掌握多元函数的极限、连续、偏 导数、全微分等基本概念和计算 方法。
02
学习级数理论
03
加强练习和巩固
了解级数的概念、性质和判别法, 掌握幂级数的展开和收敛域的判 断。
通过大量的练习题目,加深对知 识点的理解和记忆,提高解题能 力和思维水平。
鼓励学员持续努力,提升数学能力
肯定学员的努力和进步
对学员们在本次课程中的表现给予充 分肯定,鼓励他们继续保持学习热情
和积极性。
2019数学同步人教B必修2刷题首选卷(知识对点练+课时综合练) (41)

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第16课时 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定①若直线l 与平面α内一条直线垂直,则l ⊥α; ②若直线l 与平面α内两条直线垂直,则l ⊥α; ③若直线l 与平面α内两条相交直线垂直,则l ⊥α; ④若直线l 与平面α内任意一条直线垂直,则l ⊥α; ⑤若直线l 与平面α内无数条直线垂直,则l ⊥α. A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B解析 由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B . 2.PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于A ,B 的任一点,则下列关系不正确的是( )A .PA ⊥BCB .BC ⊥平面PAC C .AC ⊥PBD .PC ⊥BC 答案 C解析 由PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面,可知PA ⊥BC ,故排除A .由题意可知BC ⊥AC ,PA ⊥BC .因为PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,AC ∩PA =A ,所以BC ⊥平面PAC ,故排除B .结合B ,根据直线与平面垂直的定义知BC ⊥PC ,故排除D .故选C .直线与平面所成的角面α所成的角为( )A .30°B .45°C .60°D .120° 答案 C解析 如右图所示,AC ⊥α,AB ∩α=B ,则BC 是AB 在平面α内的射影,则BC =12AB ,所以∠ABC =60°,它是AB 与平面α所成的角.4.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( ) A .平行 B .相交 C .异面 D .以上皆有可能 答案 D解析 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A ,B 1B 与底面ABCD 所成的角相等,此时两直线平行;A 1B 1,B 1C 1与底面ABCD 所成的角相等,此时两直线相交;A 1B 1,BC 与底面ABCD 所成的角相等,此时两直线异面.直线与平面垂直的证明5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.求证:(1)PO⊥面ABCD;(2)AC⊥面PBD.证明(1)∵四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O,∴O为AC的中点,又PA=PC,∴PO⊥AC.同理可证PO⊥BD.又AC⊂面ABCD,BD⊂面ABCD,AC∩BD=O,∴PO⊥面ABCD.(2)由(1)知AC⊥PO,又四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又BD⊂面PBD,PO⊂面PBD,PO∩BD=O,∴AC⊥面PBD.6.如图,在四面体A-BCD中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=2.求证:BD⊥平面ACD.证明取CD的中点为G,连接EG,FG.∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG∥BD.又E为AD的中点,AC=BD=2,则EG=FG=1.∵EF=2,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG,∴BD⊥EG.∵∠BDC=90°,∴BD⊥CD.又EG∩CD=G,∴BD⊥平面ACD.一、选择题1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是()A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n⊂β D.m⊥n,且n∥β答案 B解析A中,由α∥β,且m⊂α,知m∥β;B中,由n⊥β,知n垂直于平面β内的任意直线,再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β,B 符合题意;C,D中,m⊂β或m∥β或m与β相交,不符合题意.故选B.2.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°答案 B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.3.给出下列条件(其中l为直线,α为平面):①l垂直于α内的一五边形的两条边;②l垂直于α内三条不都平行的直线;③l垂直于α内无数条直线;④l垂直于α内正六边形的三条边.其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是()A.②B.①③C.②④D.③答案 C解析如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线,不能推出l⊥α.故选②④.4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63答案 D解析画出图形,如图所示,BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D-ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体的棱长为a,则cos∠DD1H=63aa=63.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.265C.155D.105答案 D解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O,连接OB.∵四边形A1B1C1D1是正方形,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1,OC1⊂平面A1B1C1D1,∴OC1⊥BB1.∵BB1∩B1D1=B1,∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影.∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角.在正方形A1B1C1D1中,OC1=12A1C1=1222+22=2.在矩形BB1C1C中,BC1=BC2+CC21=4+1=5.∴sin ∠C 1BO =OC 1BC 1=25=105.二、填空题6.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是________.答案垂直解析由正方体性质知AC⊥BD,BB1⊥AC,∵E,F是棱AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴EF⊥BD,EF⊥BB1,又BD∩BB1=B,∴EF⊥平面BB1O.7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC 与平面ABCD所成的角是________.答案30°解析如图,∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA即PC与平面ABCD所成的角,又tan∠PCA=PA AC=PAAB2+BC2=13=33,∴∠PCA=30°.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等.若点A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于________.答案2 3解析 如图,设A 1在底面ABC 内的射影为O ,O 为△ABC 的中心,OA =OB =OC ,则AA 1=A 1B =A 1C .连接AB 1,A 1B ,设AB 1∩A 1B =E ,则E 为A 1B 的中点.取OB 的中点D ,连接ED ,AD ,则ED ∥A 1O .由题意知A 1O ⊥平面ABC ,所以ED ⊥平面ABC .则∠EAD 即为AB 1与底面ABC 所成的角.设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为a ,则OA =OB =33a . 在Rt △AA 1O 中,A 1O =AA 21-OA 2=63a ,ED =12A 1O =66a . 在正三角形AA 1B 中,AE =32a ,在Rt △ADE 中, sin ∠EAD =ED AE =66a32a=23,即AB 1与底面ABC所成角的正弦值为23. 三、解答题9.在三棱锥P -ABC 中,H 为△ABC 的垂心,且PH ⊥面ABC ,求证:AB ⊥PC ,BC ⊥AP .证明 连接AH ,∵H 为△ABC 的垂心,∴AH⊥BC,又PH⊥面ABC,∴PH⊥BC,又PH∩AH=H,∴BC⊥面PAH,又PA⊂面PAH,∴BC⊥AP,同理可证AB⊥PC.10.如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.解(1)证明:∵P,Q分别为AE,AB的中点,∴PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,因为PQ⊄平面ACD,CD⊂平面ACD,从而PQ∥平面ACD.(2)如图,连接CQ,DP.∵Q为AB的中点,且AC=BC,∴CQ⊥AB.∵DC⊥平面ABC,EB∥DC,∴EB⊥平面ABC.∵CQ⊂平面ABC,∴CQ⊥EB,又AB∩EB=B,故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC,又PQ=12EB=DC,∴四边形CQPD为平行四边形.∴DP∥CQ.∴DP⊥平面ABE.∴∠DAP即为AD和平面ABE所成的角.在Rt△DPA中,AD=5,DP=CQ=1,sin∠DAP=55.∴AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.。
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25
Problem Description
FatMouse prepared M pounds of cat food, ready to trade with the cats guarding the warehouse containing his favorite food, JavaBean. The warehouse has N rooms. The i-th room contains J[i] pounds of JavaBeans and requires F[i] pounds of cat food. FatMouse does not have to trade for all the JavaBeans in the room, instead, he may get J[i]* a% pounds of JavaBeans if he pays F[i]* a% pounds of cat food. Here a is a real number. Now he is assigning this homework to you: tell him the maximum amount of JavaBeans he can obtain.
2013-8-3 39
回到正题——大锤搞定
2013-8-3
40
1005: Number Sequence
2013-8-3
41
Problem Description
A number sequence is defined as follows:
2013-8-3
13
Sample Input 5 green red blue red red 3 pink orange pink 0
Sample Output red pink
2013-8-3
14
题目评述:
1. 一个让你看到后兴奋的题目…
2013-8-3
37
题目分析:
能被3整除的整数的特点? 如果两个数的和能被3整除,这两个数有什么 特点?
关于能否被3整除,这两个数一共有多少种组 合?
2013-8-3
38
Hdoj_1021程序清单:
#include<stdio.h> int main() { long n; while(scanf("%ld",&n) != EOF) if (n%8==2 || n%8==6) printf("yes\n"); else printf("no\n"); return 0; }
For a given request list, you are to compute the total time spent to fulfill the requests on the list. The elevator is on the 0th floor at the beginning and does not have to return to the ground floor when the requests are fulfilled.
2. 只要懂点C或者C++,就可解决该问题。
2013-8-3
15
1004题目分析:
该题算法思想比较简单,就是对输入的字符 串进行比较和统计。值得注意的一点是: 如果用C语言来写,要注意可能会把第一个数 字后的“回车符”误认为是第一个串,字符 串的比较也要用函数和循环语句。
2013-8-3
16
1008: Elevator
2013-8-3 18
Input
There are multiple test cases. Each case contains a positive integer N, followed by N positive numbers. All the numbers in the input are less than 100. A test case with N = 0 denotes the end of input. This test case is not to be processed.
2013-8-3 26
Input
The input consists of multiple test cases. Each test case begins with a line containing two non-negative integers M and N. Then N lines follow, each contains two non-negative integers J[i] and F[i] respectively. The last test case is followed by two -1's. All integers are not greater than 1000.
ACM程序设计
第二讲
老少皆宜之数学题
2013-8-3
2
今天,
你
了吗?
20常用单词: 1、vertex ( vertices ) 顶点 2、polygon 多边形 3、convex 凸的 4、concave 凹的 5、segment (线)段(n);分割(v)
2013-8-3
2013-8-3
11
Input
Input contains multiple test cases. Each test case starts with a number N (0 < N <= 1000) -- the total number of balloons distributed. The next N lines contain one color each. The color of a balloon is a string of up to 15 lower-case letters. A test case with N = 0 terminates the input and this test case is not to be processed.
34
Problem Description
There are another kind of Fibonacci numbers: F(0) = 7, F(1) = 11, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=2).
2013-8-3
35
Input Input consists of a sequence of lines, each containing an integer n. (n < 1,000,000).
2013-8-3 12
Output
For each case, print the color of balloon for the most popular problem on a single line. It is guaranteed that there is a unique solution for each test case.
题目评述:
实际上,这是本次比赛最简单的一题,浙大、 浙工大等当时训练水平相对较高的学校基本上 10分钟之内解决该题,这也是一个没有算法的 题目。
这种题目大家不会错过的…
2013-8-3
22
不要分析 了吧…
第二类
基本型
2013-8-3 24
1009: FatMouse' Trade
2013-8-3
Output Print the word "yes" if 3 divide evenly into F(n). Print the word "no" if not.
2013-8-3
36
Sample Input 0 1 2 3 4 5
Sample Output no no yes no no no
2013-8-3
10
Problem Description
Contest time again! How excited it is to see balloons floating around. But to tell you a secret, the judges' favorite time is guessing the most popular problem. When the contest is over, they will count the balloons of each color and find the result. This year, they decide to leave this lovely job to you.
2013-8-3
17
Problem Description
The highest building in our city has only one elevator. A request list is made up with N positive numbers. The numbers denote at which floors the elevator will stop, in specified order. It costs 6 seconds to move the elevator up one floor, and 4 seconds to move down one floor. The elevator will stay for 5 seconds at each stop.