二重积分7.1 二重积分的概念及性质
第一节二重积分的概念与性质
第一节二重积分的概念与性质第一篇：第一节二重积分的概念与性质第九章重积分第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 非均匀平面薄片的质量★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 例1★ 例4★ 内容小结★习题9-1★ 返回★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习内容要点：一、二重积分的概念引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：二重积分的性质(x例1不作计算，估计I=⎰⎰eD2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域：x2a2+y2b2≤1(0<b<a).例2（讲义例1）估计二重积分I=⎰⎰Ddσx+y+2xy+1622的值, 其中积分区域D为矩形闭区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.例3判断r≤x+y≤1ln(x2+y2)dxdy的符号.例4积分⎰⎰D-x2-y2dxdy有怎样的符号, 其中D:x2+y2≤4.例5（讲义例2）比较积分⎰⎰ln(x+y)dσ与⎰⎰[ln(x+y)]2dσ的大小，其中区域D是三DD角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim∑∑en→+∞n2i=1j=11nni2+j2n2.第二篇：第一节二重积分的概念与性质09-3-30第九章重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、二重积分的概念与几何意义1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域其中∆σi表示D D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2,Λ，∆σn，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)⋅∆σi，(i=1,2,Λ,n)，并作和n∑f(ξ,η)∆σiii=1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值λ=max{di}→0时，这和 1≤i≤n式limλ→0∑f(ξ,η)∆σ的极限存在，且此极限与小区间∆σiiii=1ni的分法以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为f(x,y)dσ，即D∑f(ξ,η)∆σ.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)dσ称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ dσ称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥n∑f(ξ,η)∆σ称为积分和.iiii=12、面积元素dσ在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为 dσ=dxdy故二重积分可写为DD⎰⎰f(x,y)dσ3、【二重积分存在定理】设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分⎰⎰f(x,y)dσ存在.D4、二重积分的几何意义≥0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)⎰⎰f(x,y)dσD表示以f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数f(x,y)≤0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ,k为常数.DD⎰⎰[f(x,y)±g(x,y)]dσ=⎰⎰f(x,y)dσ±⎰⎰g(x,y)dσ.DDD二重积分的线性性：设α,β为常数则上述两式合并为⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσD=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ.DD3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ,(D=D+DDD1D2).4．⎰⎰dσ=σ, σ为D的面积.D．(积分不等式)若f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD注意：若在D上f(x,y)≤g(x,y)但等号不是恒成立，则有⎰⎰f(x,y)dσ<⎰⎰g(x,y)dσ.DD推论:⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.其中σ为D的面积.D7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得d=⎰⎰f(x,y)σD.σ为D的面积.fξ(η,⋅)σ8．设区域D=D1+D2，且D1与D2关于x轴对称；（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D(2)类似有设区域D=D1+D2，且D1与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于x是奇函数时即f(-x,y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D三、应用举例例1 比较3与(x+y)dσ(x+y)dσ⎰⎰⎰⎰DD的大小,其中D={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}.22解：如图,由于点A(1,0)在(x-2)+(y-1)≤2上,过点A的切线为x+y=1,那么在D上有 1≤x+y≤(x+y)≤(x+y),23(x+y)dσ<(x+y)dσ.⎰⎰⎰⎰DD2222cosx+ydσ,I=cos(x+y)dσ, 2⎰⎰⎰⎰D例2(05.4)设I1=I3=⎰⎰cos(x2+y2)2dσ,其中D={(x,y)|x+y2≤1},则DD(A)I3>I2>I1(B)I1>I2>I3(C)I2>I1>I3(D)I3>I1>I2答(A).因为在区域D上，0≤x+y≤1<所以π,且cosz∈[0,π]为减函数，π>1≥x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0,2222222从而cos(x+y)≤cos(x+y)≤cos(x+y),故I3>I2>I1.例3设D:x2+y2≤a2,当a=()时,(a)1(b)3⎰⎰Da2-x2-y2dxdy=π.331(c)3(d)3 242答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体1433的体积.由⋅aπ=π得a=3⇒选(b).232例4当D是由()围成的区域时,⎰⎰dxdy=1.D(a)x轴,y轴及2x+y-2=0(b)x=1,x=2及y=3,y=1,y=(d)x+y=1,x-y=1 22答(a,b,c).因为⎰⎰dxdy=1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪(c)x=D些选项积分区域的面积为1.例5 判断x+y≤1ln(x2+y2)dσ的正负.解：在区域D={(x,y)|x+y≤1 }上有x+y≤1且等号不恒成立，所以ln(x+y)≤ln1=0且等号不能恒成立，故x+y≤1ln(x2+y2)dσ<x+y1(ln1)dσ=0.例6估计积分值I=⎰⎰xy(x+y)dσ,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.D解：0≤xy(x2+y2)≤6⇒0≤I≤12.（注意：积分区域为矩形SD=2）例7D1={(x,y)|x+y≤1,x,y≥0}D2={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}I1=⎰⎰(x+y)2dσ,I2=⎰⎰(x+y)3dσ,D1D1I3=⎰⎰(x+y)2dσ,I4=⎰⎰(x+y)3dσD2D2试用适当符号连接I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1>I2(0≤x+y≤1),在D2上I4>I3(x+y≥1).又由(x+y)2≤1⇒I1≤由(x+y)2≥1⇒I3≥故I4>I3>I1>I2.22例8 设D={(x,y)|1≤x+y≤4}，证明 3πe≤xe⎰⎰D⎰⎰dσ=D1，2>I1，2+y2⎰⎰dσ=2π>D2dσ≤3πe4.证明因为SD=σ=4π-π=3π，又因为e≤e由积分的估值性质得 3πe≤xe⎰⎰Dx+y2≤e4，+y2dσ≤3πe4.例9设D={(x,y)|x+y≤R}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.Df(x,y)dσ=πf(0,0).R→0R2⎰⎰D（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则（2）若f(x,y)在D上连续，则limm≤f(x,y)≤M，由积分估值定理知⎰⎰mdσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰Mdσ又D={(x,y)|x+y≤R}所以πmR≤D2D⎰⎰f(x,y)dσ≤πMRDD2，limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.DD（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续⇒∃(ξ,η)∈D,s..t⎰⎰f(x,y)dσ=πR2⋅f(ξ,η)，所以lim112f(x,y)dσ=lim⋅πRf(ξ,η)R→0R2⎰⎰R→0R2D=πlimf(ξ,η)=πlimf(ξ,η)=πf(0,0).R→0(ξ,η)→(0,0)小结：1.定义∑f(ξ,η)∆σ为二重积分.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.第三篇：6.7 二重积分的概念与性质第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解1．利用二重积分定义证明：⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ。
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
第一节二重积分的概念与性质
第⼀节⼆重积分的概念与性质第⼀节⼆重积分的概念与性质学习指导１．教学⽬的：使读者理解⼆重积分的概念与性质。
２．基本练习：熟悉⼆重积分的⼏何、物理背景。
熟悉⼆重积分的性质。
3．应注意的事项：⼆重积分是⼆元函数乘积和式的极限，是定积分的推⼴，因此从引例到研究⽅法，从定义到性质都是类似的，读者要善于⽐较，触类旁通，温故⽽知新。
第⼀节⼆重积分的概念与性质⼀、⼆重积分的概念1. 曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体（2）曲顶柱体的体积现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V。
平顶柱体的体积2. 平⾯薄⽚的质量(1) 问题的提出(2) 均匀薄⽚的质量(3) ⾮均匀薄⽚质量的计算⽅法(4) ⼆重积分的定义上⾯两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同⼀形式的和的极限。
在物理、⼒学、⼏何和⼯程技术中，有许多物理量或⼏何量都可以归结为这⼀形式的和的极限。
因此我们要⼀般的研究这种和的极限，并抽象出下述⼆重积分的定义。
定义设是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成个⼩闭区域其中表⽰第个⼩闭区域，也表⽰它的⾯积。
再每个上任取⼀点，作乘积，并作和。
如果当个⼩闭区域的直径中最⼤值趋于零时，这和的极限总存在。
则称此极限为函数在闭区域上的⼆重积分，记作，即。
（1）叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做⾯积元素，与叫其中积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。
(5) 直⾓坐标系中的⾯积元素在⼆重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直⾓坐标系中⽤平⾏于坐标轴的直线⽹来划分，那么除了包含边界点的⼀些⼩闭区域外，其余的⼩闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域的边长为和，则。
因此在直⾓坐标系中，有时也把⾯积元素记作。
⽽把⼆重积分记作其中叫做直⾓坐标系中的⾯积元素。
(6) ⼆重积分的存在性这⾥我们要指出，当在闭区域上连续时，式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数在上的⼆重积分必定存在。
我们总假定函数在闭区域上连续，所以在上的⼆重积分都是存在的，以后就不在每次加以说明了。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念与性质
(2)二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量 的表示无关。即
f x, ydxdy f u,vdudv
D
D
(3)二重积分的几何意义：若f(x, y)0,二重积分表示以 f(x, y)为曲顶，以Байду номын сангаас为底的曲顶柱体的体积；若f(x, y)0,二 重积分表示曲顶柱体的体积的负值；当f(x, y)有正、有负时， 二重积分就等于这些区域上柱体体积的代数和。
存在，则称此极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作
f x, yd ，即
D
n
D
f x, yd
lim 0 i1
f
i ,i k
关于二重积分的几点说明: (1)当f(x, y)在闭区域D上连续时， f(x, y) 在D上的二重积 分必定存在。以后总假定f(x, y)在D上连续。
高等数学
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成 n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，小区域Δσi的面积仍记为
n
Δσi．在Δσi内任取一点(ξi, ηi)，作和式 f (i ，i )i 。 i 1
如果当各小区域中的最大直径λ趋于零时，若此和式的极限
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 若在D上，f(x, y)=1，σ为区域D的面积，则
1d = d
D
D
性质5 若在D上，f(x, y) σ(x, y)，则有不等式
f x, yd x, yd
D
D
特殊地,由于-|f(x, y)| f(x, y) |-f(x, y)| ， 又有
二、二重积分的性质
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
高数考研题库二重积分
高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。
在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。
本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。
设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。
则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。
二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。
二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。
2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。
3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。
4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。
三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。
2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。
设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。
3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。
二重积分的概念与性质
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例. 估计下列积分之值
ID 1 0cd 0 x 2 o d xy s c2 o ysD :xy y10
解: D 的面积为 (102)2200
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
•
(i,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
二重积分的概念与性质
第一节
第十章
二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质(精)
2 [ln( x y )] d . ln( x y ) d
D
D
四、小结
二重积分的定义
（积分和式的极限）
（曲顶柱体的体积）
二重积分的几何意义 二重积分的性质
作业：93页 4，5
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及
积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函
数为定义在区间上的一元函数;
二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
(2) 二重积分值仅与 f ( x , y ) 及 D 有关， 与积分变量符 号无关，即
f ( x , y )d f ( u, v )d
D D
(3) 当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
1 M ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 4 1 1 m f ( x , y ) 的最小值 5 32 42 ( x 1, y 2) 故1 I 1 0.4 I 0.5. 5 4
例3
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
e
ab e
D
( x2 y2 )
( x2 y2 )
例2
估计 I
D
d 的值， 2 2 x y 2 xy 16
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念和性质
f (x, y)dxdy 即
R
f (x, y)d f (x, y)dxdy
R
R
⑵根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是：
V f (x, y)d
R
⑶函数 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，则 f (x, y) 在 R 上
的二重积分必定存在.
⑷二重积分仅与积分区域R 和 f (x, y) 有关，而与对 区域 R 的分法和(i ,i ) 的取法无关.
平顶柱 体的体积
=底面积（区域 D的面积）×高（ z f (x, y) 为常数）
请回忆在微积分上册解决曲边梯形面积的思想分析方法
z
z
x
D
y
x
i
D
y
(i ,i )
曲顶柱体体积 V ：
⑴分割：D 1 2 n
V V1 V2 Vn
i 为 Vi 的窄条曲顶柱体的底，d i 为 i 的直径
R
R {(x, y) 0 x 2,0 y 4}
解：⑴在区域R上有：0 xy 2 （此处严格的找法
应该按照二元函数在有界闭区域上最值的找法 去做），根据积分性质
0 SR 2xyd 4 SR
R
而 SR 2 ，所以：
0 xyd 8
R
⑵的解法同⑴
例3：试将下列区域 R 用 x, y 的不等式组形式表示 出来，并写成集合形式
⑴
y 2x yx
R
R (x, y) 0 x 2, x y 2x
⑵
y x2 / 4 1
y 2x
R
6
2
2
x2
R
第一节二重积分的概念与性质09-3-22
V AC：第九章 重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的：理解并掌握二重积分的概念 ；几何意义；二重积分存在的条 件.熟练掌握二重积分的性质；能正确运用性质进行判断、计算与证明•重点：二重积分的性质•难点：运用性质判断与计算• 教学方法：直观教学,讲练结合. 教学过程： 一、二重积分的概念1、【定义】：设f(x,y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域任意分成n 个小闭区域 △ cr 1 , A CT 2,…，心J ，其中心巧 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个△码上任取一点(£,3)，作 乘积 f ( i ，i K--i ，(i =12 …，n)，并作和n瓦f c j ,—)△耳，如果当各小闭区域的直径d i 中的最大值i =1yn■二max{d}r 0时，这和式lim f( 1, 的极限存在，且1_11> 0 v此极限与小区间人码的分法以及点(©,3)的取法无关，则称此极限为函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分，记为I l f (x, y)d匚，即DnH f (x,y)db =|再送f(©,0)^w.其中：① f (x, y)称为被积函数，②f(x, y)d二称为被积表达式③x, y称为积分变量，④d二称为面积元素，⑤ D称为积分区域⑥' f ( i , i) *i称为积分和.i 12、面积元素de在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为d；「= dxdy故二重积分可写为11 f (x, y)d3、【二重积分存在定理】设f (x, y)是有界闭区域D上的连续函数，则存在二重积分j\| f (x, yjdb .D4、二重积分的几何意义(1)当被积函数f ( x, y)_ 0寸,二重积分f(x, y)d二表示以Df (x,y)为顶，以D为底面的曲顶柱体的体积.⑵当被积函数f(x, y)乞0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数.二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续•D1. !!kf (x, y)d；「十!! f (x, y)d二,k为常数.2. .[f(x,y)_g(x,y)]d；「- f (x,y)d；「一g(x, y)d；「•D D D设：•，：为常数则上述两式合并为M[: f(x,y) ：g(x, y)]d；「「f(x, y)d一亠)i ig(x, y)d二.D D D3.(二重积分对区域可加性)f(x,y)d；「= f(x, y)d；「f(x, y)d二，(D 二D“ D? ) •D D1 D 24.. d；「- 丁，匚为D的面积.D5.(积分不等式)若f (x, y) 一g (x, y)，则!! f (x, y)d；「一g(x, y)d二.D D推论:口f (x, y)d仃 M 皿f (x, y)|d<T .D D6.(积分估值定理)设M、m分别是f (x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，贝U m；「一f(x, y)d=_M二.D7.(积分中值定理)设函数f (x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点「，)使得 - f( x, y)d二f(,.)CJ 丁&设区域D = D! D2，且u与D2关于x轴对称；(1)当f (x, y)关于y是偶函数时即f(x, —y)= f (x, y)时，有f(x,y)^ =2 f (x, y)d二•D D i⑵当f (x, y)关于y是奇函数时即f (x, —y)= - f (x, y)时，有Mf(x,y)d匚=0.D类似有设区域D, D2，且D,与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)= f(x,y)时，有f (x, y)d；「- 2 f(x, y)d二.D D i⑵当f (x, y)关于x是奇函数时即f(-x, y)= -f (x, y)时，有解：如图，由于点A(1,0)在(x-2)2• (y 一1)2乞2上，过点A的切线为x+y=1,那么在D 上有1 兰x + y 兰(x + y)2W (x + y)3,所以H(x +y)2db v JJ(x +y)3dc<D D例2(05.4)设| j = fjcosjx2十y2db , l2= JJcos(x2+ y2)d口,D D2 2 2 2 2l3= ffcos(x + y ) d G ,其中D ={( x, y) | x + y ^1},则D(A) I3 >丨2 >丨1 (B) I1 > 丨2 > 13(C)丨2 > 丨1 >丨3 (D) I3 >丨22 2 二答(A).因为在区域D上，0兰x2+y兰1成一，2所以—>1 兰J x2+ y2M x2+ y2兰(x2+ y2)2M 0 ,2从而cos(\ x2十y2)兰cos(x2十y2)兰cos(x2+ y2)2.例3设D : x2+ y2兰a2,当a =()时，口Ja2_x2 _ y2dxdy =兀.D(a) 1答(b).根据二重积分的几何意义，此积分表示半径为a的上半球体1 4 3 3的体积•由一一=兀得a =3/一二选(b).2 3 、、2例4当D是由( )围成的区域时，…dxdy = 1.D(讣冷，(d) x + y =1，x - y = 1(a) x 轴，y 轴及2x y-2=0 ( b)x=1,x=2 及y=3,y=4答(a，b，c).因为dxdy二1表示积分区域的面积为1，故只需考察哪D些选项积分区域的面积为1.即可=选(a)，( b)，( c).例5判断..In (x2• y2)d；「的正负•|x|「y| 丄解：在区域D ={(x，y) ||x| +|y| <1}上有x2 +y2兰1且等号不恒成立，2 2所以ln(x y )汨n1 =0且等号不恒成立，故JJ In(x2+y2)d^ v JJ (In 1)d^=0.x| ;y|」x；y|」例6估计积分值I = xy(x y)d二，D 二{(x，y) | 0 乞x 乞1,0 乞y 乞2}.解：0 -xy(x2 y2) - 6= 0-1 -12 .例7 D1 珂(x, y)|x y "x,y -0}, D? ={( x, y)|(x—2)2 (y—1)2 "}.h =〕J(x+y)2d<r,l2 = ”(x + y)3ds I3 = j](x + y)2d&D1 D1 D 21厂(x・y)3d匚用适当符号连接l1,l2, l3,l4.D2解：在D i 上有l i • l2(0 —x y —1),在D2上I4 l3(x y_1).2 1又由(x + y)兰1二—，由2D1(x +y)231 二l3JJ d b =2兀>^ > l1,2D2故l4 l311 l2.例8 设D ={( x,y) |1 岂x2y2乞4}，证明3二e e"『d；：「- 3：e4.D证明S D Y - 4二-二-3二，e岂e x2“ < e4，由积分的估值性质得2 23「e _ e x y d；「_3二e .D例9 设D ={( x,y)|x2 y2乞R2}(1)若f(x,y)在D上有界且可积，则l』m(11 f (x, y)d；「=0.D1(2)若f (x,y)在D 上连续，则I』叫二f (x, y)d；「-二f(0,0) •R T R D(1)证明：设m, M分别为函数f (x, y)在D上的最小值与最大值，则m< f (x, ypiM，由积分估值定理知..md；：•一- f(x,y)d；丁- Md匚D D D又D ={( x, y) |x2y2 - R2}所以二mR2— f (x,y)d；「- ：MR2，D由夹逼定理得R m。
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n
V Vi. i 1
Z=f (x,y)
y D
i
（2）近似代替
在每个 中任取一点
则
z
Vi f (i ,i )i (i 1, 2,, n)
Z=f (x,y)
以 为底，f (i ,i )
为高的小平顶柱体体积
y
（3）求和
x
D i (i ,i )
将n个小平顶柱体的体积加起来，可得曲顶柱体体积
i 1
f (i ,i ) i
还有许多的实际问题，如平面薄片的质量等，其求解
过程都是采取分割、近似代替、求和、取极限的方法，
最后归结为求上述和式的极限.
7.1.2 二重积分的定义
定义7-1 设 f (x, y) 在有界闭区域 D上有界，将区域D
任意分成 n 个小闭区域
其中
既表示第i个小闭区域，也表示它的面积. 任取一点
（2）当连续函数 f (x, y) 0时，二重积分
的几何意义：以D为底，以曲面 z f (x, y)为顶的曲顶
柱体的体积.
当f (x, y) 0时，
等于曲顶柱体体积的负值.
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当 f (x, y) 在D的一部分区域上是正的，在其它部分区域
是负的，则二重积分等于xOy面上方的曲顶柱体体积减 去xOy面下方曲顶柱体体积所得的差值.
D
D
性质2
(7-3)
性质3 二重积分对积分区域D具有可加性：
f (x, y)d f (x, y) d f (x, y) d (7-4)
D
D1
D2
性质4
为D 的面积, 则
1d d
(7-5)
D
D
性质5 若在D上 f (x, y) g (x, y) ,则
M
y
y
P
D
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解法: 类似定积分解决问题的思想:
“分割, 近似代替, 求和, 取极限”
步骤如下：
z
（1）分割 用任意曲线网分D为 n个小闭区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 x
小曲顶柱体,体积记为 V（i i 1,2,, n),
则有
在闭区
域D上连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
使
f (x, y)d f (, )
(7-8)
D
二重积分的中值定理在几何上表示
在D内至少有一点 ( ,) ，使得曲顶柱体的体积等于以
D为底，以 f ( ,) 为高的平顶柱体的体积.
7.1 二重积分的概念及性 质
曲顶柱体的体积 二重积分的定义 二重积分的性质
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7.1.1 曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
z
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , x
母线平行于 z 轴的柱面 x 求其体积.
平顶柱体体积=底(x, y) d g (x, y) d (7-6)
D
D
特别地, 若 f (x, y) 0，则 f (x, y) d 0
D
性质6 设
D 的面积为 , 则有
m f (x, y) d M
D
(7-7)
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性质7 (二重积分的中值定理)
x, y 称为积分变量
积分区域 被积函数 面积元素
利用二重积分定义，上面所求曲顶柱体的体积就
是函数 f (x, y) 在闭区域D上的二重积分，即
V f (x, y)d
D
注意 （1）设D为有界闭区域，有
f (x, y) 在D上可积
f (x, y)在D上有界
f (x, y) 在D上连续
f (x, y) 在D上可积
（3）在直角坐标系中，如果用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
yy
f (x, y) dxd y.
D
o
O
D
x
x
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7.1.3 二重积分的性质
性质1 k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数（) 7-2）
的近似值，即 n f (i ,i ) i i 1
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（4）取极限
各个小闭区域的面积越小，体积V 的近似值就越精确.
记 m1aixn {i }
即 i max P1P2 P1,P2 i
的直径，
则有
n
V
lim 0
作和式
如果极限
可积， 并称此极限为
f (x, y)d，
D
，记 m1aixn {i}.
存在，则称 f (x, y) 在D上 f (x, y) 在D上的 二重积分，记作
即
n
D
f (x, y)d
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
(7-1)
积分和
被积表达式