模糊数学——第12次硬划分和软划分
模糊数学综合评价法
模糊数学综合评价法模糊综合评价法（fuzzy prehensive evaluation method）模糊数学综合评价法 1模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊数学综合评价法 2为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）＝全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
一级评价因素的权重之和为1；每个评价因子的下一个评价因子的权重之和为1。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
加权平均评价值（Epw）＝平均评价值（Ep）×权重（W）。
数学建模算法大全模糊数学模型
第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(m ax {)(x x x B A B A μμμ=Y ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(m in{)(x x x B A B A μμμ=I ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
教案_模糊数学概述
模糊数学概述任何事物都具有质和量两个侧面。
在分析和解决问题时，我们既可以考察对象的性质、属性等质的方面，也可以对对象的数量关系与空间位置进行分析。
数学就是研究现实世界中量的关系和空间形式的学科。
现实世界中，客观现象在质的表现上具有确定性和不确定性，而不确定性又分为随机性和模糊性。
这种属性反映在量的方面，自然导致研究量的数学学科要按照如下三种划分来分别刻画客观现象：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧模糊数学研究的领域—模糊性的量随机数学研究的领域—随机性的量不确定性的量精确数学研究的领域—确定性的量量因而，与精确数学和随机数学一样，模糊数学创立并发展为一门独立的数学学科，也是科学技术发展和社会实践需求的历史必然。
模糊数学是从量上来研究和处理模糊现象的一个数学分支，它以“模糊集合论”为基础。
模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述模糊信息的有力工具，其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域。
由于模糊性数学发展的主流在于它的应用，因此人们也常称之为“模糊系统理论”、“模糊集与系统理论”或“模糊理论”。
1．模糊数学的产生现代数学是建立在集合论基础之上的。
集合论的重要意义就在于它能将数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处：用集合来描述概念，用集合的关系和运算表达判断和推理，从而将一切现实的理论系统都纳入集合描述的数学框架中。
毫无疑问，以经典集合论为基础的精确数学和随机数学在描述自然界多种客观现象的内在规律中，获得了显著的效果。
但是，和随机现象一样，在自然界和人们的日常生活中普遍存在着大量的模糊现象，如多云，阴天，小雨，大雨，贫困，温饱等。
由于经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的现象和概念上，它要求元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可，因而对于那些经典集合无法反映的外延不分明的概念，以前人们都是尽量回避它们。
然而，随着现代科技的发展，我们所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现；此外人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向，也把模糊性的数学处理问题推向中心地位；更重要的是，计算机科学、控制理论、系统科学的迅速发展，要求电脑要像人脑那样具备模糊逻辑思维和形象思维的功能。
什么是模糊数学
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难
•没有必要获取精确数据
结语: 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学 学科，而且也形成了一种崭新的思维方法， 它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破 了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊 推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的 发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会 的进步发挥更大的作用。
参考书目 1. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
NSF 应用数学：大规模数据处理、不确定性建模
•国内状况
1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用 及应用数学； 1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的 实践与认识.
1981年，模糊数学创刊
第一讲 模糊数学基本知识
§1.2 模糊集的基本定理
λ-截集： 截集： (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ }
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
第一讲 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的 上的模糊子集 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 隶属函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 隶属函数，它表示 对A的隶属程度 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经 只取0或 时 模糊子集A就是经 当映射 只取 典子集， 就是它的特征函数. 典子集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子 就是它的特征函数 集就是模糊子集的特殊情形. 集就是模糊子集的特殊情形
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学综合评价总结
模糊综合评判1、概念及基本知识1965年，美国著名自动控制专家查德（L.A. Zadeh ）教授提出了模糊（fuzzy ）的概念，并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“模糊集合”（fuzzy set ）。
他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。
并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
而模糊综合评价是根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价的一种综合评价方法。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
在决策中，对于方案、人才、成果的评价，人们的考虑往往是从多种因素出发的，而且这些考虑一般只能用模糊语言来描述。
例如，评价者从考虑问题的诸因素出发，参照有关的数据和情况，根据他们的判断对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度的模糊评价。
然后通过模糊数学提供的方法进行运算，就能得出定量的综合评价结果。
2、模糊综合评价的基本原理首先确定被评价对象的因素（指标）集合评价（等级）集；再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度向量，获得模糊评判矩阵；最后把模糊评判矩阵与因素的权向量进行模糊运算并进行归一化，得到模糊综合评价结果。
其特点在于评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。
综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，所以还需要将所有对象的综合评价结果进行排序。
3、模糊综合评判方法步骤1、确定评价对象的因素论域2、确定评语等级论域3、进行单因素评价，建立模糊关系矩阵R4、确定评价因素的模糊权向量5、多因素模糊评价6、对模糊综合评价结果进行分析答案二：模糊综合评价的一般步骤如下：（1） 确定评价对象的因素集（2） 确定评语集；（3） 作出单因素评价（4） 综合评价1、 确定评价对象的因素集{}m 21,,,U u u u L =也就是说有m 个评价指标，表明我们对被评价对象从哪些方面来进行评判描述。
模糊集合论
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
c
扩张：点集映射 集合变换
如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二 元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c=a； 互余律：a∨ac=1， a∧ac=0， 则称(L,∨,∧,c )为一个Boole代数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(a∨b)c = ac∧bc， (a∧b)c = ac∨bc， 则称(L,∨,∧,c ) 为一个软代数.
设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下 列运算性质：
分配律：( a∨b )∧c = ( a∧c )∨( b∧c ) , ( a∧b )∨c = ( a∨c )∧( b∨c ) .
模糊数学原理及其应用
由 最 大 隶 属 原 则 ， x 8 应 相 对 隶 属 于 A2 ， 即 当 物 价 上 涨 8% 时 ， 应 视 为 轻 度 通 货 膨 胀 ； x 40 ， 应 相 对 隶 属 于 A5 ， 即 当 物 价 上 涨 40% 时 ， 应 视 为恶性通货膨胀。 三、阈值原则 在 使 用 最 大 隶 属 度 原 则 进 行 识 别 中 ，还 会 出 现 以 下 两 种 情 况 ，其 一 是
绪言
任何新生事物的产生和发展， 都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程， 一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模 糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点， 然而， 实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨 大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的 一席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不 可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系 统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测 量， 因而适于用精确方法描述和处理。 而那些难以用经典数学实现定量化的学科， 特别是有关生命现象、 社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊 事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量 可以精确测定， 能够建立起精确的数学模型。 模糊事物无法获得必要的精确数据， 不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的 方法才能解决。 传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用 的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这 对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如 判断企业经济效益的好坏时， 用 “年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见： “比经济效益好 的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业” ，而不应被划为经济效益 不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最 后就会得到， “年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许 多，历史上最著名的有“罗素悖论” 。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物 时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象， 促使人们寻求建立一种适于描述 模糊事物和现象的逻辑模式。 模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊 方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之 下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一
模糊数学中的模糊分类与模糊聚类
模糊数学中的模糊分类与模糊聚类模糊数学是一种旨在处理模糊或不确定信息的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到无法明确划分的情况，例如对于颜色、温度、评价等概念，很难用确定的数值来量化描述。
为了更好地研究和解决这些模糊问题，模糊数学提供了一种有效的工具。
本文将重点介绍模糊数学中的模糊分类与模糊聚类两个主要概念。
一、模糊分类1.1 概述模糊分类是指将对象根据其模糊属性划分为不同的类别或群组。
与传统分类不同，模糊分类允许对象被同时归属于多个类别，而不是严格地属于某一个类别。
这一特点使得模糊分类能够更好地应对现实生活中的模糊性和不确定性。
1.2 模糊分类方法模糊分类的方法主要包括模糊关联、模糊决策树和模糊聚类等。
1.2.1 模糊关联模糊关联是通过建立一个关联矩阵来进行模糊分类的方法。
关联矩阵中的每个元素表示对象与类别之间的隶属度关系，该关系通常用一个介于0和1之间的实数值来表示。
通过对关联矩阵进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。
1.2.2 模糊决策树模糊决策树将传统决策树中的确切节点替换为模糊节点，从而实现对对象的模糊分类。
模糊节点表示对应分支的隶属度，可以有多个分支与之对应。
通过对模糊决策树进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。
二、模糊聚类2.1 概述模糊聚类是指将具有相似特征的对象自动聚合到一起形成群组的过程。
与传统聚类算法不同，模糊聚类允许对象被同时归属于多个群组，而不是严格地属于某一个群组。
这一特点使得模糊聚类能够更好地处理模糊性和不确定性。
2.2 模糊聚类方法模糊聚类的方法主要包括模糊C均值聚类、模糊聚类算法和模糊关联聚类等。
2.2.1 模糊C均值聚类模糊C均值聚类是一种常用的模糊聚类方法，它通过计算对象与聚类中心之间的隶属度关系来实现聚类。
该方法假设每个对象属于不同聚类的隶属度之和为1，通过迭代计算，可以得到每个对象所属于不同聚类的隶属度。
初中语文《大自然的语言》导学案及答案
初中语文《大自然的语言》导学案及答案大自然的语言》导学案研究目标：1．积累掌握一些重点词语2．快速搜索重要信息，概括文章主要内容。
3．理清课文说明顺序，体会说明的条理性。
4．品味文章生动形象的语言。
5．激发探索自然奥秘的兴趣。
6．体会本文语言准确严谨、生动优美的特点，研究运用生动的语言说明事物。
7．激发热爱科学、探索科学奥秘的志趣，培养注重观察、讲究实证的科学态度。
重点难点1．理清课文的说明顺序，体会说明的条理性，训练学生快速筛选信息，初步概括内容要点。
2．研究本文准确严谨、生动优美的语言，体会说明的生动性。
走进作者XXX（1890—1974），浙江上虞人，20世纪卓有成就的科学家、教育家，气象学家，地理学家，被誉为“品格和学问的伟人”。
著有《二十八宿起源之时代与地点》、《我国五千年气候变迁的开端研讨》、《物候学》等。
第一课时自主研究1．回顾说明文的有关常识。
①说明文可以分为和。
②常见的说明顺序有。
③常见的说明方法有。
等。
④说明文语言有哪些特点。
等⑤你认为阅读说明文体应从哪些方面入手?2．读准字音。
翩然簌簌连翘萌生草长莺飞孕育载途农谚XXX销声匿迹3．解释词义。
花香鸟语：次第：XXX：悬殊：风雪载途：翩然：年年如是：孕育：周而复始：籁籁：草木荣枯：衰草连天：销声匿迹：拓展探究1．学生读课文两遍，然后根据要求，快速正确地筛选信息，团体掌控文意。
①什么叫物候？什么叫物候学？②物候观测对农业有什么重要意义？③决定物候现象来临的因素有哪些？④研究物候学有什么意义2．划分段落层次，概括段意。
第一部分（1～3段）第二部分（4～5段）第三部分（6～10段）第四部分（11～12段）巩固晋升1．本文的说明对象是，属于说明文，采用的说明顺序是。
2．6～10段按照由到的顺序举行说明的。
标志词有。
第二课时自主研究1．选词填空。
立春过后，大地渐渐地从沉睡中（清醒、XXX、复苏）过来。
冰雪融化，草木萌发，各种花（次第、连续、连续）开放。
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
模糊数学在样本分析中的应用
模糊数学在样本分析中的应用周诗虎武汉职业技术学院计算机糸 430074摘要：本文详细介绍了模糊聚类分析在调查样本分析中的应用。
并以教师教学水平与能力调查表之统计结果为例，介绍了模糊聚类分折的数学方法。
它是以模糊划分为数学工具，对调查结果进行分类，并得到各类的聚类中心，最后用二次分类法，得到对应的硬划分。
这样分析方法可广泛地应用到其它类似调查样本分析中。
关键词：模糊数学、模糊聚类分析、聚类中心、软划分、硬划分。
一、引言教师教学水平与能力调查表之统计结果，糸来源于学生对教师表现与调查项目进行比较，以及对教师间的横向比较，经过判断而得。
该判断过程属于模糊判断类型，且待处理的数据量也相当大。
所以能否寻求一较为科学的处理方法，对如实反映学校师资状况影响甚大。
作者认为，由于该问题的客观属性，用模糊数学的分析方法，较之用传统的数理统计方法，更接近事物的本质，可望得到较为切合实际的分析结果。
二、软划分(模糊划分)设待分类的样本集合为：X=｛x1，x2，x3，······，x i······，x n｝每一个样本x i（i=1，2，3，······，n ），有S个指标。
于是每个样本x i可写成行矩阵： x i=（x i1，x i2， x i3，······，x is）若要将X 划分为C类，其每一类是一组X上的模糊子集。
A1=｛u11/x1，u12/x2，u13/x3，······，u1n/x n｝，A2=｛u21/x1，u22/x2，u23/x3，······，u2n/x n｝，······A c=｛u c1/x1，u c2/x2，u c3/x3，······，u cn/x n｝其中：u ij（i=1，2，·3，·····，c ， j=1，2，3，······，n ），表示样本x j从属于第i 类的从属度。
人工智能模糊推理
目录引言1不確定性與模糊逻辑1.1古典逻辑1.2 模糊逻辑1.2.1 一维隶属函数参数值1.2.2 二维隶属函数参数值2 模糊关系2.1 模糊关系的定义2.2 模糊关系的表示3 模糊集合3.1 模糊集合的概念3.2 模糊集合的表示3.3 模糊集合的运算性质4 模糊逻辑5 简单遗传算法6 模糊遗传算法7 关于模糊遗传算法的新方法引言模糊逻辑指模仿人脑的不确定性概念判断、推理思维方式，对于模型未知或不能确定的描述系统，以及强非线性、大滞后的控制对象，应用模糊集合和模糊规则进行推理，表达过渡性界限或定性知识经验，模拟人脑方式，实行模糊综合判断，推理解决常规方法难于对付的规则型模糊信息问题。
模糊逻辑善于表达界限不清晰的定性知识与经验，它借助于隶属度函数概念，区分模糊集合，处理模糊关系，模拟人脑实施规则型推理，解决因“排中律”的逻辑破缺产生的种种不确定问题 。
一、 不確定性與模糊逻辑• 妻子： Do you love me ?• 丈夫： Yes .(布林逻辑)• 妻子： How much ? (模糊逻辑)布林逻辑(Boolean Logic)：二值，布林逻辑：{真，假} {0，1}；模糊逻辑(Fuzzy Logic)：多值，模糊逻辑：部分为真(部分为假)，而不是非真即假。
模糊逻辑取消了二值之间非此即彼的对立，用隶属度表示二值间的过度状态（1---完全属于这个集合；0---完全不属于这个集合）。
1.1 古典逻辑对于任意一个集合A ，论域中的任何一个元素x ，或者属于A ，或者不属于A ，集合A 也可以由其特征函数定义：1.2 模糊逻辑论域上的元素可以“部分地属于”集合A 。
一个元素属于集合A 的程度称为隶属度，模糊集合可用隶属度函数定义。
1.2.1 一维隶属函数参数化1) 三角形隶属函数：（如图1.1）2) 1003)0 50 100（图1.3 高斯形）4)一般钟形隶属函数：（如图1.4）（图1.4 钟形）1.2.2二维隶属函数参数化一维模糊集合的圆柱扩展二、模糊关系设X、Y是两个论域，笛卡尔积：，又称直积——由两个集合间元素无约束地搭配成的序偶（x,y）的全体构成的集合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注意：每一个分类都是模糊集
2014年6月26日
8
软划分矩阵满足如下性质： 是模糊矩阵，即0 uij 1.
每个样本属于各类的隶属度之和为1，即
u
i 1
n
c
ij
u1 j u2 j ucj 1
每一类模糊集不能为空集，即
u
j 1
2014年6月26日
ij
ui1 ui 2 uin 0
n
ji ik
x
ji
u
如何一个软划分最优？
min J U ,V min uij xi V j
j 1 i 1 c n 2
2014年6月26日
11
结论：当m > 1,Vi xk时，可以算出近似最优软划分
计算近似最优软划分的步骤：
Step1：给定一个初始软（硬）划分矩阵U0 Step2：根据U0，计算聚类中心Vi Step3：根据Vi，计算优化问题，得到一个新的软划分矩阵U
2
主讲内容
7.5 基于模糊划分的聚类方法
基本前提： 预先确定被分类的样本被分成了几类
2014年6月26日
3
模糊聚类分析
1、硬划分
设样本集合 X =｛x1, x2, ,xn｝
每个样本的特征为 xi = {xi1, xi2, , xis}
i类 0 第j个样本不属于第 设 uij 1 第j个样本属于第i类
u
i 1
n
c
ij
u1 j u2 j ucj 1
每一类至少含有一个样本，即
u
j 1
2014年6月26日
ij
ui1 ui 2 uin 0
5
注意：不同的分类矩阵对应不同的分类，全体分类矩阵 矩阵的集合称为划分空间。
思考1：软划分空间的个数，有限or无限？ 答案：有限
回顾内容
基于模糊相似关系的动态聚类
基本思想：
去掉模糊等价关系的计算
① 建立模糊相似关系 ② 利用—截矩阵得到普通相似关系
ⅰ 建立原始数据矩阵正规化 ⅱ建立模糊相似关系
③ 利用不同的截矩阵得到不同的分类
2014年6月26日
1
具体方法：
（1）直接法 （2）编网法 （3）最大树法
主要例子：
照片问题
2014年6月26日
j 1 i 1
2014年6月26日
7
c
n
2
2、软（模糊）划分
x1 1 u11 2 u21 U 3 u 31 M M c uc1 x2 u12 u22 x3 L u13 L u23 xn u1n u2 n u3n M ucn
u32 u33 M M u c2 uc 3
9
注意：不同的分类矩阵对应不用的分类，全体软划分称为 软无限？ 答案：无限
2014年6月26日
10
软划分矩阵：
uij 1 x j Vi x j V k k 1
c
2 m 1
聚类中心：
v jk
u
i 1 n i 1
思考2：如何找出最优的分类？
2014年6月26日
6
聚类中心：
xi = {xi1, xi2, , xis}
设 v jk
u
i 1 n i 1
n
ji ik
x
ji
u
得到聚类中心 Vj = {vj1, vj2, , vjs} 如何判断一个硬划分是最优？
min J U ,V min uij xi V j
0 max u u Step4：判断 ij ij
2014年6月26日
12
为了最终得到最佳优化，得到软划分矩阵后，还应进行硬划分： （1）直接法； （2）二次分类法
前提：一定要明确分类的数目。
2014年6月26日
13
得到一个分类矩阵
x1 0 2 1 U 3 0 M M c 0 1
2014年6月26日
x2
x3 L
xn 1 0 0 M 0
0 0 L 0 0 1 0 M M 0 1
4
分类矩阵满足如下性质：
是布尔矩阵，即uij = 0 or 1
每个样本只能属于其中的某一类，即