中考数学《圆》专项训练及答案解析
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中考数学《圆》专项训练及答案解析
1．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A 作AE∥BC交CD的延长线于点E．
（1）求证：EC＝AC．
（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．
解：（1）证明：∵BC∥AE，
∴∠ACB＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠BAD，
∴∠EAC＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，
∴CE＝CA．
（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．
∵∠EAD＝∠CAB，
∴＝，
∴DM＝BC＝10，
∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，
∴∠MDE＝∠CAM，
∵∠E＝∠CAE，
∴∠E＝∠MDE，
∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，
∴EH＝DH，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，
∴cos∠E＝＝，
∴EH＝4，
∴DE＝2EH＝8．
2．（2018•河池）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
（1）证明：连接OC，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∵∠A＝∠CDE，
∴∠A+∠DCE＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO+∠DCE＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，BD＝3，
∴OC＝OB＝AB＝2，
∴OD＝2+3＝5，
∴CD＝＝＝．
3．（2018•朝阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AB，OD与AC的延长线交于点D，点E在OD上，且CE＝DE．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若OA＝，AC＝3，求CD的长．
（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠D+∠A＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠D，
∵∠ACO+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥AD，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADO，
∴，
∴＝，
∴AD＝8，
∴CD＝AD﹣AC＝5．
4．（2018•安丘市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．
（1）证明：∵OB ＝OD ，
∴∠ABC ＝∠ODB ，
∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
∴∠ODB ＝∠ACB ，
∴OD ∥AC ．
∵DE ⊥AC ，OD 是半径，
∴DE ⊥OD ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：如图，过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE ＝∠DEH ＝∠OHE ＝90°，
∴四边形ODEH 是矩形，
∴OD ＝EH ，OH ＝DE ．
设AH ＝x ．
∵DE +AE ＝8，OD ＝10，
∴AE ＝10﹣x ，OH ＝DE ＝8﹣（10﹣x ）＝x ﹣2，
在Rt △AOH 中，由勾股定理知：AH 2+OH 2＝OA 2，即x 2+（x ﹣2）2＝102，
解得x 1＝8，x 2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH ＝8，OH ＝6，
∵OH ⊥AF ，
∴AH ＝FH ＝AF ，
∴AF ＝2AH ＝2×8＝16
∴△OAF 的面积＝×16×6＝48．
5．（2018•营口）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线．
（2）若sin∠ADC＝，AB＝8，AE＝3，求DE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC，
∴∠B＝∠MAC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，
∴∠BAM＝90°，
∴AB⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，过E作EH⊥OC于H，
∵sin∠ADC＝，
∴∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵AB＝8，