格林公式例题和习题
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
第四节格林公式
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
D10_3格林公式
添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I
L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y
D
(
Q x
P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；
3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
格林公式例题与习题
y dy 0 x2 y2
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或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
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取圆弧 AB : x π cos , y π sin ( : π 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
规定：域 D 边域界L) 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
0
1 (1 e1) 2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
格林公式习题解析
“ u(x, y) (x,y) 2x ydx x2 d y ”. ( x0 , y0 )
图1
又由于积分 u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY 与路径无关， ( x0 , y0 )
也就意味着，我们可以选取使计算简便的路径，通常我们选择 折线路径，如图 1 和图 2 所示.
y
x
y x
符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1,1) 和终点 (2,3) . 由于积分与路径无关，
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 3 所示）进行计算，记
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 4 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
2
(x
:1
3)
，
LBC
:
x y
3 y
( y : 2 4) ，则有
图4
(3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y (1,2)
的正向边界；
答案： 1 (e 1) 5
解析： 本题考查课本第 137~138 页知识点——
可简单地理解为曲线上无“尖点”（导数或偏导数不存在的点）， 即曲线上处处有切线，且切线随切点的移动而连续转动.
简单地讲，格林公式就是把闭区域内的二重积分和该闭区域边界上的曲线积分联系了起 来，这两种积分可以根据我们的需要相互转化，从而简化计算.
u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0) 的全微分，随着 (x0, y0 ) 的不同， u(x, y) 也不同.
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式及其应用
例如： P
y x2 y2
， Q
x x2 y2
，在复连通域
1 2 2 D ( x , y ) x y 4 中，具有连续偏导数， 2
Q y2 x2 P 2 x ( x y 2 )2 y
x y 1
2
2
Pdx Qdy 2 0
2．定理 2
若向量值函数 A( x , y ){ P ( x , y ),Q ( x , y )} 在单连
通域 D 上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： P Q （1） ( x, y )D ，有 ； y x
（2）沿 D 内任意的逐段光滑闭曲线 C，有
C PdxQdy0 ； Pdx Qdy 与路径无关，只与位于 D 内的 （3 ） C ( AB )
B ( 2,0)
x
kx k (1 y ) y W F ds dx dy C C r3 r3 A (0,1)
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
∵ P
kx r3
， Q
k (1 y ) r3
P 3kx(1 y ) Q ， ， y x r5
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
P 3kx(1 y ) Q ∵ P ， Q ， ， y x r3 r3 r5 Q P C OB ( x y )dxdy C OB D OB BO
y
A (0,1)
则 MA{ x,1 y} ，
r MA x 2 (1 y)2 ，
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
§11.2(2)格林公式
Q P ∫∫D( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P ∫∫D( x y ) dxdy
y
1 D2 D
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
Q P ) dxdy x y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
du = xy2 dx + x2 ydy. (0,0)( Nhomakorabea, y) .
= ∫ x 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
18
xd y y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 o (1,0) ( x,0) x P y x Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 x (x + y ) y 由定理 2 可知存在原函数 定理
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
x
y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
y0 x0 x0 y y0 x
格林公式及其应用
易于计算时，可应用格林公式计算
O
L2 L L1 L3
x
（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：
L L l lD ( Q x P y)dx d l y
要求右端的二重积分及曲线l积分易于计算。l 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有
(1) 沿D中任意光滑闭曲线 L,有 LPdxQdy0。
(2) 对 D中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
PdxQdy与路径无关, 只与起止点有关.
L
(3)PdxQdy在 D内是某一函数 u(x, y)的全微分, 即 d u ( x ,y ) P d x Q d y
(4) 在 D内每一点都有 P Q 。 y x
注意本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关内有设pq在单连通域d内具有一阶连续偏导数则有思考与练习且都取正向问下列计算是否正确的半圆计算质点m沿着以ab为直径的半圆从a12运动到故所求功为ab锐角其方向垂直于om且与y轴正向夹角为对质点m所作的功
8.2 格林公式及其应用
8.2.1 格林公式 8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
a a xdx1a2
40
6
8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
如果在区域G内有
y
PdxQdy L1
PdxQdy L2
B G
L1
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关。
平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理8.2.2 设 D是单连通域,函数P (x ,y)Q ,(x ,y)在D内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
格林公式·曲线积分与路线的无关性
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示, 1 A xdy ydx 2 L 1 1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx AMO xdy ydx 2 2 2 1 0 a a a 1 2 a x ( 1)dx ( ax x )dx 0 xdx 6 a . 2 2 ax 4
xu u lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x 0 x x 0
u Q ( x , y ). 所以证得 同理可证 y
du P dx Q dy .
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ),
Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
返回
一、格林公式
边界曲线L的正向: 当观察 者沿边界行走时,区域D总 在他的左边. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
微积分格林公式
已知du P( x, y)dx Q( x, y)dy,如何求u( x, y)?
(x, y) (x0 , y)
全微分方程：P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ( Q P ) x y
例8、 解全微分方程 : ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy 0. 作业 习题8-4：3、4（1）（3）
B
L2
A
L3
定理：设G是平面单连通区域, P( x, y),Q( x, y) C (1) (G), 则以下四个条件等价: (1)对G内任一分段光滑闭曲线C ,
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0;
C
(2) P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路径无关; L
例4、设D是包含原点的有界闭区域,求 xdy ydx. D x 2 y 2
二、曲线积分与路径无关的条件
P( x, y)dx Q( x, y)dy只与L的两个端点有关而与
L
积 分 路 径 无 关, 则 称 之 为 积 分 与 路 径 无关, 否 则 称
与 路 径 有 关.
L1
D1
L
（2）
B
A （3）
面积公式：A dxdy 1 xdy ydx (P y,Q x)
D
2 D
例1、求椭圆x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
例2、证明 : 2xydx x 2dy 0, D 分段光滑. D
例3、求 e y2 dxdy, D是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 D 的三角形闭区域.
(整理)高等数学(1)-2习题册答案(第十一章1-4节)
第十一章 曲线积分与曲面积分第17次课 对弧长的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分： （1）cos d Ly s ⎰，其中L 为原点至点(2,1)的直线段；解：2200cos 2L x yds ⎤===⎥⎦⎰⎰ （2）d Lx s ⎰，其中L 为抛物线221y x =-介于1x =及0x =之间的一段弧；解：131222001121(116)(116)3232348Lxds x x ⎡⎤==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（3）()d Lx y s +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界；解：()()()()LOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰⎰⎰111((0x y =++++⎰⎰⎰11221000122x y =++=+（4）222()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：2222245()()22LLx y ds a ds a a a ππ+==⋅=⎰⎰（5）||d Lxy s ⎰，其中L 为圆周222x y a +=；解：根据xy 在四个象限的对称性，有14LL xy ds xy ds =⎰⎰（其中1L 是在第一象限的四分之一圆周），则12044(cos )(sin LL xyds xyds a t a t π==⎰⎰⎰333220sin 2(2)(cos 2)2atd t a t a ππ==-=⎰（6）222d z s x y Γ+⎰，其中Γ为圆周cos ,sin ,,02x a t y a t z at t π===≤≤． 解：22220z dsx yπτ=+⎰⎰222330013t dt t a ππ===⎰2．计算曲线积分22d x y Les +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：2240ax y Leds π+=++⎰⎰⎰ 4002(1)4aax a a ae t e ae e ππ=++=+-3．有一铁丝成半圆形cos ,sin (0)x a t y a t t π==≤≤，其上每一点的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量．解：220sin (cos )2LM yds a a t a ππ===-=⎰⎰提高题：1．已知椭圆23:143x y L +=周长为a ，求22(234)d L xy x y s ++⎰． 解：原式(122)121212012LLLxy ds ds xyds a a =+=+=+=⎰⎰⎰2．计算曲线积分4433()d Lx y s +⎰，其中L 为星形线33cos ,sin (0)2x a y a πθθθ==≤≤在第一象限内的弧．解：4444433320()d (sin cos Lx y s a πθθθ+=+⎰⎰7772556633322000113(sin sin cos cos )3sin cos 66a d d a a πππθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰第18次课 对坐标的曲线积分1．计算下列各题中的曲线积分： （1）(2)d Lx y x +⎰，其中L 为从点(2,0)-到点(0,2)的直线段．解：02(2)(22)2Lx y dx x x dx -+=++=-⎰⎰（2）22d d Lxy y x y x -⎰，其中L 为圆周221x y +=，逆时针方向．解：2222220cos sin cos cos sin sin Lxy dy x ydx t t tdt t t tdt ππ-=+⎰⎰⎰2222000sin 21cos 411sin 4244162t t dt dt t t ππππ-⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰（3）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）． 解：LAOOAxydx xydx xydx =+⎰⎰⎰半圆周232320(cos )sin (sin )0sin sin cos aa a t a t a t dt dx a tdt a t tdt πππ=+⋅-+=--⎰⎰⎰⎰33233330001cos 2111sin sin sin 2sin 22432t a dt a td t a t t a ta πππππ-⎛⎫=--=---=-⎪⎝⎭⎰⎰（4）d d d Lx x y y z z ++⎰，其中Γ为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段．解：()1112[(1)(12)2(13)3](614)6713Lxdx ydy zdz t t t dt t dt t t++=+++⋅++⋅=+=+=⎰⎰⎰（5）d d L x yx y ++⎰，其中L 为从点(0,1)A -到点(1,0)B 再到点(0,1)C 的折线段．解：1001(11)(11)2L AB BC dx dy dx dy dx dydx dx x y x y x y +++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L ：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 解：（1）2222321134=[()2()](2)3y y y y y dy y y y dy ++-=++=⎰⎰原式 （2）441112121108=[()()]()113333399x x x x dx x dx ++++-⋅=+=⎰⎰原式 （3）122220{(211)(41)[1(21)]2}t t t t t t t t dt =+++++++-++⎰原式132032(10592)3t t t dt =+++=⎰3．计算曲线积分2(12)d d Lxy x x y ++⎰，其中L 为从点(1,0)到点(1,0)-的上半椭圆周2221(0)y x y +=≥．解：:cos ,,:02L x t y t t π==→20=[(1cos )(sin )cos cos ]2t t t tt dt π+-+⎰原式220sin sin sin (1sin )sin 2tdt td t t d t πππ=-+-⎰⎰ 2=-提高题： 1．计算曲线积分2sin 2d 2(1)d Lx x x y y +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段．解：220=[sin 22(1)sin cos ]sin 2x x x x dx x xdx ππ+-=⎰⎰原式2200011cos 2cos 2cos 222x d x x x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ []2200011111sin 2sin 2sin 222222xd x x x xdx πππππ=-+=-+-⎰⎰212π=-2．设在力场F y x z (,,)=-作用下，质点由(,0,0)A R 沿Γ移动到(,0,2)B R k π，其中Γ为 （1）cos ,sin ,x R t y R t z kt ===； （2）AB ． 试求力场对质点所作的功． 解：（1）222220d d d ()d 2()W y x x y z z R k t t k R πππΓ==-+=-+=-⎰⎰（2）直线的参数方程为,0,2,:01x R y z kt t π===→12220d d d (2)d 2ABW y x x y z z k t t k ππ=-+==⎰⎰第19次课 格林公式及其应用1．应用格林公式计算下列各题中的积分： （1）22d d Lx y x xy y -⎰，其中L 为正向圆周222(0)x y a a +=>．解：22,Q Py x x y∂∂=-=∂∂，由格林公式 原式2222440011()()2()42a Dy x dxdy d r rdr a a πθππ=--=-=⋅-=-⎰⎰⎰⎰（2）()d (3)d Lx y y x y x -++⎰，其中L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿顺时针方向． 解：1,3Q Px y∂∂==∂∂，由格林公式 原式(13)222DDDdxdy dxdy S=--===⎰⎰⎰⎰（3）22222(32)d (223)d x x Ly e x xy y x ye x xy y y ++++++-⎰，其中L 是半圆周y =自点(1,0)A 至(0,1)B ．解：222,222x x Q Pye x y ye x y x y∂∂=++=++∂∂，由格林公式 原式L BO OABO OA++=--⎰⎰⎰012210(23)3Ddxdy y y x dx =---⎰⎰⎰⎰1=-（4）22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧． 解：1,1Q Px y∂∂=-=-∂∂ 设(1,1),(1,0)B A ，由格林公式 原式L BA AOBAAO++=--⎰⎰⎰0022110[(1sin )]Ddxdy y dy x dx =---+-⎰⎰⎰⎰311710(sin 2)sin 224364=--+=-+2．利用曲线积分计算星形线33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围成图形的面积．解：23232011[cos 3sin cos sin (3cos sin )]22L A xdy ydx a t a t t a t a t t dt π=-=⋅-⋅-⎰⎰ 2222222220003331c o s 4s i n c o s s i n 22882t a t t d t a t d t a d t πππ-===⎰⎰⎰ 238a π=3．证明曲线积分21d d L y x y x x -⎰在右半平面内与路径无关，并求(1,2)2(2,1)1d d y x y x x -⎰．解：21Q Px x y∂∂==∂∂(0)x > ∴曲线积分在区域{}(,)0x y x >与路径无关 设(2,1),(1,2),:3,:21A B AB y x x =-+→则(1,2)1222(2,1)21131d d d d [(1)]AB y y x x y x y dx x xx x x x -+-=-=-⋅-⎰⎰⎰ 12332x =-=-4．验证表达式：2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--在整个平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ．解：22Q Px y x y∂∂=-=∂∂ ∴2222(2)d (2)d x x y y x x x y y y +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分(,)2222(0,0)(,)(2)d (2)d x y u x y x xy y x x xy y y =+-+--⎰(,0)(,)222(0,0)(,0)(2)x x y xyx x d x x x y y d y=+=+--⎰⎰⎰⎰ 32231133x x y xy y =+--提高题：1．设曲线积分2d ()d L xy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，求()x ϕ，并求积分(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰的值． 解：曲线积分与路径无关可得2()Q P xy y x x yϕ∂∂'==∂∂即 从而2()2()x x x x C ϕϕ'=⇒=+，又(0)0ϕ=有2()x x ϕ= 故(1,1)123(0,0)01d ()d 22xy x y x y x dx ϕ+==⎰⎰2．[()]d [()]d x x L f y e my x f y e m y '-+-⎰，其中()f y 有连续的一阶导数，L 是连续点1(0,)A y ，2(0,)B y 的任何路径，且L 与直线AB 所围成区域的面积为定值S ，L 总是位于直线AB 的左方． 解：(),()x x Q P f y e f y e m x y∂∂''==-∂∂ 不妨设12y y <，由格林公式 原式12[()]y L BA BA y D mdxdy f y m dy +'=-=---⎰⎰⎰⎰⎰ 212121[()]()()()y D y mS f y my mS f y f y m y y =-+-=-+---第20 次课 对面积的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d z S ∑⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：222:xy D x y R +≤xy D zdS ∑=⎰⎰⎰⎰ 23xy D Rdxdy R R R ππ==⋅=⎰⎰（2）()d x y z S ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下的有限部分． 解：22:1xy D x y +≤()d (xy D x y z S x y ∑++=+⎰⎰⎰⎰2100(cos 1)d r sin rdr πθθθ=++⋅⎰20(cos sin 1)3d πθθθ=++⎰=（3）d S ∑⎰⎰，其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限被0,0,0===z y x 截下的部分．解：∑的等边三角形，其面积为2S ∑=d S S ∑∑==⎰⎰（4）S ∑，其中∑为抛物面22z x y =+被平面1z =所截下的有限部分．解：22:1xy D x y +≤xyD S ∑=⎰⎰ 2122200(144)(14)xy D x y dxdy d r rdr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰ 3232ππ=⋅=（5）()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222(0)x y ax a +=> 所截得的部分．解：222:()xy D x a y a -+≤()d [(xy D xy yz zx S xy x y ∑++=++⎰⎰⎰⎰2cos 22202[sin cos (sin cos )]a d r r rdr πθπθθθθθ-=++⎰454522(sin cos sin cos cos )d ππθθθθθθ-=++⎰422420(1sin )sin d πθθ=-=⎰（6）d ,:xy S ∑∑⎰⎰曲面22(01)z x y z =+≤≤在第一卦限的部分． 解：22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥d xy D xy S ∑=⎰⎰⎰⎰12200sin cos d r πθθ=⎰⎰12001sin cos 2d πθθθ=⋅⎰⎰2201111sin 22242t d t dt πθθ-=⋅⋅⎰25311111cos 232253240o t t πθ⎛⎫⎛=-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝2．计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰，:∑抛物面222z x y =--在xOy 平面上方的部分，(,,)f x y z 分别如下：（1）(,,)1f x y z =； （2）22(,,)f x y z x y =+； （3）(,,)3f x y z z =．解：22:2xy D x y +≤（1）(,,)d xyD f x y z S S ∑∑==⎰⎰⎰⎰20d πθ=⎰1313263ππ=⋅=(2) 22(,,)d (xy D f x y z S x y ∑=+⎰⎰⎰⎰200d πθ=⎰ 14914926030ππ=⋅=(3) 22(,,)d 3(2xyD f x y z S xy ∑=--⎰⎰⎰⎰2200d r πθ=-⎰11111122010ππ=⋅=提高题： 1．设曲面:1x y z ∑++=，求()d x y S ∑+⎰⎰． 解：由曲面的对称性和函数x 的奇偶性可知0xdS ∑=⎰⎰又曲面∑对坐标,,x y z 具有轮换对称性()d d d x y S x S y S∑∑∑∴+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 10()3x y z dS ∑=+++⎰⎰11183332dS S ∑∑===⋅=⎰⎰第21次课 对坐标的曲面积分1．计算下列各题中的曲面积分：（1）d d z x y ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分的上侧．（2）22d d x y z x y ∑⎰⎰，:∑球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧．（3）222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为球面2221x y z ++=上半部分外侧．（4）d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，:∑柱面221(03)x y z +=≤≤在第一卦限内的部分的前侧．（5）d d d d xy z x z x y ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+在0,0,01x y z ≥≥≤≤内部分的上侧．2．求()d d ()d d ()d d y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面z =及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．3．计算()d d ()d d ()d d f x y z g y z x h z x y ∑++⎰⎰，其中(),(),()f x g y h z 为连续函数，∑为直角平行六面体0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面外侧．提高题：1．把对坐标的曲面积分：(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：∑是平面236x y z -+=在第二卦限部分的上侧．2．设曲面∑是z =的上侧，求2d d d d d d xy y z x z x x x y ∑++⎰⎰．第22次课 第十一章 总复习题1．计算下列曲线积分：（1）d L x S ⎰， 其中L 为星形线332cos 2sin x t,y t ==经过点(2,0)A ，(0,2)C ，(2,0)B -的ACB 弧段．（2）22d d L y x y x y x -⎰，其中L 是圆周222x y a +=，沿顺时针方向．（3）求zds Γ⎰，其中Γ为曲线0cos sin ,(0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩．（4）求(sin 2)d (cos 2)d x x L e y y x e y y -+-⎰，其中L 为上半圆周222()(0)x a y a y -+=≥，沿逆时针方向．2．验证22(e cos 2)d (2e sin )d x xy xy x x y y y ++-是否是某一函数()u x,y 的全微分．若是，试求出()u x,y ．3．设L 为平面曲线：222x y R +=，计算下列各积分：（1）22()d L x y s +⎰； （2）22()d L x y x +⎰，其中L 取正向； （3）22()d D x y σ+⎰⎰，其中D 为曲线L 所围成的平面区域．4．计算33d d L y x x y -⎰，其中L 是从(,0)A R -到(,0)B R 的上半圆周y =5．设曲面:∑2222x y z R ++=，计算下列各曲面积分：（1）222()d x y z S ∑++⎰⎰； （2）222()d d x y z z x ∑++⎰⎰，其中∑取其外侧； （3）222()d x y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω为曲面∑所围成的空间区域．6．计算∑∑为介于0z =及(0)z H H =>之间的柱面222R x y =+．。
格林公式
【例 6】 计算抛物线( x + y )2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积.
【解】 ONA 为直线 y = 0 .
M
A(a ,0)
N
曲线 AMO 由函数 y = ax − x , x ∈ [0, a ]表示,
1 ∴ A = ∫ xdy − ydx 2 L 1 1 = ∫ONA xdy − ydx + ∫AMO xdy − ydx 2 2 1 a 1 0 = ∫AMO xdy − ydx = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax 2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 2 2 = ∂x ( x + y ) ∂y
当(0,0) ∉ D时,
设L所围区域为D,
由格林公式知
xd y − yd x ∫L x2 + y2 = 0
y o
L x
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当(0,0) ∈ D 时,由于P,Q在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条件
L
［证毕］
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【应用格林公式时应注意】
1.积分曲线L必须是封闭曲线，取D的正向边界. 2. P , Q 在区域 D及其边界上具有一阶连 续偏导数 . 3.D可为单连通域，也可为复连通域； 当D为复连通域时，L包括D的所有正向边界. （三条缺一不可）
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【证明】 (1) 线, 则
(2)
设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
∫L
=∫
1
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.3.2)--格林公式及其应用
0,
其中 C
为平面区域
x
内的
任一封闭曲线.
6. 设函数 Q(x, y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx Q(x, y)dy 与 C 路径无关，并且对任意 t 恒有
(2xydx Q(x, y)dy 2xydx Q(x, y)dy ,
(0, 0)
(0, 0)
求 Q(x, y) .
7. 确定常数 p , 使得在任何不含 y 的点的区域上, 曲线积分
C
x y2
(x2
y2)p
ydx
xdy
与路径无关，并求当 C 从点 (1, 1) 到点 (0, 2) 时的积分值.
8. 求下列微分方程的通解：
(1) [ y ln(1 x)]dx (x 1 ey )dy 0 ；
C
a b
(3)
C
(x2
y
2 y)dx
x3 3
x
dy
，其中 C
是直线
x
1,
y
x,
y
2x
所围三角形区
域的正向边界.
(4) (ex sin y my)dx (ex cos y m)dy ，其中 C 为由点 A(a,) 到点 O(,) 的上 C 半圆周 x y ax ；
t
2π
)与
x
轴.
2. 利用 Green 公式, 计算下列第二类曲线积分：
(1) (2x sin y 4y)dx (x2 cos y x)dy ，其中 C 为圆周 x2 y2 3 , 并取逆时针 C 方向；
习题二十一格林公式及其应用(续)
习题二^一 格林公式及其应用(续)、证明下列曲线积分在整个 xoy 平面内与路径无关，并计算积分值 (2,3)(1) (x (1,1) y)dx (x y)dy解：P x y, Q x y,显然P 和Q 在整个xoy 面内具有一阶连续偏导数，又PQ 1 ，所以积分与路径无关。
y x取点(1,1)至U (2,3)的直线 y 2x 1,1 x 2,故(22)(2xe y 1)dx (x 2e y y)dy解：P 2xe y 1,Q x 2e y y,显然P 和Q 在整个xoy 面内具有一阶连续偏导数,取点(1,2)至U (6,8)的路径如图，故(6,8) y2 y 6 2 8y 82 (2xe y 1)dx (x 2e y y)dy (2xe 2 1)dx (36e y y)dy 36e 8 e 2 35。
(1,2) 1 2(1,1) (3)(o o )(sinx y)dx (x sin y)dy(x sin y),显然P 和Q 在整个xoy 面内具有一阶连续偏导数,Q ，所以积分与路径无关。
(2,3) (1,1)(x y)dx (x y)dy 21[(3x 1) (1 x) 2]dx 2 1(1 x)dx 2xe yQ ，所以积分与路径无关。
x 解: P sin x y,Q取点(0,0)至U (1,1)的直线 y x,0 x 1，故(1,1) i(0,0)(sinx y)dx (x siny)dy °[(sinx 2x 上从点(0,0)到点(4,8)。
( )e sin ydx e cos ydy L 1 L 248 4 0 dx e cos ydy 0 04 e sin 8三、设IJe x 2f (x)] ydx f (x)dy 与积分路径L 无关，且f(1) 1 ，求(1,1) I (0,0)[e 2f(x)]ydx f (x)dy 之值。
1x) (x sin x)]dx o 2xdx 1。
高数-格林公式
2(
y),
y]d
y
d c
{Q[
2
(
y),
y]
Q[ 1
(
y),
y]}d
y
D
Q x
dxdy
则有
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
证明：（1）设 D 既是 X 型，又是 Y 型区域。
X 型： a x b, 1( x) y 2( x),
L Pdx
D
P y
dxdy
y d
L2 : x 2( y)
D L2
L3
L1
（2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分 的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。
主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而 经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
（3）便于记忆的形式
若记
Q P x y
x P
y Q
则格林公式可表示为
(
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
证明：（1）设 D 既是 X 型，又是 Y 型区域。
X 型： a x b, 1( x) y 2( x),
y L2 : y 2( x)
P
D
y
dxdy
b
a
dx
2 (x) 1 ( x)
P y
dy
ab{
P[
ab
x,2(
2 (x)
P(x, y) | 1 (x)
应用格林公式计算下列曲线积分;
1． 应用格林公式计算下列曲线积分； （1）dy y x dx y x L)()(222+-+⎰，其中L 是以)5,2(),2,3(),1,1(C B A 为顶点的三角形，方向取正向； （2）⎰-+-ABx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经过圆ax y x =+22上半部的路线.分析：（1）首先应画出曲线L 的图形，并求出AB ，BC ，CA 的方程；（2）应用格林公式时，首先应是封闭曲线，因此（2）题应补上直线段OA 解：（1） AB 的方程为:)31)(1(21≤≤+=x x y , BC 的方程为: )32(113≤≤+-=x x y CA 的方程为: )21(34≤≤-=x x y , 设)(,)(222y x Q y x P +-=+=,则.24)(22y x y x x yPx Q --=+--=∂∂-∂∂ 把三角形域分成两部分1S 和2S ,于是 原式=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=--SS S d y x d y x 12)24)(()24(σσ=⎰⎰⎰⎰+-+-+--+--32113)1(212134)1(21)24()24(x x x x dy y x dx dy y x dx=.3246)4483249421()2352774119(232221-=-++-+-⎰⎰dx x x dx x x (2)在Ox 轴上连接点)0,0(O 与点)0,(a A 这样就构成封闭的半圆形A AO,且在线段OA上,0,0==dy y 于是.0)cos ()sin (=-+-⎰dy m y e dx my y e OAx x而⎰⎰⎰⎰=+=OA AAO OA AO .由格林公式得:8)2(21)cos ()sin (22:22a m a m mdxdy dy m y e dx my y e axy x D xA AO xππ=⋅==-+-⎰⎰⎰≤+因此,原式=28a m π. 2． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1) 星形线:;sin ,cos 33t a y t a x == (2) 双纽线:).()(222222y x a y x -=+分析：封闭曲线L ： (),()x x t y y t ==所围的面积公式是：⎰⎰⎰-==LS D ydx xdy d S D21σ 解： (1)⎰⎰⎰-==L S D ydx xdy d S D21σ =dt t t a t a t t a t a )sin cos 3sin cos sin 3cos (21220323⋅+⋅⎰π=dt t t t t a )cos sin sin (cos 232204242⎰+π=tdt t a 22022cos sin 23⎰π=tdt a ⎰π20222sin 83 =dt ta ⎰-π20224cos 183 =ππ83|)4sin 8121(832202a t t a =-. （2） 化双纽线的极坐标方程为参数方程,2cos cos cos )(θθθθa r x == ,2cos sin θθa y =应用面积公式并利用图形的对称性可得.2cos 2142402a d a ydx xdy S L==-⋅=⎰⎰θθπ3． 证明:若L 为平面上封闭曲线,l 为任意方向向量,则⎰=Lds n l ,0),cos(其中n 为曲线L 的外法线方向.分析：设l 与n 的方向余弦分别为βαcos ,cos 与),,cos(),,cos(y n x n 则cos(,)cos cos(,)cos cos(,)l n n x n y αβ=+，又cos(,),cos(,)n y ds dx n x ds dy =-=证： 设l 与n 的方向余弦分别为βαcos ,cos 与),,cos(),,cos(y n x n 则⎰⎰+=ds y n x n ds n l L L)],cos(cos ),cos([cos ),cos(βα由第一、二型曲线积分的关系，有上式=cos cos Ldx dy βα-+⎰由βαcos ,cos 均为常数，故0cos cos =∂∂=∂∂xy αβ 从而由格林公式知⎰=.0),cos(ds n l L4． 求积分值⎰+=,)],cos(),cos([ds y n y x n x I 其中L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为L的外法线方向。
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0 x
y
0
dy x2 y 2
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或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
y
O (1,0)
( x,0 )
x
π x arctan 2 y
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, ) 2
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 规定：域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L
解: W F d s
L
y
L
k ( y dx x d y) 2 r
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为 ( x, y ) y u ( x, y ) P( x, y )d x Q( x, y )d y y
P( x, y0 )d x
x0 y y0
( x0 , y0 ) x
y y0 x x0
L Pd x Qd y 0 .
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(3) 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
D
0
AO
( x 3 y )d x ( y x ) d y
2 2
L D Ax
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64 8π 3
O
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例5. 验证 出这个函数及
2 2
是某个函数的全微分, 并求源自P Q 证: 设 P x y , Q x y, 则 2x y y x ( x, y ) 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
即
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P Q , 则 说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 注： 求曲线积分时,若积分路径不是闭曲线，且难计 算，则可添加辅助线后，利用格林公式简化计算。
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
1 A xd y y d x 2 L
L
xd y y d x
L
1 2π (ab cos 2 ab sin 2 ) d π ab 2 0
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
Q( x, y )d y
或 u ( x, y )
Q( x0 , y )d y P( x, y)d x
定理2 目录
y0 O x0
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x x
结束
3) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑曲 线 AB ,有
AB
B A
B
P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
或
D
x
y
P
Q
d xd y Pd x Qd y
L
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Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
x a cos (0 2π) 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
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例2. 计算
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令P 0, Q x e ,则
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
2
2
( 4)d xd y ( x 2 3 y )d x D OA y 4 2 4 d xd y x d x
D
A
B
P( x, y ) d x Q( x, y )d y d u u
A
B A
u ( B) u ( A)
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4). 它类似于微积分基本公式:
定理2
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例4. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
O
D
x
xe xe
y2
dy dy 0 ye
1 y2
y2
OA
dy
1 (1 e 1 ) 2
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
du x y 2 d x x 2 yd y
(0,0) ( x,0)
0 0 x y d y
2
y
y 2 x y 0
dy
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xd y yd x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x y y ( x, y ) 数 , 并求出它. y x , Q 2 证: 令 P 2 2 x y x y2 2 2 O (1,0) ( x,0 ) x P y x Q 则 2 ( x 0) 2 2 x ( x y ) y 由定理 2 可知存在原函数