正多面体的数学和结晶学参数
《结晶学基础》
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
(上海)数学高三上册-15.1 多面体的概念 课件_2
棱锥的斜高).
(2)正棱锥的高、斜高和斜高 A
在底面上的射影组成一个直角三 M
角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱
B
在底面上的射影也组成一个直角
三角形.
S
E
O
D
C
想一想
1 . 正 成 棱 ?的
2 . 正 成 棱 ? 的
S
A M
B
E
O
D
C
例1.已知正三棱锥S—ABC的底面 边长为6,高为3 (1)求棱锥的侧棱长与斜高
(1)求棱锥的侧棱长与斜高 2
棱锥的侧棱长SA =2 2
D
棱锥的斜高SM = 7
C
E
F
O2
3
B
A M
E
F
O
D
A
M
C
B
遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要试图什么都争第一。 朋友间的不和，就是敌人进攻的机会。——伊索 无所求则无所获。 ——苏霍姆林斯基 友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根 用最多的梦想面对未来。 用伤害别人的手段来掩饰自己缺点的人，是可耻的。 对于人来说，白癜风康复报告问心无愧是最舒服的枕头重在实干。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 如果可恨的挫折使你尝到苦果，朋友，奋起必将让你尝到人生的欢乐。 不敢冒险的人既无骡子又无马；过分冒险的人既丢骡子又丢马。——拉伯雷
一组平行(等长)的棱; (上)底面 相关概念： 对角线
侧棱
侧面
高
(下)底面
棱柱的基本性质
棱柱具有哪些性质？ (1)棱柱的侧面都是平行四边形; (2)平行于底面的截面都是全等的多边形;
高中数学知识点精讲精析 第一节 多面体的概念
第一节 多面体的概念要点精讲1、正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆；（2）球面被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d 与球半径R 及截面半径r 有下面的关系：22d R r -=4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点的球面距离。
区别球面上两点A 、B 的直线距离与球面距离。
球面距离的计算步骤：（1）计算线段AB 的长；（2）计算A 、B 对球心O 的张角∠AOB （写成弧度）（3）计算大圆弧的长（弧长等于圆心角的弧度数乘以半径）5、球的体积公式：334R V π= （R 为球半径） 球的表面积公式24R S π=6、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。
典型例题【例1】过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成角都相等的不同平面有几个？【答案】（法一）正方体的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如A 点对应正三棱锥A-A 1BD 。
这个正三棱锥的底面A 1BD 是合条件平面，8个顶点对应8个平面，即满足题设要求的平面有8个。
（法二）正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共=56个，其中6个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是：-6·=8（个）【解析】由正方体的概性，12条棱中可分为3组，每组的四条棱互相平行，要找出与12条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。
晶格参数表
晶格参数表
晶格参数表是在材料科学和固态物理研究中经常用到的一种表格
形式，用于描述晶体的结构和性质。
晶格参数表通常包含了晶体的晶
胞参数、晶格常数、晶体结构类型等信息。
晶格参数表的第一列通常是对不同晶体结构类型的分类。
常见的
晶体结构包括立方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱方晶系等。
这些结
构类型具有不同的晶胞参数和晶格常数。
接下来，晶格参数表会列出各种晶体结构类型的晶胞参数和晶格
常数。
晶胞参数指的是晶体中晶胞的尺寸和形状，可以用晶胞的边长、角度和包含的原子位置等参数来描述。
晶格常数则是描述晶体中晶格
排列和原子间距离的参数。
例如，在立方晶系的晶格参数表中，可以列出晶体类型、晶胞参
数a、晶格常数a、晶胞参数b、晶格常数b、晶胞参数c、晶格常数c
等等。
每种晶体结构类型都有相应的晶胞参数和晶格常数需要进行记
录和描述。
通过晶格参数表，科学家和研究人员可以了解不同晶体结构的特
点和性质，为材料设计和研发提供重要参考。
晶格参数的准确测量和
分析对于解释材料的物理性质、优化材料性能具有重要意义。
总结一下，晶格参数表是一种用于描述晶体结构和性质的表格形式。
它包含了不同晶体结构类型的晶胞参数和晶格常数。
通过晶格参
数表，人们可以了解不同晶体的结构特点和性质，为材料科学和固态
物理的研究提供重要参考。
高三数学一轮复习 9.9 多面体、球课件 文 大纲人教版
球面上两点间的距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．求两点 间的球面距离的关键是求出球心角．求球心角时，往往转化到三角形中来解决．求 球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧 度数；③用弧长公式计算劣弧 的长．
此小圆的半径为Rcos α，而两地的经度差为90°，故有 Rcos α＝R，
cos α＝ ，则α＝ .
答案：B
变式3: (2009·河南六市第一次联考)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球 面上，且cos A＝ ，BC＝1，AC＝3. 若球的表面积为16π，则A、B两点的球面距离是________．
离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝
.
(3)大圆与小圆：球面被经过 球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平
面截得的圆叫做小圆．
(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的
大圆在这两点间的一段劣弧 的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球
(1)作出过球心的截面图形，降维处理，利用球体的对称性，化归为平面 几何中圆的内接或外切多边形求解． (2)以球心为顶点构造特殊的几何体，利用几何体的性质求解． (3)分析题目的本质特征，化归为简单组合体性质的研究.
如图所示，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两 垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离 是( )
的表面积S＝ 4πR2 .
提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧 长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上 两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．
6 几何结晶学-2
Li6 的对称 操作为绕轴旋转 60 。再反伸 , 其效果等于一个 L3和一个对称面(P)的组合 , 即 Li6 = L3 + P (见图 3.12 (d))。
(c) Li4
(d) Li6 = L3 + P
图 3.12 各种旋转反伸轴作用示意图
只有 Li4 是一个独立的对称元素 , 其相 应的对称操作为绕轴旋转 90 。再反伸(见图 3.12 (c))。
3.2 晶体的宏观对称性
物体相同部分有规律的重复称为对称。 只 要稍加留意 , 你就会发现 , 自然界中到处都存在 着对称现象 , 例如:雪花、鲜花、花布、汽车、 飞机、大楼等等都表现出一定形式的对称。例 如 , 雪花有六个瓣 , 即绕其中心每转动 60。雪花 复原 , 许多草木的花朵有 5 个瓣 , 即每转动 360 。 /5 , 花朵复原 , 好象没转动一样 , 人的左 右手、汽车的左右两半也是对称的。
前面已经提到 , 同一种晶体 , 晶面的大小 和数目可能有相当程度的变化。通过测量晶面 夹角可以达到去伪存真的目的 , 即反映出晶体 外形的真正规律性。但是一种晶体往往有若干 晶面 , 要逐一画出每种晶体的外形图 , 第一是 十分困难的 ; 第二是往往被一些假象掩盖 , 而 不易看出其对称性方面的规律性。
图36位于球心的晶体其晶面法线与球面相交给出的极点以投影球的两个极点即过基圆中心的法线与球面相交的两个点中之一作为视点如以基圆下面的极点作为视点将此视点与基圆上面的晶面极点作连线与基圆相交交点就是晶面极点在投影平面上的极射赤平投影点图37
第三章 几何结晶学基础
2
几何结晶学是描述晶体宏观及微观对称性的一门科学, 它不仅是晶体学的基础,而且是整个材料科学的基础.
3.1.3 晶体的测量与投影
结晶学复习资料(重点知识)
1、结晶学：以晶体为研究对象，以晶体的对称规律为主要研究内容的一门基础基础性的自然科学。
2、矿物学：以矿物晶体为研究对象，主要研究各具体矿物晶体的成分、物理性质、成因特点等。
3、晶体：内部结构具有周期重复性，即具有格子构造的固体。
晶体结构=点阵（或空间格子）+结构基元4、格子构造：晶体结构的周期重复规律，这种规律是可以用格子状的图形－空间格子表示的。
5、空间格子：表示晶体结构周期重复规律的简单几何图形。
6、相当点：满足以下两个条件的点：性质相同，周围环境相同。
7、空间格子的四要素①结点: 空间格子中的点,代表具体晶体结构中的相当点。
结点间距：同一行列中相邻结点间的距离。
②行列: 结点在直线上的排列。
③面网: 结点在平面上的分布。
面网密度：面网上单位面积内结点的密度。
面网间距：任意两相邻面网间的垂直距离。
（面网密度与面网间距成正比）④平行六面体: 结点在三维空间形成的最小重复单位。
平行六面体对应的实际晶体中相应的范围叫晶胞。
8、晶体的基本性质①自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。
②均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。
③异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。
例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。
④对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。
⑤最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。
晶体具有固定的熔点。
⑥稳定性：晶体比具有相同化学成分的非晶体稳定。
1、实际晶体形态（歪晶）：偏离理想的晶体形态。
2、面角守恒定律：同种矿物的晶体，其对应晶面间的角度守恒。
（意义：结晶学发展的奠基石）3、晶体测量：就是测量晶面之间的夹角。
方法：①接触测角（接触测角仪）②反射测角（单圈、双圈反射测角仪）4、晶体的投影：将晶面的空间分布转化为平面图。
①极射赤平投影：晶面的球面投影，晶体的球面坐标，晶体的极射赤平投影，吴氏网②心射极平投影1、对称：物体相同部分有规律的重复。
几何结晶学
四、非晶质体 物质内部质点在三维空间无规律排列，即不具格子构造的固体称为非晶质体。 晶体与非晶体的转化（热量、辐射、压力等）(玻化和脱玻化）
非晶质体各部分之间仅在统计意义上是均匀的，不同方向的性质在统计意义上 也是一致的。
非晶质体是无定形的凝固态物体。在内部性质上则是统计上均一的各向同性体。 非晶质体加热时逐渐软化，无定熔点。（如果是纳米晶体呢？量子尺寸效应）和 能级效应……）
一切晶体，不论其外形如何，它的内部质点（原子、 离子、离子团或分子）都是有规律排列的。即晶体内部相 同质点在三维空间均呈周期性重复。这就是晶体的共性。 3、晶体的定义
晶体的定义：晶体是内部质点在三维空间成周期性重复 排列的固体。或者说，晶体是具有格子构造的固体。
二、空间格子 1·空间格子的定义
A、定义 既然一切晶体都有格子构造，那么各种晶体的格子之间有无共同规 律可循呢？让我们来从晶体的格子构造中，作些抽象的归纳和推理。也就是说， 抛开晶体的物质意义，仅就其内部质点的排列方式分析，找出各种晶体格子都遵 循的共同规律。
B、等同点 等同点：在晶体结构中的种类相同，分布位置或周围环境也相同的一类点， 它可与质点重合，也可不在质点上。 等同点必须具备的两个条件： 质点的种类相同，环境相同。（所谓晶格位置上的点）
（如果不在晶格位置上，是什么情况？同学们思考）
C、质点周围环境相同，即这些质点的相同方向的相同距离上有相同的质点。 在氯化钠晶体中，所有氯离子是一类等同点，所有的钠离子又是另一类等 同点。 等同点的分布，可以体现晶体中所有的质点的重复规律---在空间上呈 格子状。我们把这种结构图形叫空间格子。 空间格子：相当点在三维空间作格子状排列所构成的图形。 空间格子不表示物体的物质意义，仅表示物质内部质点排列的几何构图。 我们设想空间格子在三维空间作无限排列，不受晶体大小限制。
结晶学中的一些概念
结晶学中的一些概念晶体：晶体是具有格子构造的固体空间格子几种要素：结点、行列、面网、平行六面体结点：是空间格子中的点行列：结点在直线上的排列即构成行列面网：结点在平面上的分布即构成面网平行六面体：从三维空间来看，空间格子可以划出一个最小重复单位晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性结晶学的主要研究内容：晶体生长学、几何结晶学、晶体结构学和晶体化学、晶体物理学晶体形成的方式：由液相转变为固相、由气相转变为固相、由固相再结晶为固相同质多象转变：指某种晶体，在热力学条件改变时转变为另一种在新条件下稳定的晶体。
它们在转变前后的成分相同，但晶体结构不同。
布拉维法则：实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。
居里—吴里夫原理：晶体生长的平衡形态应具有最小表面能。
周期键链(PBC)理论：晶体平行键链生长，键力最强的方向生长最快。
F面：又称平坦面，有两个以上的PBC与之平行，面网密度最大，质点结合到F面上去时，只形成一个强健，晶面生长速度慢，易形成晶体的主要面。
S面：或称阶梯面，只有一个PBC与之平行，面网密度中等，质点结合到S面上去时，形成的强健至少比F面多一个，晶面生长速度中等。
K面：或称扭折面，不平行任何PBC，面网密度小，扭折处的法线方向与PBC一致，质点极易从扭折处进入晶面，晶面生长速度快，是易消失的晶面。
影响晶体生长的外部因素：涡流、温度、杂质、粘度、结晶速度、生长顺序与生长空间、应力作用标型特征：同一种矿物的天然晶体于不同的地质条件下形成时，在形态上、物理性质上部可能显示不同的特征，这些特征标志着晶体的生长环境。
蚀像：晶面溶解时，将首先在一些薄弱地方溶解出小凹坑。
人工合成晶体方法：水热法提拉法焰熔法面角守恒定律：同种物质的晶体，其对应晶面间的角度守恒面角：为了便于投影和运算，一般所测的角度，不是晶面的夹角，而是晶面的法线间角(晶面夹角的补角)晶体的对称是取决于它内在的格子构造对称:对称就是物体相同部分有规律的重复晶体对称的特点:1)所有的晶体都具有对称性。
数学文化-美丽的正多面体
（四）欣赏感受，体会奥秘。
日常生活和自然界中的正多面体
多面体 与中外建筑钻石 乐高（五）总结收获，畅所欲言
Title
正多面体是由古希腊哲学家柏拉图发现的，所以又称正多 面体为柏拉图体，它由全等的正多边形构成。柏拉图证明了宇 宙间只存在五种正多面体，它们的面数分别是四、六、八、十 二和二十。
柏拉图（前４２７—前３４７年），是 古希腊最著名的唯心论哲学家和思想家。据 说，柏拉图在雅典曾开办了一所学园，一边 教学，一边著书，他的学园门口挂着一个牌 子：“不懂几何学者免进”。没有几何学的 知识是不能登上柏拉图的哲学殿堂的。
正多面体有且仅有五种：
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
• 数一数、议一议、填一填：这五种
正多面体的面数、顶点数、棱数之间存在什么数 量关系？
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
面数F
4
6
8
12
20
顶点数V 4
8
6
20
12
棱数E
6
12
12
30
30
V+F-E 2
2
2
2
2
欧拉(Euler)，瑞士数学家及科学家。他17岁获得硕士学位， 早年在数学天才贝努利赏识下开始学习和研究数学，是数学史上 最高产的作家。其论著几乎涉及所有数学分支，在立体几何多面 体研究中，首先发现并证明欧拉公 式。1771年，一场重病使他的左眼 失明，但他以惊人的记忆力和心算 技巧继续从事科学创作。他通过与 助手们的讨论以及口授等方式完成 了大量的科学著作，直至生命的最 后一刻。
数学文化读本五年级下册
执教者：何 静
正多面体
足球上黑皮是正五边形的，而白皮是正六边形的，如 果其中黑皮有12块，白皮有多少块？
每块黑皮周围有5个白皮， 十二块黑皮共有5×12=60个白皮， 每块白皮用了3次， 因此白皮共有 60÷3=20块。
足球上黑皮是正五边形的，而白皮是正六边形的，如 果其中白皮有20块，黑皮有多少块？
每块白皮周围有3个黑皮， 20块白皮共有3×20=60个黑皮， 每块黑皮用了5次， 因此皮共有 60÷5=12块。
面数 正四面体 正六面体 棱数 顶点数 每顶点 棱数 每面的 形状
正八面体
正十二面体 正二十面体
欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2
每顶点 棱数 每面边 数
面数 正四面体
棱数
顶点数
4
6
4
3
3
正六面体
正八面体 正十二面体
6
8 12
12
12 30
8
6 20
3
4 5
4
3 5
正二十面体
20
30
12
3
3
欧拉公式：面数+顶点数-棱数=2
一个多面体有13个面，有34个顶点，这 个多面体有多少条棱边？
13+34-（ 45）=2
答：45条棱边。
一个多面体有15个顶点，31条棱边，这 是一个几面体？
一个8面体有24条棱边，这是在牛、猪的尿脬（suīpāo）里充气或是
在动物的皮囊里塞毛发， • 1872年由英格兰足协首次规定“足球，必须用以 “皮革制作”。 • 足球是通过世界杯的使用而快速发展起来了。
思考： 每个小组实行单循环赛，四支队伍 可以踢几场？
德国 波兰 厄尔瓜多 哥斯达黎加
德国 —— 波兰 德国 —— 厄尔瓜多 德国 —— 哥斯达黎加
常见晶体的晶格常数
常见晶体的晶格常数1. 钻石：a = 3.5668 Å2. 立方晶系：a = b = c，如NaCl、Cu、Al等，对于NaCl，a =b =c = 5.64 Å3. 正交晶系：a ≠ b ≠ c，如Fe、Ni、MgO等，对于MgO，a =4.21 Å，b = 4.21 Å，c = 4.21 Å4. 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，其中一条边与其他两条不垂直，如KNO3、CaSO4等，对于KNO3，a = 6.34 Å，b = 4.42 Å，c = 7.47 Å5. 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，且三条边不互相垂直，如CaCO3、Na2B4O7等，对于CaCO3，a = 4.99 Å，b = 8.52 Å，c =6.15 Å6. 正六角晶系：a = b ≠ c，且夹角为120°，如六方氧化铝、冰等，对于六方氧化铝，a = b = 4.758 Å，c = 12.991 Å7. 四方晶系：a = b ≠ c，且夹角为90°，如TiO2、CaF2等，对于TiO2，a = b = 4.593 Å，c = 2.959 Å8. 单轴晶系：a = b ≠ c，且夹角为90°，如石英、石膏等，对于石英，a = b = 4.913 Å，c = 5.405 Å9. 双折射晶系：a = b ≠ c，且光线在其中传播时会出现双折射现象，如石英、云母等，对于石英，a = b = 4.913 Å，c =5.405 Å10. 三方晶系：a = b ≠ c，且夹角为60°，如蜜蜡、硫等，对于蜜蜡，a = b = 5.51 Å，c = 6.80 Å11. 各向异性晶系：a ≠ b ≠ c，夹角也不相等，如绿柱石、方解石等，对于绿柱石，a = 9.75 Å，b = 8.91 Å，c = 12.77 Å12. 复式晶系：由多个简单晶系共同组成，如针铅矿、斜方硫酸镁等。
正多面体的数学和结晶学参数
∧= 31.72°
-
∧= 34.88°
∧= 34.88°
∧= 20.90°
∧= 20.90°
30
顶点数e
4
8
6
20
12
顶点到中心距离d
0.5443a
0.8660a
0.7071a
1.4103a
0.95105a
棱长a
(顶点到中心距离d)
1.8472
1.1547
1.4142
0.7091
1.0515
表面积S多面体
1.7321a2
6a2
3.4641a2
20.6458a2
8.6603a2
体积V多面体
0.1179a3
正多面体的数学和结晶学参数
Mathematic and Crystallographic Parameters of Regular Polyhedrons
正多面体名称
(Name of regular polyhedron)
正四面体(Regular tetrahedron)
正六面体(Regular hexahedron)
∧= 63.43°
∧= 63.43°
∧= 70.53°
∧= 70.53°
∧= 70.53°
∧= 41.81°
∧= 41.81°
∧= 19.47°
∧= 28.97°
∧= 28.97°
∧= 36°
∧= 36°
-
∧= 19.47°
∧= 19.47°
∧= 37.38°
∧= 37.38°
-
∧= 45°
∧= 45°
0.9103a
0.45105a
正多面体的对称性与特殊性质
正多面体的对称性与特殊性质正多面体是指所有的面都是相等、相似的正多边形，并且它的顶点数、边数和面数都是相等的几何体。
正多面体具有独特的对称性和特殊性质，下面将从对称性和特殊性质两个方面进行论述。
一、对称性对称性是指一个物体在某个操作下不变。
正多面体具有多种对称操作，包括旋转和翻转。
其中最重要的是以下三种：1. 旋转对称：正多面体可以围绕其中心点进行旋转而不改变其形状。
根据旋转轴的不同，可以将旋转对称分为三种情况：a. 一次旋转对称：正多面体绕着一个轴旋转一周后，恢复原状。
这是最简单的对称性，如正八面体、正二十面体等。
b. 二次旋转对称：正多面体绕着一个轴旋转一半后，恢复原状。
如正六面体、正十二面体等。
c. 三次旋转对称：正多面体绕着一个轴旋转1/3后，恢复原状。
如正四面体、正二十四面体等。
2. 翻转对称：正多面体可以通过一个平面翻转，与原来的形状相等但方向相反。
翻转对称操作可以将正多面体分为两部分，这两部分通过对称轴对称。
如正八面体、正六面体等。
3. 组合对称：正多面体可以通过一系列旋转和翻转操作来实现对称。
这些操作是正多面体对称性的复杂表现形式，如正二十面体、正二十四面体等。
二、特殊性质除了对称性外，正多面体还具有一些独特的特殊性质，包括以下几个方面：1. 边长和面积关系：正多面体的边长和面积之间存在一定的关系。
可以通过计算正多面体的面积和边长比例来推导出这种关系。
例如，正六面体的面积是边长的平方的6倍。
2. 顶点、边和面的关系：正多面体的顶点、边和面之间存在一定的关系。
以正四面体为例，它有4个顶点、6条边和4个面。
其中，每个面都与其他三个面相邻，每个顶点都与其他三个顶点相连，每条边都与其他两条边相邻。
3. 对角线长度关系：正多面体的对角线长度也与其边长之间存在一定的关系。
可以通过计算正多面体的对角线长度与边长的比例来推导出这种关系。
例如，在正八面体中，对角线长度是边长的根号2倍。
4. 体积和边长关系：正多面体的体积与其边长之间存在一定的关系。
结晶学基础
•等同点（相当点）的条件是：在晶体结构中占据相同 的位置；具有相同的环境。
二维图案
(a)－NaCl中xy平面Na+和Cl-排列的情况 (b)－Na+或Cl-的平面排列
(c)－抽象为平面点阵
(c)
三维图案
左－NaCl中Na+和Cl-排列的情况 右－抽象为空间点阵
•等同点的分布可以体现晶体结构中所有质点的重复规 律。等同点在三维空间作格子状排列，我们称为空间格 子。同一晶体结构，其空间格子一定是固定和相同的。
各晶系的晶体几何常数特点
六 晶体的对称分类
属于同一 对称型的 晶体
32晶类
高次轴的有无及 多少
高、中、低级晶族 轴次的高低 及数目
7大晶系
低级晶族
三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三方晶系
无L2或P L2＋P<3 L2+P3 1L3 1L4 1L6 4L3
晶 体
中级晶族
四方晶系 六方晶系 等轴晶系
石盐的晶体结构
研究表明，数以千计的不同种类晶体 尽管各种晶体的结构各不相同，但都具有 格子状构造，这是一切晶体的共同属性。
与晶体结构相反， 内部质点不作周期 性的重复排列的固 体，即称为非晶质 体。
水晶
玻璃
晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的 固体；或者说是具有格子状构造的固体。 矿物学上，凡结晶颗粒能用一般放大镜分清者， 称为显晶质；无法分辨者称为隐晶质。 非晶质体是内部质点在三维空间不成周期性重复排列 的固体。外形上是一种无规则形状的固体，也称之为 无定形体。没有固定的熔点，实质上是一种呈凝固态 的过冷却液体。 自发地 外界能量
二、晶体的宏观对称
晶体的对称包括宏观对称和微观对称两种 晶体宏观对称：为晶体外部性质亦即外表形态上的 对称性 表现：相同的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复
正多面体的结晶学分类
正多面体的结晶学分类的报告，800字正多面体结晶学分类报告正多面体是一种具有数个平行面的几何体，特征是它们具有相同的形状和相同的角。
在数学和结晶学中，它们被用来表示结晶材料的晶体结构。
正多面体可以被分为六个主要类别：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体和正三十二面体。
正多面体的数学和结晶学特性可以用来帮助确定结晶材料的物理性质。
正四面体是最常见的正多面体形状，它们被称为“四棱体”或“正四棱体”。
正四面体的形状是由4个相等的长方形棱面组成的，每个棱面的角度都为90°。
它们可以用来描述金属的晶格结构，比如铜和铁。
正四面体还可以用来描述晶体的结构，如盐或石英。
正六面体的形状由6个相等的正方形面组成，每个面的角度都为90°。
它们可以用来描述金属的晶格结构，如铁、铜和钛。
正六面体也可以用来描述晶体的结构，如碳酸钙和水晶石。
正八面体由8个相等的正方形面组成，每个面的角度都为90°。
它们用来构建金属材料的晶格结构，如钢和铝。
正八面体也可以用来描述晶体的结构，如碳酸钙、石英和水晶石。
正十二面体的形状由12个相等的三角形面组成，每个三角形的角度都为60°。
它们可以用来描述金属材料的晶格结构，如钛、钢和铝。
正十二面体也可以用来描述晶体的结构，如石英和水晶石。
正二十面体的形状是由20个相等的四边形面组成，每个四边形的角度都为90°。
它们用来构建金属材料的晶格结构，如钛和钢。
正二十面体也可以用来描述晶体的结构，如碳酸钙和水晶石。
正三十二面体的形状是由32个相等的五边形面组成，每个五边形的角度都为108°。
它们可以用来描述金属材料的晶格结构，如钛、钛和铝。
正三十二面体也可以用来描述晶体的结构，如石英和水晶石。
总之，正多面体是一种常见的结晶学类别，可以用来描述金属和晶体的晶格结构。
它们有不同的形状和角度，比如正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体和正三十二面体。
2.3.2 晶体结构参数
c / a(Mg ) 1.624 8 3
0.73
可得
CN 6 ?
忽略偏离，将稍远的六个次近邻原子纳入最近邻计数
CN 6 6 12
可得
2 1 a2 c r 1.5985 A 3 4 2
r
a 2
：邻原子相接触
2）填充度 晶体中原子堆积的紧密程度 ：原子的填充度 η（填充度）=原子总体积/晶体总体积
Na晶体： cI 2－W
a 4.225 A
3 r a 1.83 A 4
1）原子半径 晶体中的原子 ：近似为刚性小球，并假定最近邻原子相切 引入
原子半径r ：元素晶体中最近邻原子之间距离的一半 ，与晶体的
结构、晶格常数等是密切相关 ，例如：
Na晶体： cI 2－W
可得
a 4.225 A
3 r a 1.83 A 4
Al晶体： cF 4－Cu
可得
a 4.05 A
2 r a 1.43 A 4
金刚石晶体 ：cF 8－C a 3.5669 A
可得
3 r a 0.7723 A 8
Mg晶体： hP2 Mg
a 3.21 A 和c 5.21 A
c / a( Mg ) 1.624
可得
Al晶体：cF 4－Cu
2 0.74 6
CN 12
可得
金刚石晶体 ：cF 8－C 3 0.34
16
可得 CN 4
理想 hP2 Mg 之晶体： c/a
可得
8/3
柏拉图正多面体
柏拉圖正多面體本單元要先複習簡單的、平面的正多邊形，進而認識立體的正多面體。
並動手利用智慧拼片，做出所有的柏拉圖正多面體。
一、平面的正多邊形：（1）標出以下正多邊形的每一個內角度數。
（2）隨著正多邊形的邊數愈多，其每個內角度數愈。
二、常見的立體圖形三、柏拉圖正多面體當一個多面體的每一個面都是全等的正多邊形時，我們稱它為「柏拉圖正多面體」。
有些多面體雖然每面都是正多邊形，卻是由兩種或是兩種以上的正多邊形組成，稱為「阿基米得多面體」。
（1）哪些正多邊形可以用來組成柏拉圖正多面體？為什麼只有這些正多邊形？（2）利用智慧拼片，做出所有的柏拉圖正多面體。
（3）你拼出哪些柏拉圖正多面體？解析：（1）雖然平面上的正多邊形有無限多種可能，但是正多面體（柏拉圖正多面體）卻只有5種。
分別如下：正四面體正六面體正八面體正十二面體二十面體（2）為什麼正多面體只有五種？觀察多面體，發現每一個頂點『至少有三個面』才可以拼的起來。
如果用一個或是兩個面拼來，會有漏洞。
使用的正多邊形每一個頂點有幾面拼成的多面體正三角形 3 正四面體(三角錐)正三角形4正八面體正三角形5正二十面體正方形正六面體(正方3體)正五邊形3正十二面體分析：1.如果使用6個正三角形，頂點角度和等於360度，會拼出平面圖形，所以不能拼出正多邊形。
2.如果使用6個以上的正三角形，頂點角度和超過360度，所以不能拼出正多邊形。
3.如果使用4個正方形，頂點角度和等於360度，會拼出平面圖形，所以不能拼出正多邊形。
4.如果使用4個以上的正方形，頂點角度和超過360度，所以不能拼出正多邊形。
5.如果使用4個與4個以上的正五邊形，頂點角度和超過360度，所以不能拼出正多邊形。
6.如果使用3個正六多邊形，頂點角度和等於360度，會拼出平面圖形，所以不能拼出正多邊形。
7.如果使用3個以上正六多邊形，頂點角度和超過360度，所以不能拼出正多邊形。