2021高考数学考点精讲精练《20 递推公式求通项(第1课时)》讲解(解析版)
【高考二轮复习大题讲义】第1讲 求通项公式-解析版
第1讲 求通项公式公式法公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d =+-或11n n a a q -=进行求解.【例1】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足3578,2a S a ==,求数列{}n a 的通项公式.【解析】设数列{}n a 的公差为d ,依题意得()11154526,228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩ 解得123a d =⎧⎨=⎩.()()11231n a a n d n ∴=+-=+-=31n -.【例2】已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为21,4,5n S a a =+是2S 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >. 由题意知()12325a S a +=+,即442544q q q⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭,2 2320q q --=化简得,0,2q q >∴=,222 422n n n n a a q --∴==⨯=累加法累加法:如果递推公式的形式为1n a +-()n a f n =,则可利用累加法求通项公式. 使用时要满足:(1)等号右边为关于n 的表达式,且能够进行求和. (2)1,n n a a +的系数同构(结构相同),且为作差的形式.【例1】数列{}n a 满足:11a =,且1n a +-21nn a =+,求n a .【解析】1 21,n n n a a +-=+解 1121,n n n a a ---=+1212 1.a a -=+累加可得211222n n a a --=++++()()1221112 3.21n nn n n ---=+-=+--2 2.n n a n ∴=+-【例2】在数列{}n a 中,已知111,n n a a a +==21n -+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】1 21,n n a a n +=++12 1.n n a a n +∴-=+21323,5,,a a a a ∴-=-=()1212.n n a a n n --=-以上各式相加可得135n a a -=+++2(1)(321)2112n n n n -+--==-.又∵211,(2)n a a n n =∴=,显然11a =符合上式,()2*. n a n n ∴=∈N【例3】已知数列{}n a 满足:111,n a a +=-=*11,1n a n n n +-∈+N ,求数列的通项公式n a .【解析】∵1111n n a a n n +-=-+, 213241111,,1223a a a a a ∴-=--=--311111,,(2). 341n n a a a n n n-=--=-- 将以上(1)n -个式子相加得()()()213243a a a a a a -+-+-+()1n n a a -+- 11111122334⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭, 即()*1112,n a a n n n-=-∈N . ∴1111111n a a n n n=+-=-+-=-()*2,n n ∈N . 当1n =时,11a =-也符合上式,∴()*1n a n n=-∈N . 累乘法累乘法:如果递推公式的形式为:()1n na f n a +=,则可利用累乘法求通项公式. 【例1】已知数列{}n a 满足:11a =,且()11n n na n a +=+,求n a . 【解析】()1111.n n n n a n na n a a n+++=+⇒=解 12121111122....1.n n n n n n a a a n n a a a n n a n a a na n ----∴⋅⋅=⋅⋅--⇒=∴==【例2】已知数列满足:12,(a n =+1)()122n n a n a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】()()()()()()()()111324112311111*122,22,12.34511.23422.1,2,12.n n n n n nn n n n n n a n a n aa n a a a a a a a a a a n a n n n n a a n n ++----+=++∴=+=⋅⋅⋅⋅=+⎛⎫⋅⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭==∴=+⋅∈N 解则当时满足上式 【例3】数列{}n a 满足:()()()21*112,21223n n n n a a a n +++=-=-∈N ,求{}n a 的通项公式.【解析】由()()2112122n n n n a a +++-=-得1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--. 12212312n n n n n n a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⋅=⋅1231121212122212121n n n n nn ---+----⋅⋅⋅⋅---()()113121322212121n n n-+-⋅⋅=⋅---, ()()111322121n n n n a a -+⋅=⇒--即()()()*12.2121n n n n a n +=∈--N 构造法构造法的核心步骤：第一步:恒等变形.对递推公式(相邻几项的式子)进行恒等式变形,所谓恒等变形就是对等式两边的项进行同加、同减、同乘、同除或者拆分合并.第二步:同构式.恒等变形的目的是变形出同构式,所谓同构式就是结构相同的式子,如:2n n a 和112n n a --是同构式. 第三步:整体代换.将同构式视为一个整体,整体代换后构造出新的等差数列或者等比数列,该数列作为辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式,以下是我们需要重点掌握的几种常见的构造法的结构. 结构一：一次函数结构型递推公式的结构如同一次函数结构型:n a =1(,n qa p q p -+均为常数,且1,0)q p ≠≠. 一般方法:设()1n n a q a λλ-+=+,得到()1,1p p q q λλ=-=-,可得出数列1n p a q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以q 为公比的等比数列,从而可求出n a .【例1】在数列{}n a 中,111,3n n a a a -==+2,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+. 对比132n n a a -=+,可得1λ=.()1131n n a a -∴+=+.{}13n a ∴+是公比为.的等比数列 ()11 113.n n a a -∴+=+⋅123 1.n n a -∴=⋅-注意:在这里,{}1n a +即为同构式,把这个式子作为整体,就能构造出一个新的等比数列,这一种结构()11,0n n a qa p q p -=+≠≠的处理方式也是固定的,就是直接设出()1n n a q a λλ-+=+,求解出λ即可.【例2】在数列{}n a 中,111,2n n a a a +==+1,试求其通项公式. 【解析】121n n a a +=+,两边同时加上1,得()1121n n a a ++=+,1111 2.11,1 2.n n a a a a ++=+=∴+=则因此,数列{}1n a +是以2为首项,以2为公比的等比数列.1122,2 1.n n n n a a -∴+=⨯=-结构二:一次函数结构变形递推公式的结构形如1n n a N a -=⋅+(,,nM p N p M ⋅为常数).一般方法:此类问题可先处理n p ,两边同时除以np ,得1n n n na a N M p p -=+,进而构造成11n n n n a a N M p p p--=⋅+,设n n n a b p =,从而变成1n n Nb b M p -=⋅+,从而将问题转化为一次函数结构型.【例1】在数列{}n a 中,111,3n n a a a -==+23n ⋅,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】111 323, 2.?33n n n n n nn a a a a ---=+⋅∴=+解 23n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是公差为的等差数列。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第二册) 拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法(精练)
拓展一 利用递推公式求通项公式常用方法(精练)【题组一 累加法】1．(2021·全国)在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则n a =( ) A ．8a B ．()21ln n n +-C ．1ln n n ++D ．2ln n n n +2．(2021·全国高二专题练习)已知数列{}n a 中，111,3nn n a a a n +=-=-，求数列{}n a 的通项公式．3．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 满足：123a =，22a =，34a =，且数列{}1n n a a +-是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．4．(2021·山西祁县中学)已知各项都不相等的数列{}n a 满足2132n n n a a a ++=-． (1)证明：数列{}1n n a a +-为等比数列； (2)若11a =，23a =，求{}n a 的通项公式．5．(2021·全国)已知数列{}n b 满足11b =-，()()1211,2,3,n n b b n n +=+-=⋅⋅⋅.求数列{}n b 的通项公式.6．(2021·全国)已知数列{}n a 满足11a =-，111,*1n n a a n N n n +=+-∈+，求数列的通项公式n a ．7．(2021·湖北)设数列{}n a 满足11a =，112,3n n n a a n N *+--=∈.求数列{}n a 的通项公式；8．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }满足()12211,3,32n n n a a a a a n *++===-∈N ，(1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式.【题组二 累乘法】1．(2021·全国高三专题练习(文))已知{}n a 中，11a =，()11n nna n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是______________．2．(2021·贵州师大附中)设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式n a =______.3．(2021·全国高二专题练习)设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈，求数列{}n a 的通项公式.4．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ∈N 且n ≥2时，(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1，求通项公式a n .5．(2021·全国高二专题练习)设{}n a 是首项为1的正项数列，且22*11(2)20()n n n n n a na a a n N +++-+=∈ ，求通项公式n a .6．(2021·全国高二专题练习)在数列{}n a 中，()11212,n n n a a a n++==，求数列{}n a 的通项公式．7．(2021·全国高二专题练习)已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+，求数列{}n a 的通项公式.8．(2021·全国)已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式.【题组三 公式法】1．(2021·全国高二单元测试)已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．2．(2021·全国(文))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n +=，则n a =___________.3．(2021·全国(理))设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()213n n S a n N *=-∈，则n S =___________．4(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，求n a .5(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足2112333+3+++n n a a a a -=3n，求数列{a n }的通项公式．6．(2021·全国高二课时练习)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝3×2n －3，其中n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．7．(2021·全国高二课时练习)设数列{}n a 的前n 项和22nn n S a =-.(1)求3a ，4a ；(2)证明：1{2}n n a a +-是等比数列； (3)求{}n a 的通项公式.8．(2021·全国高二专题练习)设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且()*31N ,2n n S a n =-∈，求数列{}n a 的通项公式．【题组四 构造法】1．(2021·全国高三专题练习(理))在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，n ∈+N ，则n a =( ) A ．21n a n =+ B ．21n na n =+ C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+2．(2021·河南高二期末(理))已知数列{}n a 满足112a =，12nn n a a a +=-，若11n n b a =-，则数列{}n b 的通项公式为n b =____________．3．(2021·全国高二课时练习)数列{}n a 满足113a =，且()1123n n n n a a n a a ++-=+，求数列{}n a 的通项公式．4．(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 中，1121,1n n a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式．5．(2021·云南昆明一中高三月考(理))已知数列{a n }中，a 1=3，11323n n n a a ++=+⋅，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式；6．(2021·全国高三专题练习)(1)在数列{}n a 中，11a =-，11243n n n a a -+=+⋅，求通项公式n a ；(2)在数列{}n a 中，11a =，()2*12n n a a n n +=+∈N ，求通项公式n a ．7．(2021·全国高二专题练习)设数列{}n a 满足：*111,22,n n n a a a n +==+∈N .求数列{}n a 的通项公式.8．(2021·全国)已知数列{}n a 中，11a =，121nn n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.9．(2021·全国)已知数列{}n b 满足12b =，()1322,n n b b n n N *-=+≥∈，求数列{}n b 的通项公式.10．(2021·江苏高三月考)已知数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，求数列{}n a 的通项公式；11(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式.。
2021高考数学考点精讲精练《20 递推公式求通项(第2课时)》讲解(解析版)
考点20 递推公式求通项（第二课时）【思维导图】【常见考法】考法一：构造等差数列1．已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=，则8a =__________．【答案】115【解析】由题，1111,2n n n n a a a a a ++=-= 则1112,n n a a +-=则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a 为首项，2 为公差的等差数列，则()8111121,,.2115n n n a a a n =+-∴=∴=-即答案为115. 2．在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a = 。
【答案】1n【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 111111+1nn a ⇒=++++=，1n a n⇒=， 当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈ 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1120n n n a S S +++=，则n S =______．【答案】121n - 【解析】因为11n n n a S S ++=-则1120n n n a S S +++=可化简为1120n n n n S S S S +++=-等式两边同时除以1n n S S +可得11120n n S S ++-=,即1112n nS S +-= 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,首项11111S a ==,公差2d = 所以()111221n n n S =+-⨯=- 即121n S n =-故答案为: 121n - 4．各项均正的数列{}n a 满足1114,22n n n a a a ++==+，则n a 等于 。
2021年高考数学 解题技术(3)如何求递推数列的通项
112a a a 122133a a a a a a 133122444a a a a a a a a a 1211111nn n n n n a a a a a a a a a -+++……2021年高考数学 解题技术（3）如何求递推数列的通项1、代换法【例1】（xx 年重庆理卷21题）在数列中，=1，，其中实数。
（1）求的通项公式。
（2）（略）． 【解析】由得，令，则原数列转化为， 于是12111()()(211)(21)n n b b b b b n c-+-++-=+⨯+++-，即．评注：这里求出通项，仍然是使用“叠加法”，但递推式是通过换元发现的。
2..配凑法中，，则通项＿＿＿＿ 【解析】由两边加1，得，所以数列是以首项，3为公比的等比数列， 也就是，从而得评注：从递推式想到两边各加上1，得到等比形式，这种方法叫做“配凑法”，是一种重要的数学能力。
3.待定系数法【例3】（xx ，陕西理卷，22题）已知数列的首项，，． （1）求的通项公式；（2）略．【解析】将已知式两边取倒数得，，即 ，令得，比较系数可得，从而是以为首项，为公比的等比数列，故，于是：.评注：原题似有的等比数列之形，却又不是等比数列，也不像例2容易配凑出等比数列，这种情况下可以使用待定系数法加工，使其补足等比数列的条件，继而用等比数列公式求其通项。
4、 “取倒数”【例4】（xx 四月.湖北黄冈等6市.10题） 已知数列满足：且,则图中第5行所有数的和是（ ）A.62B.64C.32D.34 【解析】递推关系太复杂了，需设法将其简化。
第一步：递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数,且分子 为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑取倒数.由2111221212111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++=⇒=⇒-=+； 第二步：由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列”的通项公式是：；第三步：我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法”求通项： ．已知∴这个数列的通项公式为（n=1也适合）．于是“水落石出”,图中第5行所有数的和是：11111111116!1!5!2!4!3!3!4!2!5!1!⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭，故选A.评注：解题前，似乎“山穷水复疑无路”，后通过先取倒数后实施叠乘，原来却是“柳暗花明又一村”. 5.递推名题——裴波那契数列【例5】如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第 3 个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始，n 个月后能繁殖成多少对兔子？【解析】本题为12世纪意大利数学家裴波那契所拟，以下我们考查这道千古名题的数学含义： 由于这对小兔前两个月没有长大，不能生殖，所以前两个月的兔子数都只有一对，也就是：. 第3个月，已经长大的小兔可以生殖1对，所以第3个月有2对兔子；第4个月虽然初生的小兔不能生，但原来的大兔又可生一对，所以第4个月有3对兔子；以下，每个月的兔子数都按如下规律递增：上个月的兔子（对）数，加上新生的兔子（对）数（也就是前两个月的兔子数），于是有递推关系：.显然这个数列既非等差数列，也非等比数列。
递推公式通项公式
递推公式通项公式
递推公式和通项公式是数列中常见的两种公式。
递推公式是指通过前一项或前几项来确定下一项的公式，通项公式是指能够直接求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列和等比数列，我们都有相应的递推公式和通项公式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n
为项数。
这个递推公式表明第n项与第n-1项的关系是an=an-1+d。
而通项公式为an=a1+(n-1)d。
同样地，对于等比数列an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
这个递推公式表明第n项与第n-1项的关系是
an=an-1*r。
而通项公式为an=a1*r^(n-1)。
在数列的求解中，递推公式和通项公式是相互补充的。
使用递推公式可以快速地求出数列中的每一项，而使用通项公式可以方便地求出数列中任意一项的值。
因此，在应用数列时，我们需要掌握这两种公式的使用方法。
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高中数学教案《由递推公式求通项公式
高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 让学生理解递推公式的概念，掌握由递推公式求通项公式的方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、逻辑思维和归纳总结的能力。
二、教学内容：1. 递推公式的定义和特点。
2. 由递推公式求通项公式的基本方法。
3. 常见类型的递推公式及求通项公式的技巧。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：递推公式的定义，由递推公式求通项公式的方法。
2. 教学难点：递推公式求通项公式的技巧，实际应用中的问题解决。
四、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解递推公式的概念。
2. 新课讲解：讲解递推公式的定义、特点，以及由递推公式求通项公式的基本方法。
3. 例题解析：分析常见类型的递推公式，讲解求通项公式的技巧。
4. 练习与讨论：学生独立完成练习题，教师解答疑问，引导学生总结规律。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调递推公式求通项公式的方法和技巧。
五、课后作业：1. 理解并掌握递推公式的定义和特点。
2. 熟练运用递推公式求通项公式的基本方法。
3. 练习常见类型的递推公式求通项公式，总结求解规律。
4. 结合生活实际，寻找递推公式的应用实例，体会数学在生活中的作用。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现递推公式的规律。
2. 利用数列的知识，帮助学生理解递推公式与通项公式之间的关系。
3. 通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4. 利用多媒体课件，直观展示递推公式的推导过程，增强学生的理解力。
七、教学评价：1. 课堂提问：检查学生对递推公式概念和求通项公式方法的理解程度。
2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，以及沟通能力和问题解决能力。
八、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他学科领域的应用，如计算机科学、物理学等。
2. 引导学生研究更复杂的递推公式，提高学生的数学思维能力。
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列要点讲解
数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。
（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。
递推公式通项公式
递推公式通项公式
递推公式和通项公式是数学中常见的概念，它们都是数列的表示方式。
递推公式是一种逐项计算数列的方法，通过当前项和前一项之间的关系来确定下一项的值。
通项公式则是一种直接计算数列第n项的方法，通过数列的通项公式，我们可以不必逐项计算，直接得到数列的任意项的值。
对于递推公式，有多种不同的形式，比如线性递推公式、非线性递推公式等。
例如，斐波那契数列的递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1。
这个公式的意思是，斐波那契数列的第n项等于它前面两项的和。
通过这个公式，我们可以从f(0)和f(1)开始，逐项计算出斐波那契数列的后续项。
而通项公式则是一种更为简单直接的表示方法。
通项公式通常采用解方程的方法求得。
以斐波那契数列为例，它的通项公式为f(n)=1/√5*((1+√5)/2)^n - 1/√5*((1-√5)/2)^n。
这个公式可以直接计算出斐波那契数列的任意项，而不需要逐项计算。
总的来说，递推公式是一种通过前一项和当前项之间的关系来求得下一项的方法，而通项公式则是一种直接计算数列任意项的方法。
对于不同的数列，我们可以根据其特点选择适合的表示方式，从而更方便地进行计算和分析。
- 1 -。
考点20 递推公式求通项(第1课时)——2021年高考数学专题复习真题附解析
2
【解析】当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
4, n 1 当 n＝1 时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此 an＝ 2n 1, n 2 .
2．设数列 an 的前 n 项乘积为Tn ，对任意正整数 n 都有Tn 1 an ，则 Tn ______．
1
【答案】
n 1 【解析】对任意正整数 n 都有 Tn 1 an ，
4．若数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 1 ，则 an ______.
5．数列an 的前 n 项和 Sn 2n 3 ，则其通项公式 an ________.
6．已知数列an 满足 a1 2a2 3a3 nan 2n 1 3n ， n N ，则 an _________________．
【解析】数列an 的前 n 项和为 Sn n2 3n ， n N+ ，
当 n=1时， a1 S1 4 ，
当 n 2 时， an Sn Sn1 n2 3n (n 1)2 3(n 1) 2n 2 ，
n 1 满足上式，an 2n 2 .故答案为: an 2n 2 .
考点 20 递推公式求通项（第一课时）
【题组一 公式法】 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________．
2．设数列 an 的前 n 项乘积为Tn ，对任意正整数 n 都有Tn 1 an ，则 Tn ______．
3．数列an 的前 n 项和为 Sn n2 3n ， n N+ ，则它的通项公式为______.
7．若数列 an 是正项数列，且 a1 a2 an n2 3n(n N *) ，则 an _______．
8．已知数列
an
2021高考数学考点精讲精练《20 递推公式求通项(第1课时)》讲解(原卷版)
考点20 递推公式求通项（第一课时）【思维导图】【常见考法】考法一：公式法1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a = 。
2．已知数列 {}n a 的前n 项和31n n S =+，则它的通项公式是n a =_____;3．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 。
4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________.5．若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则n a =______ ．6．数列{}n a 满足*12211125,222n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = .7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13n n a S n N+=∈，则n S =______.考法二：累加法1．数列{}n a 满足12a =，122n n aa n +=++，则n a = 。
2．数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.3．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a = 。
4．在数列{a n }中，若a 1＝﹣2，a n +1＝a n +n •2n ，则a n ＝ 。
考法三：累乘法1.已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是 。
2．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是 。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 数列求通项 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：数列求通项高考中的递推数列求通项问题，情境新颖新颖，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。
是一类考查思维能力的好题。
要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方式。
类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 能够求和）−−−−→解决方法累加法例一、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 评注：一样情形下，累加法里只有n-1个等式相加。
类型一专项练习题：一、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
(12n n n a +=）二、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
(31)2n n n a +=3、已知数列}a {n 知足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
21n a n =+ 4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。
21nn a =+ 五、已知112a =,112n n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.13122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭六、 已知数列{}n a 知足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？（312n n a -=）7、假设数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，那么求那个数列的通项公式 1123n n a +=-八、 已知数列}a {n 知足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
专题20 递推公式求通项(第2课时)-2021年高考数学一轮复习专题讲义附真题及解析
【解析】∵ ，等式两边同时取倒数得： ，则 ，
∴ ，
， ，
当 时， 亦成立，综上所述
3．【答案】
【解析】因为 则 可化简为
等式两边同时除以 可得 ,即
所以数列 为等差数列,首项 ,公差 所以
即 故答案为:
4．【答案】
【解析】 两边同除以 ，得 ,则 为首项为2，公差为1 的等差数列，∴ 则
6．【答案】1022
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，故 是以3为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 1022
7．【答案】7500
【解析】当 是奇数时， ＝﹣1，由 ，得 ，
所以 ， ， ，… ，…是以 为首项，以2为公差的等差数列，
当 为偶数时， ＝1，由 ，得 ，
所以 ， ， ，… ，…是首项为 ，以4为公差的等差数列，
代入①式得 ②
由 及②式得 ，则 ，
则数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为： .
3．【答案】 .
【解析】由 两边同除以 ，
整理得 ，
令 ，则 ，
∴ ，
又由 解得 ，
∴ 。
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。
∴ 。
∴ ，
∴ ，
4．【答案】
【解析】由 ( )，可得 ，于是 ，
3．【答案】
【解析】依题意， ， ，所以 ，所以数列是周期为 的数列，且每 项的积为 ，故 .
4．【答案】2
【解析】因为 ，由 ， ，得 ；
由 ， ，得 ；
由 ， ，得 ；
由 ， ，得 ；
由 ， ，得 ；
由 ， ，得
高三数学数列的递推公式与通项(与“通项”相关文档)共15张PPT
第3页，共15页。
an+1/an=f(n)型
(1)若f(n)为常数，即an+1/an=q,此时数列{an}为等比数列， 则an=a1qn-1;
(2)若f(n)为n的函数，用累乘法，即.
an=aann1
an1 an2
a2 a1
a1=f(n-1)f(n-2)
·…·f(2)
·f(1)
·a1
例（1）数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an+1=n·an，求an
例：在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n,求an.
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an+1=can+f(n)型
(2)若f(n)=qn(其中q为常数,且q≠0,1) ①当c=1时,累加即可；
②当c≠1时, 即an+1=can+qn,求通项有以下三个方向：
ⅰ)两边同除以cn+1;
ⅱ)两边同除以qn+1; ⅲ)待定系数法：设an+1+λqn+1=c(an +λqn),求出λ，转化为等比
的表达式。
(2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2an+1an=0(n=1,2,3, …),则它的通项an=______.
第4页，共15页。
an+1=can+d(c≠0,a1=a)型
(1)若c=1,数列{an}为等差数列；
(2)若d=0,数列{an}为等比数列； (3)若c≠1且cd≠0时,数列{an}为线性递推数列,其通项通过待 定系数法构造辅助数列来求.
=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a an+1=can+d(c≠0,a1=a)型
考点20 递推公式求通项(第1课时)讲解(原卷版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记
考点20 递推公式求通项（第一课时）【思维导图】【常见考法】考法一：公式法1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a = 。
2．已知数列 {}n a 的前n 项和31nn S =+，则它的通项公式是n a =_____;3．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 。
4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________.5．若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则na =______ ．6．数列{}n a 满足*12211125,222n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = .7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13n n a S n N +=∈，则n S =______.考法二：累加法1．数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +=++，则n a = 。
2．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.3．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a = 。
4．在数列{a n }中，若a 1＝﹣2，a n +1＝a n +n •2n ，则a n ＝ 。
考法三：累乘法1.已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是 。
2．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是 。
递推数列的通项公式求法 数学课件(与“通项”相关文档)共10张PPT
n2
当
时
a a 3 3 为（首20项0为7，年首公全比项国为高，考公卷则）比设是数列 的的等首比项数列。n即1
2 2 2 为首项，公比是 的等比数列。
a a(aa) 一、递推关系为
3 3 解：当
时，
3
型
所则以该数数列列 n1 n
n1 n
是以
an1 anLeabharlann a2a12 3
n1
n
21
即数列
是以 为首项，公差为B的等差数列。
an anan1an1an2(a2a1)a1
2 3n12 3n22 3n32 311 12 3 2n 312 3n 3
第7页，共10页。
第8页，共10页。
例 8 、 若 数 列 b n中 b 1= 2 , b n + 1=3 2 b b n n+ + 4 3 ， 求 b n
解：设 a n 1 x ( n 1 ) y 4 ( a n x n y ) 即 a n 1 4 a n 3 x n (3 y x )
令 3 x 3 x 1 3yx 1 y0 a n 1 (n 1 )4 (a n n )
又 a1 1 1 ，所以数列 an n 是以1为首项，4为公比的等比数列，
即数列
an n1
是以
a 1 为首项，公差为B的等差数列。 0
a 所以数列例5、（200是7年以4天为津首项高，考4为）公在比数的列等比数列中，
求(1)首若项A=其中,与则通由项 ，求数列
的通项公式。
n
0 a 一、递推关系为
n型
a 1 2 ,a n 1 a n n 1 ( 2 ) 2 n ,n N *
递推数列的通项公式
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考点20 递推公式求通项（第一课时）【思维导图】【常见考法】考法一：公式法1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nSn n =+，则n a = 。
【答案】21n【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n S n n =+当1n =时,代入可得211123S a ==+=而由1n n n a S S -=-,代入可得()()222121n a n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦21n =+ 当1n =时上式也成立综上可知21n a n =+2．已知数列 {}n a 的前n 项和31nn S =+，则它的通项公式是n a =_____;【答案】()()141232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩【解析】数列{}n a 的前n 项和31nn S =+∴114a S ==，1131(2,)n n S n n N -*-=+≥∈,又1(2,)n n n n N a n S S *-=-≥∈，∴1131(31)23(2,)n n n n a n n N --*=+-+=⋅≥∈，检验当1n =时，11112324a S -=⋅=≠=，∴()14(1)232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩3．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 。
【答案】23nn a =⨯【解析】当1n =时，11133,62S a a =-= 当2n 时，1113333332222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭ 即13nn a a -= ，故数列{}n a 为等比数列则16323n n n a -=⨯=⨯ 因为623=⨯，所以,()2*3nn a n N ∈=⨯4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________.【答案】()()131232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩.【解析】因为点()1,n n S S +在直线3y x =上代入可得13n n S S +=,即13n nS S +=. 由113S a ==可知数列{}n S 是首项为13S =,公比为3q =的等比数列.所以1333n n nS -=⨯=由1n n n a S S -=-代入可得113323n n n n a ---=⋅=而113S a ==不符合上式所以()()131232n n n a n -⎧=⎪=⎨⋅≥⎪⎩故答案为: ()()131232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩5．若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则na =______ ．【答案】12n a n=【解析】2212121331(1)((23231))2)1(,n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得, 122111)1)((1n n n n n a n a n a nn a a n +++-⇒+==++, 所以有234123111123112234n n n a a aa na a a a a n a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 6．数列{}n a 满足*12211125,222n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = . 【答案】114,12,2n n n +=⎧⎨≥⎩【解析】这类问题类似于()n n S f a =的问题处理方法，在122111 (25222)n n a a a n +++=+中用1n -代换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172a =，即114a =，故114,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________【答案】132n【解析】由题意，122n n n S S S +=-，所以132n n S S +=，11S =，所以132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13n n a S n N +=∈，则nS=______.【答案】4n【解析】1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==，11140,0,4n n nS S a S S +==≠∴≠∴=,{}n S ∴是以4为首项,公比为4的等比数列, 4n n S ∴=.故答案为:4n考法二：累加法1．数列{}n a 满足12a =，122n n aa n +=++，则n a = 。
【答案】()1=+n a n n【解析】122n n a a n +=++，()121n n a a n +∴-=+，则当2n ≥时，12n n a a n --=，()()()()121321222222322n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-++-=+⨯+⨯++=()1n n =+。
2．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】22n +【解析】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +. 3．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a = 。
【答案】2ln n n n +【解析】由题,11ln 1n n a a n n n n ++=++,则1ln 11n n a a n n n n -=+--,121ln 122n n a a n n n n ---=+---…,212ln 211a a =+, 所以由累加法可得,112ln ln ln1121n a a n n n n n -=+++--,即112ln 121n a n n a n n n -⎛⎫=+⋅⋅⋅ ⎪--⎝⎭, 则2ln na n n=+,所以2ln n a n n n =+4．在数列{a n }中，若a 1＝﹣2，a n +1＝a n +n •2n，则a n ＝ 。
【答案】（n ﹣2）•2n【解析】∵a n+1＝a n +n •2n，∴a n+1﹣a n ＝n •2n，且a 1＝﹣2∴a n ﹣a 1＝a n ﹣a n ﹣1+a n ﹣1﹣a n ﹣2+…+a 2﹣a 1＝（n ﹣1）•2n ﹣1+…+2•22+1•21，① ∴2（a n ﹣a 1）＝（n ﹣1）•2n +（n ﹣2）•2n ﹣1+…+2•23+1•22，② ①-①得﹣（a n ﹣a 1）＝﹣（n ﹣1）•2n+2n ﹣1+2n ﹣2+…+23+22+2＝﹣（n ﹣1）•2n+()121212n --=-﹣（n ﹣1）•2n﹣2+2n，∴a n ﹣a 1＝（n ﹣1）•2n +2﹣2n ，所以a n ＝（n ﹣2）•2n考法三：累乘法1.已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是 。
【答案】n a n =【解析】由na n +1=（n +1）a n ，可得：11n n a n a n++=， 又∵a 1=1，∴321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋯⋅=231121n n ⨯⨯⋯⨯⨯-=n ．∴a n =n ， 2．已知{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则数列{}n a 的通项公式是 。
【答案】12n n n a -=【解析】已知{}n a 中,11a =,()112n n n a na ++=化简整理可得()112n n n a a n++=所以递推可得()121n n a n a n -=- ()12122n n a n a n ---=- ......32322a a =⨯ 21221a a =⨯ 等式两边分别相乘可得()()()12321232112322122232221n n n n n n a a a a a n n n a a a a a n n n -------⋅⋅⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⨯---⨯⨯ 即112n n a n a -=所以11122n n n n n a a --=⋅=。