2021高考数学考点精讲精练《20 递推公式求通项(第1课时)》讲解(解析版)

考点20 递推公式求通项（第一课时）【思维导图】

【常见考法】

考法一：公式法

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n

S

n n =+，则n a = 。

【答案】21n

【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n S n n =+当1n =时,代入可得2

11123S a ==+=

而由1n n n a S S -=-,代入可得()()22

2121n a n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦

21n =+ 当1n =时上式也成立综上可知21n a n =+

2．已知数列 {}n a 的前n 项和31n

n S =+，则它的通项公式是n a =_____;

【答案】()()1

41232n n n -⎧=⎪

⎨

⋅≥⎪⎩

【解析】

数列{}n a 的前n 项和31n

n S =+

∴114a S ==，1131(2,)n n S n n N -*-=+≥∈,

又

1(2,)n n n n N a n S S *-=-≥∈，

∴1131(31)23(2,)n n n n a n n N --*=+-+=⋅≥∈，检验当1n =时，11112324a S -=⋅=≠=，

∴()14(1)232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩

3．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 。

【答案】23n

n a =⨯

【解析】当1n =时，1113

3,62

S a a =

-= 当2n 时，111333

333222

2n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=

---=- ⎪⎝⎭ 即

1

3n

n a a -= ，故数列{}n a 为等比数列则16323n n n a -=⨯=⨯ 因为623=⨯，所以,()2*3n

n a n N ∈=⨯

4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________.

【答案】()

()

1

3

1232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩

.

【解析】因为点()1,n n S S +在直线3y x =上代入可得13n n S S +=,即

1

3n n

S S +=. 由113S a ==可知数列{}n S 是首项为13S =,公比为3q =的等比数列.所以1333n n n

S -=⨯=

由1n n n a S S -=-代入可得11

3323n n n n a ---=⋅=而113S a ==不符合上式

所以()()1

3123

2n n n a n -⎧=⎪=⎨⋅≥⎪⎩故答案为: ()()1

3

1232n n n -⎧=⎪⎨⋅≥⎪⎩

5．若数列{}n a 满足112a =,2

12323n n a a a na n a +++⋯+=,则n

a =______ ．

【答案】

12n a n

=

【解析】22

12121331(1)((23231))2)1(,

n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得, 122

111)1)((1n n n n n a n a n a n

n a a n +++-⇒

+==++, 所以有

234123111123112234

n n n a a a

a n

a a a a a n a a n --=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 6．数列{}n a 满足

*122111

25,222

n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a = . 【答案】114,1

2,2n n n +=⎧⎨≥⎩

【解析】这类问题类似于()n n S f a =的问题处理方法，在122111

(25222)

n n a a a n +++=+中用1n -代换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172

a =，即114a =，故1

14,1

2,2

n n n a n +=⎧=⎨

≥⎩ 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =______________

【答案】

1

3

2

n

【解析】由题意，122n n n S S S +=-，所以132n n S S +=，11S =，所以1

32n n S -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

．

8．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且(

)*

13n n a S n N +=∈，则n

S

=______.

【答案】4n

【解析】1113,3,4n n n n n n n a S S S S S S +++=∴-==，1

1140,0,4n n n

S S a S S +==≠∴≠∴

=,