构造函数解与导数有关的题目

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构造函数法解决导数问题(原卷版)--2024新高考数学导数微专题训练

专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（）A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（）A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.7．已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1-C D ．e9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()()1,00,1-UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ--D ．()(63f ππ<13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞ ，，15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)xe C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（）A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef >，()()202020200f ef ，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（）A ．(-1，+∞)B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（）B ．ππππ44（，，）-⋃C ．ππ0044-⋃（）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞ 30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞33．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞ 三、解答题34．已知函数()()ln af x x a R x=-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>.35．已知函数()()()ln 1,f x a x bx a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为212ln 20x y ++-=.（1）求实数a ，b 的值﹔（2）若函数()2()()12t g x f x x t =+≥，试讨论函数()g x 的零点个数.36．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.37．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.38．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.39．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.40．已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.41．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈= .（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+.42．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由43．已知函数()ln 2f x x kx =++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.44．已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.45．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.。

2024年高考数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1

一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数()f x alnx x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()x xf x e <．解：（1）()f x alnx x =+，(0,)x ∈+∞． ()1af x x'=+， 0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．0a <时，令()0f x '=，解得0x a =->，函数()f x 在(0,)x a ∈-上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．（2）证明：当1a =时，要证明：()xxf x e <，即证明21xlnx e x x+<，令()1lnxg x x=+，21()lnx g x x -'=，令()0g x '>，解得0x e <<；令()0g x '<，解得e x <． ∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．x e ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值，g （e ）11e=+．令2()xe h x x =，3(2)()xx e h x x -'=，令()0h x '<，解得02x <<；令()0h x '>，解得2x <． ∴函数()h x 在(0,)e 上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．x e ∴=时，函数()h x 取得极小值即最小值，h （2）24e =．221251(1)1044 2.5e e ⋅-+>-->． ()()max min g x h x ∴<，即21xlnx e x x+<，也即()x xf x e <． 2．已知函数()f x x alnx =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程0x alnx -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：0(1)a x a ->．（Ⅰ）解：由()f x x alnx =-，可得()1a f x x'=-，则f '（1）1a =-，又f （1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，即(1)y a x a =-+．（Ⅱ）解：()f x x alnx =-的定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，可得x a >，令()0f x '<，可得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立），所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减，当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增，所以0()g x g （1）0=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．3．已知函数()f x alnx x =+，函数2()x g x e bx =+，（1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1)．求证：当0x >时，()()(1)1xf x g x e x +--．解：（1）2()h x alnx x x =++，22()(0)x x ah x x x++'=>，记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当0a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当0a <时，△180a =->，()x ϕ有异号的两根10)x =<，20)x =>，x ∴∈，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 在单调递减，x ∈，)+∞，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 在，)+∞单调递减，()h x ∴有极小值点x =；（2）证明：()(0)x af x x x+'=>，()2x g x e bx '=+，f ∴'（1）1a =+，()f x 在1x =处的切线方程为1(1)(1)y a x -=+-，过点(0,1)得：1a =-，g '（1）2e b =+，()g x 在1x =处的切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-，过点(0,1)得：1b =-， ()f x lnx x ∴=-+，2()x g x e x =-，要证：()()(1)1xf x g x e x +--，即证：(1)10x e xlnx e x ----，即证：1(1)0x e lnx e x x---，构造函数1()(1)x e K x lnx e x x =---，则2(1)(1)()x x e K x x --'=，0x >时，10x e ->，(0,1)x ∴∈时，()0K x '<，()K x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∴∈+∞时，()0K x '>，()K x 在(1,)+∞单调递增，()K x K ∴（1）0=，故原不等式成立．4．已知函数()()f x ax lnx a R =+∈在1x =处取得极值．（Ⅰ）若对(0,)x ∀∈+∞，()1f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1[4，1]上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（Ⅰ）解：()()f x ax lnx a R =+∈，则1()f x a x'=+，又()f x 在1x =处取得极值，则有f '（1）10a =+=，解得1a =-，此时1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以()f x 确实在1x =处取得极值，故1a =-，设()(1)1h x lnx b x =+--，则()1f x bx -在(0,)+∞上恒成立，即()0h x 在(0,)+∞上恒成立，因为1()1h x b x'=+-，当10b -，即1b 时，()0h x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意；当1b <时，令()0h x '=，解得11x b=-，当101x b<<-时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当11x b>-时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以当11x b =-时，()h x 取得最大值111()1(1)2111b h ln ln b b b b-=+-=------，要使得()0h x 在(0,)+∞上恒成立，则有(1)20ln b ---，解得21b e --，综上所述，实数b 的取值范围为(-∞，21]e --；（Ⅱ）证明：要证(4)(3)0m m ++<，即证明43m -<<-即可，因为()()(2)(2)x x g x f x x e lnx x x e =+-=-+-，则111()1(2)(1)()(1)x x x x x g x e x e e x e x x x x-'=-++-=+-=--，因为1[4x ∈，1]时，10x -恒成立，设1()x M x e x=-，1[4x ∈，1]，则()M x 为单调递增函数，又113205112035()0,()0201153M e M e =-<=->，则存在0113(,)205x ∈，使得0()0M x =，即001x e x =，则当01[,)4x x ∈时，()0M x <，(1)0x -<，则()0g x '>，故()g x 单调递增，当0[x x ∈，1]时，()0M x ，(1)0x -且不同时为0，则()0g x '，故()g x 单调递减，所以()g x 在1[4，1]上的最大值为0000000000()(2)2x x x m g x lnx x x e lnx x x e e ==-+-=-+-，又001x e x =，则00021m lnx x x =-+-，0113(,)205x ∈，设2()1k x lnx x x =-+-，113(,)205x ∈，则212()10k x x x'=-+>对于113(,)205x ∈恒成立，故()k x 在113(,)205x ∈上单调递增故1111114011940()()1420202011202011k x k ln ln >=-+-=+->-， 333103()()1 2.933355535k x k ln ln <=-+-≈-<-，于是43m -<<-，故(4)(3)0m m ++<．5．已知函数()x f x e x a =--，对于x R ∀∈，()0f x 恒成立．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．解：（1）由0x e x a --恒成立，得x a e x -对x R ∀∈恒成立，令()x g x e x =-，()1x g x e '=-，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <，()0g x '<，()g x 单调减，()(0)1min g x g ==，故所求实数a 的取值范围为(-∞，1]；（2）证明：由（1）得1x e x +．欲证cos tan x x x e +，只需证cos tan 1x x x ++即可，令()cos tan 1h x x x x =+--，222221sin (sin cos )sin (sin sin 1)()sin 1cos cos cos x x x x x x h x x x x x-+-'=-+-==，令2()sin sin 1F x x x =+-，则易知()F x 在[0,]4π单调递增，且(0)0F <，()04F π>，故存在0(0,)4x π∈，使得0()0F x =；当[0x ∈，0)x 时，()0F x <，()0h x '，()h x 单调递减，当0(,]4x x π∈时，()0F x >，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，()044h ππ<，()(0)0max h x h ==，故当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．6．已知函数()x f x e =，()1g x ax =+．（Ⅰ）已知()()f x g x 恒成立，求a 的值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈211x x+-<．解：（1）已知()()f x g x 恒成立，即()()0f x g x -恒成立，令()()()1x h x f x g x e ax =-=--，则有()x h x e a '=-，当0a 时，则恒有()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，并且当x →-∞时，()h x →-∞，不满足题意；0a ∴>，此时令()0h x x lna '=⇒=；()0h x x lna '∴>⇒>；()0h x x lna '<⇒<，即函数()h x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，()()1min h x h lna a alna ∴==--，若要满足题意，则需使10a alna --，恒成立，令F （a ）1(0)a alna a =-->，则有F '（a ）lna =，由此可得，当01a <<时，F '（a ）0<；当1a >时，F '（a ）0>．F ∴（a ）min F =（1）0=，即得F （a ）0， 1a ∴=．（2）令()1((0,1))x G x e x x =--∈，则有()10x G x e '=->恒成立，故可得()G x 在(0,1)上单调递增，即有()(0)0G x G >=恒成立，故有101x x e x e x -->⇔>+在(0,1)上恒成立；根据题意，要证2111()lnx x f x x-+-<，即证明1111lnx x x x -+-<+，即证2111x lnx x x x x+-++-<+，即证2110lnx x x-++>，令21()H x lnx x x x =-++，则有22111()2(1)2H x x x x x x x'=--=--，(0,1)x ∈，10x ∴-<，20x -<，()0H x '∴<在(0,1)上恒成立，即得函数()H x 在(0,1)上单调递减， ()H x H ∴>（1）10=>，由此得证当(0,1)x ∈时，原不等式成立．7．已知函数()(1)f x x lnx =-，()f x '的反函数为()h x （其中()f x '为()f x 的导函数，20.69)ln ≈．（1）判断函数2()()32g x f x x x '=+-+在(0,)+∞上零点的个数；（2）当(0,1)x ∈31x x >--．解：（1）由题意得22()()3232g x f x x x lnx x x ='+-+=+-+，则(21)(1)()x x g x x--'=，由()0g x '=得12x =或1x =，由()0g x '>，得102x <<或1x >，由()0g x '<，得112x <<，当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：根据上表知13()2024g x g ln ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值，()g x g =极小值（1）0=，121()220416g ln =-<，根据零点的存在性定理，函数()g x 在1(0,)2上存在唯一零点，又因为g （1）0=，所以根据()g x 的单调性可知，函数2()()32g x f x x x ='+-+在(0,)+∞上零点的个数为2．（2）证明：因为()f x lnx '=，其反函数为()x h x e =，所以不等式为33(1)1(1)(1)x xx lnx x x x lnx x x e e->--⇔->--，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()f x f >（1）1=-，设函数3()(1)x G x x x e =--，则32()(32)x G x x x x e '=+--，设函数32()32p x x x x =+--，则2()361p x x x '=+-，所以()p x '在(0,1)上单调递增，因为(0)p p '⋅'（1）80=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x '=，所以函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，1)上单调递增，当0(0,)x x ∈时，0()(0)2p x p <=-，当0(x x ∈，1)时，0()0p x <，p （1）0>，所以存在1(0,1)x ∈，使得1()0G x '=，所以当1(0,)x x ∈时，()0G x '<，当1(x x ∈，1)时，()0G x '>，所以函数()G x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，1)上单调递增，因为(0)1G =-，G （1）e =-，所以当(0,1)x ∈时，()(0)1G x G <=-，所以3(1)(1)x x lnx x x e ->--，所以3()1()f x x xg x >--．。

构造函数法证明导数不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法一、移项法构造函数【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。

【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题，即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

专题一微重点导数中的函数构造问题

微重点3 导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1 (2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218，因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x －3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )x－3ln x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0，所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x >0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0，又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ，且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0，即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2 (2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析设函数g (x )＝f (x )e x ，可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023，即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减，又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增，不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x， F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析构造函数F (x )＝f (x )sin x，由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4， ∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减， ∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确； F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误； ∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x，即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( )A ．a >b ＋1B ．a b －1 答案 B解析因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)，则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1. 专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B 解析设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减，注意到e<4＝2<e<3，则有f (3)<f (e)<f (2)，即c <a 0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g (－x )＝f (－x )－(－x )2＝g (x )，所以函数g (x )也是偶函数，g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，不等式f (x )>x 2＋2即为不等式g (x )>2，由f (1)＝3，得g (1)＝2，所以g (x )>g (1)，所以|x |>1，解得x <－1或x >1，所以f (x )>x 2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a eB ．b >e aC ．ab <eD ．b <e a解析由已知a e a 0，∴e a >1，∵b >0，b ln b >a e a >0，∴b >1.当x >1时，f ′(x )＝ln x ＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a 0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6 D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6 答案 D解析令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6，即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6，即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6. 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。

构造函数法解决导数不等式问题(二)

构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F (x )＝f (x )±g (x )，F (x )＝f (x )g (x )，F (x )＝f (x )g (x )类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ，则F ′(x )＝f ′(x )＋nax n －1；(2)若F (x )＝f (x )±g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )±g ′(x )；(3)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(4)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2．由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nax n －1形式，构造函数F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ；(2)出现f ′(x )±g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )±g (x )；(3)出现f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )；(4)出现f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝3，对任意x ∈R ，f ′(x )<3，则f (x )>3x ＋6的解集为()A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．R答案C解析设g (x )＝f (x )－(3x ＋6)，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )为减函数，又g (－1)＝f (－1)－3＝0，所以根据单调性可知g (x )>0的解集是{x |x <－1}．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对∀x ∈R ，f ′(x )＜12，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为________．答案(0，2)解析构造函数F (x )＝f (x )－12x ，则F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，∴函数F (x )在R 上是减函数．由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)－12＝1－12＝12∴f (log 2x )＞log 2x ＋12⇔f (log 2x )－12log 2x ＞12⇔F (log 2x )＞F (1)⇔log 2x ＜1⇔0＜x ＜2．(3)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x2的解集为()A B －π3，C D －π3，答案D解析令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈－π2，3π2，∴x －π3，(4)f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f ′(x )＞2x ．若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)答案A解析令G (x )＝f (x )－x 2，则G ′(x )＝f ′(x )－2x ．当x ∈[0，＋∞)时，G ′(x )＝f ′(x )－2x ＞0，∴G (x )在[0，＋∞)上是增函数．由f (a －2)－f (a )≥4－4a ，得f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2，即G (a －2)≥G (a )，又f (x )是定义在R 上的偶函数，知G (x )是偶函数．故|a －2|≥|a |，解得a ≤1．(5)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，且f (－x )＝f (x )，当x ≥0时，f ′(x )>3x ，则不等式f (x )－f (x －1)<3x －32的解集是()A －12，B ∞CD ∞答案D解析设g (x )＝f (x )－32x 2，则g ′(x )＝f ′(x )－3x ．因为当x ≥0时，f ′(x )>3x ，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－3x >0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增．因为f (－x )＝f (x )，所以g (－x )＝f (－x )－32x 2＝f (x )－32x 2＝g (x )，所以g (x )是偶函数．因为f (x )－f (x －1)<3x －32，所以f (x )－32x 2<f (x －1)－32(x －1)2，即g (x )<g (x －1)，所以g (|x |)<g (|x －1|)，则|x |<|x －1|，解得x <12．故选D ．(6)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导数，当x >0时，f (x )＋f ′(x )·x ln x <0，则不等式(x －1)f (x )>0的解集为________．答案(0，1)解析由于函数y ＝f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0．当x >0时，f (x )＋f ′(x )·x ln x <0，则f (1)<0．当x >0时，构造函数g (x )＝f (x )ln x ，则g ′(x )＝f ′(x )ln x ＋f (x )·1x ＝f (x )＋f ′(x )·x ln xx <0，所以函数y ＝g (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0．当0<x <1时，ln x <0，g (x )>g (1)＝0，即f (x )ln x >0，此时f (x )<0；当x >1时，ln x >0，g (x )<g (1)＝0，即f (x )ln x <0，此时f (x )<0．又f (1)<0，所以当x >0时，f (x )<0．由于函数y ＝f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )>0．对于不等式(x －1)f (x )>0，当x <0时，x －1<0，则f (x )<0，不符合题意；当0<x <1时，x －1<0，则f (x )<0，符合题意；当x >1时，x －1>0，则f (x )>0，不符合题意．综上所述，不等式(x －1)f (x )>0的解集为(0，1)．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且(x ＋1)f ′(x )－f (x )＜x 2＋2x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是()A．2f(2)－3f(1)＞5B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋12x＋12C．f(3)－2f(1)＜7D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋12x＋12解析CD答案设函数g(x)＝f(x)－x2x＋1，则g′(x)＝(x＋1)f′(x)－f(x)－(x2＋2x)(x＋1)2．因为(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以g′(x)＜0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)＞g(2)＞g(3)，整理得2f(2)－3f(1)＜5，f(3)－2f(1)＜7，故A错误，C正确．当0＜x＜1时，若f(1)＝2，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝12，即f(x)－x2x＋1＞12，即f(x)＞x2＋12x＋12，故D正确，从而B不正确．即结论正确的是CD．(8)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为()A．[－2，2]B．[2，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案B解析因为对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，所以f(0)＝0，设g(x)＝f(x)－12x2，则g(－x)＝f(－x)－12x2，所以g(x)＋g(－x)＝f(x)－12x2＋f(－x)－12x2＝0，又g(0)＝f(0)－0＝0，所以g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12x2，所以f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋12(4－m)2－g(m)＋12m2＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，则g(4－m)－g(m)≥0，即g(4－m)≥g(m)．当x>0时，g′(x)＝f′(x)－x<0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，又g(x)为奇函数，所以4－m≤m，解得m≥2．(9)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋f(x)x >0，则函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0，当x>0时，g′(x)＝x[f′(x)＋f(x)x]>0，g(x)是增函数，g(x)>0；当x<0时，g′(x)＝x[f′(x)＋f(x)x]<0，g(x)是减函数，g(x)>0．在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋1x的零点个数是1．(10)函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，当x>0时，f(x)的极值状态是___________．答案没有极大值也没有极小值解析因为x2f′(x)＋2xf(x)＝e x x，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设h (x )＝x 2f (x )，则h ′(x )＝e x x ，且h (2)＝e 22，因为x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，则f ′(x )＝e x －2h (x )x 3，判断f (x )的极值状态就是判断f ′(x )的正负，设g (x )＝e x －2h (x )，则g ′(x )＝e x －2h ′(x )＝e x －2·e xx ＝e x ·x －2x ，这里涉及二阶导，g (x )在x ＝2处取得最小值0，因此g (x )≥0，则f ′(x )≥0，故f (x )没有极大值也没有极小值(有难度，但不失为好题目)．【对点训练】1．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为()A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)1．答案B解析由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0．设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2．因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B ．2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为．2．答案{x |x <－1或x >1}解析设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．3．已知定义域为R 的函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f ′(x )<2x ，f (2)＝3，则不等式f (x )>x 2－1的解集是()A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)3．答案D解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g ′(x )＝f ′(x )－2x <0，即函数g (x )在R 上单调递减．又不等式f (x )>x 2－1可化为f (x )－x 2>－1，而g (2)＝f (2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为g (x )>g (2)，故不等式的解集为(－∞，2)．故选D ．4．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝4，则不等式f (x )＞1x ＋3的解集为________．4．解析(1，＋∞)答案由x 2f ′(x )＋1＞0得f ′(x )＋1x 2＞0，构造函数g (x )＝f (x )－1x －3，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x2＞0，即g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝4，则g (1)＝f (1)－1－3＝0，从而g (x )＞0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＞1x＋3的解集为(1，＋∞)．5．设f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f ′(x )－cos x <0，则不等式f (x )<sin x 的解集为．5．答案(0，＋∞)解析令φ(x )＝f (x )－sin x ，∴当x ≥0时，φ′(x )＝f ′(x )－cos x <0，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递减，又f (x )为R 上的奇函数，∴φ(x )为R 上的奇函数，∴φ(x )在(－∞，0]上单调递减，故φ(x )在R上单调递减且φ(0)＝0，不等式f (x )<sin x 可化为f (x )－sin x <0，即φ(x )<0，即φ(x )<φ(0)，故x >0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)．6．设f (x )和g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′(x )，g ′(x )分别为其导数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是()A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)6．答案D解析令h (x )＝f (x )g (x )，当x ＜0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，则h (x )在(－∞，0)上单调递增，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以h (x )为奇函数，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由g (－3)＝0，可得h (－3)＝－h (3)＝0，所以当x ＜－3或0＜x ＜3时，h (x )＜0，故选D ．7．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有()A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )7．解析C答案令F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＜0，所以F (x )在R 上单调递减．又a ＜x ＜b ，所以f (a )g (a )＞f (x )g (x )＞f (b )g (b )．又f (x )＞0，g (x )＞0，所以f (x )g (b )＞f (b )g (x )．8．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上f ′(x )<x ，若f (2－m )＋f (－m )－m 2＋2m －2≥0，则实数m 的取值范围为__________．8．答案[1，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－x 22，则g (－x )＋g (x )＝0，g (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x <0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )是R 上的单调减函数．原不等式等价于g (2－m )＋g (－m )≥0，g (2－m )≥－g (－m )＝g (m )，所以2－m ≤m ，m ≥1．9．已知f (x )是定义在R 上的减函数，其导函数f ′(x )满足f (x )f ′(x )＋x <1，则下列结论正确的是()A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)，f (x )>09．答案B解析∵f (x )f ′(x )＋x <1，f (x )是定义在R 上的减函数，f ′(x )<0，∴f (x )＋xf ′(x )>f ′(x )，∴f (x )＋(x －1)f ′(x )>0，∴[(x －1)f (x )]′>0，∴函数y ＝(x －1)f (x )在R 上单调递增，而x ＝1时，y ＝0，则x <1时，y <0，故f (x )>0．x >1时，x －1>0，y >0，故f (x )>0，∴f (x )>0对任意x ∈R 成立，故选B ．10．已知y ＝f (x )为R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x ＞0，若g (x )＝f (x )＋1x，则函数g (x )的零点个数为()A ．1B ．2C ．0D ．0或210．答案C 解析令h (x )＝xf (x )，因为当x ≠0时，xf ′(x )＋f (x )x＞0，所以h ′(x )x ＞0，因此当x ＞0时，h ′(x )＞0，当x ＜0时，h ′(x )＜0，又h (0)＝0，易知当x ≠0时，h (x )＞0，又g (x )＝h (x )＋1x，所以g (x )≠0，故函数g (x )的零点个数为0考点五构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则()A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2答案B解析由指数和对数的运算性质得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b ．令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b ．故选B ．(2)已知α，β∈－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是()A ．α＞βB ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＋β＞0答案B解析构造函数f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ．当x ∈0，π2时，f ′(x )≥0，f (x )是增函数，当x ∈－π2，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，又f (x )为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0⇔αsin α＞βsin β⇔f (α)＞f (β)⇔f (|α|)＞f (|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β2，故选B ．(3)(多选)若0<x 1<x 2<1，则()A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．12e x x >21e x x D ．12e x x <21e x x 答案AC解析令f (x )＝x －ln x ，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当0<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，1)上单调递减．∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即x 2－ln x 2<x 1－ln x 1，即x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1．设g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2．当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即22e x x <11e x x ，∴12e x x >21e x x ，故选AC ．A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a＋1B ．log a (a ＋1)>log a ＋1(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1a D ．log a ＋1(a ＋2)<a ＋2a ＋1答案ABD解析若A 成立，则(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1，两边取自然对数，得(a ＋2)ln(a ＋1)>(a ＋1)ln(a＋2)，因为a ≥2，所以ln(a ＋1)a ＋1>ln(a ＋2)a ＋2．令f (x )＝ln xx ，则x ≥3，f ′(x )＝1－ln x x 2<0，故f (x )在[3，＋∞)上单调递减，所以ln(a ＋1)a ＋1>ln(a ＋2)a ＋2，故A 成立；若B 成立，则log a (a ＋1)>log a ＋1(a ＋2)，即ln(a ＋1)ln a >ln(a ＋2)ln(a ＋1)，设g (x )＝ln(x ＋1)ln x ，x ≥2，则g ′(x )＝ln x x ＋1－ln(x ＋1)x (ln x )2＝x ln x －(x ＋1)ln(x ＋1)x ·(x ＋1)(ln x )2，令h (x )＝x ln x ，x ≥2，则h ′(x )＝ln x ＋1>0，故h (x )在[2，＋∞)上单调递增，所以x ln x －(x ＋1)ln(x ＋1)<0，所以g ′(x )<0，故g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以ln(a ＋1)ln a >ln(a ＋2)ln(a ＋1)，故B 成立；若C 成立，则log a (a ＋1)<a ＋1a ，即ln(a ＋1)a ＋1<ln a a ，由A 知f (x )＝ln xx 在[2，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，取a ＝2，故C 不成立；若D 成立，则log a ＋1(a ＋2)<a ＋2a ＋1，即ln(a ＋2)a ＋2<ln(a ＋1)a ＋1，由A 知D 成立．故选ABD ．(6)(2021·全国乙)设a ＝2ln1.01，b ＝ln1.02，c ＝1.04－1，则()A ．a 0时，x ＋1＝(x ＋1)2>1＋2x ，故当x >0时，f ′(x )＝1＋2x －(x ＋1)(x ＋1)1＋2x<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (0.02)<f (0)＝0，即b <c ．a －c ＝2ln 1.01－ 1.04＋1，设g (x )＝2ln(x ＋1)－1＋4x ＋1，则a －c ＝g (0.01)，g ′(x )＝2x ＋1－421＋4x ＝2[1＋4x －(x ＋1)](x ＋1)1＋4x，当0<x <2时，4x ＋1＝2x ＋2x ＋1>x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＝x ＋1，故当0<x <2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递增，所以g (0.01)>g (0)＝0，故c <a ，从而有b <c <a ，故选B ．(7)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，导函数为f ′(x )，若xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，且＝1e ，则()A ．f 0B ．f (x )在x ＝1e 处取得极大值C ．0<f (1)<1D ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增答案ACD解析由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，导函数为f ′(x )，xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，即满足xf ′(x )－f (x )x 2＝ln x x ．因为f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2，所以f (x )x ′＝ln x x ，所以可设f (x )x ＝12ln 2x ＋b (b 为常数)，所以f (x )＝12x ln 2x ＋bx ．因为＝12·1e ln 21e ＋b e ＝1e ，解得b ＝12，所以f (x )＝12ln 2x ＋12x ，所以f (1)＝12，满足0<f (1)<1，所以C 正确；因为f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，且仅有f 0，所以B 错误，A ，D 正确．故选ACD ．【对点训练】1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 66，则()A ．a 0，则“a >b ”是“a a >b b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案D解析因为a ，b >0，由a a >b b 可得a ln a >b ln b ．设函数f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0可得x >1e ，所以函数f (x )＝x ln x a >b 不一定有a ln a >b ln b ，即a a >b b ，所以充分性不成立；当a a >b b ，即a ln a >b ln b 时，不一定有a >b ，所以必要性不成立，所以“a >b ”是“a a >b b ”的既不充分也不必要条件，故选D ．3．已知0<x 1<x 2<1，则()A ．ln x 1x 2>ln x 2x 1B ．ln x 1x 2<ln x 2x 1C ．x 2ln x 1>x 1ln x 2D ．x 2ln x 1<x 1ln x 23．答案D解析设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，所以函数f (x )调递增；由f ′(x )<0，得0<x <1e f (x )f (x )在(0，1)上不单调，所以f (x 1)与f (x 2)的大小无法确定，从而排除A ，B ；设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0，得0<x <e，即函数g (x )在(0，e)上单调递增，故函数g (x )在(0，1)上单调递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即ln x 1x 1<ln x 2x 2，所以x 2ln x 1<x 1ln x 2．故选D ．4．已知a >b >0，a b ＝b a ，有如下四个结论：(1)b <e ；(2)b >e ；(3)存在a ，b 满足a ·b <e 2；(4)存在a ，b 满足a ·b >e 2，则正确结论的序号是()A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)4．答案C解析由a b ＝b a 两边取对数得b ln a ＝a ln b ⇒ln a a ＝ln b b ．对于y ＝ln xx，由图象易知当b <e<a 时，才可能满足题意．故(1)正确，(2)错误；另外，由a b ＝b a ，令a ＝4，b ＝2，则a >e ，b <e ，ab ＝8>e 2，故(4)正确，(3)错误．因此，选C ．5．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z5．答案D解析令2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，两边取对数得x ＝log 2t ＝ln t ln 2，y ＝log 3t ＝ln t ln 3，z ＝log 5t ＝ln tln 5，从而2x ＝2ln 2ln t ，3y ＝3ln 3ln t ，5z ＝5ln 5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5的大小．又2ln 2＝4ln 4，e<3<4<5，由y ＝ln x x 在(e ，＋∞)上单调递减可知，ln 33>ln 44>ln 55，从而3ln 3<4ln 4<5ln 5，3y <2x <5z ，故选D ．6．已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则()A ．c <b <a B ．b <c <a C ．a <c <bD ．a <b <c6．答案D解析方法一由已知e 55＝e a a ，e 44＝e bb，e 33＝e c c ，设f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝(x －1)e x x 2，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c )<f (b )<f (a )，所以a e 44>e 33，由图可知a <b <c．7．若0<x 1<x 2<a ，都有x 2ln x 1－x 1ln x 2≤x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A ．12B ．1C ．eD ．2e7．答案B解析ln x 1x 1－ln x 2x 2≤1x 2－1x 1，即ln x 1x 1＋1x 1≤ln x 2x 2＋1x 2，令f (x )＝ln x x ＋1x，则f (x )在(0，a )上为增函数，所以f ′(x )≥0在(0，a )上恒成立，f ′(x )＝－ln xx 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以a ≤1，所以a 的最大值为1，选B ．8．下列四个命题：①ln 5<5ln 2；②ln π>πe；③；④3eln 2>42．其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．48．答案B解析构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．①ln 5<5ln 2⇒2ln 5<5ln 2⇒ln 55<ln 22，又2<5<e ，故错误．②ln π>πe ⇒2ln π>πe ⇒ln ππ>12e＝ln e e ，又e>π>e ，故正确．③⇒11ln 2<ln 11＝2ln 11⇒ln 22＝ln 44<ln 1111，又4>11>e ，故正确．④3eln 2>42⇒322eln 2>2×322⇒3232ln 22>ln e e ，显然错误．因此选B ．A ．0<a <b <1B ．b <a <0C ．1<a <bD ．a ＝b 10．答案ABD 解析因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，所以设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x ，在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象如图所示．由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，b <a <0，故B 正确；②当x ＝0或1时，f (x )＝g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，a ＝b ＝0或a ＝b ＝1，故D 正确；③当0<x <1时，f (x )>g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，0<a 1时，f (x )<g (x )，所以当2a ＋3a ＝3b ＋2b 时，1x 1时，不等式f (x 1)x 2<f (x 2)x 1恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，e]B ．(－∞，e)C ∞D ∞，e 211．答案D 解析因为x ∈(0，＋∞)，所以x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即函数g (x )＝xf (x )＝e x －ax 2在x ∈(0，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x )＝e x －2ax ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以2a ≤e x x在x ∈(0，＋∞)上恒成立．令m (x )＝e x x ，则m ′(x )＝(x －1)e x x 2，当x ∈(0，1)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增，所以2a ≤m (x )min ＝m (1)＝e ，所以a ≤e 2．故选D ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (e)＝1e，则下列结论正确的是()A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增B ．f (x )在(0，＋∞)单调递减C ．f (x )在(0，＋∞)上有极大值D ．f (x )在(0，＋∞)上有极小值12．答案B 解析由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，得xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，构造F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，F (x )＝xf (x )＝ln 2x 2＋m ，当x ＝e 时，xf (x )＝ln 2x 2＋m ，又e f (e)＝ln 2e 2＋m ，所以m ＝12，所以f (x )＝ln 2x ＋12x，所以f ′(x )＝－(ln x －1)22x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)单调递减，选B ．13．(多选)下列不等式中恒成立的有()A ．ln(x ＋1)≥x x ＋1，x >－1B ．ln x x >0C ．e x ≥x ＋1D ．cos x ≥1－12x 213．答案ACD 解析A 选项，因为x >－1，令t ＝x ＋1>0，f (t )＝ln t ＋1t －1，则f ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t2，所以当0<t <1时，f ′(t )＝t －1t 2<0，即f (t )单调递减；当t >1时，f ′(t )＝t －1t 2>0，即f (t )单调递增，所以f (t )min ＝f (1)＝0，即f (t )＝ln t ＋1t －1≥0，即ln t ≥t －1t，即ln(x ＋1)≥x x ＋1，x >－1恒成立，故A 正确；B 选项，令f (x )＝ln x x >0，则f ′(x )＝1x －＝2x －x 2－12x 2＝－(x －1)22x 2≤0显然恒成立，所以f (x )＝ln x x >0上单调递减，又f (1)＝0，所以当x ∈(0，1)时，f (x )>f (1)＝0，即ln x B 错；C 选项，令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )＝e x －1>0，所以f (x )单调递增；当x <0时，f ′(x )＝e x －1<0，所以f (x )单调递减，则f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1恒成立，故C 正确；D 选项，令f (x )＝cos x －1＋12x 2，则f ′(x )＝－sin x ＋x ，令h (x )＝f ′(x )＝－sin x ＋x ，则h ′(x )＝－cos x ＋1≥0恒成立，即函数f ′(x )＝－sin x ＋x 单调递增，又f ′(0)＝0，所以当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )＝cos x －1＋12x 2单调递增；当x <0时，f ′(x )<0，即f (x )＝cos x －1＋122单调递减，所以f (x )min ＝f (0)＝0，因此cos x ≥1－12x 2恒成立，故D 正确．。

《导数-深度·拔高系列讲义》构造函数解决函导压轴小题(内附：万能积分法+不定积分详解)

导剧-深度•兹龙系列锦义第M篇构造晶数解决晶导及抽小墨（内附：万能积分法+不定积分详解）目录一、技能储备 (2)情境一.常规构造 (2)题型①：指幕型 (2)题型②：三角型 (3)题型③：对数型 (3)情境二.非常规构造 (4)题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于/（x）和/'（X）之外的项心） (4)题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法） (6)二、拓展：不定积分 (8)一、原函数与不定积分 (8)二、基本积分表 (8)三、不定积分的性质 (9)四、计算方法 (9)NO.1第一类换元积分法（凑微分法） (9)NO.2第二类换元法 (10)N0.3分部积分法（凑微分法） (11)三、典型例题 (12)一、技能储备【引例】已知函数丁= /(工)的图象关于y轴对称,且当x£ (-oo,0),/(x) + xf\x) < 0成立，。

=2%/(2°2), b = log,3./(lo g;r3), c = k)g3 9・7(k)g3 9),则的大小关系是()A.a >h>cB.a >c>hC.c>b>aD.h>a>c类似于引例，在已知/(x) + 0"(x)<O这种导数相关式(等式或不等式)的前提下，让我们解与/(X)相关的不等式或比较大小的题目，这种问题的难点是如何通过旻数担差式构造出与/(X)相关的单调性可推算的新函数(有时也直接求出/(X)的解析式)进而求解问题构造新函数是解决这类问题的通法也是难点，下面我们就以曼效也去式的种类为依据进行分类，分别介绍不同类型下如何构造新函数.情境一.常规构造【解题模型】1. 若/(X)+.尸(X)> 0，则可构造函数G(x)=若• /(%)；2. 若/(x)—r(x)>。

，则可构造函数G(x) = /区;e x3. ①若/(x) + 2/”(x) > 0 , 则可构造函数G(x)=「1/(x)；\_则可构造函数G(x) = /' • /(x)， (nsN* ).4. ①若/。

导数同构136题(含解析)

精挑同构试题1.已知函数)0()(≠=a Inx ae x f x ，若)1,0(∈∀x ，xIna x x f +<2)(，求a 的取值范围.解析：由xx x xaeae In x Inx x Inx ae Ina x Inx ae xIna x )(2<⇒>+⇒>+对)1,0(∈∀x 恒成立。

构造)1,0(,)(∈=x xInxx h ，)(x h 单增，所以：max ][x x xe x a e x a ae x >⇒>⇒<，因为ea x 1)1,0(≥∴∈2.已知aInx e x f x-=)(，若对任意),0(+∞∈x ，不等式aIna x f >)(恒成立，求正实数a 的取值范围.解析：InaInx eaIna aInx e Inax x>-⇒>--Inx e Inx x Inx x e Inx Ina x +=+>-+⇒-构造x e x g x +=)(，单增，所以：1)1(][min =--=-<⇒-<⇒>-x x Inx x Ina Inx x Ina Inx Ina x 3.设实数0λ>，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式0≥-λλInxe x恒成立，则λ的取值范围是（）．解：Inx x xInxe xInx xe Inxe=≥⇒≥-λλλλ0，即Inx x ≥λ恒成立，max ln 1x x eλ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，4.已知xaInx e x≥-1恒成立，则实数a 的最大值为（）。

答案：15.设实数0m >，若对任意的x e ≥，若不等式2ln 0mx x x me -≥恒成立，则m 的最大值为（）．解：22ln ln 0ln ln ln ln mm m m x xxx x m m m x x me x x me x x e e x e x x x x-≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≤，得()min ln m x x e ≤=（注意定义域）.6.对任意的(0,)x ∈+∞，不等式32ln 0mx x x me -≥恒成立，求实数m 的最大值.解：由题意得2322ln 22ln ln ln m m m x xxx m m x x me x x e e x e x x≥⇒≥⇒≥，即2ln m x x ≥，()2min 2ln m x x e⇒≤⋅=-.7.已知函数()()ln 133f x m x x =⋅+--，若不等式()3xf x mx e >-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（）．解：由题意得：()()()ln 133331ln 1x xm x x mx e e x mx m x +-->-⇒-->-+，右边凑1，得()()()()()()()ln 1311ln 1131ln 11x x xe x m x x e x m ex +-->+-+-⇒-->-+-得3m ≤.（说明：定义域大于零，所以()ln 1x x >+，3m =成立）.8.对0>∀x ，不等式0ln ln 22≥+-a x ae x 恒成立，则实数a 的最小值为_____.．解：由题意得：ax Ina x ae a x aex x=-≥⇒≥+-ln ln 20ln ln 222ee x a a x In x e a x In a x In a x xex a xIn x21)(22min 22=≥⇒≥⇒=≥⇒9.若a Inx x xx +-≥+∞∈),,0(恒成立，则a 的最大值（C ）A.1B.e1 C.0D.e-解析：01111≤⇒++--≥⇒+-≥----a a Inx x e a Inx x e Inx x Inx x 10.已知关于x 的不等式13≥--aInx x xex 对于任意的),1(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围（B ）A.]1,e -∞-（B.]3,-∞-（C.]2,∞-（ D.]2,2e -∞-（解析：113113-3-3++≥+-=++≥⇒≥--+aInx x Inx x Inx x e aInx x xe Inx x x.31,3-≤∴>≥-∴a x aInx Inx 11.已知不等式ααx e Inx x x ≥++1，对),1(+∞∈x 恒成立，则实数a 的最小值为（）A.e- B.2e -C.e- D.e2-解析：)(ααααInxx x eInx x Inx e x x e Inx x ----+-=+-≥+⇒≥++令)()(1)()(αInx g x g e x g ex x g x x-≥⇒-='⇒+=--e x InxxInx x -≥⇒>-≥⇒-≥⇒ααα)1(,12.对任意的(0,)x ∈+∞，恒有()12ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎝⎭，求实数a 的最小值．解：由题意得：22222ln 2ln ln ln ax ax e ax x x x x x x ⋅+≥+=+即22ln 2ln ln ax x ax e ax x e x ⋅+≥⋅+，得2max 2ln 2ln x ax x a x e⎛⎫≥⇒≥= ⎪⎝⎭.13.已知0x 0x A．2In x ≥ B．ex 1<C．002ln 0x x +=D．002ln 0x e x +=解析：222ln 0xx e x +=xIn xe xIn x In x Inx x xe1211112==-=⇒0212=+⇒=⇒ Inx x xInx 14.已知函数ln 1f x x x =-+，1()()对0,x ∀∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．解析：由题意得：()1ln 1xe x k x x --≥-+⎡⎤⎣⎦右边式子凑1得()11ln 11xe x k x x --≥+-+-⎡⎤⎣⎦即()ln(1)1ln 11x x e x k e x +⎡⎤--≥-+-⎣⎦，因为()ln 1x x ≥+当且仅当0x =等号成立，所以满足1k ≤即可当且仅当11x e x --=，即0x =等号成立，所以1k ≤.15.已知函数()()()1ln 1x f x x e g x k x k x +=⋅=⋅++，．设()()()h x f x g x =-，其中0k >，若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围.解析：由题意得：()()1ln 1ln 1ln 1x x x x ek x x e k x x +++⋅>++⇒>++因为()ln 1ln 1x x ek x x ++≥++，当且仅当1x =时等号成立因为x e ex ≥，所以等价于证:()()ln 1ln 1e x x k x x ++≥++当且仅当1x =时等号成立，所以e k ≤.16.已知函数()f x xlnx =，()f x '为()f x 的导函数．证明：2()2x f x e -<解析：由题意得：2ln 2x x x e -<，因为ln xx e≤（当且仅当x e =时等号成立）等价于证明22122x x x x x e e e e --⋅≤⇒≤，构造()2xx g x e=则()()2xx x g x e -'=，易知()()1max 22g x g e-==17.若函数1)()(---=Inx a e x x f 无零点，则整数a 的最大值是（）A.3B.2C.1D.0解析：01)()(2>---=Inx a ex x f x)2(11212>-=---++≥---⇒+x a Inx ax Inx x Inx ax e Inx x12=∴<⇒a a 18.已知ln f x x ax a =+-．若-=-的最小值为M ，求证1M ≤．解析：构造()()1xf x e x =-+，则()0f x >则()()11ln ln 1x f x f x e x x x --+=-+--，()()()()()1ln 11ln 11x g x e x a x f x f x a x -=--+=-+--+()()()min1ln 0f x f x -+=，()11x g x e a x-'=--()1g a '=-，接下来分类讨论：1.当0a =，则()min 1g x =，成立；2.当0a >，则()10g a '=-<，得()()min 11g x g ≤=，成立；3.当0a <，则()10g a '=->，得()()min 11g x g ≤=；19.已知函数=+-++．（为常数）若2b =，若对任意的1,x ∈+∞，0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析：由题意得：()()1ln 2201x a x e a x a x -+-++≥≥即()11ln 22ln 22x x a x a x a e a x ax x a e ---++≥-⇒--+≥-，()()1ln 12x a x x e x -⇒-+≥-+右边凑1，得()()1ln 1211x a x x x e --+≥--+⇒()()()()ln ln ln 1ln 1121x x x x a ee ee ---+≥-+，构造()ln 1x x g x e e =-+，则()0g x <，即()()ln 21a g x g x ⋅≥⋅-当且仅当1x =时取等号，所以只需满足2a ≤.20.若1ln e ax xa x-≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】1ln e 1ln e e ln 1ax ax ax xa x ax x x x ax x---+≤+⇔+≤+⇔≥-+而()ln e e ln 1x ax ax x x ax --=≥-+，故a ∈R21.已知函数),0(,)(+∞∈-=x ax xx f ，当21x x >时，不等式1221x x <恒成立，则实数a 的取值范围为(D )A．(-∞，]e B．(,)e -∞C．(,)2e-∞D．(-∞，]2e22.设函数)()(Inx x a xe x f x +-=，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围（）A.[]e ，0 B.[]10， C.(]e ,∞- D.[)+∞,e解析：同构思想：],0[)(e a ex e Inx x a e x Inx x ∈∴≥+≥+ 23.（2020成都二诊）已知函数x e x x g xxx f -⋅==)(ln )(，，若存在R x x ∈∞+∈21)0(，，，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x ⋅212（的最大值为（）A.2e B.eC.24e D.21e 解析：0ln 0ln )(ln )(22211211<==⇔<==⇒⋅==-k eIne x x k e x x x e x x g x x x f x x x x，构造xInxx F =)(，做出图像：因为0<k 容易知道：10,1021<<<<x e x 又因为)(x F 在)1,0(单增所以：2max 222121214][)(2ee k e k e x x Inx x e x k k k x =⇒=⇒=⇒=24.（重庆渝中区模拟）若关于x 的不等式)0(1ln <≥++a x ex a x a x 对任意的()∞+∈，1x 恒成立，则实数a 的最小值是（）.解析1：a Inx a x Inx e aInx x e x a-=-≥+---)(，令x e x x g -+=)(，因为单增所以：e a Inxxa Inx x a-≥⇒≤-⇒-≥min ][。

运用导数运算法则构造函数的五种题型

【例
1】已知函数
f
(x)
的定义域为
R
,
f
1 2
=
−
1 2
,对任意的
x R 满足
f
( x)
4x
.当
[0, 2 ] 时,不等
式 f (sin ) + cos 2 0 的解集为( )
A．
7 6
, 11 6
B．
4 3
,
5 3
C．
3
,
2 3
D．
6
,
5 6
【答案】D
【分析】根据题意构造函数 g(x) = f (x) − 2x2 + 1 ,则 g(x) = f (x) − 4x 0 ,所以得到 g(x) 在 R 上为增函
所以 y = g(x) 在 x (− ,− )上单调递增, 22
又因为 f (0) = 0 ,
所以 g(0) = f(0) • cos 0 = 0 , 所以当 x (− , 0) 时, g(x) 0 ,
2 当 x (0, ) 时, g(x) 0 ,
2
f
(x)
=
[ g(x)] cos x
∴ g ( x) 2018 的解集为 (0, + ) ,即不等式 ex f ( x) 2ex + 2018 的解集为 (0, + ) .
故选 A.
【点评】若 f ( x) + f ( x) k ,可构造 y = f ( x) ex − kx . 【变式训练】定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的导函数满足 f ( x) f ( x) ,且 f ( x) = f ( x + 4) ,若 f (2019) = −e ,

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

高二数学构造函数(导数单调性)含答案

一、选择题1.已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则下列关系式中正确的是()A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C．f(x)≥g(x)D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)2.已知函数f(x)定义在R上，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为()A． {x|x<－1}B． {x|x>1}C． {x|x<－1或x>1}D． {x|－1<x<1}3.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有()A．bf(b)≤af(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤bf(b)D．af(b)≤bf(a)4.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，则f(2 015)与f(2 013)e2的大小关系为()A．f(2 015)<f(2 013)e2B．f(2 015)＝f(2 013)e2C．f(2 015)>f(2 013)e2D．不能确定5.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A． (0,1)B． (－1,0)∪(0,1)C． (1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)6.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A． (－∞，－1)∪(0,1)B． (－1,0)∪(1，＋∞)C． (－∞，－1)∪(－1,0)D． (0,1)∪(1，＋∞)7.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则()A．f(2)<e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)>e2f(0)8.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)<x＋1的解集为()A． (1，＋∞)B． (－∞，－1)C． (－1,1)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)9.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A． (－1,1)B． (－1，＋∞)C． (－∞，－1)D． (－∞，＋∞)10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A． (－3,0)∪(3，＋∞)B． (－3,0)∪(0,3)C． (－∞，－3)∪(3，＋∞)D． (－∞，－3)∪(0,3)11.设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)12.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 017，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 013的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)13.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)14.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2e x的解集为()A． (－∞，0)B． (－∞，2)C． (0，＋∞)D． (2，＋∞)15.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)成立(其中)f(log2)，则a，b，c的大小关系是()f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝(logA．c>a>bB．c>b>aC．a>b>cD．a>c>b16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝－1，且当x>0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式f(x)>x的解集是()A． (－1,0)B． (1，＋∞)C． (－1,0)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)17.已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f(1)，b ＝－2f(－2)，c＝(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a<c<bB．b<c<aC．a<b<cD．c<a<b18.已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)·tan x恒成立，则()A．f()<f()B．f()>f()C．f()>f()D．f(1)<2f()·sin 119.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f(x)>0的解集是()A． (－1,0)∪(1，＋∞)B． (－1,0)∪(0,1)C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(0,1)20.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e x的解集为()A． (－2，＋∞)B． (0，＋∞)C． (1，＋∞)D． (4，＋∞)21.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 009的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)22.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝axg(x)，＋＝，则等于()A．a2B．C． 9D．23.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足>－x，则下列不等式成立的是()A． 3f(2)<2f(3)B． 3f(3)>4f(4)C． 3f(4)<4f(3)D．f(2)<2f(1)24.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f()，b＝－2f(－2)，c＝ln 2f(ln 2)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>c>a25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝(a>0，且a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)．若＋＝，则a等于()A．B．C． 2D． 2或26.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)＝5，对任意实数x都有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x＋2的解集为()A． (－∞，0)B． (0，＋∞)C． (－∞，1)D． (1，＋∞)二、填空题27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有>0，则不等式f(x)>0的解集是________．28.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，a＝20.1·f(20.1)，b＝(ln 2)·f(ln 2)，c＝(log 2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是________．29.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≥0，对任意正数m，n，若m≥n，则mf(n)与nf(m)的大小关系是mf(n)________nf(m)(请用≤，≥或＝)30.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．31.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为________．32.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)＋xf′(x)>0，则不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0的解集是________．33.已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>f(0)e x的解集是________．34.设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0<x<π时，f′(x)cos x－sin xf(x)>0，则不等式f(x)cos x<0的解集为________．35.已知函数y＝f(x)，对于任意的x∈[0，)满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式中成立的有________．①f()<f()；②f()<f()；③f(0)<f()；④f()<f()．三、解答题答案解析1.【答案】B【解析】据题意，由f′(x)<g′(x)得f′(x)－g′(x)<0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．2.【答案】B【解析】f(x)<＋，∴f(x)－<，令g(x)＝f(x)－，g(1)＝，∴g(x)<g(1)，∵g′(x)＝f′(x)－<0，∴g(x)为减函数，∴x>1.3.【答案】A【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间x∈(0，＋∞)单调递减或g(x)为常函数，∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)．4.【答案】C【解析】令F(x)＝e－x f(x)，F′(x)＝e－x f′(x)－e－x f(x)＝e－x(f′(x)－f(x))，∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上为增函数，∴F(2 015)>F(2 013)，∴e－2 015f(2 015)>e－2 013f(2 013)，∴f(2 015)>f(2 013)e2.5.【答案】C【解析】设g(x)＝f(x)－x，因为f(1)＝1，f′(x)>1，所以g(1)＝f(1)－1＝0，g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)在R上是增函数，且g(1)＝0.所以f(x)>x的解集，即g(x)>0的解集(1，＋∞)．6.【答案】A【解析】记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．7.【答案】D【解析】设F(x)＝，则F′(x)＝>0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，∴>，即f(2)>e2f(0)．8.【答案】A【解析】不等式f(x)<x＋1可化为f(x)－x<1，设g(x)＝f(x)－x，由题意g′(x)＝f′(x)－1<0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式⇔g(x)<g(1)，故x>1.9.【答案】B【解析】令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g′(x)＝f′(x)－2>0，故g(x)在R上单调递增．又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.10.【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)g(x)，∵当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在x<0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝－F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．11.【答案】C【解析】∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2 016)<e2 016f(0)．12.【答案】C【解析】令F(x)＝f(x)－x2－2 013，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，又F(－2)＝f(－2)－4－2 013＝2 017－2 017＝0，∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，∴不等式f(x)>x2＋2 013的解集为(－∞，－2)．13.【答案】C【解析】因为[]′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．14.【答案】C【解析】设g(x)＝，则g′(x)＝，∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)单调递减．∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)<g(0)，∵函数g(x)单调递减．∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．15.【答案】A【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)等价为xf′(x)＋f(x)<0，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，且函数g(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，)f(log2)＝g(log2)＝g(－2)＝g(2)，c＝(log∵1<<2，∴g(1)<g()<g(2)，即b<a<c.16.【答案】C【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，令g(x)＝，∴g(x)为偶函数，又当x>0时，xf′(x)>f(x)，∴g′(x)＝>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，当x>0时，∵不等式f(x)>x，∴>1，即g(x)>g(1)，∴有x>1；当x<0时，∵不等式f(x)>x，∴<1，即g(x)<g(－1)，∴有－1<x<0；当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)>x不成立，综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．17.【答案】D【解析】设g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝x[f′(x)＋]，∵x≠0时，f′(x)＋>0，∴x>0时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，c＝(ln)f(ln)＝(－ln 2)f(－ln 2)＝(ln 2)f(ln 2)，a＝f(1)＝1f(1)，∵ln 2<1<2，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(ln 2)<g(1)<g(2)，即(ln 2)f(ln 2)<1f(1)<2f(2)，∴c<a<b.18.【答案】A【解析】因为x∈(0，)，所以sin x>0，cos x>0，由f(x)<f′(x)tan x，得f(x)cos x<f′(x)sin x，即f′(x)sin x－f(x)cos x>0.令g(x)＝，x∈(0，)，则g′(x)＝>0，所以函数g(x)在x∈(0，)上为增函数，则g()<g()<g(1)<g()，即<<<.所以2f()<f()<<f()，所以f()<f()，f()<f()，f()<f()，f(1)>2f()·sin 1，故A正确，B、C、D错误．19.【答案】D【解析】因为当x>0时，有<0恒成立，即[]′<0恒成立，所以在(0，＋∞)内单调递减．因为f(1)＝0，所以在(0,1)内恒有f(x)>0；在(1，＋∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(－∞，－1)内恒有f(x)>0；在(－1,0)内恒有f(x)<0.不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．20.【答案】B【解析】∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝，又∵f′(x)<f(x)，∴f′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴y＝g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)<e x，∴g(x)<1，又∵g(0)＝＝1，∴g(x)<g(0)，∴x>0.21.【答案】C【解析】令g(x)＝f(x)－x2－2 009，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，∴函数g(x)在R上单调递减，而f(－2)＝2 013，∴g(－2)＝f(－2)－(－2)2－2 009＝0.∴不等式f(x)>x2＋2 009，可化为g(x)>g(－2)，∴x<－2，即不等式f(x)>x2＋2 009的解集为(－∞，－2)．22.【答案】D【解析】∵f(x)＝axg(x)，∴＝ax，∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，∴[]′＝<0，即函数＝ax单调递减，即0<a<1.又＋＝，则＋a＝，解得a＝或a＝3(舍去)．即＝()x，∴＝()2＝.23.【答案】B【解析】设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，由>－x得＋x>0，则>0，则当∈(0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上递减，则g(3)>g(4)，即3f(3)>4f(4)．24.【答案】D【解析】令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)＋>0，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增．∵函数f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，又c＝ln 2f(ln 2)，∵2>ln 2>，∴g(2)>g(ln 2)>g()，即b>c>a.25.【答案】C【解析】由①得＝，∴[]′＝，由②g(x)≠0，③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)，得f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)<0，可知[]′＝<0，即函数在R上单调递减，即a>1.若＋＝，则＋＝＋a＝，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝，∵a>1，∴a＝2.26.【答案】D【解析】记g(x)＝f(x)－3x，∵对任意实数x都有f′(x)<3，∴g′(x)＝f′(x)－3<0，∴g(x)是定义在R上的单调递减函数．∵f(1)＝5，∴g(1)＝f(1)－3＝5－3＝2.∵f(x)<3x＋2，∴f(x)－3x<2，∴g(x)<g(1)．∵g(x)是定义在R上的单调递减函数，∴x>1.27.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】[]′＝>0，即x>0时，是增函数，当x>1时>f(1)＝0，f(x)>0；0<x<1时，<f(1)＝0，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以－1<x<0时，f(x)＝－f(－x)>0；x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．28.【答案】c<a<b【解析】设函数h(x)＝xf(x)，由函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝x是奇函数，得h(x)＝xf(x)是R上的奇函数，由x∈(－∞，0)时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0成立，∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，∵3>20.1>1,0<ln 2<1，|＝3>20.1>ln 2，|log即h(3)<h(20.1)<h(ln 2)．又a＝20.1·f(20.1)，b＝ln(2)·f(ln 2)，)·f(log2)，c＝(log∴c<a<b.29.【答案】≤【解析】令F(x)＝，F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，∵xf′(x)－f(x)≥0，∴F′(x)≥0，即F(x)是(0，＋∞)上的增函数，即当m≥n>0时，F(m)≥F(n)，∴≤，从而mf(n)≤nf(m)．30.【答案】(－1，＋∞)【解析】设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0，又对任意x∈R，f′(x)>3，∴F′(x)＝f′(x)－3>0，∴F(x)在R上是增函数，∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．31.【答案】(0,10)【解析】∵f′(x)<，∴f′(x)－<0，∴f(x)－在R上为减函数．设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数，∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0，由f(lg x)－>0，得F(lg x)>F(1)，∵F(x)在R上单调递减，∴lg x<1，∴0<x<10，∴原不等式的解集为(0,10)．32.【答案】(－2 018，－2 015)【解析】根据题意，令g(x)＝x3f(x)，其导函数为g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，∵x∈(－∞，0)时，3f(x)＋xf′(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，又不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0可化为(x＋2 015)3f(x＋2 015)>(－3)3f(－3)，即g(x＋2 015)>g(－3)，∴0>x＋2 015>－3，解得－2 015>x>－2 018，∴该不等式的解集为(－2 018，－2 015)．33.【答案】(0，＋∞)【解析】设F(x)＝，∵f′(x)>f(x)对于x∈R恒成立，∴F′(x)＝>0，∴F(x)在R上递增，则不等式f(x)>f(0)e x，等价为>f(0)＝，即F(x)>F(0)，∵F(x)在R上递增，∴x>0，即不等式的解集为(0，＋∞)．34.【答案】(－π，－)∪(0，)【解析】设g(x)＝f(x)cos x，∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，故g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝－f(x)cos x＝－g(x)，∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数．g′(x)＝f′(x)cos x－sin xf(x)>0，∴g(x)在(0，π)上递增，于是奇函数g(x)在(－π，0)上递增．∵g(±)＝0，∴f(x)cos x<0的解集为(－π，－)∪(0，)．35.【答案】②③④【解析】构造函数F(x)＝，x∈[0，)，则F′(x)＝>0，∴函数F(x)在x∈[0，)上单调递增，∴F()>F()，即2f()>f()，可得f()>f()，①错误；同理可得F()<F()，即f()<f()，可得f()<f()，②正确；同理F(0)<F()，即f(0)<f()，③正确；同理F()<F()，即f()<2f()，可得f()<f()，④正确．。

导数中的函数构造问题

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数中的函数构造问题一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－1,0)∪(0,1)解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。

导数中构造函数的常见题型与方法归纳

导数中构造函数的常见题型与方法归纳高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法．题型一f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型【例1】设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】令g(x)＝f(x)x，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由题意知，当x>0时，g′(x)<0 ，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝f(1)1＝0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【例2】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．【解析】借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由分析知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(0,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【小结】(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)x(x≠0)．题型二xf′(x)±nf(x)型【例3】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)<x【解析】法一：令g(x)＝x2f(x)－14x4，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－x3＝x[2f(x)＋xf′(x)－x2]，当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.综上可知，f(x)>0.法二：∵2f(x)＋xf′(x)>x2，∴令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D，不妨令f(x)＝x2＋0.1，则已知条件2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x 不一定成立，故C也是错误的，故选A.【例4】已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是()A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)【解析】∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，∴xf′(x)＋2f(x)>0.∵g(x)＝x2f(x)，∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0.∵g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )在(－∞，0)递减．若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)，解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)．【小结】(1)对于xf ′(x )＋nf (x )>0型，构造F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝x n －1[xf ′(x )＋nf (x )](注意对x n －1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )＋f (x )>0，构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0；(2)对于xf ′(x )－nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1(注意对x n ＋1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )－f (x )>0，构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0. 题型三 λf (x )±f ′(x )(λ为常数)型【例5】已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)C ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)D ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)【解析】构造函数h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (－2 019)>h (0)，即f (－2 019)e－2 019>f (0)e 0⇒e 2 019f (－2019)>f(0)；同理，h(2 019)<h(0)，即f(2 019)<e2 019·f(0)，故选D.【小结】(1)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝e x f(x)；(2)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x) e x.。

一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)(解析版)高考数学高分必刷必过题

专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）构造函数法解决导数不等式问题①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x=(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数①构造()()n F x x f x =或()()nf x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0xf x f x '+>，且(2)3f =，则()e e 6xxf >的解集为（）A ．(ln 2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A令()()F x xf x =，可得()()()0F x xf x f x ''=+>，所以()F x 在R 上是增函数，可得(e )e (e )x x x F f =，(2)3f =，(2)2(2)6F f ==，由(e )6ex x f >，可得(e )(2)xF F >，可得：e 2x >，所以ln 2x >，所以不等式的解集为：(ln 2,)+∞，故选：A ．2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A 令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增，由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞．故选：A ．3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知()'f x 是偶函数()()R f x x ∈的导函数，(1)1f =．若0x >时，3()()0f x xf x '+>，则使得不等式3(2022)(2022)1x f x -->成立的x 的取值范围是（）A ．(2021,)+∞B ．(,2021)-∞C ．(2023,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】C构造函数()()3g x x f x =，其中R x ∈，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x '''=+=>⎡⎤⎣⎦+，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 设()()2f xg x x=，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()()3,00,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()()3,03,-⋃+∞【答案】C设()()g x xf x =，则()g x 的定义域为R而()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，且()()()g x f x xf x ''=+，当0x <时，因为()()0f x xf x '+<，故()0g x ¢<，故()g x 在(),0-∞上为减函数，故()g x 为()0,+∞上的减函数，而()30f -=，故()30g -=，所以()30g =又()0xf x >即为()0g x >，故()00x g x <⎧⎪⎨>⎪⎩或()00x g x >⎧⎪⎨>⎪⎩，故()()03x g x g <⎧⎪⎨>-⎪⎩或()()03x g x g >⎧⎪⎨>⎪⎩，故3x <-或03x <<，故选：C.6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '-<恒成立，则()0f x x>的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()()2,00,2-D ．()(),20,2-∞- 【答案】C 设函数()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x'-'=，由题知，当0x >时，()0g x ¢<，∴()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数，∴()g x 的单调递增区间为(),0-∞，∵()20f =，∴()(2)202f g ==，()20g -=∴当2x <-或2x >时，()0g x <，当20x -<<或02x <<时，()0g x >，∴()()0f x g x x=>的解集为()()2,00,2- .故选：C.7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，设1a >，则()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+⎪+⎝⎭的大小关系为（）A ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭B ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭C ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭D ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭【答案】B解：∵当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，∴()()xf x f x '<，∴()()0xf x f x '-<，令()()f x g x x =，∴()()()2xf x f x g x x'-'=，∴()0g x '<，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，在()0,∞+上单调递减．∵比较()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小，∴()()41411af a ag a a +=++，((4ag =，()441411a a a f ag a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1a >，∴)2110a +->，∴1a +>4411a aa a <++.∴411a a a +>>+，∴()(411a g a g g a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，∴()(441441a ag a ag ag a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，即()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭．故选：B ．9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（）A ．2(e)(2)4ef f >B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f ->【答案】D令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xfx x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确.故选：D.②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知()()f x f x '<，且()12e f =，则满足不等式()2e af a <的实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C设()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为()()f x f x '<，e 0x >，所以()0g x '<，()g x 是减函数，(1)2e (1)2e ef g ===，不等式()2e af a <化为()2e af a <，即()(1)g a g <，所以1a >．故选：C ．2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '->，则下列大小关系正确的是（）A ．()()2312e 1e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()231e 12e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()231e 1e 22f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3212e e 12f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A 构造函数()()2e x f x g x =，其中R x ∈，则()()()220e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，所以，()()1122g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()241122e e ef f f ⎛⎫⎪⎝⎭<<，因此，()()321e e 122ff f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x '->，()11f =，则不等式()1e xf x ->的解集为______．【答案】()1,+∞设()()xf xg x =e，()()()()()()20x xxx f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以函数()g x 单调递增，且()()111e ef g ==，不等式()()()()11>e 1e e x x f x f x g x g -⇔>⇔>，所以1x >.故答案为：()1,+∞.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()f x f x '<，且()3f x +为偶函数，()61f =，则不等式()e xf x >的解集为______．【答案】(),0-∞设()()exf xg x =，则()()()exf x f xg x '-'=，又()()f x f x '<，所以()0g x ¢<，即()g x 在R 上是减函数，因为()3f x +为偶函数，所以()3f x +图象关于y 轴对称，而()3f x +向右平移3个单位可得()f x ，所以()f x 对称轴为3x =，则()()061f f ==，所以()()0001e f g ==，不等式()e xf x >等价于()()()10e xf xg x g =>=，故0x <，所以不等式()e xf x >的解集为(),0-∞.故答案为：(),0-∞5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()3f x f x '+<，()03f =，则()3f x >的解集为___________.【答案】(),0∞-因为()()3f x f x '+<，所以()()3x xe f x f x e '+<⎡⎤⎣⎦，令()()3x F x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()3x x F x e f x e f x ''=-+⎡⎤⎣⎦，()()30x e f x f x '=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 是减函数，又()()00030F e f =-=⎡⎤⎣⎦，()3f x >即()30f x ->，()30x e f x ->⎡⎤⎣⎦，所以()()0F x F >，所以0x <，则()3f x >的解集为(),0∞-故答案为：(),0∞-6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________．【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x xe f x e f x F f x f x e x e ''-=-='，函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()x f x e >⇔3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，()()sin cos f x x f x x '<恒成立，则（）A3546f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3546f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B因为任意()()()0,,sin cos x f x x f x x <'∈π恒成立，即任意()()()0,,sin cos 0x f x x f x x '∈-<π恒成立，所以()()()()2sin cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，()0,x π∈所以()sin f x x在()0,π上单调递减，因为56π34>π，所以536453sin sin 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ，即536412f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ππ5364f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故选：B2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数()f x 的定义域是()0,π，其导函数是()f x '，若()()sin cos f x x f x x <-'，则关于x()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭()()sin cos f x x f x x <-'变形为()()sin cos 0f x x f x x +<'，()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭变形为()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故可令g (x )＝f (x )sin x ，()0,πx ∈，则()()()sin cos 0g x f x x f x x =+''<，∴g (x )在()0,π单调递减，不等式()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭即为g (x )＜g (π4)，则π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.【答案】,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭解：()()cos sin f x x f x x'< ()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=，则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭，26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ- 上，其导函数为()'f x ，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为．【答案】(,0)(,)66πππ- 设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的偶函数，∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴(2(02sin 2f g πππ==，∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ- .④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()y f x =，对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．43f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B 构造函数()()cos f x g x x =，其中,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()()cos cos f x f x g x g x x x --==-=--，所以，函数()()cos f x g x x=为奇函数，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x'+'=>，所以，函数()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，故该函数在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上也为增函数，由题意可知，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上连续，故函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数.对于A 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<，则63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错；对于B 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭>，则63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，43g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭>，则43f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，64g g ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎝⎝⎭⎭64f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪<64ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：B.2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若π6a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，1π23b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，23π24c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以设()()cos F x f x x =⋅，则()()()cos sin 0F x f x x f x x ''=⋅->，所以()()cos F x f x x =⋅在()0,π上为增函数，又因为ππ266a f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1ππ233b f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π3π244c f F ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，ππ3π634<<，所以ππ3π634F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c <<故选：C3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数()f x '是定义在()0π，上的函数()f x的导函数，有()cos ()sin 0f x x f x x '->，若1023a b f π⎛⎫==⎪⎝⎭，，34c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C解：设()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，又因为()cos ()sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)π上单调递增，又0cos(22a f ππ==，1(cos (2333b f f πππ==，333()cos ()2444c f f πππ==，因为3324πππ<<，所以33cos()cos ()cos (332244f f f ππππππ<<，所以c a b >>.故选：C ．4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x '是它的导函数，且()()tan x f x f x '⋅>在定义域内恒成立，则（）A ．43f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()cos116f f π⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭D 46ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】D因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos 0x x >>，，由()()tan x f x f x '⋅>可得()cos ()sin f x x f x x '<，即()cos ()sin 0f x x f x x '-<，令()cos (),0,2g x x f x x π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=-<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，则(1)643g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则cos cos cos(1)(1)cos 664433f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos(1)(1)643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为,22ππ⎛⎫- ⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B∵()()0f x f x +-=且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 是奇函数，设()()cos f x g x x =，则02x π≤<时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<，∴()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭是减函数．又()f x 是奇函数，∴()()cos f x g x x =也是奇函数，因此()g x 在(,0]2π-是递减，从而()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎝⎭上是减函数，不等式()cos 4f x f x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴42x ππ<<．故选：B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '>所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()260f x f x -'-<，且()21e 3=-f ，则满足不等式()2e 3>-x f x 的x 的取值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 构造函数()()23e x f x F x +=，则()()()226e xf x f x F x '--'=，因为()()260f x f x -'-<，所以()0F x '<，所以()()23exf x F x +=单调递减，又()21e 3=-f ，所以()()21311e f F +==，不等式()2e 3>-xf x 变形为()231e xf x +>，即()()1F x F >，由函数单调性可得：1x >故选：D2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=，若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，又()0(1)211e f g -==，故1()21e x f x -->即()()1g x g >，故不等式的解集是(1,)+∞，故选：B ．3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2122f x f x x -->--的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,-+∞【答案】D设()()2g x f x x =+，则()()2g x f x ''=+.因为定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，所以()()20g x f x ''=+>，所以函数()g x 在R 上单调递增.又不等式()()2122f x f x x -->--可化为()()()24121f x x f x x +>-+-，即()()21g x g x >-，所以21x x >-，解得1x >-.所以不等式()()2122f x f x x -->--的解集为()1,-+∞.故选：D.4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知R 上的函数()f x 满足()13f =，且()2f x '<，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(,1)-∞B ．()3,+∞C ．()1,+∞D ．(2,)+∞【答案】C解：令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又()f x 的导数()'f x 在R 上恒有()2f x '<，()()20F x f x ''∴=-<恒成立，()()21F x f x x ∴=--是R 上的减函数，又()()11210F f =--= ，∴当1x >时，()()10F x F <=，即()210f x x --<，即不等式()21f x x <+的解集为(1,)+∞；故选：C ．5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 是函数()f x 的导函数，()(ln )()0f x x x f x '+>，则下列不等关系正确的是（）A ．2(3)log 3(2)f f >B ．()ln 033f ππ<C ．(3)2(9)f f >D ．21(0e )f <【答案】A函数()f x 的定义域为()0,∞+，则1()(ln )()0()()ln 0f x x x f x f x f x x x''+>⇔+>，令()()ln g x f x x =，0x >，则1()()()ln 0g x f x f x x x'=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，(3)(2)g g >，即2(3)ln 3(2)ln 2(3)log 3(2)f f f f >⇔>，A 正确；对于B ，((1)3g g π>，即(3)ln (1)ln103f f π>=，B 不正确；对于C ，(3)(9)g g <，即(3)ln 3(9)ln 92(9)ln 3(3)2(9)f f f f f <=⇔<，C 不正确；对于D ，21()(1)e g g <，即2211()ln (1)ln10e e f f <=，有22112()0()0e e f f -<⇔>，D 不正确.故选：A6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数()2224ln f x x x x ax =++-，若当0m n >>时，()()n f m f m n ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,9B ．(],9-∞C ．(],8∞-D ．[)8,+∞【答案】B()()n f m f m n ->-，即()()f m m f n n ->-，令224l (n )()x x x ax g x f x x -+==+-，由题意得()g x 在(0,)+∞上单调递增，即4()410g x x a x '=++-≥，即441a x x≤++在(0,)+∞上恒成立由基本不等式得44119x x++≥+=，当且仅当44x x =即1x =时等号成立，则9a ≤故选：B7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知()()21lg 20221lg 20222n n -+>，求满足条件的最小正整数n的值为___________.【答案】3解：由()()21lg 20221lg 20222n n -+>，两边取对数得()()()21ln 1lg 2022lg 2022lg 2n n -⋅+>⋅，因为n 是正整数，所以()()()ln lg 20221ln 211lg 202221n n +-+>-，令()()()ln 11x f x x x +=>，则()()()2ln 111xx x f x x x -++'=>，令()()ln 11x h x x x =-++，则()()201x h x x -'=<+，所以()h x 在()1,+∞上递减，则()()11ln 202h x h <=-=<，即()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上递减，所以lg 202221n <-，解得()11lg 20222n >+，因为3lg 20224<<，所以最小正整数n 的值为3.故答案为：38．（2022·浙江·高二期中）已知定义在R 上的可导函数()f x 是奇函数，其导函数为()'f x ，当0x <时，(1)()()0x f x xf x '-+>，则不等式()0f x <的解集为_______________．【答案】(0,)+∞()2e e(1)()()()()()e e e e x xx x x x x x x x f x xf x f x f x f x '--+⎡⎤=+'='⎢⎥⎣⎦，因为(1)()()0x f x xf x '-+>，所以()0e x xf x '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即函数()e x x y f x =在(,0)-∞时单调递增的．因为()f x 的定义域是R ，且e x x在R 上都有意义，所以()e xx y f x =的定义域也是R ，所以在(,0)-∞时00()(0)0e ex x f x f <=，而e xx在(,0)-∞小于0恒成立，即在(,0)-∞时()0f x >．因为()f x 是奇函数，所以在(0,)+∞时()0f x <恒成立．所以()0f x <的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 为偶函数，且满足()21f =，若当0x ≥时，()f x x '>，则不等式()2112f x x <-的解集为___________.【答案】(2,2)-设21()()2g x f x x =-，则()()0g x f x x ''=->，0x ≥时，()g x 是增函数，又()f x 是偶函数，所以2211()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x 是偶函数，21(2)(2)212g f =-⨯=-,不等式()2112f x x <-即为()(2)g x g <，由()g x 是偶函数，得()(2)g x g <，又0x ≥时，()g x 递增，所以2x <，22x -<<．故答案为：(2,2)-．10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()21f =，且()f x 的导函数()f x '满足：()1f x x '>-，则不等式()2112f x x x <-+的解集为___________.【答案】(),2∞-因为()1f x x '>-，所以()10f x x '-+>构造()()212F x f x x x =-+，则()()10F x f x x ''=-+>，即()()212F x f x x x =-+在R 上单调递增，因为()21f =，所以()()22221F f =-+=()2112f x x x <-+变形为()2112f x x x -+<，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知：2x <.故答案为：(),2∞-。

导数构造函数解决问题类型总结(解析版)

导数构造函数解决问题类型总结一、重点题型目录【题型一】构造函数x n f (x )型【题型二】构造函数e nx f (x )型【题型三】构造函数f (x )x n 型【题型四】构造函数f (x )e nx型【题型五】构造函数sin x 与函数f (x )型【题型六】构造函数cos x 与函数f (x )型【题型七】构造e n 与af (x )+bf (x )型【题型八】构造kx +b 与f (x )型【题型九】构造ln kx +b 型【题型十】构造综合型二、题型讲解总结【题型】一、构造函数x n f (x )型例1.(2022·四川·盐亭中学模拟预测(文))已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足2xf x +x 2f x <0，f 2 =34，则关于x 的不等式f x >3x 2的解集为( )A.0,4B.2,+∞C.4,+∞D.0,2 【答案】D【分析】构造函数h x =x 2f x ，得到函数h x 的单调性，根据单调性解不等式即可.【详解】令h x =x 2f x ，则h x =2xf x +x 2f x <0，所以h x 在0,+∞ 单调递减，不等式f x >3x 2可以转化为x 2f x >4×34=22f 2 ，即h x >h 2 ，所以0<x <2.故选：D .例2.(2022·河北·高三阶段练习)已知奇函数f x 的定义域为R ，导函数为f x ，若对任意x ∈0,+∞ ，都有3f x +xf x >0恒成立，f 2 =2，则不等式x -1 3f x -1 <16的解集是__________.【答案】-1,3【分析】构造新函数g x =x 3f x ，根据f (x )的性质推出g (x )的性质，最后利用g (x )单调性解不等式.【详解】设g x =x 3f x ，x ∈R ，f x 为奇函数，∴g -x =-x 3f (-x )=x 3f (x )=g x ，即g x 是偶函数，有g (x )=g (-x )=g x ，∵∀x ∈0,+∞ ，3f x +xf x >0恒成立，故x ∈0,+∞ 时，g x =3x 2f x +x 3f x =x 23f x +xf x ≥0，∴函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∵f 2 =2，∴g 2 =g -2 =16，x -1 3f x -1 <16等价于g x -1 <16=g (2)，g (x -1)=g x -1 <g (2)，且函数g x 在0,+∞ 上为增函数，∴x -1 <2，解得-1<x <3.故答案为：-1,3【题型】二、构造函数e nx f (x )型例3.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R ，其函数图象连续不断，当x >0时，x +2 f x +xf x >0，则( )A.f 1 4e >f 2 B.f 2 <0 C.f -3 ⋅f 1 >0 D.f -1 e>4f -2 【答案】D【解析】令g x =x 2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞ 上单调递增，由g 2 >g 1 >g 0 =0可知AB 错误，同时得到f 1 e<4f 2 ，f 1 >0，f 3 >0，结合奇偶性知C 错误，D 正确.【详解】对于AB ，令g x =x 2e x f x ，则g 0 =0，g x =x x +2 e x f x +x 2e x f x ，当x ≥0时，g x =xe x x +2 ⋅f x +xf x ≥0，∴g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g 0 <g 1 <g 2 ，即0<ef 1 <4e 2f 2 ，∴f 2 >0，f 1 4e <f 2 ，AB 错误；对于C ，由A 的推理过程知：当x >0时，g x =x 2e x f x >0，则当x >0时，f x >0，∴f 1 >0，f 3 >0，又f x 为奇函数，∴f -3 =-f 3 <0，∴f -3 ⋅f 1 <0，C 错误．对于D ，由A 的推理过程知：f 1 e <4f 2 ，又f -1 =-f 1 ，f -2 =-f 2 ，∴-f -1 e <-4f -2 ，则f -1 e>4f -2 ，D 正确．故选：D .例4.(2022·江苏·南师大二附中高二期末)已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为f x ，且对于任意的x ∈R ，均有f x +f x >0，则( )A.e -2021f (-2021)>f (0)，e 2021f (2021)<f (0)B.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e-2021f(-2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0)D.e-2021f(-2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)【答案】D【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数F x =e x⋅f x ,F x =f x +f x⋅e x>0，所以F x 在R上递增，所以F-2021<F0 ,F0 <F2021，即e-2021⋅f-2021<f0 ,f0 <e2021⋅f2021.故选：D例5.(2022·辽宁·大连二十四中模拟预测)已知函数y=f x ，若f x >0且f x +xf x >0，则有( )A.f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B.f-1>f1C.π4<x<π2时，f(sin x)<e cos2x2f(cos x)D.f(0)<e f(1)【答案】D【解析】根据奇函数的定义结合f x >0即可判断A；令g x =e x22f x ，利用导数结合已知判断函数g x 的单调性，再根据函数g x 的单调性逐一判断BCD即可得解.【详解】解：若f x 是奇函数，则f-x=-f x ，又因为f x >0，与f-x=-f x 矛盾，所有函数y=f x 不可能时奇函数，故A错误；令g x =e x22f x ，则g x =xe x22f x +e x22f x =e x22xf x +f x，因为e x22>0，f x +xf x >0，所以g x >0，所以函数g x 为增函数，所以g-1<g1 ，即e 12f-1<e12f1 ，所以f-1<f1 ，故B错误；因为π4<x<π2，所以0<cos x<22，22<sin x<1，所以sin x>cos x，故g sin x>g cos x，即e sin2x2f sin x>e cos2x2f cos x，所以f sin x>e cos2x-sin2x2f cos x=e cos2x2f cos x，故C错误；有g0 <g1 ，即f0 <e f1 ，故D正确.故选：D.例6.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习)f x 是定义在R上的函数，满足2f x +f x =xe x，f-1=-12e，则下列说法错误的是( )A.f x 在R上有极大值B.f x 在R上有极小值C.f x 在R上既有极大值又有极小值D.f x 在R上没有极值【答案】ABC【分析】先由题意得f -1=0，再构造g x =e2x f x ，得到g x =xe3x，进而再构造h x =e2x f x =xe3x-2g x ，判断出h x >0，即f x >0，由此得到选项.【详解】根据题意，2f x +f x =xe x，故2f-1+f -1=-e-1，又f-1=-12e，得2-12e+f -1 =-1e，故f -1 =0，令g x =e2x f x ，则g x =2e2x f x +e2x f x =e2x2f x +f x=e2x⋅xe x=xe3x，又2e2x f x +e2x f x =xe3x，记h x =e2x f x =xe3x-2e2x f x =xe3x-2g x ，所以h x =e3x+3xe3x-2g x =e3x+3xe3x-2xe3x=e3x x+1，当x<-1时，h x <0，h x 单调递减；当x>-1时，h x >0，h x 单调递增，所以h x >h-1=e-2f -1=0，即e2x f x >0，即f x >0，所以f x 在R上单调递增，故f x 在R上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：ABC【题型】三、构造函数f(x)x n型例7.(2022·山东·潍坊一中高三期中)设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x> 0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】根据题意构造函数g(x)=f(x)x，由求导公式和法则求出g (x)，结合条件判断出g (x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)奇函数判断出g(x)是偶函数，由f(-1)=0求出g(-1)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性，再转化f(x)>0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．【详解】由题意设g(x)=f(x)x，则g (x)=xf (x)-f(x)x2∵当x>0时，有xf (x)-f(x)>0，∴当x>0时，g (x)>0，∴函数g(x)=f(x)x在(0,+∞)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(-x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(-∞,0)上递减，由f(-1)=0得，g(-1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x∙g(x)>0，∴x>0g(x)>g(1)或x<0g(x)<g(-1)，即有x>1或-1<x<0，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(-1，0)∪(1，+∞)，故选：D例8.(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知a=ln24，b=1e2，c=lnπ2π则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<ae，因此f x =ln xx2在e,+∞上单调递减，又因为a=ln24=ln416=f4 ，b=1e2=ln ee2=f e ，c=lnπ2π=lnππ=fπ，因为4>e>π>e，所以a<b<c.故选：C.【题型】四、构造函数f(x)e nx型例9.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x <0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g (x )=f (x )-f (x )ex ，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e 2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D例10.(2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习)f x 是定义在R 上的函数，f x 是f x 的导函数，已知f x >f x ，且f (1)=e ，则不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为( )A.-∞,-3B.-∞,-2C.2,+∞D.3,+∞【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.【详解】由f x >f x ，得f x -f x >0,设g x =f x e x ，则g x =f x -f x e x>0，所以函数g x 在-∞,+∞ 上单调递增，因为f 1 =e ，所以g 1 =f 1 e 1=1，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0等价于f 2x -5 e 2x -5>1即g 2x -5 >g 1 ，所以2x -5>1，解得x >3，所以不等式f 2x -5 -e 2x -5>0的解集为3,+∞ .故选:D .例11.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(理))设f x 是函数f x 的导函数，且f x >3f x x ∈R ，f 13=e (e 为自然对数的底数)，则不等式f ln x <x 3的解集为( )A.0,e 3 B.1e ,e 3 C.0,3e D.e 3,3e【答案】C【分析】构造函数g x =f x e 3x ，由已知可得函数g x 在R 上为增函数，不等式f ln x <x 3即为g ln x <g 13，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令g x =f xe3x，则gx =f x -3f xe3x，因为f x >3f x x∈R，所以g x =f x -3f xe3x>0，所以函数g x 在R上为增函数，不等式f ln x<x3即不等式f ln xx3<1 x>0，又g ln x=f ln xe3ln x=f ln xx3，g13 =f13e=1，所以不等式f ln x<x3即为g ln x<g 13 ，即ln x<13，解得0<x<3e，所以不等式f ln x<x3的解集为0,3e.故选：C.例12.(2022·河北廊坊·高三开学考试)已知定义域为R的函数f x 的导函数为f x ，且f x -f x = 2xe x，f0 =0，则以下错误的有( )A.f x 有唯一的极值点B.f x 在-3,0上单调递增C.当关于x的方程f x =m有三个实数根时，实数m的取值范围为0,4e-1D.f x 的最小值为0【答案】ABC【分析】构造g(x)=f(x)e x，结合已知求g(x)的解析式，进而可得f(x)=x2e x，再利用导数研究f(x)的极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.【详解】令g(x)=f(x)e x，则g(x)=f (x)-f(x)e x=2x，故g(x)=x2+C，(C为常数)，所以f(x)=e x(x2+C)，而f0 =e00+C=0，故C=0，所以f(x)=x2e x，则f (x)=(x2+2x)e x，令f (x)=0，可得x=-2或x=0，在(-∞,-2)、(0,+∞)上f (x)>0，f(x)递增；在(-2,0)上f (x)<0，f(x)递减；所以f(x)有2个极值点，在-3,0上不单调，A、B错误；由x趋于负无穷时f(x)趋向于0，f(-2)=4e2，f(0)=0，x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷，所以f x =m有三个实数根时m的范围为0,4e-2，f x 的最小值为0，C错误，D正确；故选：ABC【题型】五、构造函数sin x 与函数f (x )型例13.(2022·云南师大附中高三阶段练习)已知a =sin111,b =331,c =ln1.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 【答案】B【分析】根据结构构造函数f (x )=x -sin x ,x ∈0,π2 ，利用导数判断单调性，即可得到a f (0)=0，即111>sin 111，又331>111，故a <b ．构造函数g (x )=ln x +1-x ，则g (x )=1x-1，易知函数y =g (x )在x =1处取得最大值g (1)=0，故g 1011 <0，即ln 1011+1-1011<0，即111<-ln 1011=ln 1110=ln1.1，由前面知sin 111<111，故a <c ．构造函数h (x )=ln (x +1)-3x 3+x ，则h (x )=1x +1-9(3+x )2=(3+x )2-9(x +1)(x +1)(3+x )2=x (x -3)(x +1)(3+x )2，故知函数y =h (x )在(0,3)上单调递减，故h (0.1)<h (0)=0，即ln1.1<0.33.1=331，故c 0，则不等式f x +π2 cos 3x -14>0的解集为( )A.-π3,+∞ B.-2π3,+∞ C.-2π3,π3 D.π3,+∞ 【答案】B 【分析】令g x =f x sin 3x -14，结合题设条件可得g x 为R 上的增函数，而原不等式即为g x +π2>0，从而可求原不等式的解集.【详解】f x +π2 cos 3x -14>0可化为f x +π2 sin 3x +π2 -14>0，令g x =f x sin 3x -14，则g x =f x sin 3x +3f x sin 2x cos x =sin 2x f (x )sin x +3f x cos x ，因为3f (x )cos x +f (x )sin x >0，故g x ≥0(不恒为零)，故g x 为R 上的增函数，故f x +π2 cos 3x -14>0即为g x +π2>0，而g -π6 =f -π6 sin 3-π6 -14=f π6 sin 3-π6 -14=0，故g x +π2 >0的解为x +π2>-π6，故x >-2π3即f x +π2 cos 3x -14>0的解为-2π3,+∞ .故选：B .【题型】六、构造函数cos x 与函数f (x )型例15.已知函数f x 的定义域为-π2,π2，其导函数是f (x ).有f (x )cos x +f (x )sin x <0，则关于x 的不等式3f (x )<2f π6cos x 的解集为()A.π3,π2 B.π6,π2 C.-π6,-π3 D.-π2,-π6【答案】B【分析】令F x =f x cos x ，根据题设条件，求得F 'x <0，得到函数F x =f x cos x 在-π2,π2内的单调递减函数，再把不等式化为f x cos x <f π6 cos π6，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数f x 满足f 'x cos x +f x sin x <0，令F x =f x cos x ，则F 'x =f 'x cos x +f x sin x cos 2x<0函数F x =f x cos x 是定义域-π2,π2内的单调递减函数，由于cos x >0，关于x 的不等式3f (x )<2f π6 cos x 可化为f x cos x <f π6 cos π6，即F x <F π6 ，所以-π2<x <π2且x >π6，解得π2>x >π6，不等式3f (x )<2f π6 cos x 的解集为π6,π2 .故选：B 例16.(2021·重庆·高二期末)已知f x 的定义域为(0,+∞)且满足f x >0，f x 为f x 的导函数，f x -f x =e x (x +cos x )，则下列结论正确的是( )A.f x 有极大值无极小值B.f x 无极值C.f x 既有极大值也有极小值D.f x 有极小值无极大值【答案】B【解析】令F x =f xe x，根据题意得到Fx =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，利用导数求得g x 在区间(0,+∞)单调递增，得到F x >0，由f x =e x⋅F x ，得到f x >0，即函数f x 为单调递增函数，得到函数无极值.【详解】令F x =f xe x,x>0，可得F x =f x -f xe x，因为f x -f x =e x(x+cos x)，可得F x =x+cos x，设g x =x+cos x,x>0，可得g x =1-sin x≥0，所以g x 在区间(0,+∞)单调递增，又由g0 =1，所以g x >g0 =1，所以F x >0，所以F x 单调递增，因为f x >0且e x>0 ，可得F x >0，因为F x =f xe x，可得f x =ex⋅F x ,x>0，则f x =e x F x +F x>0，所以函数f x 为单调递增函数，所以函数f x 无极值.故选：B.【题型】七、构造e n与af(x)+bf(x)型例17.(2022·陕西·西安中学高二期中)已知定义在R上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x < 0，则( )A.ef2 >f1 ，f2 >ef1B.ef2 >f1 ，f2 <ef1C.ef2 <f1 ，f2 <ef1D.ef2 <f1 ，f2 >ef1【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数g(x)=f(x)e x⇒g (x)=f (x)-f(x)e x，因为f x <fx ，所以g (x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒f(2)e2>f(1)e⇒f(2)>ef(1)，构造函数h(x)=f(x)⋅e x⇒h (x)=e x[f(x)+f (x)]，因为f x <f x <0，所以h (x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1)，故选：D例18.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数f x =ax-e x-k，其中e为自然对数的底数，若k∈-1,e2时，函数f x 有2个零点，则实数a的可能取值为( )A.eB.2eC.e 2D.3e【答案】D【分析】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，结合导数分析函数g (x )的单调性与极值情况即可解决问题．【详解】由题意可知方程ax -e x =k ,k ∈-1,e 2 有两个实数根，令g (x )=ax -e x ，则g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，g (x )=a -e x ．(1)若a ≤0,g (x )<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上单调递减，g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 至多只有一个交点，不合题意；(2)若a >0，当x <ln a 时，g (x )>0，当x >ln a 时，g (x )<0，所以g (x )的单调递增区间是(-∞,ln a )，单调递减区间是(ln a ,+∞)，所以当x =ln a 时，g (x )取得极大值，也是最大值，为a ln a -a ．当x →-∞时，g (x )→-∞，当x →+∞时，g (x )→-∞，所以要使g (x )的图象与直线y =k ,k ∈-1,e 2 有两个交点，只需a ln a -a >e 2．a ln a -a =a (ln a -1)，当0<a ≤e 时，a ln a -a ≤0，当a >e 时，a ln a -a >0，所以a ln a -a >e 2,a >e ，设h (a )=a ln a -a ,a >e ，则h (a )=ln a >0，所以h (a )在(e ,+∞)上单调递增，而h e 2 =e 2，所以a ln a -a >e 2的解为a >e 2，而3e >e 2，故选：D ．例19.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的偶函数y =f (x )的导函数为y =f (x )，当x >0时，f (x )+f (x )x <0，且f (2)=-3，则不等式f (2x -1)<-62x -1的解集为( )A.-∞,12 ∪32,+∞ B.32,+∞C.12,32D.-12,12 ∪12,32【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数F x =xf x ，结合y =f (x )在在R 上为偶函数，得到F x =xf x 在R 上单调递减，其中F 2 =2f 2 =-6，分x >12与x <12，对f (2x -1)<-62x -1变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当x >0时，f(x )+f (x )x =xf (x )+f (x )x<0，所以当x >0时，xf (x )+f (x )<0，令F x =xf x ，则当x >0时，F x =xf (x )+f (x )<0，故F x =xf x 在x >0时，单调递减，又因为y=f(x)在在R上为偶函数，所以F x =xf x 在R上为奇函数，故F x =xf x 在R上单调递减，因为f(2)=-3，所以F2 =2f2 =-6，当x>12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)<-6，即F2x-1<F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1>2，解得：x>3 2，与x>12取交集，结果为x>32；当x<12时，f(2x-1)<-62x-1可变形为2x-1f(2x-1)>-6，即F2x-1>F2 ，因为F x =xf x 在R上单调递减，所以2x-1<2，解得：x<3 2，与x<12取交集，结果为x<12；综上：不等式f(2x-1)<-62x-1的解集为-∞,12∪32,+∞.故选：A例20.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数f x =x3-x+2+e x-e-x，其中e是自然对数的底数，若f a-2+f a2>4，则实数a的取值范围是( )A.-2,1B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-2∪1,+∞【答案】D【分析】构造函数g(x)=f x -2，利用奇偶性的定义、导数的符号变化判定其奇偶性和单调性，再将f (a-2)+f(a2)>4变为g(a-2)>g(-a2)，利用g(x)的单调性进行求解.【详解】构造函数g(x)=f x -2=x3-x+e x-e-x，因为g(x)的定义域为(-∞,+∞)，且g-x= -x3--x+e-x-e x=-x3+x-e x+e-x=-(x3-x+e x-e-x)=-g(x)，即g(x)是奇函数，又g x =3x2-1+e x+e-x≥3x2-1+2e x⋅e-x=3x2+1>0，所以g(x)在 (-∞,+∞)上单调递增；因为f(a-2)+f(a2)>4，所以f(a-2)-2>-[f(a2)-2]，即g(a-2)>-g(a2)，即g(a-2)>g(-a2)，所以a-2>-a2，即a2+a-2>0，解得a>1或a<-2，即a∈(-∞,-2)∪(1,+∞).故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的性质解决不等式问题时，往往要利用题干中的表达式或不等式的结构特点合理构造函数，如本题中，构造函数g(x)=f x -2，将问题转化为利用函数的奇偶性和单调性求g(a-2)>-g(a2)的解集.【题型】八、构造kx+b与f(x)型例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，若f x < 2，且f4 =5，则不等式f2x>2x+1-3的解集是( )A.0,2B.0,4C.-∞,2D.-∞,4【答案】C【分析】根据所求不等式f2x>2x+1-3的形式，构造函数g x =f x -2x+3，利用题目中的条件判断出g x 在0,+∞上单调递减，进而将所求转化为g2x>g4 ，再利用单调性求出解集．【详解】设g x =f x -2x+3，则g x =f x -2．因为f x <2，所以f x -2<0，即g x <0，所以g x 在0,+∞上单调递减．不等式f2x>2x+1-3等价于不等式f2x-2×2x+3>0，即g2x>0．因为f4 =5，所以g4 =f4 -2×4+3=0，所以g2x>g4 ．因为g x 在0,+∞上单调递减，所以2x<4，解得x<2．故选：C．例22.(2022·河南·襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数f x 的定义域为R，其函数图象连续不断，当x>0时，x+2f x +xf x >0，则( )A.f14e>f2 B.f2 <0 C.f-3⋅f1 >0 D.f-1e>4f-2【答案】D【解析】令g x =x2e x f x ，根据导数可知其在0,+∞上单调递增，由g2 >g1 >g0 =0可知AB错误，同时得到f1e<4f2 ，f1 >0，f3 >0，结合奇偶性知C错误，D正确.【详解】对于AB，令g x =x2e x f x ，则g0 =0，g x =x x+2e xf x +x2e x f x ，当x≥0时，g x =xe x x+2⋅f x +xf x≥0，∴g x 在0,+∞上单调递增，∴g0 <g1 <g2 ，即0<ef1 <4e2f2 ，∴f2 >0，f14e<f2 ，AB错误；对于C，由A的推理过程知：当x>0时，g x =x2e x f x >0，则当x>0时，f x >0，∴f1 >0，f3 >0，又f x 为奇函数，∴f-3=-f3 <0，∴f-3⋅f1 <0，C错误．对于D，由A的推理过程知：f1e<4f2 ，又f-1=-f1 ，f-2=-f2 ，∴-f-1e<-4f-2，则f-1e>4f-2，D正确．故选：D.【题型】九、构造ln kx+b型例23.(2023·全国·高三专题练习)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf x +1>0,f2 =ln 12，则不等式f(e x)+x>0的解集为( )A.(0，2ln2)B.(0,ln2)C.(ln2，1)D.(ln2，+∞)【答案】D【分析】构造新函数g(x)=f(x)+ln x,(x>0)，利用导数说明其单调性，将f(e x)+x>0变形为g(e x) >g(2)，利用函数的单调性即可求解.【详解】令g(x)=f(x)+ln x,(x>0) ，则g (x)=f (x)+1x=xf x +1x，由于xf x +1>0,故g (x)>0,故g(x)在(0，+∞)单调递增，而g(2)=f(2)+ln2=ln 12+ln2=0 ，由f(e x)+x>0，得g(e x)>g(2) ，∴e x>2 ，即x>ln2 ,∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln2，+∞),故选：D．例24.(2022·河南·高三阶段练习(理))设a=cos 12，b=78，c=ln158，则a，b，c之间的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<cb，从而得出答案.【详解】构造函数g x =ln x+1-x，x>-1，则g x =1x+1-1=-xx+1，当-1<x<0时，g x >0，g x 单调递增，当x>0时，g x <0，g x 单调递减，∴g x ≤g 0 =0，∴ln x +1 ≤x (当x =0时等号成立)，∴ln 158=ln 78+1 <78，则c 0，φx 单调递增，∴φx >φ0 =0，∴f x >0，f x 单调递增，从而f x >f 0 =0，∴f 12 >0，即cos 12>1-12⋅122=78，则a >b ．∴c π4，则sin A >22，命题q :∀x >-1，x ≥ln (x +1).下列复合命题正确的是( )A.p ∧q B.(¬p )∧(¬q )C.(¬p )∧qD.p ∧(¬q )【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在△ABC 中，若A =5π6，此时满足A >π4，但sin A =12<22，故命题p 错误；令f x =x -ln x +1 ,x >-1，则f x =1-1x +1=xx +1，当x >0时，f x >0，当-1<x <0时，f x <0，所以f x 在x >0上单调递增，在-1<x <0上单调递减，所以f x 在x =0处取得极小值，也是最小值，f 0 =0-ln 0+1 =0，所以q :∀x >-1，x ≥ln (x +1)成立，为真命题；故p ∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题，(¬p )∧q 为真命题，p ∧(¬q )为假命题.故选：C【题型】十、构造综合型例26.(2022·全国·高三阶段练习(理))下列命题为真命题的个数是( )①log 32>23；②e lnπ<π；③sin 12>2348；④3e ln2<4 2.A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用指数式与对数的互化、对数函数的单调性推得①错误；构造函数f x =ln xx，利用导数研究其单调性和最值，进而判定②④正确；构造函数h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，利用二次求导确定其单调性，利用h 12 >h(0)得到③正确.【详解】对于①：若log32>23，则2>323，即8>9，显然不成立，故①错误；对于②：将e lnπ<π变为lnππ<ln ee，构造f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，则当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以f x =ln xx在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则x=e时，f x 取得最大值1 e，由fπ <f e 得lnππ<ln ee，即e lnπ<π成立，故②正确；对于③：令h(x)=sin x-x+16x3，x∈0,π2，则g x =h x =cos x-1+12x2，t x =g x =-sin x+1，因为t x =g x =-sin x+1>0在0,π2成立，所以g x =h x =cos x-1+12x2在0,π2上单调递增，又g(0)=cos0-1+0=0，所以g x =h x >0在0,π2上成立，即h(x)=sin x-x+16x3在在0,π2上单调递增，所以h 12 >h(0)，即sin12-2348>0，即sin12>2348，故③正确；对于④：将3e ln2<42变为ln2222<ln e e，由②得f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3e ln2<42成立，故④正确；综上所述，真命题的个数为3.故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解决不等式问题时，往往要利用题干中的不等式的结构特点合理构造函数，如本题中证明e lnπ<π、3e ln2<42构造函数f x =ln xx，证明sin12>2348构造h(x)=sin x -x +16x 3，x ∈0,π2，将问题转化为利用导数研究函数的单调性问题.例27.(2022·江苏·南京师大附中高三期中)已知函数f x =ln x -ax 2，则下列结论正确的有( )A.当a <12e 时，y =f x 有2个零点B.当a >12e 时，f x ≤0恒成立C.当a =12时，x =1是y =f x 的极值点D.若x 1,x 2是关于x 的方程f x =0的2个不等实数根，则x 1x 2>e 【答案】BCD【分析】对于A 和B ，由f x =0可得a =ln x x 2，令g x =ln xx 2，利用导数得到g x 的单调性和最值情况即可判断；对于C ，将a =12代入f x ，利用导数得到f x 的单调性即可判断；对于D ，问题转化为2at =ln t 有两个零点，证明t 1t 2>e 2，进而只需要证明ln t 1+ln t 2>2，也即是ln t 1t 2>2t1t 2-1 t 1t 2+1，从而令m =t 1t 2>1，构造函数s m =ln m -2m -1 m +1m >1 求出最值即可【详解】对于A ，令f x =ln x -ax 2=0即a =ln xx 2，令g x =ln x x 2,x >0，则g x =1x⋅x 2-ln x ⋅2x x 2 2=1-2ln x x 3，令g x =0，解得x =e ，故当x ∈0,e ，g x >0，g x 单调递增；当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减；所以g x 的最大值为g e =12e，又因为当x <1时，g x =ln x x 2<0；当x >1时，g x =ln xx 2>0，故g x 如图所示，当0<a <12e时，函数y =a 与g x 有两个交点，此时y =f x 有2个零点，故A 错误；对于B ，由A 选项可得g x =ln x x2≤12e ，当a >12e 时，由a >ln xx 2，可整理得ln x -ax 2<0，即f x <0，故B 正确；对于C ，将a =12代入f x 得f x =ln x -12x 2,x >0，所以f x =1x -x =1-x 2x，令f x =0，解得x =1，故当x ∈0,1 ，f x >0，f x 单调递增；当x ∈1,+∞ ，f x <0，f x 单调递减；所以x=1是y=f x 的极大值点，故C正确；对于D，由f x =ln x-ax2=0即ax=ln x x，因为x1,x2是关于x的方程f x =0的2个不等实数根，所以ax1=ln x1x1ax2=ln x2x2，即2ax21=ln x212ax22=ln x22，所以等价于：2at=ln t有两个零点，证明t1t2>e2，不妨令t1>t2>0，由2at1=ln t12at2=ln t2⇒2a=ln t1-ln t2t1-t2，要证t1t2>e2，只需要证明ln t1+ln t2>2，即只需证明：ln t1+ln t2=2a t1+t2=t1+t2ln t1-ln t2t1-t2>2，只需证明：ln t1-ln t2>2t1-t2t1+t2，即lnt1t2>2t1t2-1t1t2+1，令m=t1t2>1，只需证明：ln m>2m-1m+1m>1，令s m=ln m-2m-1m+1m>1，则s m=m-12m m+12>0，即s m在1,+∞上为增函数，又s1 =0，所以s m>s1 =0．综上所述，原不等式成立，即x1x2>e成立，故D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例28.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习)已知函数f x 的定义域是0,+∞，f x 是f x 的导数，若f x =xf x -x，f 1 =1，则下列结论正确的是( )A.f x 在0,1e上单调递减 B.f x 的最大值为eC.f x 的最小值为-1eD.存在正数x0，使得f x0<ln x0【答案】AC【分析】构造g x =f xx，得到g x =1x，从而得到g x =ln x+c，结合f 1 =1，得到f x =x ln x，求导得到f x =ln x+1，从而得到函数的单调性和极值，最值情况，判断出ABC选项；解不等式x-1ln x<0得到解集为∅，故D错误.【详解】由f x =xf x -x得f x =f xx+1，设g x =f xx，则g x =xf x -f xx2=xf xx+1-f xx2=1x.设c为常数，则ln x+c=1 x，∴g x =ln x+c，∴f x =xg x =x ln x+cx.∵f 1 =1，∴f1 =0，∴c=0，所以f x =x ln x，∴f x =ln x+1.当0<x<1e时，f x <0，f x 单调递减，当x>1e时，f x >0，f x 单调递增.∵f 1e =0，∴f x 在x=1e时取得极小值，也是最小值-1e，f x 无最大值.∴A正确，B错误，C正确，由f x <ln x得x ln x<ln x，∴x-1ln x<0.当0<x<1时，x-1<0，ln x<0，x-1ln x>0.当x=1时，x-1ln x=0.当x>1时，x-1>0，ln x>0，x-1ln x>0.因此不等式x-1ln x<0即f x <ln x的解集是∅.所以D错误.故选：AC【点睛】当条件中出现类似f x =xf x -x的条件时，通常要构造函数来解决问题，本题中的难点是利用f x =f xx+1来构造g x =f xx，从而结合f 1 =1求出f x =x ln x.例29.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x e x+1,g x =x+1ln x，若f x1=g x2>0，则x2x1可取( )A.1B.2C.eD.e2【答案】CD【分析】由g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，利用同构结合f x 在(0,+∞)上单调递增，即可得到x1=ln x2，则x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，求出h (x)即可判断h(x)在(0,+∞)上的单调性，即可得出x2x1≥e，由此即可选出答案.【详解】因为f x1=g x2>0，所以x1>0,x2>1，因为f x =e x+1+xe x=(x+1)e x+1>0恒成立，所以f x 在(0,+∞)上单调递增，又g x =x+1ln x=ln x e ln x+1，因为f x1=g x2，即x1e x1+1=ln x2e ln x2+1，所以x1=ln x2⇒x2=e x1，所以x2x1=e x1x1,x1>0，记h(x)=e xx,(x>0)，所以h (x)=e x(x-1)x2当0<x<1时，h (x)<0，h(x)单调递减，当x>1时，h (x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(1)=e，即x2x1≥e故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将g x =x+1ln x=ln x e ln x+1变形为f x =x e x+1的结构，是解本题的关键.。

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法

导数和数列不等式的综合问题解决技巧之构造函数法1．已知曲线．从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)n C x nx y n -+== (1,0)P -n C 的切线，切点为．(0)n n k k >n l (,)n n n P x y （1）求数列的通项公式； {}{}n n x y 与（2）证明：．13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅<<A A A A 【解析】曲线是圆心为，半径为的圆， 222:()n C x n y n -+=(,0)n n 切线 :(1)n n l y k x =+ （Ⅰ，解得，又，n =2221n n k n =+2220n n n x nx y -+= 联立可解得， (1)n n ny k x =+,1n n n x y n ==+（Ⅱ=n n x y = 先证：， 13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅< 证法一：利用数学归纳法当时，，命题成立， 1n =112x =<假设时，命题成立，即 n k =13521kx x x x -⋅⋅⋅⋅< 则当时，1n k =+135212121k kk x x xx x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵， 2222416161483k kk k ++=>++．<=∴当时，命题成立，故成立． 1n k =+13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-nnnnnnnnnnn xxnnnnnxxxx+-=+=+-⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-1112112125331212432112531<不妨设，令，t=()f t t t=则在上恒成立，故在上单调递减，()10f tt'=<t∈()f t t t=t∈从而()(0)0f t t t f=-<=<综上，成立．13521nnnxx x x xy-⋅⋅⋅⋅<<2．设函数表示的导函数．2()2(1)ln(),()kf x x x k N f x*'=--∈()f x（I）求函数的单调递增区间；()y f x=（Ⅱ）当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；na2111,()3n n na a f a a+'==-2na （Ⅲ）当k为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式()12nb f n n'=-{}n b n n S对一切正整数均成立，并比较与的大小．()111n bnb e++>n20091S-2009ln解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又，212[(1)]()22(1)kkxy f x xx x--''==--=当k为奇数时，，122(1)()xf xx+'=即的单调递增区间为．(0,),()0(0,)x f x'∈+∞∴>+∞在恒成立.()f x'(0,)+∞当k为偶函数时，222(1)2(1)(1)()x x xf xx x-+-'==(0,),0,10,x x x∈+∞>+>又由，得，即的单调递增区间为，()0f x'>10,1x x->∴>()f x(1,)+∞综上所述：当k 为奇数时，的单调递增区间为， ()f x (0,)+∞当k 为偶数时，的单调递增区间为()f x (1,).+∞（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知，所以22(1)()x f x x-'=22(1)().n n n a f a a -'=根据题设条件有 2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+∴{}是以2为公比的等比数列， 21n a +∴ 221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=-（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+ 11111(),1.223n n b f n n S n n'∴=-= =+++⋅⋅⋅+由已知要证两边取对数，即证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭事实上：设则 11,t n+=1(1),1n t t =>-因此得不等式 …………………………………………① 1ln 1(1)t t t>->构造函数下面证明在上恒大于0．1()ln 1(1),g t t t t=+->()g t (1,)+∞∴在上单调递增，即211()0,g t t t '=->()g t (1,)+∞()(1)0,g t g >=1ln 1,t t>-∴ ∴即成立．11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭()111n b n b e ++>由得 11ln,1n n n +>+111231ln ln ln ln(1),23112n n n n +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即当时， 11ln(1),n S n +-<+2008n =20091S -<2009.ln3．已知，函数． 0a >1()ln xf x x ax-=+（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为，求证：n S 111()(2)n n nS f n S n N n n---<-<∈*≥且解：（Ⅰ）的定义域为，，由得． ()f x ()0,+∞21()ax f x ax -'=()0f x '=1x a=当时，，递减； 1(,x a a∈()0f x '<()f x 当时，，递增． 1(,)x a∈+∞()0f x '>()f x所以不是定义域上的单调函数．()y f x =（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立． ()f x x ∈[1,)+∞()0f x '≥1a x≥即．1max,[1,)a x x ⎧⎫≥ ∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上为增函数， 1a =1()ln xf x x x-=+[1,)+∞ 111()ln ln ,n n nf n n n n n n----=+-= 又当时，，，即．1x >()(1)f x f >1ln 0x x x -∴+>1ln 1x x>- 令则，当时，()1ln ,g x x x =--1()1g x x'=-(1,)x ∈+∞()0.g x '>从而函数在上是递增函数， ()g x [1,)+∞所以有即得()(1)0,g x g >=1ln .x x -> 综上有： 11ln 1,(1).x x x x-<<->111ln .1x x x x+∴<<+ 令时，不等式也成立，1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且111ln .1x x x x+∴<<+ 于是代入，将所得各不等式相加，得1112311...ln ln ...ln 1....2312121n n n n +++<+++<+++--即 11111...ln 1. (2321)n n n +++<<+++-即 111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且4．设函数．（是自然对数的底数）()(1),()x f x e x g x e =-=e （Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由； ()()()H x f x g x =-（Ⅱ）设数列满足：，且 {}n a 1(0,1)a ∈1()(),,n n f a g a n N *+=∈①求证：；②比较与的大小．01n a <<n a 1(1)n e a +-解：（Ⅰ），令 ()(1)x H x e e '=--0()0,ln(1)H x x e '= =- 当时，在上是增函数 0(,)x x -∞()0,H x '> ()H x 0(,)x x -∞ 当时，在上是减函数 0(,)x x +∞()0,H x '< ()H x 0(,)x x +∞ 从而max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2x H x H e x e e e e ==-+-=---+注意到函数在上是增函数， ()ln 1k t t t t =-+[)1,+∞ 从而从而 ()(1)0,11k t k e ≥=->又0()0H x > 综上可知：有两个零点．()H x （Ⅱ）因为即，所以 1()(),n n f a g a +=1(1)1na n e a e +-+=11(1)1n a n a e e +=-- ①下面用数学归纳法证明．当时，，不等式成立． (0,1)n a ∈1n =1(0,1)a ∈ 假设时，那么 n k =(0,1)k a ∈11(1)1k a k a e e +=--1011kka a e e e e << ∴<-<- 即 10(1)11k a e e ∴<-<-1(0,1)k a +∈ 这表明时，不等式成立．所以对， 1n k =+n N *∈(0,1)n a ∈②因为，考虑函数1(1)1na n n n e a a e a +--=--()1(01)x p x e x x =-- << ，从而在上是增函数()10x p x e '=->()p x (0,1)()(0)0p x p >=所以，即1(1)0n n e a a +-->1(1)n n e a a +->5．数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列． {}n a n S n n N *∈2,,n n n a S a （1）求数列的通项公式；{}n a（2）设数列的前项和为，且，求证：对任意实数是常数，{}n b n n T 2ln n n nxb a =(1,](x e e ∈e=2．71828…）和任意正整数，总有；n 2n T <（3）在正数数列中，．求数列中的最大项． {}n c 11(),()n n n a c n N +*+=∈{}n c 解：由已知：对于，总有成立 (1)n N *∈22n n n S a a =+ (2)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+-- 111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-均为正数，1,n n a a - 11(2)n n a a n -∴-=≥ 数列是公差为1的等差数列∴{}n a 又时，，解得，1n =21112S a a =+11a =()n a n n N *∴=∈（2）证明：对任意实数和任意正整数，总有(]1,x e ∈n 22ln 1n n n x b a n=≤222111111...1...121223(1)n T n n n∴≤+++<++++⋅⋅-⋅1111111(1() (22223)1n n n ⎛⎫=+-+-++-=-<⎪-⎝⎭（3）解：由已知22112a c c ==⇒= ，33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得55445a c c ==⇒=12234,......c c c c c <>>> 猜想时，是递减数列2n ≥{}n c令，则 ln ()x f x x=221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==当时，，则，即 ∴3x ≥ln 1x >1ln 0x -<()0f x '< 在内为单调递减函数， ∴()f x [)3,+∞由知 11n n n a c ++=ln(1)ln 1n n c n +=+ 时，是递减数列，即是递减数列 2n ∴≥{}ln n c {}n c又，数列中的最大项为12c c <∴{}n c 2c =6．已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数的极值点；()()2()F x f x g x =-⋅（2）若函数在上有零点，求的最小值；()()2()F x f x g x =-⋅),()te t Z ⎡+∞∈⎣t （3）证明：当时，有成立；0x >[]1()1()g x g x e +<（4）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相1(1)()()g n n b g n n N *+=∈{}n b ()n m b b m n =≠等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．e 解：（1）由题意，的定义域为23()ln 228F x x x x =++-(0,)+∞,函数的单调递增区间为和， (32)(2)()4x x F x x --'=∴()F x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦[)2,+∞的单调递减区间为，()F x 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以为的极大值点，为的极小值点，23x =()F x 2x =()F x （2）在上的最小值为 ()F x 2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭(2)F且，在上没有零点， 23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只∴()F x ),te ⎡+∞⎣()F x 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦须且即可，23t e <()0F t ≤易验证 121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当时均有所以函数在上有零点， 2,t t Z ≤∈()0,t F e <()F x )1,()t e e t Z -⎡∈⎣即函数在上有零点，的最大值为()F x ),()te t Z ⎡+∞∈⎣t ∴2-（3）证明：当时，不等式0x >[]1()1()g x g x e +<即为： 11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+<构造函数则 ()ln(1)(0),h x x x x =+->1()10,11x h x x x-'=-=<++所以函数在上是减函数，因而时， ()h x (0,)+∞0x >()(0)0,h x h <=即：时，成立，所以当时，成立；0x >ln(1)x x +<0x >[]1()1()g x g x e +<（4）因为 1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1n n n n n n n n n n n b n n e n n b n b n n n n n++++++++++++===⋅+<<令，得， 23(1)1n n+<2330n n -->因此，当时，有4n ≥(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当时，，即 4n ≥1n n b b +>456...b b b >>>又通过比较的大小知：， 1234b b b b 、、、1234b b b b <<<因为且时所以若数列中存在相等的两项，只能是与后面的项11,b =1n ≠111,n n b n +=≠{}n b 23b b 、可能相等，又，所以数列中存在唯一相等的两项， 11113964283528,35b b b b ====>={}n b 即．28b b =7．在数列中， {}n a 12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列为等差数列； }2{nn a（II ）若m 为正整数，当时，求证：． 2n m ≤≤1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤解：（I ）由变形得：1122+++=n n n a a 122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列是以为首项，1为公差的等差数列 }2{nn a121=a （II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅= m m n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令mn m nn m n f n m n f 123()()1(,23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当mn m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时m m m n m 11)32()211(32()11(⋅-+≥⋅-+=又 23221211211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 123(211>-+∴则为递减数列． )(,1)1()(n f n f n f 则>+当m=n 时，递减数列．)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴ mm m m f x f m m 1)1(49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证要证：时，2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证49221212212122122)1(121111(22010=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．（法二）由（I ）得n n n a 2⋅= mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m xm x则上单调递减． ],2[)(0)(',11,2m x f x f mx m m x 在即<∴<+-∴≤≤ ∴ mm m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证，时而2,)11(149≥+≤m mm49221212212122122)1(121111(22210=⨯-+≥-+=-+=-⋅+=⋅+⋅+≥+m m m m m mm C m C C m m m m m 故原不等式成立．。

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