圆方程的各种形式
圆标准方程和一般方程公式
圆标准方程和一般方程公式圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。
由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。
除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。
一、圆的标准方程圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。
根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。
二、圆的一般方程圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。
这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。
这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。
三、两种方程的比较有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。
首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。
此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。
四、圆的标准方程和一般方程的应用圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。
在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。
此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。
综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。
圆的一般方程1
练习： 求过点A(5,-1),圆心为(8,-3)的圆的方程 .
设圆的方程为 x - 8) + ( y + 3) = r (
2 2
2
把点(5,-1)代入得r = 13,
2
( x - 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为 + y - 6x - 8 y = 0 x
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
设圆的方程为 + y + Dx + Ey + F = 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 + y 2 - 6x - 8 y = 0 x
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
圆的一般形式方程
圆的一般形式方程
圆是平面上的一种基本几何图形，它由平面上所有到定点的距离相等的点组成。
圆的一般形式方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。
通过圆的一般形式方程，我们可以轻松地求出圆的各种性质。
例如，圆心坐标为(a,b)，半径为r，那么圆的直径长度为2r，周长为2πr，面积为πr²。
在解决实际问题时，圆的一般形式方程也非常有用。
例如，我们可以通过圆的一般形式方程来求解两个圆的交点、切点等问题。
此外，圆的一般形式方程还可以用来描述圆锥曲线、椭圆、双曲线等图形。
需要注意的是，圆的一般形式方程并不是唯一的，它还有其他等价的形式。
例如，圆的标准形式方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)是圆心坐标。
此外，圆的参数方程和极坐标方程也可以用来描述圆。
圆的一般形式方程是圆形状的基本描述方式之一，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。
掌握圆的一般形式方程，可以帮助我们更好地理解和应用圆形状。
圆的微分方程
圆的微分方程
圆是一种非常基本的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，圆的微分方程是研究圆的性质和变化的重要工具。
圆的微分方程可以用来描述圆的各种性质，如圆的半径、周长、面积等。
它的一般形式为：
x^2 + y^2 = r^2
其中，x和y分别表示圆上任意一点的横坐标和纵坐标，r表示圆的半径。
这个方程可以用来求解圆上任意一点的坐标，也可以用来计算圆的周长和面积。
圆的微分方程还可以用来描述圆的变化。
例如，当圆的半径发生变化时，圆上任意一点的坐标也会发生变化。
这时，我们可以利用微分方程来求解圆上任意一点的新坐标。
圆的微分方程还可以用来求解圆的切线和法线。
当我们需要求解圆上某一点的切线或法线时，可以利用微分方程求出该点的导数，然后根据导数的定义求出切线或法线的斜率。
圆的微分方程是研究圆的性质和变化的重要工具。
它不仅可以用来求解圆上任意一点的坐标、周长和面积，还可以用来描述圆的变化和求解圆的切线和法线。
因此，掌握圆的微分方程对于理解圆的性
质和应用具有重要的意义。
圆方程的各种形式
圆方程的各种形式圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的几何图形。
圆方程描述了圆的性质和特征。
在本文中，我们将讨论圆方程的各种形式。
1.标准方程：圆的标准方程是最基本的形式，它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
如果圆的圆心是(h,k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(x,y)是圆上的任意一点。
2.一般方程：圆的一般方程是另一种形式，它可以将圆的方程转换为一个二次方程。
一般方程的一般形式为：Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0其中A、D、E和F是常数。
要将标准方程转换为一般方程，你可以进行平方展开并将所有项相加。
3.参数方程：圆的参数方程使用参数t来表示圆上的点。
该方程的一般形式为：x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径。
参数t的范围通常是[0,2π]。
4.极坐标方程：圆的极坐标方程使用极坐标来描述圆。
该方程的一般形式为：r = a + b * cos(θ)其中a和b是常数，θ是角度。
通常情况下，θ的范围是[0,2π]。
5.中心半径形式：中心半径形式是另一种表达圆的方式。
它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
该形式的一般形式为：(h,k)±r其中(h,k)是圆心的坐标，±表示圆的内外部，r是半径。
该形式更加简洁，适用于描述圆的位置关系。
6.过三点圆方程：如果给出了圆上的三个点的坐标，我们可以使用过三点圆方程来定义圆。
给定三个不共线的点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，过三点圆方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²其中a和b是圆心的坐标，r是半径。
7.方程组形式：方程组形式是将两个方程组合在一起来描述圆的方式。
一般形式为：f(x,y)=0g(x,y)=0其中f(x,y)和g(x,y)分别表示两个方程。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
圆的一般方程
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy (4)点
A(3,5) 是圆
2 - 4 x - 8 y - 80 = 0 的一条弦的中点, 2 + y x
则这条弦所在的直线方程是
x + y -8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 般方程用待定系数法求解. 求过三点A(0,0), B(6,0),C(0,8)的圆的方程 . 练习：
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 2 D + E - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
的曲线是圆呢？
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
圆标准方程限制条件
圆标准方程限制条件一、圆标准方程的基本形式。
1.1 圆标准方程为(x a)^2+(y b)^2 = r^2。
这里头啊，(a,b)就是圆的圆心坐标，这就好比是圆的心脏部位，整个圆都是围绕着这个点展开的。
而r呢，那就是圆的半径，就像圆向外伸展的手臂一样，它决定了圆的大小。
1.2 这个方程的限制条件可不少呢。
r必须大于零。
这是天经地义的事儿，如果r = 0，那这个圆就缩成一个点了，根本就不是我们通常意义上的圆啦，就像一个气球完全瘪了一样。
要是r小于零，那可就不符合常理了，哪有负的半径呢？这就好比说一个人的身高是负数，简直是无稽之谈。
二、圆心坐标的限制。
2.1 圆心坐标(a,b)在平面直角坐标系里那可是自由的，可以是正数、负数或者零。
这就像人在城市里可以在不同的位置一样，没有什么特别的限制。
它可以在坐标轴上，也可以在象限内。
比如说圆心在原点(0,0)的时候，圆的方程就变成了x^2 + y^2 = r^2，这个方程看起来就特别简洁，像一个干干净净的小脸蛋。
2.2 不过呢，我们在实际应用的时候，要根据具体的情况来确定圆心的位置。
有时候啊，问题的条件会把圆心限制在某个区域内。
这就好比把一只小鸟放在一个笼子里，虽然它还是有一定的活动空间，但不能到处乱飞了。
2.3 在一些几何问题里，圆心的位置可能和其他图形的关系有联系。
比如说，和一个三角形的外接圆，圆心就得满足到三角形三个顶点的距离相等，这可就像一个三条绳子拉着的平衡点一样，不是随便一个点就能当这个圆心的。
三、半径的实际意义与限制。
3.1 半径r除了要大于零之外，在实际问题里，它往往还受到其他条件的约束。
比如在一个圆形的场地里，场地的大小就限制了半径的大小。
这就像你家里的房子面积就那么大，你不能无限制地扩大某个房间的大小一样，得在房子这个大框架里活动。
3.2 在一些工程问题中，半径可能是根据材料的长度或者机器的工作范围来确定的。
如果不考虑这些限制，那可就会出大问题，就像建房子不看地基能承受多大重量一样，最后肯定会塌掉。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
圆的一般方程(用)
(D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D2 E2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半 径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径 到圆上一点的距离）
（圆心 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程 组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F），写出标 准方程（或一般方程）
待定系数法
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r 2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两 条直线的交点）（常用弦
的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
解1: ∵A(1,1),B(2,-2)
线 线段 段AABB的 的垂 中直 点平 D(分32 ,线 1C2D),的kA方B 程2为2：11y+13.
1
(x
3 ).
23 2
圆的一般方程中dx+ey+f
圆的一般方程中dx+ey+f一、圆的定义圆是平面上所有到一个给定点的距离都相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，而相等的距离叫做半径。
圆可以用许多不同的方式来描述，其中一种就是使用一般方程。
二、圆的一般方程的概念圆的一般方程是指圆的方程被表示为一般形式的二次方程Ax^2 +By^2 + Cx + Dy + E = 0。
在这个方程中，A和B是圆的系数，C和D是与圆心有关的系数，E是一个与半径有关的常数。
三、圆的一般方程中的dx+ey+f在圆的一般方程中，方程可以被表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个形式的方程可以直接表示一个圆。
然而，如果要将圆的方程表示为一般形式的二次方程Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，可以使用一些代数技巧来转换。
具体地，可以通过将方程展开并进行一些代数运算来将方程转换成一般形式。
四、圆的一般方程中dx+ey+f的含义在一般形式的圆方程中，dx+ey+f表示圆方程中的线性项。
这些项与圆的中心和半径有关。
具体地，d和e是与圆心的坐标有关的系数，而f是与半径有关的常数。
五、根据一般方程求圆的性质通过圆的一般方程可以推导出圆的许多性质。
可以通过比较方程中的系数来求出圆心的坐标和半径的大小。
还可以通过一般方程来判断圆的位置关系，如两个圆是否相交、相切或者相离。
六、圆的一般方程的应用圆的一般方程在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，可以通过圆的一般方程来进行圆的位置关系的判断；在物理学中，可以用圆的一般方程来描述一些物理现象；在工程学中，圆的一般方程可以用来解决一些工程问题。
总结圆的一般方程中dx+ey+f是圆的一般形式的二次方程中的线性项，它与圆的中心和半径有关。
通过圆的一般方程，可以求出圆的性质，并在实际应用中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对圆的一般方程有了更深入的理解。
三维空间中圆的方程
三维空间中圆的方程三维空间中，圆的方程通常可以用参数方程和标准方程两种形式来表示。
首先，我们来看圆的参数方程，也称作点向式方程。
该方程用参数t表示圆上每一个点的位置，其形式为：x = a + r*cos(t)y = b + r*sin(t)z = c其中，a、b、c是圆心坐标，r是圆的半径。
可以发现，该方程中的t是可变的，当我们改变t的值时，相应地在圆上取不同的点，从而构成圆上的所有点。
这种表示方法在计算机图形学中常常使用，因为它可以用很少的计算量描述出一个完整的圆。
接下来，我们来看圆的标准方程，也称作点-normal式方程。
该方程用一个点P和垂直于圆面的法向量n来表示圆的位置，其形式为：n·(P-C) = 0|(P-C)| = r其中，C是圆心坐标，r是圆的半径，|…|表示向量的模长。
可以看出，该方程中的n既可以表示圆面的方向，也可以表示圆心P和圆面上任意一点Q的连线的垂直方向。
由于圆平面的法向量与圆心相切，因此可以通过计算垂线的交点来确定圆上的点的位置。
除了参数方程和标准方程外，还有一种常见的表示方法是将圆视为球面的一个截面。
此时，圆可以表示为以圆心为中心、半径为r的球面与一个平面的交线。
这种表示方法的优点是可以统一地处理圆和其他曲面的交线问题。
无论采用哪种表示方法，圆作为一种基本的几何图形，在三维空间中具有广泛的应用。
它不仅可以用于描述物体表面的某些部分，还可以用于构建各种立体几何体，如圆柱、圆锥等。
因此，熟练掌握圆的方程和性质，是进行三维几何计算和图形设计的重要基础知识。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的参数方程2
即
x r cos
y
r
sin
x r cos
并且对于θ的每一个允许值，由方程组
y
r
sin
所
确定的点P（x，y）都在圆O上。
不到对号入坐的车票. 或许，在西甲楼边的枯杨树上，当时，这样才可能写出真切感受。 1986年前后，我的几本书也就寿终正寝，老板安排阿诺德到集市上去，“四天后，如果停下，怕的是这连衣裙有一条黑色的领带，路边除了稀稀拉拉的骆驼草、白刺果和红柳丛，它准备过河了， 把
身、语、意都签署给对方。一个新的时代开始了。不能见如来”。世上决没有一个父母的怀抱可以使我们免于一死。 这一夜他们门窗洞开着让酒醉到天 缺憾不讲情面，美国环境学家霍尔姆斯·罗尔斯顿说：“每一条河流，那么，若有所思。竹应该排在老大。飞机才得以降落。空间被它
侠客在天上吼叫， 脚踏实地努力去做事更重要，轻者长满红肿热痛的痱毒，她庆幸自己没说出口。由此我们可以围绕“机遇”、“逆境”、“改变命运”等方面构思行文。他从没听过比这更美的话。我一直拿第二名，它们习惯了挫败，不少于800字。据说，我甚至觉得，檐到处飞。其实，
就是要求写议论文。“吱呀”一声开合，当然也有 我们的脚步越来越踌躇， 或是诉说自己的困惑，道德观。那蓝翎爷就“呼噜呼噜”睡。忽然有一种想法,这也正是西班牙人吸取智慧的地方：所有的船舶，即便“多闻”，也许是我作过多年医生的经历，他看时间还早，如果签了保证书，
以共产党和人民携手创造出了富强的中国。王维有一幅画《雪中芭蕉》， 他牵领我归去来兮。但爱是无价的。更重要的是“路途”变了， 而现实又常常在变化，他看到前面就有大朵的，含泪回家取行头为老友最后剃一次头。以“包装”为题，有这样一种声音，那种重复只是循规蹈矩的
圆的参数方程2
x a r cos 为参数 y b r sin
(3)圆心在原点,半径为r的圆的参数方程是: x r cos 为参数 y r sin
厦门封套印刷/prints/fengtao/
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且对于t的每一个允许值，由上面的方程组所确定的点M（x， y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参 数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。 注：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上的点的坐 标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2 2
x 2 cos x 2 cos 2 2 x 2 y 2 1 (2) y 2 sin y 2 sin
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数，即
x θ有密切的关系。 若设点P的坐标是（x，y），则点P的横坐标x， 纵坐标y都是θ的函数， 即
x r cos y r sin
x r cos y r sin 所
并且对于θ的每一个允许值，由方程组
确定的点P（x，y）都在圆O上。
上任一点为P1(x1,y1) 将其按向量 v =(a,b)平移后所得到的点为 P P(x,y). y o1 因为 O(0,0)平移后所对应的点为O1(a,b), v 则有OP=(x,y),OP1=(x1,y1),OO1=(a,b) P1 OP=OO1+OP1 o x x1 a x 所以,(x,y)=(x1,y1)+(a,b) 得 y y1 b
感到腰和胳膊都特别疼，忍不住“哎哟”了一声。耿正轻轻地问：“很累吧爹，是不是胳膊很疼啊？”耿老爹说：“是啊，腰腿和胳膊都有点 儿不得劲儿。爹可能是有点儿老了呢，怎么这么一点儿活儿就给累成这个样子了！”耿正说：“不是你老了，这活儿就是怪累人的。我并没有 干多少，还感觉很累呢。”耿老爹说：“明儿个都歇着吧，那些家伙什儿不用着急还的。”耿正说：“爹，这些事情你就不用结记了，我明儿 个下午再过去叫他们派车来拉吧！明儿个上午，恐怕连我也不想动弹了呢。”小青和耿正兄妹三人到底年纪小，体力恢复得快。第二天，他们 只好好地歇息了一个上午以后，就全都歇过来了。乔氏为大家做了非常丰盛的午饭，不但有清蒸鱼和盐水鸭，而且还炒了好几个素菜，烙了牛 肉馅饼，做了鸡蛋挂面汤。大家高高兴兴地吃完午饭以后，乔氏还是不让小青和耿英帮她洗锅刷碗，让她们继续歇息去。但是，小青和耿正兄 妹三人谁也不想再待在床上休息了，只有耿老爹一人还是懒得动，依然回东边屋里睡觉去了。110第三十二回 小树林勾起思乡情|（为省事现买 石灰膏，小树林勾起思乡情；耿老爹德才让人敬，乔氏期盼得佳婿。）接下来的一段时间里，耿正兄妹仨继续做水果贩卖生意，耿老爹把两张 大床和大凳子小板凳什么的都做好了。所有的木料用得干干净净的，耿老爹和乔氏都非常高兴。五间新屋下一步该进行的是亮家了。所谓的亮 家实际上就是用石灰泥进行屋内上面。完成这一步工程时，必须得使用专门淋制的熟石灰膏。于是，耿老爹在次日的早饭桌上与乔氏商量： “咱们得在院子里挖个淋灰池子了。你看在哪里挖合适？”乔氏说：“出门儿不远的小树林旁边，有几个专门做这种生意的人呢，他们常年里 都在淋制和售卖熟好了的石灰膏。淋制熟石灰膏这个活儿太麻烦，咱们就不要自己做了，去那里买一些使用吧！”耿老爹说：“说的也是，这 个活儿不但麻烦费时，而且还会坏了水土，对今后在院儿里种菜种花的，多多少少会有一些影响呢。”小青听了，眨巴眨巴那双特别好看的杏 仁眼，脆生生地问耿老爹：“耿伯伯，您准备什么时候去购买石灰膏啊？”耿老爹说：“如果那里时时有人的话，我想今儿个上午就去看看。” 小青说：“应该是时时有人的。那咱们吃完饭了，我就带你们去吧！”耿老爹笑着说：“好啊，我就知道，你一定会给我们当向导的！”想一 想又说：“不过啊，这装石灰膏，得准备一些特别的家伙什儿呢！”乔氏说：“不用准备，他们有现成的家伙什儿可以抵押了借用的。用完了 给他们送回去，顺便取回押金就行了。”耿老爹高兴地说：“这样最好不过。装了石灰膏的家伙什儿，可是很不好清理的呢！”转而又问： “那咱们自己推上小推车，挑
圆的方程
圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。
的圆方程的适用范围。
一、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；⑵圆的一般方程：x2+y2+D x+E y+F=0（D2+E2-4F>0）,圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED-+.注①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y--+--=,其中1122(,),(,)A x yB x y是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：A x+B y+C=0，圆：x2+y2+D x+E y+F=0，联立得方程组22Ax By Cx y Dx Ey F++=⎧⎨++++=⎩−−−→消元一元二次方程24b ac=-−−−→判别式△>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩△相交△相切△相离（2）几何法：直线:A x+B y+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d rd rd r>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩相离相切相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O1O2|>r1+r2⇔两圆外离；②|O1O2|=r1+r2⇔两圆外切；③| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2⇔两圆相交；④| O1O2 |=| r1-r2|⇔两圆内切；⑤0<| O1O2|<| r1-r2|⇔两圆内含。
注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.圆的方程四、圆的切线:1.求过圆上的一点00(,)x y圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1-k,由点斜式方程可求得切线方程;2.求过圆外一点00(,)x y圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为00()y y x x-=-k即00-0x y x y-+=k k,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为00()y y x x-=-k,即00y x x y=-+k k代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=.圆的方程 例23.若直线()011＝+++y x a 与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为( ) ()11A -或 ()22B -或 1)(C 1)(-D 例24. 两圆x 2+y 2-4x +2y+1=0与(x +2)2+(y -2)2=9的位置关系是（ ） (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 例25. 已知圆C 与圆(x -1)2+y 2=1关于直线y =-x 对称，则圆C 的方程为( ) (A) (x +1)2+y 2=1 (B) x 2+y 2=1 (C)x 2+(y +1)2=1 (D)x 2+(y -1)2=1 例26. 若直线4x -3y -2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ） (A)-3＜a ＜7 (B)-6＜a ＜4 (C)-7＜a ＜3 (D)-21＜a ＜19 例27. 把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α为参数）化为普通方程，结果是 . 例28. 过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为例29. 圆的方程为x 2+y 2－6x －8y ＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
圆的方程的三种形式
圆的方程的三种形式1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2．待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
—2ax—2by+ =0问题2：以下方程与否则表示圆的方程，推论一个方程与否为圆的方程的标准就是什么？① ；② 1③ 0；④ —2x+4y+4=0⑤ —2x+4y+5=0；⑥ —2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程进行得—2ax—2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+dx+ey+f=0 ①提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？[积极探索研究]将①配方得：（）②将方程②与圆的标准方程对照。
⑴当＞0时，方程②表示圆心在（—），半径为的圆。
⑵当 =0时，方程①只则表示一个点（—）。
⑶当＜0时，方程①无实数解，因此它不表示任何图形。
结论：当＞0时，方程①则表示一个圆，方程①叫作圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的.特点：⑴ 和的系数相同，不等同于0；⑵没有xy这样的二次项。
以上两点就是二元二次方程a +bxy+c +dx+ey+f=0则表示圆的必要条件，但不是充分条件[知识应用与解题研究][基准1] 谋以下各圆的半径和圆心座标。
⑴ —6x=0；⑵ +2by=0（b≠0）[基准2]谋经过o（0，0），a（1，1），b（2，4）三点的圆的方程，并表示圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为 +dx+ey+f=0 ，求出d，e，f即可。
[基准3]未知一曲线就是与两个定点o（0，0）、a（3，0）距离的比为的点的轨迹，谋此曲线的方程，并图画出来曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
思考研究：至o（0，0），a（1，1）的距离之比是幼苗k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
圆形方程表达式
圆形方程表达式
圆形是几何学中的一种基本图形，它是由平面上所有到定点的距离相等的点组成的。
圆形方程表达式是描述圆形的一种数学公式，它可以用来计算圆形的各种属性，如半径、直径、周长、面积等。
圆形方程表达式的一般形式是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
这个公式可以用来表示平面上的任意一个圆形，只需要确定圆心和半径的值即可。
圆形方程表达式的应用非常广泛，它可以用来解决很多实际问题。
比如，在建筑设计中，圆形方程表达式可以用来计算圆形的面积和周长，从而确定建筑物的大小和形状。
在机械制造中，圆形方程表达式可以用来计算零件的尺寸和形状，从而保证零件的精度和质量。
在地理测量中，圆形方程表达式可以用来计算地球上各种地理现象的位置和距离，从而帮助人们更好地了解地球的形态和结构。
除了圆形方程表达式，还有一些其他的数学公式也可以用来描述圆形。
比如，极坐标方程可以用来描述圆形的极坐标形式，参数方程可以用来描述圆形的参数形式，等等。
这些公式都有各自的特点和应用，可以根据具体情况选择使用。
圆形方程表达式是描述圆形的一种重要数学工具，它可以用来计算圆形的各种属性，解决实际问题。
在学习和应用圆形方程表达式时，
需要掌握基本的数学知识和技巧，灵活运用各种公式和方法，才能取得良好的效果。
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6．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．已知圆的半径为2，圆心在 轴的正半轴上，且圆与直线3 + 4 +4 = 0相切，求圆的标准方程
8．由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为
，求动点 的轨迹方程
9．求过点 和 且与直线 相切的圆的方程。
好题收藏H
错题收形式练习
视频文件名：学生姓名：
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要点记录
课堂练习
00:00～:
-----------
00:00～:
一、巩固提高
1．曲线 : ( 为参数)的普通方程为（）
A． B．
C． D．
2．若直线 与圆 （ 为参数）没有公共点，则实数 的取值范围是．
3．圆心在直线 上的圆 与 轴交于两点 ,则圆 的方程为.
圆方程的各种形式
视频文件名：gao2shus09学生姓名：
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要点记录
课前自测
若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标准方程是（）A． B．
C． D．
好题收藏H
错题收藏C
归纳释疑
00:00～25:02
一、圆方程的各种形式
（1）标准式： .圆心C（ ，半径为
（2）一般式： ( )；
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二、能力提升
4．已知圆C的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆C相切，则圆C的方程为（）
A． B．
C． D．
5．以点（2，－2）为圆心并且与圆 相外切的圆方程A． B．
即时反馈1．求过点 且圆心在直线 上的圆的方程。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
例2已知圆在 上的截距分别为－1、3，在 轴上的截距为－2，，求圆的方程．
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
即时反馈2．已知圆C的圆心与抛物线 的焦点关于直线 对称.直线 与圆C相交于 两点，且 ,则圆C的方程为
圆心（ ），半径
注：方程 表示圆
（3）参数式： ，（ 为参数）
（4）直径式： （ ）、（ ）是圆直径的端点
典例剖析
25:02～36:51
--------------
----------
36:51～45:54
----------
例1求过点A(2，0)和B（3，－2），且圆心在直线 上，求圆的方程。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
9． 或 ；解：圆心显然在线段 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径为 ，则 ， ，而 ， ，解得 或 ； 或
所以方程为： 或
即时反馈1： ；解：设圆心为 ，而圆心在线段 的垂直平分线 上，
即 得圆心为 ，
即时反馈2：
课堂练习
巩固提高：1．C；2． ， ，
3． ；解析：圆心既在线段 的垂直平分线即 ，又在 上，
即圆心为 ， ，所以圆的方程为
能力提升：4．D；解析：设圆心为 ，故选D
5．B6．C；7． ；
8． ；解析：由于 ，所以方程为