大学函数

说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1)
,
f (Ix,)当x1
M
,x2称时为, 有上界
f( M
x2
), 称 f (x) 为 I 上的 f (单x)调, 称增函为数有下; 界
y
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存)为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
五. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
设有函数链
y f (u), u D1
①
U (a) {x a x a }.


a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
则称 f ( x ) 无界单. 调减函数 .
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
如果对于每个数x D , 变量y 按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
记 ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y sh x ch x

ex ex

ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切Biblioteka y1 y th x
o
x
1
(4) 周期性
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
5.绝对值:
a

a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二 函数的概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集，
第一章 函数与极限
函数是微积分研究的主要对象，极限方法是 研究微积分的最基本的方法．本章将在复习 函数知识的基础上，学习极限的概念、连续 函数的概念与性质等，为以后各章的学习奠 定必要的基础．
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
请同学们预习课本上集合与映射两部分内 容，然后回答下面问题：

1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
三. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
y

D( x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
f (x) b 上下平移b个单位 f (－x) 关于y 轴对称
a f (x) 纵向拉伸（压缩）a倍 － f ( x ) 关于x 轴对称
f ( ax )纵向拉伸（压缩）1 倍
a
f (x) + g(x) 叠加
f ( x－a) 沿x 轴平移 a 个单位
f ( x + a)沿x 轴反向平移 a 个单位
几个特殊的函数举例
且 g(D) D1 ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1不可少.
例如, 函数链 : y arcsinu ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
1. 请说出 R R 的含义
2.
是a的邻域吗？
3.设X 表示在电影院看电影的所有人的集合， Y 表示电影院所有座位的编号（包括排号 和座号），已知这是按时间规律 f 买票 入场的，且还有余票，那么可知 f 定义了 一个从 X 到Y 的映射。 f是单射? 是满射? 是双射？
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
2ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
关于函数的图形画法。设已知函数 f (x) 的图形， 如何画出以下函数的图形？( a > 0, b > 0 )
例如,
2x 1,
f
(
x)


x
2

1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U

E
t

2E t;
2 当 t ( , ]时,
2