北京市八年级上学期数学期中考试试卷

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2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解

2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3，4，5 B.2，5，8 C.5，5，10 D.1，6，72.由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短C.三角形的内角和为180°D.垂线段最短3.在ABC 中，作出AC 边上的高，正确的是（）A . B.C. D.4.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS5.如图，ABC ADE △≌△，80ADE ∠=︒，40C ∠=︒，35DAC ∠=︒，则EAC ∠的度数为（）A.25︒B.30︒C.35︒D.40︒6.下列运算，结果正确的是（）A.235a a a ⋅= B.()325a a = C.()2236a a = D.623a a a ÷=7.若249x kx ++是完全平方式，则k 的值是（）A.12 B.12± C.72± D.6±8.如图，点P 为定角AOB ∠平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补．若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：①OM ＋ON 的值不变；②PNM POB ∠=∠；③MN 的长不变；④四边形PMON 的面积不变，其中，正确结论的是()A.4B.3C.2D.1二、填空题（每题3分，共24分）9.23x x ⋅=_______；213a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______；()322b -=_______．10.若10x a =，10y b =，则10x y +=_______．11.一个多边形每一个外角都等于30︒，则这个多边形的内角和是________．12.等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为______cm ．13.如图，点D ，B ，C 点在同一条直线上，60A ∠=︒，50C ∠=︒，25D ∠=︒，则1∠=_______度．14.如图，已知90B D ∠=∠=︒，请添加一个条件（不添加辅助线）_________，使ABC ADC △≌△，依据是_________．15.如图，将分别含有30︒、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，则图中角α的度数为_________．16.如图，已知四边形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，14CD =厘米，90B C ∠=∠=︒，点E 为线段AB 的中点．如果点在P 线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点C 向点运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．当点Q 的运动速度为__________厘米/秒时，能够使BPE 与CPQ 全等．三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分）17.计算：()()24y y +-18.计算：()()2(2)31x x x -+-+．19.计算：()()43682x x x -÷20.先化简，再求值：()()()22123x x x x +--+，其中=1x -21.如图，AD 是ABC 的边BC 上的高，AE 平分BAC ∠，42B ∠=︒，70C ∠=︒，求BAE ∠和DAE ∠的度数．22.知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．23.（1）如果()()253x x x mx n -+=++，那么m 的值是，n 的值是；（2）如果()()2122x a x b x x ++=-+，求()()22a b ++的值；24.下面是“求作AOB ∠的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，针角AOB ∠．求作：AOB ∠的角平分线．作法：①在OA 和OB 上，分别截取OD OE 、，使OD OE =；②分别以D E 、为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；③作射线OC ．所以射线OC 就是所求作的AOB ∠的角平分线．（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：由①可得：OD OE=由②可得：由③可知：OC OC=∴≌（依据：）∴可得COD COE ∠=∠（全等三角形对应角相等）即OC 就是所求作的AOB ∠的角平分线．25.如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 、E 分别是线段BC AC 、上的一点，且AD AE =．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，则2∠的度数为；（2）如图2，用等式表示1∠与2∠之间的数量关系，并给予证明．26.先阅读材料再解决问题．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，某小组同学探究了如下问题：“当ABC 和DEF 满足AB DE B E ABD =∠=∠ ，，和DEF 是否全等”．如图1，这小组同学先画ABM DEN AB DE ∠=∠=，，先过A 作AH BM ⊥于点H ，发现如下几种情况：当AC AH <时，不能构成三角形；当AC AH =时，根据“HL ”或“AAS ”，可以得到Rt ABC Rt DEF ≌．当AC AH >时，又分为两种情况．①当AH AC AB <<时，ABC 和DEF 不一定全等．②当AC AB ≥时，ABC 和DEF 一定全等．【解决问题】（1）对于AH AC AB <<的情况，请你用尺规在图2中补全ABC 和DEF ，使ABC 和DEF 不全等．（标明字母并保留作图痕迹）（2）对于AC AB ≥的情况，请在图3中画图并证明ABC DEF ≌．2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3，4，5B.2，5，8C.5，5，10D.1，6，7【答案】A【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，根据三角形的三边关系进行分析判断．+>，故能构成三角形，故此选项符合题意；【详解】解：A、345+<，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；B、258+=，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；C、5510+=，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．D、167故选：A．2.由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短C.三角形的内角和为180°D.垂线段最短【答案】A【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性，故选：A．中，作出AC边上的高，正确的是（）3.在ABCA. B.C. D.【答案】D【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．【详解】解：A ．此图形中BD 不是AC 边上的高，不符合题意；B ．此图形中AD 不是AC 边上的高，不符合题意；C ．此图形中BD 不是AC 边上的高，不符合题意；D ．此图形中BD 是AC 边上的高，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点4.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定定理有ASA 定理得出即可,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【详解】画一个三角形A B C '''，使A A B B ''∠=∠∠=∠，，符合全等三角形的判定定理ASA ，故选：A ．5.如图，ABC ADE △≌△，80ADE ∠=︒，40C ∠=︒，35DAC ∠=︒，则EAC ∠的度数为（）A.25︒B.30︒C.35︒D.40︒【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得ABC ADE ∠=∠,BAC DAE ∠=∠，由三角形内角和定理，得=180=60BAC ABC C ∠︒-∠-∠︒，于是60DAE ∠=︒，25EAC DAE DAC ∠=∠-∠=︒.【详解】解：∵ABC ADE △≌△，∴ABC ADE ∠=∠,BAC DAE ∠=∠.∵180ABC C BAC ∠+∠+∠=︒,∴180180804060BAC ABC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.∴60DAE ∠=︒.∴603525EAC DAE DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒.故选：A ．6.下列运算，结果正确的是（）A.235a a a ⋅= B.()325a a = C.()2236a a = D.623a a a ÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法计算并判定A ；根据幂的乘方计算并判定B ；根据积的乘方计算并判定C ；根据同底数幂的除法计算关判定D ．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故此选项符合题意；B 、()326a a =，故此选项不符合题意；C 、()2239a a =，故此选项不符合题意；D 、624a a a ÷=，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．7.若249x kx ++是完全平方式，则k 的值是（）A.12B.12±C.72±D.6±【答案】B【分析】首末两项是2x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和3乘积的2倍．【详解】解：∵249x kx ++是完全平方式，∴这两个数为2x 和3，∴223kx x =±⨯⨯，∴12k =±，故选：B ．【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．8.如图，点P 为定角AOB ∠平分线上的一个定点，且MPN ∠与AOB ∠互补．若MPN ∠在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：①OM ＋ON 的值不变；②PNM POB ∠=∠；③MN 的长不变；④四边形PMON 的面积不变，其中，正确结论的是()A.4B.3C.2D.1【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积；如图作PE OA ⊥于E ，PF OB ⊥于F ．只要证明POE POF ≌，PEM PFN ≌，即可一一判断．【详解】解：如图作PE OA ⊥于E ，PF OB ⊥于F ．90PEO PFO ∠=∠=︒ ，180EPF AOB ∴∠+∠=︒，180MPN AOB ∠+∠=︒ ，EPF MPN ∴∠=∠，EPM FPN ∴∠=∠，OP 平分AOB ∠，PE OA ⊥于E ，PE PF ∴=，在POE 和POF 中，OP OP PE PF =⎧⎨=⎩，POE POF ∴ ≌，OE OF ∴=，在PEM 和PFN 中，MPE NPF PE PF PEM PFN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，PEM PFN ∴ ≌，EM NF ∴=，PM PN =，∴2OM ON OE ME OF NF OE +=++-=，故①正确；∴PEM PNF S S =△△，∴PMON PEOF S S ==四边形四边形定值，故④正确，设MPN x ∠=︒，PM PN = ，()111809022PNM PMN x x ∴∠=∠=⨯︒-=︒-︒，180AOB MPN ∠+∠=︒ ，180AOB x ∴∠=︒-︒，()111809022PON x x ∴∠=⨯︒-=︒-︒，PNM PON ∴∠=∠，故②正确，在旋转过程中，PMN 是等腰三角形，因为PM 的长度是变化的，所以MN 的长度是变化的，故③错误，故选：B ．二、填空题（每题3分，共24分）9.23x x ⋅=_______；213a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______；()322b -=_______．【答案】①.5x ②.219a ③.68-b 【分析】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂相乘法则、积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键．分别利用同底数幂相乘法则、积的乘方与幂的乘方法则即可求解．【详解】解：235x x x ×=，2222111339a a a ⎛⎫⎛⎫-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()333226228b b b -=-⋅=-．故答案为：5x ，219a ，68-b ．10.若10x a =，10y b =，则10x y +=_______．【答案】ab ##ba【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，明白“公式m n m n a a a +⨯=”是解题的关键．【详解】解：∵10x a =，10y b =，∴101010x x y y ab +´==，故答案为：ab ．11.一个多边形每一个外角都等于30︒，则这个多边形的内角和是________．【答案】1800︒##1800度【分析】利用多边形外角和为360︒，求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式，即可解答．【详解】解：由题意可得，多边形的边数为3601230︒=︒，∴多边形的内角和为()1801221800⨯-=︒，故答案为：1800︒．【点睛】本题考查了多边形的外角和，多边形的内角和，熟知多边形的内角和公式是解题的关键．12.等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为______cm ．【答案】6或8##8或6【分析】分边长为6cm 的边为腰和底边两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：①当边长为6cm 的边是底边时，则腰长为2067cm 2-=，此时三角形的三边分别为7cm 7cm 6cm 、、，能组成三角形，符合题意；②当边长为6cm 的边是腰时，则底边长为20628cm-⨯=此时三角形的三边分别为6cm 6cm 8cm 、、，能组成三角形，符合题意；综上所述，底边长为6cm 或8cm ．故答案为：6或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．13.如图，点D ，B ，C 点在同一条直线上，60A ∠=︒，50C ∠=︒，25D ∠=︒，则1∠=_______度．【答案】45【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．【详解】解：ABD ∠ 是ABC 的外角，6050110ABD A C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，11801801102545ABD D ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：45．14.如图，已知90B D ∠=∠=︒，请添加一个条件（不添加辅助线）_________，使ABC ADC △≌△，依据是_________．【答案】①.BC DC =②.HL ．【分析】根据全等三角形的判定方法，结合题意，求解即可．【详解】解：由题意可得：90B D ∠=∠=︒，AC AC =，再由BC DC =，可得()HL ABC ADC △≌△，故答案为：BC DC =，HL （答案不唯一）【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．15.如图，将分别含有30︒、45︒角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，则图中角α的度数为_________．【答案】140︒##140度【分析】本题考查直角三角形知识及三角形外角的性质．根据三角形外角公式可先求出DFB ∠，再用外角公式求出α∠即可．【详解】解：如图30B ∠=︒，65DCB ∠=︒∴306595DFB B DCB ∠=∠+∠=︒+=︒︒45D ∠=︒∴4595140D DFB α∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：140︒．16.如图，已知四边形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，14CD =厘米，90B C ∠=∠=︒，点E 为线段AB 的中点．如果点在P 线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点C 向点运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．当点Q 的运动速度为__________厘米/秒时，能够使BPE 与CPQ 全等．【答案】3或92【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动度；【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则3BP t =，83CP t =-，∵90B C ∠=∠=︒，∵点E 为线段AB 的中点．∴6BE AE ==，∴当5BE CP BP CQ ===，时，BPE 与CPQ 全等．此时，682t =-，解得23t =∴2BP CQ ==，此时，点Q 的运动速度为2233÷=（厘米/秒）当6BE CQ ==，BP CP =时，BPE 与CPQ 全等．此时783t t=-解得43t =∴点Q 的运动速度为49632÷=（厘米/秒）．故答案为3或92．三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分）17.计算：()()24y y +-【答案】228y y --【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的法则，熟练掌握“多项式与多项式相乘的法则计算：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键．【详解】解：()()24y y +-2248y y y =+--228y y =--．18.计算：()()2(2)31x x x -+-+．【答案】2261x x -+【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，多项式乘多项式进行计算求解即可．【详解】解：原式224433x x x x x =-+++--2261x x =-+．19.计算：()()43682x xx -÷【答案】3234x x -【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式运算法则，进行计算即可．【详解】解：()()43682x x x -÷436282x x x x=÷-÷3234x x =-．20.先化简，再求值：()()()22123x x x x +--+，其中=1x -【答案】32x --，1【分析】此题考查了整式乘法的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()()()22123x x x x +--+2224226x x x x x =-+---，32x =--，当=1x -时，原式()3121=-⨯--=．21.如图，AD 是ABC 的边BC 上的高，AE 平分BAC ∠，42B ∠=︒，70C ∠=︒，求BAE ∠和DAE ∠的度数．【答案】34BAE ∠=︒，14DAE ∠=︒【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．由三角形内角和定理可求得BAC ∠的度数，因AE 是角平分线，可得BAE ∠；在Rt ABD 中，可求得BAD ∠的度数，再由DAE BAD BAE ∠=∠-∠可求DAE ∠的度数．【详解】解： 42B ∠=︒，70C ∠=︒，∴180180427068BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE 平分BAC ∠，∴11683422BAE BAC ∠=∠==︒⨯︒， AD 是高，42B ∠=︒，∴9048BAD B =︒-=︒∠∠，∴483414DAE BAD BAE =-=︒-︒=︒∠∠∠．22.知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．【答案】见解析【分析】利用SAS 证明CAB DAB ∆∆≌，即可证明C D ∠=∠．【详解】解：AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在CAB ∆和DAB ∆中，AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAB DAB ∴∆∆≌，C D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS 、AAS 、ASA 、SSS 等全等三角形的判定方法是解题的关键．23.（1）如果()()253x x x mx n -+=++，那么m 的值是，n 的值是；（2）如果()()2122x a x b x x ++=-+，求()()22a b ++的值；【答案】（1）2-，15-；（2）12【分析】本题考查了多项式乘以多项式；（1）根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解；（2）根据单项式乘以多项式，得出12,2a b ab +=-=，代入代数式，即可求解．【详解】解：（1）∵()()253x x x mx n -+=++，∴()()253215x x x x -+=--，∴2,15m n =-=-；故答案为：2-，15-；（2）()()()22122x a x b x a b x ab x x ++=+++=-+ ，12,2a b ab ∴+=-=．∴()()22a b ++()24ab a b =+++()12242=+⨯-+12=．24.下面是“求作AOB ∠的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，针角AOB ∠．求作：AOB∠的角平分线．作法：①在OA 和OB 上，分别截取OD OE 、，使OD OE =；②分别以D E 、为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；③作射线OC ．所以射线OC 就是所求作的AOB ∠的角平分线．（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：由①可得：OD OE=由②可得：由③可知：OC OC=∴≌（依据：）∴可得COD COE ∠=∠（全等三角形对应角相等）即OC 就是所求作的AOB ∠的角平分线．【答案】（1）见解析（2）CD CE =，COD △，COE ，SSS【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质．根据题意正确作图是解题的关键．（1）按照步骤作图即可；（2）根据SSS 按照步骤写出证明COD COE V V ≌的过程，然后进行作答即可．【小问1详解】解：如图1，射线OC 即为所求；【小问2详解】证明：由①可得：OD OE =，由②可得：CD CE =，由③可知：OC OC =，∴()SSS COD COE △≌△，∴可得COD COE ∠=∠（全等三角形对应角相等），即OC 就是所求作的AOB ∠的角平分线．故答案为：CD CE =，COD △，COE 、SSS ．25.如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 、E 分别是线段BC AC 、上的一点，且AD AE =．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，则2∠的度数为；（2）如图2，用等式表示1∠与2∠之间的数量关系，并给予证明．【答案】（1）22.5︒（2）122∠=∠．证明见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AED EDC C ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，再根据等边对等角的性质B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，进而得出2BAD CDE ∠=∠．进而得出22BAD ∠=∠．（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AED EDC C ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，再根据等边对等角的性质B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，进而得出2BAD CDE ∠=∠．【小问1详解】解：∵AD AE =，∴AED ADE ∠=∠，∵90B C BAC ∠=∠∠=︒，，D 是BC 中点，∴145452BAD BAC B C ∠==︒==︒，∠∠，∵21AED C ADC B ∠=∠+∠∠=∠+∠，，∴122B C ∠+∠=∠+∠+∠，即22BAD ∠=∠，∴1222.52BAD ∠==︒；故答案为：22.5︒．【小问2详解】解：122∠=∠，证明如下：∵AD AE =，∴AED ADE ∠=∠，∵2AED C ADC B BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，，B C ∠=∠，∴22B BAD C ∠+∠=∠+∠+∠，∴22BAD ∠=∠，即122∠=∠．26.先阅读材料再解决问题．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，某小组同学探究了如下问题：“当ABC 和DEF 满足AB DE B E ABD =∠=∠ ，，和DEF 是否全等”．如图1，这小组同学先画ABM DEN AB DE ∠=∠=，，先过A 作AH BM ⊥于点H ，发现如下几种情况：当AC AH <时，不能构成三角形；当AC AH =时，根据“HL ”或“AAS ”，可以得到Rt ABC Rt DEF ≌．当AC AH >时，又分为两种情况．①当AH AC AB <<时，ABC 和DEF 不一定全等．②当AC AB ≥时，ABC 和DEF 一定全等．【解决问题】（1）对于AH AC AB <<的情况，请你用尺规在图2中补全ABC 和DEF ，使ABC 和DEF 不全等．（标明字母并保留作图痕迹）（2）对于AC AB ≥的情况，请在图3中画图并证明ABC DEF ≌．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，（1）根据题意作图；（2）分AC AB AC AB =>、两种情况，根据全等三角形的判定定理证明；掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键．【小问1详解】如图2，ABC 和DEF 不全等；【小问2详解】当AC AB =时，∵AC DF =，∴AC DF AB DE ===，∴B ACB E DFE ∠=∠∠=∠，，∴ACB DFE ∠=∠，在ABC 和DEF 中，B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DEF ≌，当AC AB >时，作DI EF ⊥于I ，∴90AHB DIE ∠=∠=︒，在ABH 和DEI 中，B E AHB DIE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABH DEI ≌，∴AH DI =，在AHC 和DIF 中，AC DF AH DI =⎧⎨=⎩，∴()HL AHC DIF ≌，∴ACB DFE ∠=∠，在ABC 和DEF 中，B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DEF ≌．。

北京市延庆区2024--2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市延庆区2024--2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≠D ．2x =2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 3．下列实数中，是无理数的是（）A ．3.14159B ．227C D 4．下列各式中，化简正确的是（）A ．22=B ．2(3=-C2=±D 5=-5．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（）A ．11n n m m +=+B ．22n n m m =C ．22a b a ba b-=--D ．1a ba b--=-+6．下列各式中，计算正确的是（）A =B =C =D4=7．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A ，则点A 表示的数是（）A ． 1.5-B ．C D ．π8．在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m 高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min ．如果设甲组的攀登速度为m/min x ，那么下面所列方程中正确的是（）A ．4504501.215x x =++B ．450450151.2x x=-C ．4504501.215x x =⨯+D ．450450151.2x x=+二、填空题9．36的算术平方根是．10在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．当分式123x x +-的值为0时，x 的值为．12．比较大小：（填“>”、“=”或“＜”）．13的一个同类二次根式．142(3)0n ++=，那么m n -的值为．15．已知1m m <<+，m 为整数，则m 的值是．16．某学校计划租客车接送305名学生和6名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有1名教师．现有A ，B ，C 三种型号的客车，载客量和租金如下表所示：A 型客车B 型客车C 型客车载客量（单位：人/辆）434955租金（单位：元/辆）135015001600请你写出一个满足乘坐需求的租车方案；租车总费用最少需要元．三、解答题17．计算：(1)；(2)+．18．计算：|21)-．19．计算：21211a a a +-++．20．计算：22222a b a bb a a b⎛⎫++-⋅⎪-⎝⎭．21．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题22511x x x +++-，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：甲同学：22511x x x +++-=25(1)(1)(1)(1)x x x x x +++-+-第一步=25(1)(1)x x x +++-第二步=7(1)(1)x x x ++-第三步乙同学：22511x x x +++-=2(1)5(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+-第一步=225x x -++第二步=33x +第三步老师发现这两位同学的解答过程都有错误．(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：22511x x x +++-22．解分式方程：1312x x x -+=+．23．解分式方程：2521393xx x +=+--．24．先化简，再求值：22222244a a a a a aa ⎛⎫---+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =．25．为了提高生产效率，宏达公司对生产线进行了技术更新．更新技术后平均每天比更新技术前多生产30万件产品，更新技术后生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求更新技术后每天生产多少万件产品？26．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23(1+=1==善于思考的小明进行了以下探索：对于a +m 和n ，使22m n a +=且mn =a +222m n mn ++，即2()m n +m n =+．（其中,,,a b m n 均为正数）例如：∵222413(1+=++=++=，1=．请你参考小明的方法探索并解决下列问题：(1)(2)；(3)b =+a ，b 都是整数，直接写出a 的值．27．对于形如2x ax bx c+++的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：221111x x x x x x x x x+++=+=++，21(1)212(1)33211111x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=++-----．解决问题：(1)分式223x x x-+可以表示成3P x +的形式，且P 为整式，用含x 的式子表示P ；(2)已知m 为整数．①若231x x mx -+-可以表示成一个整式，求m 的值；②若5m =，x 为整数，且231x x mx -+-的结果也为整数，直接写出x 的值．28．对于实数a ，b ，c ，给出如下定义：若ac a b b=-+，则把实数c 叫作实数a ，b 的“友好数”．(1)已知6a =，2b =，求a ，b 的“友好数”c ；(2)已知221a m m =++，2b m m =+，c 是a ，b 的“友好数”．①用含m 的式子表示c ；②若c 是整数，直接写出整数m 的值．。

2023-2024学年北京市第八中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解精选全文完整版

北京八中2023—2024学年度第一学期期中练习题年级：初二科目：数学一、选择题（每题2分，共20分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的．1.下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.336x x x += B.2510x x x ⋅= C.()3666x x = D.()22422x x =3.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A.ASAB.AASC.SASD.SSS4.下列说法错误．．的是（）A.直角三角形两锐角互余B.直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等C.如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5.如图，已知DBE BCA ≌△△，85DBE C =∠=︒∠，55BDE ∠=︒，则EBC ∠的度数等于（）A.30︒B.25︒C.35︒D.40︒6.使()()2x p x -+展开整理后不含x 项，则p 的值为（）A.1B.2C.3D.47.如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A.(40,)a -B.(40,)a -C.(40,)a -- D.(,40)a -8.已知2x a ab =-，2y ab b =-，x 与y 的大小关系是（）A.x y≥ B.x y≤ C.x y< D.x y>9.在ABC 中，5AC =，中线4=AD ，那么边AB 的取值范围为（）A .19AB << B.313AB << C.513AB << D.913AB <<10.甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流ABC 及A B C ''' 对应的边或角添加等量条件（点A '，B '，C '分别是点A ，B ，C 的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC 与A B C ''' 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲2cmAB A B ''==2乙4cmBC B C ''==3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（）①若第3轮甲添加5cm AC A C ''==，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件30C C '==︒∠∠：③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为90A A '∠=∠=︒．A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题（每题3分，共24分）11.计算：()01π-=_____．12.若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线．13.已知3m a =，4n a =，则2m n a +的值是_________．14.如图，将一把含有45︒角的三角尺的直角顶点放在一张宽3cm 的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成30︒，则三角尺的直角边的长为______cm ．15.等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角的度数为___________．16.如图，6cm AB AC ==，DB DC =，若60ABC ∠=︒，则BE =______cm ．17.如图，在ABC 中，,||AB AC AB CD =，过点B 作BE AC ⊥于E ，BD CD ⊥于D ，8,3,CD BD ABE == 的周长为_________．18.已知在长方形纸片ABCD 中，6AB =，5AD =，现将两个边长分别为a 和b 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ；若213-=S S 时，则1b -值为______．三、解答题（19题每题4分，共16分；20，21，23每题6分，22题5分；24题8分；25题9分；解答题共56分）．19.计算（1）()22124a babc -⋅；（2）()()325n n -+；（3）()()22x y x y ----；（4）()()32222362x y x y xy xy -+÷．20.先化简，再求值：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-，其中2220230a a +-=．21.如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB =CE ，AC =CD .求证：∠B =∠E .22.作图并填空．在ABC 中，（1）利用尺规作出BC 的垂直平分线，交BC 于D ，连接AD ；（2）画出ADC △的高CH ，CH 与BD 的大小关系为______；（3）画出ADC △的角平分线DM 交AC 点M ，若60ABC S =△，10DCM S =△，设AD a =，DC b =，则:a b =______．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点分别为()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称（1）画出直线l ，写出点A 关于l 的对称点A '坐标；（2）则A BC ' 的面积为______；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 坐标．24.如图，ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，BE AB ⊥交AD 的延长线于点E ，点F 在AE 上，且AF BE =，连接CF 、CE ．求证：（1）ACF BCE ∠=∠：（2）CF EF =．25.如图，在ABC 中，120180BAC ︒<<︒，AB AC =．AD BC ⊥于点D ．以AC 为边作等边ACE △，直线BE 交直线AD 于点F ．连接CF 交AE 于M ．（1）求证：FEA FCA ∠=∠：（2）探索FE ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．四、附加题（26题4分，27题6分，共10分）26.小明同学用四张长为x ，宽为y 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．（1）通过计算小正方形面积，可推出()2x y +，xy ，()2x y -三者之间的等量关系式为______；（2）利用（1）中的结论，试求：当()()3002001996x x --=时，求()22500x -的值．27.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知点()A 3,5，直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，点A '为点A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，则点A '的坐标为______；（2）如图1，正方形ABCD 的顶点坐标分别是()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ；点E 的坐标为()1,1，若点M 为正方形ABCD （不含边界）内一点，点M '为点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”，则点M '的横坐标x 的取值范围是______；（3）如图2，(),0T t （0t ≥）是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),1S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴夹角为60︒，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______．北京八中2023—2024学年度第一学期期中练习题年级：初二科目：数学一、选择题（每题2分，共20分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的．1.下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形，∴A 不符合题意；∵不是轴对称图形，∴B 不符合题意；∵不是轴对称图形，∴C 不符合题意；∵是轴对称图形，∴D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，熟记定义是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A.336x x x +=B.2510x x x ⋅= C.()3666x x = D.()22422x x =【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则进行判断即可．【详解】解：A 、33362x x x x +=≠，选项错误，不符合题意；B 、21075x x x x ⋅=≠，选项错误，不符合题意；C 、()3666x x =，选项正确，符合题意；D 、()2244242x x x =≠，选项错误，不符合题意．故选：C ．3.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A.ASAB.AASC.SASD.SSS【答案】A【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．【详解】解：由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据ASA 得到与原图形全等的三角形，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的的判定定理，掌握全等三角形的的判定定理是关键．4.下列说法错误．．的是（）A.直角三角形两锐角互余B.直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等C.如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定．根据直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，一一判断即可．【详解】解：A 、直角三角形两锐角互余，故A 不符合题意；B 、直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等，故B 不符合题意；C 、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称，故C 符合题意；D 、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D 不符合题意．故选：C ．5.如图，已知DBE BCA ≌△△，85DBE C =∠=︒∠，55BDE ∠=︒，则EBC ∠的度数等于（）A.30︒B.25︒C.35︒D.40︒【答案】A【分析】本题考查三角形全等的性质、三角形内角和的应用，根据DBE BCA ≌△△可得55ABC BDE ∠=∠=︒，再根据DBE ABC EBC =∠-∠∠即可求解．【详解】解：∵DBE BCA ≌△△，∴55ABC BDE ∠=∠=︒，∵85DBE C =∠=︒∠，∴30DB EBC E ABC -∠=︒∠=∠，故选：A ．6.使()()2x p x -+展开整理后不含x 项，则p 的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】本题主要考查多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则可进行把含x 的多项式进行展开，然后再根据题意可求解．【详解】解：()()()2222222x p x x px x p x p x p -+=-+-=+--，∵展开后不含x 项，∴20p -=，解得：2p =；故选：B ．7.如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A.(40,)a -B.(40,)a -C.(40,)a --D.(,40)a -【答案】B【分析】直接利用关于y 轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E 与点D 关于y 轴对称，∵飞机E 的坐标为(40，a )，∴飞机D 的坐标为(-40，a )，故选：B ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．8.已知2x a ab =-，2y ab b =-，x 与y 的大小关系是（）A.x y ≥B.x y≤ C.x y< D.x y>【答案】A【分析】本题主要考查完全平方公式、比较大小．利用作差法即可比较大小关系．【详解】解：已知2x a ab =-，2y ab b =-，则()22a a x yb ab b-=---22a ab ab b =-+-()20a b =-≥，所以x y ≥．故选：A ．9.在ABC 中，5AC =，中线4=AD ，那么边AB 的取值范围为（）A.19AB <<B.313AB << C.513AB << D.913AB <<【答案】B【分析】作辅助线（延长AD 至E ，使4DE AD ==，连接BE ）构建全等三角形BDE ADC △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知5BE AC ==；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB 的取值范围．【详解】解：延长AD 至E ，使4DE AD ==，连接BE ，则8AE =，∵AD 是边BC 上的中线，D 是中点，∴BD CD =，又∵,DE AD BDE ADC =∠=∠，∴()BDE ADC SAS ≌，∴5BE AC ==，由三角形三边关系，得AE BE AB AE BE -<<+，即8585AB -<<+，∴313AB <<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．10.甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流ABC 及A B C ''' 对应的边或角添加等量条件（点A '，B '，C '分别是点A ，B ，C 的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC 与A B C ''' 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲2cm AB A B ''==2乙4cm BC B C ''==3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（）①若第3轮甲添加5cm AC A C ''==，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件30C C '==︒∠∠：③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为90A A '∠=∠=︒．A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．【详解】解：①∵如果甲添加5cm AC A C ''==，又∵2cm AB A B ''==，4cm BC B C ''==，∴()SSS ABC A B C '''△≌△，∴乙获胜，故结论①正确；②∵如果甲添加30C C '==︒∠∠，又12AB BC =，反证法，假设90CAB ∠≠︒，那么在AC 上存在另一点D ，使得∠90CDB =︒，则在Rt CDB △中30︒角的对边为斜边的一半，即是12cm 2BD BC ==，又因为一点到直线的垂直线段长度最短，且交点唯一，那么A 与D 应重合，90CDB CAB ∠=∠=︒，∴ABC 是直角三角形，且90A ∠=︒，∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，∴这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，③如果第二轮条件修改为90A A '∠=∠=︒，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定A ABC B C '''≌△△，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意．故选：B ．二、填空题（每题3分，共24分）11.计算：()01π-=_____．【答案】1【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．【详解】∵10π-≠，∴()011π-=，故答案为1.【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．12.若一个多边形的内角和等于1260°，它是_____边形，从这个多边形的一个顶点出发共有_____条对角线．【答案】①.九②.27【分析】根据多边形内角和公式得到多边形边数，根据多边形对角线的条数的计算公式进行计算即可得到答案.【详解】设这个多边形的边数为n ，∴（n ﹣2）×180°＝1260°，解得n ＝9，∴这个多边形为九边形；∴对角线的条数＝(93)92-⨯＝27条．故答案为九；27【点睛】本题考查多边形内角和、多边形对角线的条数，解题的关键是掌握多边形内角和、多边形对角线的条数的计算.13.已知3m a =，4n a =，则2m n a +的值是_________．【答案】36【分析】根据()222m n m n mn a a a a a +==g g 求解即可得到答案．【详解】解：∵3m a =，4n a =∴()()22223436m n m n mn a a a a a +===⨯=g g ，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．14.如图，将一把含有45︒角的三角尺的直角顶点放在一张宽3cm 的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成30︒，则三角尺的直角边的长为______cm ．【答案】6【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质．如图，作AH CD ⊥于H ，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，作AH CD ⊥于H ，∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30︒角，即30ACH ∠=︒，3cm AH =，∴等腰直角三角形的直角边()26cm BC AC AH ===，故答案为：6．15.等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角的度数为___________．【答案】80︒或50︒【分析】分50︒的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．【详解】解：当50︒的内角是等腰三角形的底角时，它的顶角的度数为：180505080︒-︒-︒=︒；当50︒的内角是等腰三角形的顶角时，它的底角的度数为：()118050652⨯︒-︒=︒，符合要求；故答案为：80︒或50︒．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．16.如图，6cm AB AC ==，DB DC =，若60ABC ∠=︒，则BE =______cm ．【答案】3【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质；先根据AB AC =，DB DC =，得AD 是BC 的垂直平分线，进而证明ABC 是等边三角形，即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DB DC =，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AD BC ⊥，BE CE =，∵60ABC ∠=︒，AB AC =，∴60ACB ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴6cm BC AB AC ===，∴13cm 2BE BC ==，故答案为：3．17.如图，在ABC 中，,||AB AC AB CD =，过点B 作BE AC ⊥于E ，BD CD ⊥于D ，8,3,CD BD ABE == 的周长为_________．【答案】11【分析】根据角平分线的性质得出BE BD =，再证明Rt Rt (HL)BEC BDC ≌，得出CE CD =即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵||AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，∴BCD ACB ∠=∠，∴CB 平分ACD ∠，∵BD CD ⊥，BE AC ⊥，∴BE BD =，∵BC BC =，∴Rt Rt (HL)BEC BDC ≌，∴CE CD =，∵ABE 的周长AE BE AB =++，∵AB AC =，即ABE 的周长=CA AE BE CE BE CD ++=+=8311BD +=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．18.已知在长方形纸片ABCD 中，6AB =，5AD =，现将两个边长分别为a 和b 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ；若213-=S S 时，则1b -值为______．【答案】2【分析】本题主要考查整式的混合运算的实际应用．利用面积的和差关系，分别表示出1S 和2S ，再表示出21S S -，结合213-=S S ，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴6AB CD ==，5AD BC ==，∵2216(5)()(6)30666306S a a b a a a b a ab b a ab =-+--=-+--+=--+，225(6)()(5)30555S a a b a a a b a ab =-+-⋅-=-+--+，∵213-=S S ，∴()212230555306S b S -+--=----++2230555306a a b a ab b a ab=-+--+-++-b =，∵213-=S S ，∴3b =，∴12-=b ．故答案是：2．三、解答题（19题每题4分，共16分；20，21，23每题6分，22题5分；24题8分；25题9分；解答题共56分）．19.计算（1）()22124a b abc -⋅；（2）()()325n n -+；（3）()()22x y x y ----；（4）()()32222362x y x y xy xy -+÷．【答案】（1）53a b c（2）231310n n +-（3）2244x xy y ++（4）2332x y xy -+【分析】本题考查了整式的混合运算．（1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可；（2）利用多项式乘多项式的运算法则即可求解．（3）利用完全平方公式计算即可；（4）利用多项式除单项式的运算法则即可求解．【小问1详解】解：()22124a b abc -⋅24144a b abc =⋅53a b c =；【小问2详解】解：()()325n n -+2321510n n n -+-=231310n n =+-；【小问3详解】解：()()22x y x y ----()22x y =--2244x xy y =++；【小问4详解】解：()()32222362x y x y xy xy -+÷()()()3222223262x y xy x y xy xy xy =÷-÷+÷2332x y xy =-+．20.先化简，再求值：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-，其中2220230a a +-=．【答案】225a a ++，2028【分析】此题主要考查了整式的混合运算－化简求值．直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再利用已知变形代入即可．【详解】解：2(21)6(1)(32)(32)a a a a a -++-+-2224416694a a a a a =-+++-+，225a a =++，∵2220230a a +-=，∴222023a a +=，∴原式202352028=+=．21.如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB =CE ，AC =CD .求证：∠B =∠E .【答案】证明见解析.【详解】试卷分析：根据AB//CD 得出∠DCA=∠CAB ，结合AB=CE ，AC=CD 得出△CAB ≌△DCE ，从而得出答案.试卷解析：∵AB//CD ，∴∠DCA=∠CAB 又∵AB=CE ，AC=CD ，∴△CAB ≌△DCE ∴∠B=∠E.考点：（1）平行线的性质；（2）三角形全等的判定与性质22.作图并填空．在ABC 中，（1）利用尺规作出BC 的垂直平分线，交BC 于D ，连接AD ；（2）画出ADC △的高CH ，CH 与BD 的大小关系为______；（3）画出ADC △的角平分线DM 交AC 点M ，若60ABC S =△，10DCM S =△，设AD a =，DC b =，则:a b =______．【答案】（1）见解析（2）CH BD<（3）2:1【分析】本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线；（2）根据斜边大于直角边以及线段中点的意义即可求解；（3）作ME CD ⊥于点E ，MF AD ⊥于点F ，利用角平分线的性质求得ME MF =，利用面积法即可求解．【小问1详解】解：如图，直线l 为所作；【小问2详解】解：ADC △的高CH 如图所示，∵CH DH ⊥，∴90H ∠=︒，∴CH CD <，∵BC 的垂直平分线，交BC 于D ，∴BD CD =，∴CH BD <，故答案为：CH BD <；【小问3详解】解：ADC △的角平分线DM 如图所示，作ME CD ⊥于点E ，MF AD ⊥于点F，∵BD CD =，60ABC S =△，∴1302ADC ABC S S == ，∵10DCM S =△，∴20ADM S =△，∵DM 是ADC ∠的角平分线，ME CD ⊥，MF AD ⊥，∴ME MF =，∵12022a AD MF MF ⨯=⨯=，11022b CD MF MF ⨯=⨯=，∴40220a MF b ME ==，∴:2:1a b =故答案为：2:1．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点分别为()2,6A -，()5,1B -，()3,1C ．点B 与点C 关于直线l 对称（1）画出直线l ，写出点A 关于l 的对称点A '坐标；（2）则A BC ' 的面积为______；（3）若点P 在直线l 上，90BPC ∠=︒，直接写出点P 坐标．【答案】（1）直线l 见解析，点A 关于l 的对称点A '坐标为()06，；（2）20（3）点P 的坐标为()1,5-和()1,3--．【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质．（1）根据点B 与点C 的坐标求出中点坐标D ，然后过点D 作BC 的垂线即可得出直线l ；（2）根据三角形面积公式求出结果即可；（3）分两种情况：当P 在直线BC 上方时，当P 在直线BC 下方时，分别求出结果即可．【小问1详解】解：∵()5,1B -，()3,1C ，∴中点D 的坐标为()1,1-，过点D 作BC 的垂线，即为所求作的直线l ，如图所示：；∴点A 关于l 的对称点A '坐标为()06，；【小问2详解】解：如图，()1861202A BC S '=⨯⨯-= ；故答案为：20；【小问3详解】解：∵B 与点C 关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分BC ，∵点P 在直线l 上，∴BP CP =，∵PD BC ⊥，∴PD 平分BPC ∠，∵90BPC ∠=︒，∴190452BPD CPD ∠=∠=⨯︒=︒，∴BPD △为等腰直角三角形，∴142PD BD BC ===，当P 在直线BC 上方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：145+=，∴此时点P 的坐标为()15-，；当P 在直线BC 下方时，如图所示：此时点P 的纵坐标为：143-=-，∴此时点P 的坐标为()1,3--；综上分析可知，点P 的坐标为()1,5-和()1,3--．24.如图，ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，BE AB ⊥交AD 的延长线于点E ，点F 在AE 上，且AF BE =，连接CF 、CE ．求证：（1）ACF BCE ∠=∠：（2）CF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）先根据条件得到AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，再结合BE AB ⊥利用角之间的变换得到EBD CAD ∠=∠，从而证明()SAS CAF CBE ≌，即可得到结论；（2）先根据垂直平分线的性质得到CE BE =，进而得到CE CF =，再根据三角形外角的性质得到60CFD CAF ACF ∠=∠+∠=︒即可证明CFE 是等边三角形，即可得到结论．【小问1详解】证明：∵ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，AC BC =，∴AD BC ⊥，CAD BAD ∠=∠，∴90DBA BAD ∠+∠=︒，∵BE AB ⊥，∴90DBA EBD ∠+∠=︒，∴EBD BAD ∠=∠，∴EBD CAD ∠=∠，∵AF BE =，AC BC =，∴()SAS CAF CBE ≌，∴ACF BCE ∠=∠；【小问2详解】证明：∵ABC 是等边三角形，∴AC AB =，∴AD 是BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 的延长线上，∴CE BE =，由（1）得：()SAS CAF CBE ≌，∴CF BE =，CF AF =，∴CE CF =，∵ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD 是ABC 的中线，同时是角平分线，高线，∴1302CAD CAB ACF ∠=∠=︒=∠，∴60CFD CAF ACF ∠=∠+∠=︒，∴CFE 是等边三角形，∴CF EF =；【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，看到等边三角形要想到三线合一，一般证明两个角相等都会用到三角形全等．25.如图，在ABC 中，120180BAC ︒<<︒，AB AC =．AD BC ⊥于点D ．以AC 为边作等边ACE △，直线BE 交直线AD 于点F ．连接CF 交AE 于M ．（1）求证：FEA FCA ∠=∠：（2）探索FE ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）2FE FA FD +=，见解析【分析】（1）由等边三角形的性质及等腰三角形的性质，求得FEA FBA ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质求得ABE ACF ∠=∠，据此可得出答案；（2）在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，根据等边三角形的性质得出60EFM ∠=︒，根据等边三角形的判定得出EFN 是等边三角形，求出60FEN ∠=︒，EN EF =，求出AEF CEN ∠=∠，根据SAS 推出EFA ENC △≌，根据全等得出FA NC =，求出2FC FD =，即可得出答案．【小问1详解】证明：AD 为边BC 的垂直平分线，AB AC ∴=，ACE Q V 为等边三角形，AC AE ∴=，AB AE =∴，FEA FBA ∴∠=∠；∵直线AD 垂直平分BC ，AB AC ∴=，FB FC =，ABC ACB FBC FCB ∴∠=∠∠=∠，，FBC ABC FCB ACB ∴∠-∠=∠-∠，即ABE ACF ∠=∠，ABE AEF ∠=∠ ，∴FEA FBA ∠=∠；【小问2详解】解：2FE FA FD +=，证明：在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，如图2，由（1）得：AEF ACF ∠=∠，FME CMA ∠=∠ ，EFC CAE ∴∠=∠，等边三角形ACE 中，60CAE ∠=︒，60EFC ∴∠=︒．FN FE = ，EFN ∴ 是等边三角形，60FEN ∴∠=︒，EN EF =，ACE Q V 为等边三角形，60AEC ∴∠=︒，EA EC =，FEN AEC ∴∠=∠，FEN MEN AEC MEN ∴∠-∠=∠-∠，即AEF CEN ∠=∠，在EFA △和ENC ∠中，EF EN AEF CEN EA EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS EFA ENC ∴ ≌，FA NC ∴=，FE FA FN NC FC ∴+=+=，60EFC FBC FCB ∠=∠+∠=︒ ，FBC FCB ∠=∠，160302FCB ∴∠=⨯︒=︒，AD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，2FC FD ∴=，2FE FA FD ∴+=．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30︒角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．四、附加题（26题4分，27题6分，共10分）26.小明同学用四张长为x ，宽为y 的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．（1）通过计算小正方形面积，可推出()2x y +，xy ，()2x y -三者之间的等量关系式为______；（2）利用（1）中的结论，试求：当()()3002001996x x --=时，求()22500x -的值．【答案】（1）()()224x y x y xy-=+-（2）()22500x -的值是2016．【分析】本题主要考查几何图形与整式乘法．（1）直接利用图象面积得出答案；（2）利用多项式乘法将已知条件变形，即可求出答案．【小问1详解】解：由题意得，小正方形的面积=大正方形的面积4-个长方形的面积和，()()224x y x y xy ∴-=+-，故答案为：()()224x y x y xy -=+-；【小问2详解】解：设300A x =-，200B x =-，∴100A B +=-，2500A B x -=-，1996AB =，∴22()()4A B A B AB -=+-，∴()()222500100419962016x -=--⨯=，故()22500x -的值是2016．27.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知点()A 3,5，直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，点A '为点A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，则点A '的坐标为______；（2）如图1，正方形ABCD 的顶点坐标分别是()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ；点E 的坐标为()1,1，若点M 为正方形ABCD （不含边界）内一点，点M '为点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”，则点M '的横坐标x 的取值范围是______；（3）如图2，(),0T t （0t ≥）是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),1S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴夹角为60︒，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______．【答案】（1）()3,1--（2）13x <<（3）31N y '-≤≤【分析】（1）根据“二次对称点”的定义求解即可；（2）由题意，直线OE 的解析式为y x =，点M 关于y 轴对称的点的轴坐标的取值范围为13y <<，由直线OE 的解析式为y x =，得M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”点M '的横坐标即是关于y 轴的纵坐标，，由此可得结论；（3）如图2中，当点N 与S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，如图3中，当点T 与原点重合，N 与()01，重合时，N '和N ''都与()01，重合，此时()01N '，．求出这两种特殊位置N '的坐标，可得结论．【小问1详解】解∶点()A 3,5关于y 轴的对称点为()13,5A -，∵直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，∴点()13,5A -关于直线l 的对称点为()3,1A '--；故答案为：()3,1--【小问2详解】解∶如图，设直线OE 的解析式为y kx =，∵点E 的坐标为()1,1，∴1k =，∴直线OE 的解析式为y x =，∵()0,1A ，()0,3B ，()2,3C ，()2,1D ,∴点M 关于y 轴对称的点的轴坐标的取值范围为13y <<，∴点M 关于y 轴，直线OE 的“二次对称点”点M '的横坐标x 的取值范围是13x <<，故答案为：13x <<；【小问3详解】解∶如图2，设点N 关于y 轴的对称点为点N ''当点N 与S 重合，且N '在y 轴上时，连接SN ''交直线于点K ，交y 轴于点J ，连接KN '，设直线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，∵,60CDO ∠=︒OD KJ ∥，OD OC ⊥，∴60CKJ CDO ∠=∠=︒，30KCJ ∠=︒∵N '和N ''关于直线l 对称，∴18060120CKN CKN ︒'''∠=∠=︒-︒=，∴1801203030KN J KCJ '∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴KC KN '=，∵KJ CN '⊥，∴2CJ JN '==，∴3ON '=，∴此时点()0,3N '-，如图3，当点T 与原点重合，N 与()01，重合时，N '和N ''都与()01，重合，此时()01N '，．根据题意得：0t ≥，观察图象得：满足条件的N '的纵坐标为31N y '-≤≤．故答案为：31N y '-≤≤【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置，解决问题，属于中考压轴题．。

北京市大峪中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

大峪中学2024—2025第一学期初二年级数学学科期中考试试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共8小题，每小题2分，共16分）．1．．下列计算正确的是A．342a a a ⋅=B．()339a a =C．33()ab a b =D．824a a a ÷=2．如图，△ABC 中AB 边上的高线为3．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A ．两点之间，线段最短B ．三角形的稳定性C ．长方形的四个角都是直角D ．四边形的稳定性4.将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°5.如图为了测量B 点到河对而的目标A 之间的距离，在B 点同侧选择了一点C ，测得65ABC ∠=︒，35ACB ∠=︒，然后在M 处立了标杆，使65MBC ∠=︒，35MCB ∠=︒，得到MBC ABC ≌△△，所以测得MB 的长就是A ，B 两点间的距离，这里判定MBC ABC ≌△△的理由是（）A ．SAS B ．AAS C ．ASA D ．SSS（A ）AD（B ）CE （C ）AF （D ）BG的值为（）是完全平方式，则已知m 9y 42++my 6．图中的四边形均为长方形，用等式表示下图中图形面积的运算为（）A.()2222a b a ab b -=-+ B.()()22a b a b a b +-=-C.()2a a b a ab +=+ D.()222a b a ab b +=++7.A.6 B.12 C.6± D.12±8.设a ，b 是实数，定义一种新运算()2a b a b =-☆，下面有四个推断：①a b b a=☆☆②()222a b a b =☆☆③()()a b a b -=-☆☆④()a b c a b a c+=+☆☆☆其中所有正确推断的序号是A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③二、填空题：（共8小题，每小题2分，共16分）．9．三角形两边长分别是4，6，则第三边边长a 的取值范围是.10．一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的边数是__________．11．===+n m n m a a a 32则,2,3若__________.12．如图，△ABC 中，∠B=20°，D 是BC 延长线上一点，且∠ACD=60°，则∠A的度数是____________．第12题图第13题图13.如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠A BC ，交AC 于点D ，DE ⊥BC 于E,若AB=6,BC=10,AC=8,则ΔCDE 的周长为__________.的条件是，可添加ADC ≌ABC ，添加一个条件使得AD AB 中，ABCD 如图，在四边形∆∆=97103)4(⨯.的值5)-x （2-3)x ）（3-x （1)-x 求代数式（,12x 已知22++=-x 14.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则=∠+∠+∠321_________.15．________.16．如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB ＝9，CA ＝22a +，CB ＝23a -．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC ＝90°，则a 的取值范围是_______，△ABD 的面积的最大值为_______．14题图15题图16题图三、解答题:（17题每小题3分共12分；18题6分；19-20题每题4分；21题3分；22-26题每小题5分；27-28题每小题7分）17.计算7352)(）1（a a a ∙+)3()31215)(2(3224x x y x y x -÷--)2)(2()2)(3(2y x y x y x -+-+18.19．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种，并完成证明.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图，△ABC .求证：∠A+∠B+∠C=180°..的距离相等CA ，BC ，AB 内，且到三边ABC 在P ，使得点P 求作：点.ABC 已知：如图，∆∆.的度数DAE 求,50，30B 若.的高和角平分线ABC 分别是AE ，AD 中，ABC 如图，在∠=∠=∠∆∆ C方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC .方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB .20.如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF ＝CE ，AB∥ED ，AC ∥FD ．求证：△ABC ≌△DEF ．21.22．23．已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，求它的周长..的倍数8是）1-n2(1)(2n两个连续奇数的平方差证明：当n是整数时，22-+24．(2)从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示）.25.26.已知：如图，A、B、D三点在同一直线上，AC=BC,DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，判断线段AD与线段BE的关系，并证明你的结论。

北京市朝阳区北京中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市朝阳区北京中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A ．清华大学B ．北京大学C ．中国人民大学D ．浙江大学2．下列运算正确的是（）A ．235a a a ⋅=B ．352()a a =C ．33(2)2a a -=-D ．933a a a ÷=3．如图是折叠凳及其侧面示意图．若18cm AC BC ==，则折叠凳的宽AB 可能为（）.A ．70cmB ．55cmC ．40cmD ．25cm 4．若正多边形的一个外角是72︒，则该正多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．如图，ABC V 是等边三角形，D 是BC 边上一点，DE AC ⊥于点E ．若3EC =，则DC 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3-关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()2,3--B ．()2,3-C ．()3,2-D ．()2,37．如图，点E ，C ，F ，B 在一条直线上，AB ED ∥，∠A ＝∠D ，添加下列条件不能判定ABC DEF ≌△△的是（）A ．AC DF ∥B ．AB DE =C ．EC BF =D ．AC DF=8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，ACB ∠的平分线与ABC ∠的外角的平分线交于E 点，连接AE ，则AEB ∠的度数是（）A ．50︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒二、填空题9．()4224x x x ÷÷=．10．如果()2310639m n a b a b =成立，那么m =，n =．11．等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角的度数为．12．直线l 1∥l 2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=．13．在一张凸n 边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为720︒的凸多边形纸片，则n 的值为．14．如图，在ABC V 中，5BC =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PDE △的周长是．15．如图，在ABC 中，24AB AC ==厘米，16BC =厘米，点D 为A 的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段B 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使BPD 与CQP 全等．16．某“数学乐园”展厅的wifi 密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是．三、解答题17．计算：()32347a a a a ⋅+-÷．18．计算：(2)(3)(1)y y y y ++--．19．已知2220x x +-=，求代数式2(3)(5)(1)x x x -+++的值．20．已知：如图，DE BC ∥，点A 为BE 的中点，点B 、A 、E 共线，求证：DE BC =．21．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E，F．求证：∠B=∠C22．一个多边形的内角和与外角和的总和为1800°,求这个多边形的边数．⊥．23．如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD AB小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．=，∵BC BD∴点B在线段CD的垂直平分线上．（_______________）（填推理的依据）∵AC=______________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．⊥．∴CD AB⨯的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要24．如图，812求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C的坐标是，点C关于x轴的对称点1C的坐标是；（2）设l 是过点C 且平行于y 轴的直线，①点A 关于直线l 的对称点1A 的坐标是；②在直线l 上找一点P ，使PA PB +最小，在图中标出此时点P 的位置；③若Q (m ，n )为网格中任一格点，直接写出点Q 关于直线l 的对称点1Q 的坐标（用含m ，n 的式子表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，给出如下定义：若P 为ABC V 内（不含边界）一点，且AP 与BCP 的一条边相等，则称P 为ABC V 的友爱点．（1）在()10,3P ，()21,1P -，()32,1P-中，ABC V 的友爱点是________；（2）如图2，若P 为ABC V 内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒，求证：P 为ABC V 的友爱点；（3）直线l 为过点()0,M m ，且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在ABC V 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围．26．在ABC V 中，90B Ð=°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC CD ，的垂直平分线的交点，连接EA EC ED ，，．(1)如图1，当50BAC ∠=︒时，则AED =∠______︒；(2)当60BAC ∠=︒时，①如图2，连接AD ，判断AED △的形状，并证明；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE ∠=∠．P 为直线CF 上一动点．当PE PD -的值最大时，用等式表示PE PD ，与AB 之间的数量关系为______，并证明．。

2024-2025学年北京市昌平区八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京市昌平区八年级第一学期期中质量抽测数学试卷本试卷共28个小题，满分100分．考试时间120分钟．一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）1．如果分式32x x +有意义，那么x 的取值范围是（） A ．3x ≠ B ．2x ≠ C ．2x ≠− D ．0x ≠2．4的算术平方根是（）A ．2B ．2−C ．2±D ．43．下列各式中，是最简二次根式的是（）ABCD4．下列式子从左到右变形正确的是（）A ．22m m n n =B ．11m m n n +=+C ．m m n n =−−D ．22m n m n m n+=++ 5．实数a a =在数轴上的对应点位置如图所示，则正确的是（）A ．B ．C ．D ． 6．下列说法正确的是（）A ．3−是9的一个平方根B2=± C ．18的立方根是12和12− D17=− 7．将公式12111R R R =+（12,,R R R 均不为零，且2R R ≠）变形为求1R 的式子，正确的是（） A ．212RR R R R =− B ．212RR R R R=+ C ．1212RR RR R R += D ．212RR R R R =− 8．某小区有一块边长为a 的正方形场地，规划修建两条宽为b 的绿化带、方案一如图甲所示，绿化带面积为S 甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S 乙，设(>>0)S k a b S =甲乙，下列选项中正确的是（）A ．102k <<B ．112k <<C ．312k <<D ．322k << 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．约分：315ab ab=_______．10在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．11．若分式2x x−的值是0，则x 的值为_______． 12．不改变分式0.2150.3x x+−的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，0.2150.3x x +=−_______． 13．若分式221x x +的值为正，则x 的取值范围是_______．14．若实数,x y 2(0y +=，则代数式xy 的值是_______．15．如果实数a =_______．16．用三个不等式11,0,a b ab ba >><中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______．三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28思，每小题7分，共68分）17．计算：11x x x+−． 18．计算：2322a b a c bc⎛⎫−+ ⎪⎝⎭． 19．计算：222142x x y x y−−−． 20．计算：22214244x x x x x x x x +−−⎛⎫−+⎪−−+⎝⎭．21．解方程：25122x x x−=−−． 22．先化简，再求值：3211211a a a a ⎛⎫÷− ⎪−+−⎝⎭，其中210a a +−=． 23．己知：一个正数a 的两个不同平方根分别是5x +和415x −．（1）求x 的值；（2）求117a +的立方根． 24．阅读材料，然后作答：，这一类式子，通常进行这样的化简：1)132======−，这种把分母中的根号化221===−．请仿照上述方法解决下面问题：（1；（2． 25．列方程解决实际问题：为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？26．阅读下面文字，解答问题．11，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，<<23<<的整数部分为22．参考小明的做法解答：（1的整数部分为m ，小数部分为n ，则m n −+=_______；（2x y =+，其中x 是整数，且01y <<，则31(1)3x y ++=_______．27．信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一：代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等），确定分式方程的解，其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义；信息22=这种特征的题目，可以两边同时平方得到4x =；信息3：遇到20y y −=这种特征的题目，可以将左边变形，得到(1)0y y −=，进而可以得到0y =或1y =，结合上述信息解决下面的问题：（1）问题12=．可得：a =_______；（2）问题2：解关于b 1b =−．28．我们可以将一此只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 11111111111a a a a a a a a −+−==+=+−−−−−， 313(1)43(1)44311111a a a a a a a a −+−+==−=−+++++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将11a a −+变形为满足以上结果要求的形式：11a a −=+_______；（2）若431a a −−变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a 的值；（3）将2231a a a −+−化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．。

北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷(含答案)

北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初二数学期中考试试卷考查目标1.知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因式分解》的全部内容.2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.考生须知 1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡7页。

全卷共三大题，28道小题。

2.本试卷满分100分，考试时间120分钟。

3.在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号。

4.考试结束，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题共 16分）一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）1.中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（） A.B.C.D.2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.如图是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，那么判定图中两三角形全等的条件是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA 4.如图，在中，边上的高是（）32m m m -=326m m m ⋅=624m m m ÷=()239m m =ABC △BCA. B. C. D.5.如图，在中，，于D ，点B 关于直线的对称点是点，若，则的度数为（）A.8°B.10°C.20°D.40°6.已知式子的计算结果中不含x 的一次项，则a 的值为（）A. B.3 C.1.5D.07.根据下列已知条件，不能画出唯一的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，8.如图，和分别是的内角和外角的角平分线，，连接.以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为______.10.若有意义，则x 的取值范围是______.11.如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是______.BD CE BE AFABC △90BAC ∠=︒AD BC ⊥AD B '50B ∠=︒B AC '∠()()23x x a +-3-ABC △10AB =6BC =5CA =10AB =6BC =30A ∠=︒10AB =6BC =60B ∠=︒10AB =6BC =90C ∠=︒BD AD ABC △ABC ∠CAE ∠AD BC P CD AB AC =2BAC BDC ∠=∠4EAC ADB ∠=∠90ADC ABD ∠+∠=︒()021x -12.如图是一个五边形，图形中x 的值为______°.13.如图，在长方形中，，垂足为E ，交于点F ，连接.请写出一对面积相等但不全等的三角形______.14.若，，则______.15.如图，在等腰中，，，，，点C 的坐标是______.16.如图，等边的边长为5，点E 在上，，射线，垂足为点C ，点P 是射线上一动点，点F 是线段上一动点，当的值最小时，的长为______.ABCD AF BD ⊥AF BC DF 3a x =2b x =3a b x +=Rt ABC △90CAB ∠=︒AB AC =2OA =3OB =ABC △BC 2CE =CD BC ⊥CD AB EP FP +BF三、解答题（共68分，其中第17-21，23题每题5分，第22，24，25，26题每题6分，第27-28题每题7分）17.计算：.18.因式分解：.19.因式分解：.20.已知，求代数式的值.21.如图，中，，于点E ，于点D ，与相交于点F .求证：.22.如图，已知.（1）根据要求尺规作图：①作的平分线；②在上取点C ，作边的垂直平分线交于点D ，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：.解：平分垂直平分线段（____________）（填推理依据）（____________）（填推理依据）()2533a a a⋅--2328x y y -()()314x x +-+2410m m --=()()()22311m m m ---+ABC △45ABC ∠=︒BE AC ⊥AD BC ⊥BE AD BF AC =AOB ∠AOB ∠OP OP OC MN OA CD CD OB P OC AOB ∠AOC BOC ∴∠=∠MN OCDO DC ∴=AOC DCO ∴∠=∠BOC DCO ∴∠=∠CD OB∴P23.如图：在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：，，.（1）画出关于x 轴对称的图形.其中A 、B 、C 分别和、、对应；（2）点P 在y 轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是______个.24.如图，是等边三角形，于D ，为边中线，，相交于点O ，连接.（1）判断的形状，并说明理由（2）若，求的长.25.如图1有三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b ，宽为a 的长方形，老师用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形.（1）观察图2的面积关系，写出一个数学公式______；（2）根据数学公式，解决问题：已知，，求的值.26.我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法.步骤如下：①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；ABC △xOy ()3,1A -()1,2B --()1,3C ABC △111A B C △1A 1B 1C ACP △ABC △BD AC ⊥AE BC AE BD DE CDE △2OD =OB 7a b +=2229a b +=()2a b -()()43267121x x x x ---÷+46x 2x 33x 33x ()21x +()4363x x +④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.余式为0，可以整除.请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）：（1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子；（2）多项式除以商式为______，余式为______；（3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______.27.已知，，，连接和.（1）如图1，①求证：；②当时，的延长线交于点F ，写出与的数量关系并证明；（2）如图2，与的延长线交于点P ，连接，直接写出的度数（用含的式子表示）28.在平面直角坐标系，中，已知点，过点且垂直于x 轴的直线记为直线，过点且垂直于y 轴的直线记为直线.给出如下定义：将图形G 关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形G 关于点M 的双对称图形.（1）已知点M 的坐标为，点关于点M 的双对称图形点的坐标为______；()3210x x-- 432671x x x ∴---21x +2357x x +-2x +324839x x x +--1x -AB AC =AD AE =BAC DAE α∠=∠=BD CE BD CE =AD BD ⊥ED BC BF CF CE DB AP APB ∠αxOy (),M m n (),0m x m =()0,n y n =x m =1G 1G y n =2G 2G ()0,1()2,3N 2N（2）如图，的顶点坐标是，，.①已知点M 的坐标为，点，点，线段关于点M 的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求n 的取值范围；②已知点M 的坐标为，直线l 经过点且平行于第一三象限的角平分线，当关于点M 的双对称图形与坐标轴有交点时，直线l 上存在满足条件的双对称图形上的点，直接写出k 的取值范围.北京二中教育集团2024—2025学年度第一学期初二数学期中考试参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1-5.ACADB 6-8.CBD二、填空题（共16分，每小题2分）9.12 10.11.三角形具有稳定性 12.121°13.和（和，和，和）14.24 15. 16.3.5三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17.原式18.原式19.原式20.解：原式当时原式21.证明：， ABC △()2,3A -()4,1B -()0,1C ()1,1-()4,P n ()4,1Q n +PQ 22P Q ABC △(),3m m -+()0,k ABC △222A B C △222A B C △12x ≠ABF △DBF △ABD △AFD △BCD △AFD △ABE △DEF △()5,2--66698a a a=-=-()()()2224222y x yy x y x y =-=+-()222234211x x x x x =+-+=++=+2224129131210m m m m m =-+-+=-+2410m m --=31013=+=BE AC ⊥ AD BC ⊥90ADB ADC BEC ∴∠=∠=∠=︒，在与中 22.（1）图略（2）线段垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等等边对等角23.解：（1）图略（2）524.（1）等边三角形证：在等边中，，，又为边上的中线又是等边三角形（2），，，为边上的中线，在中， 25.解：（1）（2）9又 26.解：（1）2，（2），（3）27.解：（1）①证： 90EBC C ∴∠+∠=︒90DAC C ∠+∠=︒EBC DAC ∴∠=∠45ABC ∠=︒ 9045BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒ABC BAD∴∠=∠AD BD ∴=BFD △ACD △ADB ADC BD ADEBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BFD ACD ∴≌△△BF AC∴=ABC △AB BC AC ==60C ABC BAC ∠=∠=∠=︒AB BC = BD AC ⊥12CD AC ∴=AE BC 12CE BC ∴=CD CE ∴=60C ∠=︒ CDE ∴△AB BC = AB AC =BD AC ⊥AE BC 1302ABD ABC ∴∠=∠=︒1302BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒ABD BAE ∴∠=∠OA OB ∴=BD AC ⊥ 90BDA ∴∠=︒ Rt AOD △30CAE ∠=︒24OA OD ∴==4OB OA ∴==()2222a b a ab b +=++7a b += ()249a b ∴+=()()()22222a b a b a b ++-=+ ()2229499a b ∴-=⨯-=32105x x--31x -5-()()2123x x -+BAC DAE α∠=∠= BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠在与中 ②法1：延长至G ，使，连接。

北京市大兴区2024—2025学年上学期期中检测八年级数学试题(含答案)

大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测初二数学2024.11考生须知1.本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2.在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.的相反数是（）（A）（B（C）（D2.下列四个图标中是轴对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）3.下列四组线段中，能组成三角形的是（）（A）2，3，5（B）3，4，5（C）3，4，8（D）5，5，104.如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）（A）（B）（C）（D）5.正十二边形的外角和为（）（A）30°（B）150°（C）360°（D）1800°6.在中，，则（）（A）是锐角三角形（B）是直角三角形（C）是钝角三角形（D）不存在7.如图，在中，，是的平分线，已知，，则的面积是（）（A）3.5（B）5（C）7（D）148.在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点ABC△ABABC△::1:2:3A B C∠∠∠=ABC△ABC△90C∠=︒AD CAB∠2CD=7AB=ADB△ABC△ABC∠ACB∠BC AB ACD ，E .给出下面四个结论：①若，则；②若，则；③；④若，，则的周长为.上述结论中，正确的个数是（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题（共16分，每题2分）9.把二元一次方程改写成用含x 的式子表示y 的形式，则y =______.10.点关于y 轴的对称点的坐标为______.11.在数轴上点M ，N 表示的数分别为2，，且点N 在点M 的右侧，则x 的取值范围是______.12.方程的解为______.13.如图，在中，，于点D ，，若，则______.14. 如图，，，垂足分别为点B ，D .若只添加一个条件，使，则这个条件可以是______.（写出一种情况即可）.15.如图，在中，点D ，E 分别是，的中点，若的面积为a ，则的面积是______.16.若是的高，且，，则的度数是______.120A ∠=︒160BFC =︒∠AB AC =BDF CEF ≌△△2DE BF FC <+8cm AB =6cm AC =ADE △14cm 34x y +=()2,1M -21x -+36x x -=ABC △90ACB ∠=︒CD AB ⊥30B ∠=︒4AB =BD =AB BC ⊥AD DC ⊥ABC ADC ≌△△ABC △AB CD ABC △ADE △AD ABC △20ABD ∠=︒50ACD ∠=︒BAC ∠三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.18.解不等式组：19.如图，、. 求证：平分.20.如图，在中，作的平分线，交于点P .在射线上，截取线段，使.（1）用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接，求证：.21.如图，是的中线，过点C 作，交的延长线于点E ，求证：.22.如图，的三个顶点的坐标分别为，，（1）若与关于x 轴成轴对称，请画出；（2）在x 轴上找一点P ，使的值最小，在图中画出点P .(-()3142925x x x x -<+⎧⎪⎨->⎪⎩AB AC =BO CO =AO BAC ∠ABC △BAC ∠AP BC AC AD AD AB =PD PB PD =AD ABC △CE AB ∥AD AD DE =ABC △()1,1A ()4,2B ()3,4C A B C '''△ABC △A B C '''△PA PB +23.在科技节活动中，小明利用几何图形及其元素的关系，设计了一款风筝（如图1所示），并结合所学知识利用图2进行了讲解和展示，获得了大家的一致好评.下面是他对自己设计理念中两个特点的描述.特点一：图2是该“风筝”中平面图形的主要部分，它是轴对称图形；特点二：延长交于点E ，此时恰好是的垂直平分线.阅读以上材料完成下面问题：（1）根据描述，补全图形；（2）根据上面的特点，小明发现与相等，并写出他的探究过程.请认真阅读，完成下面的证明过程，并在括号中填写依据.证明：是的垂直平分线， ______（）与关于直线______对称，，______，，（）.24.在历史上数学家欧拉最先用记号来表示关于x 的多项式.当时，多项式的值用来表示.BC AD BE AD CAB ∠B ∠ BE AD ∴CA = ACB △ACD △∴ACB ACD ≌△△∴CB =∴CA CB =∴CAB B ∠=∠()f x x a =()f a例如，对于多项式，当时，多项式的值为当多项式时，回答下面问题：（1）______；（2）若，求的值；（3）若，求m 的取值范围.25.如图，在四边形中，，平分，，求的度数.26.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，.将向左平移两个单位长度得到，线段与线段相交于点M .（1）求证：；（2）连接，交于点N .①求证：平分；②直接写出的面积.27.在中，，，点D 是射线上一点（点D 不与点B ，C 重合），连接，将线段绕点A 逆时针旋转60°，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F .（1）如图1，证明：是等边三角形；（2）当点D 在如图1所示的位置时：①求证：；②直接用等式表示线段，和之间的数量关系；（3）当点D 在线段上时（点D 不与点B ，C 重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系.()21f x x x =++2x =()222217f =++=()322f x mx mx x m =-+-()2f =()00f =()2024f ()()11f f ≤-ABCD AB AD =AC BCD ∠90BAD ∠=︒ACB ∠xOy Rt ABC △()5,2A ()1,0B ()5,0C Rt ABC △Rt DEF △DF AB AM BM =CD AB CD ACB ∠ACN △ABC △90ACB ∠=︒30BAC ∠=︒CB AD AD AE AD =60DAE ∠=︒DE EC EC AB ADE △BD BF =AB BF CD BC AB BF CD28.在平面直角坐标系中，对于点，若点Q 坐标为，则称点Q 为点P 的“关联点”.例如，点，则点是点P 的“关联点”.（1）若点是点的“关联点”，则点的坐标为______；（2）若点是点的“关联点”，且点在x 轴上，求t 的值；（3）若点是点的“关联点”，且线段与x 轴有交点，直接写出t 的取值范围.xOy (),P x y (),2x y x -+()1,2P ()1,4Q -1Q ()12,3P 1Q 2Q ()21,1P t --2Q 3Q ()3,3P t t --33PQ大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测初二数学参考答案及评分标准一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A D B A C B C B二、填空题（共16分，每题2分）9.10.11.12.13.314.答案不唯一，如15.16.30°或110°三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.18.解：解不等式①得：解不等式②得：原不等式组的解解集是.19.证明：在和中，，平分.20.（1）解：43x-()2,1--12x<-3x=AB AD=4a(-172=+-+4=+()3142925x xxx-<+⎧⎪⎨->⎪⎩①②7x<1x>-17x-<<ABO△ACO△AB ACBO COAO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABO ACO≌△△∴BAO CAO∠=∠∴AO BAC∠（2）证明：平分，，在和中，.21.证明：证明：是的中线，，.，.在和中，.（方法不唯一）22.解：AP BAC ∠∴BAP CAP ∠=∠ABP △ADP △AB CD BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABP ADP ≌△△∴PB PD = AD ABC △∴BD CD = AB CE ∥∴BAD E ∠=∠ABD △ECD △BDA C E B D BD CD AD E ⎧⎪∠=∠⎨⎪==∠⎩∠∴ABD ECD ≌△△∴AD DE =（第二问，也还可以连接，与x 轴交点也是P 点）23.解：（1）（2）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；等边对等角.24.解：（1）；（2），.，，.把代入.，.（3），AB 'CD AC CD 2m - ()32f x mx mx x m =-+-∴()3200200f m m m m =⨯-⨯+-=- ()00f =∴0m -=∴0m = 0m =()32f x mx mx x m =-+-∴()f x x =∴()20242024f = ()32f x mx mx x m =-+-，.，..25.解：在上截取，连接.平分，.在和中，.，，...在四边形中，，.即 26.（1）证明：连接.∴()12121f m m m m =-+-=-+()12141f m m m m -=----=-- ()()11f f ≤-∴2141m m -+≤--∴1m ≤-CD CE CB =AE AC BCD ∠∴12∠=∠AEC △ABC △12CE CB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEC ABC ≌△△∴3B ∠=∠AE AB = AB AD =∴AE AD =∴4D ∠=∠ 34180∠+∠=︒∴180B D ∠+∠=︒ ABCD 360BAD B BCD D +++=︒∠∠∠∠∴180BAD BCD ∠+∠=︒ 90BAD ∠=︒∴90BCD ∠=︒ 12∠=∠∴245∠=︒45ACB ∠=︒AD向左平移两个单位得到，，，.，，.，，.（2）①过点N 作于H ，于G .，，，，.，.，，，为的平分线.②.27.解：（1），，是等边三角形；（2）①证明：延长至点G ，使，连接，，Rt ABC △Rt DEF △∴AD BC ∥2AD CF ==∴MAD MBF =∠∠ ()1,0B ()5,0C ∴4BC =∴2BF BC CF =-=∴BF AD = DMA FMB ∠=∠∴DMA FMB ≌△△∴AM BM =NH BC ⊥NG AC ⊥ ()5,2A ()5,0C ∴2AC =∴AC AD =∴ADC ACD ∠=∠ AD CB ∥∴180DAC ACB +=︒∠∠ 90ACB ∠=︒∴90DAC ∠=︒∴90ACD ADC ∠+∠=︒∴45ACD ∠=︒∴45BCD ∠=︒∴CD ACB ∠4360DAE ∠=︒AD AE =∴ADE △BC BC CG =AG EG，.，，是等边三角形，. .在和中，，.在和中，，.②.（3）28.解：（1）点；（2）点，点，BC CG =90C ∠=︒∴AB AG = 90ACB ∠=︒30BAC ∠=︒∴60ABC ∠=︒∴ABG △120ABD =︒∠∴60AGB BAG ∠=∠=︒∴60DAE BAG ∠=∠=︒∴DAB EAG ∠=∠ABD △AGE △AD AE DAB EAGAB AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD AGE ≌△△∴BD GE =120ABD AGE =∠=︒∠ 60AGB ∠=︒∴60EGC ∠=︒∴EGC ABC ∠=∠BCF △GCE △ABC EGC BC GCBCF GCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BCF GCE ≌△△∴BF EG =∴BD BF =()2AB CD BF =-()2AB CD BF =+()12,7Q - ()21,1P t --∴()21,3Q t -；（3）或.∴30t -=∴3t =3t ≥3t ≤-。

24-25学年八年级数学上学期期中模拟卷(北京专用,人教版八年级上册第十一章-第十三章)(考试版)

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷（北京专用）（考试时间：120分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教版八年级上册第十一章-第十三章。

5．难度系数：0.85。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等腰三角形的顶角度数为40°，则底角的度数为（）A ．40°B ．50°C ．70°D ．140°2．如图，已知AO=OB ，OC=OD ，和BC 相交于点E ，则图中全等三角形有（）对．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．下列四个命题中，真命题是（）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．如果20x >，那么0x >C ．如果1Ð和2Ð是对顶角，那么12Ð=ÐD ．三角形的一个外角大于任何一个内角4．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（）A ．4米，4米B ．4米，10米C ．7米，7米D ．7米，7米，或4米，10米5．观察如图所示图形，其中不是轴对称图形的有（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个6．如图，已知ABC BAD A ≌，V V 和B C ，和D 分别是对应顶点，且7030C ABD Ð=°Ð=°，，则BAD Ð的度数是（）A ．80°B ．60°C ．30°D ．不能确定7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC 的度数为（）A ．110°B ．70°C ．130°D ．不能确定8．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，将BCE V 沿BE 翻折至BFE △，连接DF ，则与FBE Ð互余的角有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

北京市第一零一中学2024-—2025学年上学期期中考试八年级数学试题(含答案)

北京一零一中2024－2025学年度第一学期期中练习初二数学2024.11一、选择题：本大题共8小题，共24分。

1.巴黎奥运会项目的每个图标都融合了对称美学与运动元素，将运动项目描绘成独一无二的徽章．下列巴黎奥运会体育项目的图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，在中，边上的高是（）A.线段B.线段C.线段D.线段3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的边数为（）A.5B.6C.8D.105.下列运算正确的是（）A. B.C. D.6.设a ，b 是实数，定义*的一种运算如下：，则下列结论错误的是（）A.，则 B.C. D.7.如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，，，线段分别与和相交于点F ，G ，下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（）ABC △BC EC BG CD AF222()a b a b-=-632a a a÷=()326aa -=()235a aa⋅-=-()232(4)2318124x x x x x x -+-=---()2233()x y x yxy ++=+2(41)(41)116a a a---=-222(2)24x y x xy y-=-+2*()a b a b =-*0a b =a b =**a b b a =*()**a b c a b a c+=+*()*()a b a b =--AD BE CE AD BE CE 108AGC ∠=︒AG AE =2EBC BEC ∠=∠BF DE =A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，两直线m 与n 相交于点A ，它们相交所成的锐角等于15°，若点B 是直线m 上一定点，，点C 、D 分别是直线m 、n 上的动点，则的最小值为（）A.3B. C. D.6二、填空题：本大题共8小题，共24分。

北京市昌平区回龙观学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市昌平区回龙观学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1x 的取值范围是()A ．x <1B ．x ≤1C ．x >1D ．x ≥12．2的平方根为（）A ．4B ．±4CD ．3．如果把分式232xx y-中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大9倍4．下列实数①2272.15 ；④1.01001000100001⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中是无理数的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．若2(3)0a ++=，则ab 的值为（）A ．-6B ．6C ．-1D ．16．实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A ．a b>B ．a b -＜C ．a b--＜D 7．九年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h ，则所列方程正确的是()A ．1010123x x =-B ．1010202x x =-C ．1010123x x =+D ．1010202x x=+8．已知分式3x nx m-+（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）x 的取值－42a 0分式的值无意义1bA ．6n =B ．4m =C ．5a =-D ．32b =-二、填空题9．27的立方根为．10．若30a b -=，且0a ≠，则分式中a ba b+-的值为．11．写出一个比小的整数．12．计算111x x x +++的结果是．13．化简：211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭＝．14．方程233x k x x=---无解，那么k 的值为．15x ，小数部分为y y -的值是．16．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似n这样的式A B ，则下列说法：①根分式A x 的取值范围为：2x ≥；②存在实数x ，使得221B A -=；③存在实数x ，使得22A B +是一个整数；上述说法中正确的是．三、解答题17．计算：2263y xy x÷．18．计算：a b a bab ab+--．19．计算：221a ab a b--+20．计算：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭．21．解方程：233x x=-．22．解方程：33122x x x-+=--23．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值．24．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：下面是我在课堂上化简分式2242444x x x x ----+的过程：解：原式242(2)(2)(2)x x x x -=-+--第一步1(2)(2)42x x x --+-=第二步42(2)(2)(2)(2)x x x x x +=-+-+-第三步42(2)(2)x x x -+=+-第四步6(2)(2)x x x -+-=第五步【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．任务：(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；A ．方程思想B ．数形结合思想C ．转化思想D ．统计思想(2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．25．随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？26a =是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：(1)==；(2)2x =-，则x 的取值范围为；(3)已知实数a ，b ，c c a -．27．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．（1）若a 克糖水中含b 克糖（0a b >>），则该糖水的甜度为ba，若再加入m 克（0m >）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a 、b 、m 的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式；【数学思考】（2）若0b a >>，0m >，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明．【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A 港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为1v 、2v ，水流速度为()01200v v v v >>>，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为1t 、2t ，利用（1）（2）中探究的结论，比较1t 、2t 的大小，可判断出先返回A 港的是_____________．（填所选序号即可）①甲②乙③甲乙同时④无法判断28．定义：如果两个分式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“差常分式”，这个常数称为A 关于B 的“差常值”．如分式21x A x =-，21B x =-，22211x A B x x -=-=--，则A 是B 的“差常分式”，A 关于B 的“差常值”为2．(1)已知分式31x C x -=+，31D x =+，判断C 是否是D 的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C 关于D 的“差常值”．(2)已知分式()()12x x a E x +-=+，()2x x b F x -=+，其中E 是F 的“差常分式”，E 关于F 的“差常值”为2，求a b +的值；(3)已知分式29PM x =-，3x N x =-，其中M 是N 的“差常分式”，M 关于N 的“差常值”为1．若x 为整数，且M 的值也为整数，求满足条件的x 的值．。

北京市朝阳区将府实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

北京市朝阳区将府实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 3．如图，ABC V 中AB 边上的高线为（）A ．ADB ．CEC ．AFD ．BG4．如图是折叠凳及其侧面示意图．若18cm AC BC ==，则折叠凳的宽AB 可能为（）A ．22cmB ．36cmC ．54cmD ．72cm 5．若正多边形的一个外角是72︒，则该正多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．如图，15,AOP BOP C ==︒∠∠OA ∥，,PD OA ⊥若4PC =，则PD 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使BC=CD ．再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，通过证明ΔABC ≌ΔEDC ，得到DE 的长就等于AB 的长，这里证明三角形全等的依据是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA8．如图，在等边ABC V 中，6AB =，点O 在AB 上，且4AO =，点E 是边BC 上一动点，OE OD =，且60DOE ∠=︒．有下面三个结论：①ODE 为等边三角形；②点D 到直线AB 的距离不变；③当1BE =时，CD 最小．所有正确结论的序号为（）A ．③B ．①②C ．①③D ．①②③二、填空题9．点P （2，-5）关于x 轴对称的点的坐标为．10．等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为．11．如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB ＝∠CAB ，点A 、B 、E 在同一条直线上，若使△ABD ≌△ABC ，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）12．如图，将一副直角三角尺按图中所示放置，则图中的α∠=°．13．已知：B 、C 是ABC 的高，直线B 、C 相交所成的角中有一个角为50︒，则BAC ∠的度数为．14．如图，在ABC V 中，AC BC =，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC于点E ．再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点．作直线FG ．若直线FG 经过点E ，则AEG ∠的度数为°．15．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A 的坐标为(2,4)，点B 的坐标为(1,1),C 为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的,,A B C 三点构成轴对称图形，则点C 的坐标可以是．（写出不少于四个）16．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号A B C D E 修复时间(分钟)15729610已知每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF ＝EC ，AC ＝DF ，AC ∥DF ．求证：∠A ＝∠D ．18．如图，△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 、E 在边BC 上，且AD ＝AE ，求证：BE ＝CD ．19．如图，AD 是ABC V 的高，CE 是ADC △的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．20．如图，AC ，BD 交于点O ，OA OD =，12∠=∠．求证：AB CD =．21．如图，点C 在线段AD 上，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若60BAC ∠=︒，求ACE ∠的度数．22．已知：如图1，线段a ，b （a b >）．（1）求作：等腰 ABC ，使得它的底边长为b ，底边上的高的长为a ．作法：①作线段AB b =．②作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 相交于点D ．③在MN 上取一点C ，使DC a =．④连接AC ，BC ，则 ABC 就是所求作的等腰三角形．用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；（2）求作：等腰 PEF ，使得它的腰长为线段a ，b 中一条线段的长，底边上的高的长为线段a ，b 中另一条线段的长．作法：①作直线l ，在直线l 上取一点G ．②过点G 作直线l 的垂线GH ．③在GH 上取一点P ，使PG ＝．④以P 为圆心，以的长为半径画弧，与直线l 分别相交于点E ，F ．⑤连接PE ，PF ，则 PEF 就是所求作的等腰三角形．请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．23．如图，四边形ABCD 中，,90,AB AC D BE AC =∠=︒⊥于点F ，交CD 于点E ，连接,EA EA 平分DEF ∠．(1)求证：AF AD =；(2)若4,3CE DE ==，求BE 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知,90,ABC ABC AB BC ∠=︒=△．(1)如图1，若点(0,4),(1,0)A B ，直接写出点C 的坐标；(2)如图2，若点(,0),(1,4)A t B -，求点C 的坐标（用含t 的式子表示），并直接写出CO 的最小值．25．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．(1)如图1，点,D E 在BC 边上，45DAE =︒∠，判断线段,,BD DE EC 组成的三角形的形状：小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将ABD △沿直线B 翻折，得到ADF △，连接EF ，利用三角形全等把线段EC 进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段,,BD DE EC 组成的三角形的形状；(2)如图3，点,D E 在直线BC 上，135DAE ∠=︒，判断线段,,BD DE EC 组成的三角形的形状，并证明．26．在平面直角坐标系xOy 中，过点(,0)T t 作垂直于x 轴的直线l ，对于点P ，先将其关于y轴对称得到点1P ，再将点1P 关于直线l 对称得到点2P ，若点2P 在y 轴和l 关于y 轴对称的直线l '之间（可以在y 轴或者直线l '上），则称点P 为近t 对称点．(1)在点(2,0),(2.5,0),(A B C -中，近1对称点是；(2)若(a,0)D 是近−2对称点，求a 的取值范围；(3)若存在高为3的等边三角形，该三角形上的每一点既是近t 对称点又是近1t +对称点，直接写出t 的取值范围．。