椭圆定义及应用备课讲稿
椭圆的定义教学教案
椭圆的定义教学教案第一章：导入教学目标：1. 让学生了解椭圆的概念，理解椭圆是一种圆的特殊情况。
2. 引导学生通过观察实际物体，发现椭圆的形状特点。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的定义和性质。
2. 介绍椭圆的定义和形状特点。
3. 通过实际物体观察，让学生发现椭圆的形状特点。
教学步骤：1. 导入新课，提问：“我们学过的几何图形有哪些？”引导学生回顾已学的图形。
2. 提问：“圆是一种特殊的图形，那椭圆又是怎样的图形呢？”引入椭圆的概念。
3. 讲解椭圆的定义和性质，引导学生理解椭圆是一种圆的特殊情况。
4. 组织学生观察实际物体，如地球、太阳等，发现它们的形状特点是椭圆的。
5. 总结本节课的主要内容，强调椭圆的形状特点。
教学评价：1. 检查学生对椭圆定义的理解程度。
2. 评估学生通过观察实际物体发现椭圆形状特点的能力。
第二章：椭圆的性质教学目标：1. 让学生掌握椭圆的基本性质，如椭圆的焦点、长轴、短轴等。
2. 引导学生通过观察和实验，发现椭圆性质的特点。
教学内容：1. 讲解椭圆的基本性质，如焦点、长轴、短轴等。
2. 引导学生通过观察和实验，发现椭圆性质的特点。
教学步骤：1. 复习椭圆的定义，提问：“椭圆有哪些特殊的性质呢？”引导学生学习新的内容。
2. 讲解椭圆的焦点、长轴、短轴等基本性质，让学生理解椭圆的形状特点。
3. 组织学生进行观察和实验，如通过观察地球、太阳等实际物体，发现椭圆性质的特点。
4. 总结本节课的主要内容，强调椭圆的性质。
教学评价：1. 检查学生对椭圆性质的理解程度。
2. 评估学生通过观察和实验发现椭圆性质特点的能力。
第三章：椭圆的方程教学目标：1. 让学生掌握椭圆的标准方程及其推导过程。
2. 引导学生运用椭圆方程解决实际问题。
教学内容：1. 讲解椭圆的标准方程及其推导过程。
2. 引导学生运用椭圆方程解决实际问题。
教学步骤：1. 复习椭圆的性质，提问：“如何用数学公式来表示椭圆呢？”引导学生学习新的内容。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的基本概念一、教学目标：1. 让学生了解椭圆的定义和性质。
2. 让学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的长轴、短轴和焦距的关系；椭圆的离心率等。
3. 椭圆的标准方程：通过椭圆的半长轴、半短轴和焦距求解椭圆的标准方程。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义、性质和标准方程。
2. 难点：椭圆标准方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解椭圆的基本概念。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆知识的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的基本概念和性质。
2. 练习求解椭圆的标准方程。
3. 思考如何运用椭圆知识解决实际问题。
第二章：椭圆的图形性质一、教学目标：1. 让学生掌握椭圆的图形性质，如对称性、单调性等。
2. 培养学生运用椭圆性质解决几何问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆的对称性：轴对称、中心对称。
2. 椭圆的单调性：沿长轴和短轴的单调性。
3. 椭圆的其他性质：焦点三角形、椭圆弧长等。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的图形性质。
2. 难点：如何运用椭圆性质解决几何问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生了解椭圆的图形性质。
2. 利用图形演示，让学生直观地了解椭圆的性质。
3. 案例分析，让学生学会运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学准备：1. 准备相关的图形和实例，用于讲解和演示。
2. 准备练习题，巩固学生对椭圆性质的理解。
六、课后作业：1. 复习椭圆的图形性质。
2. 练习运用椭圆性质解决几何问题。
3. 思考如何运用椭圆性质解决实际问题。
《椭圆的认识》说课稿
《椭圆的认识》说课稿简介本说课稿是针对中学数学教材中关于椭圆的知识进行讲解的。
通过引导学生了解椭圆的定义、性质和应用，培养学生的观察能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。
教学目标1. 了解椭圆的定义和基本性质；2. 掌握椭圆的标准方程及其图形特征；3. 理解椭圆的离心率对椭圆形状的影响；4. 学会利用椭圆解决实际问题。
教学内容1. 椭圆的定义和性质- 通过示意图引导学生理解椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹；- 引导学生发现和讨论椭圆的对称性和直径；- 结合实例，讲解椭圆的性质：离心率小于1，焦点的性质等。
2. 椭圆的标准方程及图形特征- 介绍椭圆的标准方程：$(\frac{x^2}{a^2})+(\frac{y^2}{b^2})=1$，其中a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长；- 根据方程讲解椭圆的图形特征：中心、长轴、短轴、焦点、顶点等。
3. 椭圆的离心率与形状- 引导学生思考和讨论离心率对椭圆形状的影响：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
4. 椭圆的应用- 通过实际问题引导学生应用椭圆的知识解决问题，如行星运动轨道、卫星发射轨道等。
教学方法1. 演示法：通过示意图和动态演示，生动形象地展示椭圆的定义和性质。
2. 探究法：设计一系列问题和练，引导学生主动探索和发现椭圆的特性和应用。
3. 合作研究法：分小组讨论和解决问题，促进学生之间的合作与交流。
教学评价1. 观察学生的参与程度和表现，包括课堂提问和小组讨论；2. 对学生解决实际问题的能力进行评价；3. 统计学生的研究成果，如椭圆相关知识的掌握程度和解题准确率。
教学反思在教学过程中要注意激发学生的兴趣，培养学生的数学思维和创新能力。
通过合适的教学方法和手段，提升学生对椭圆的理解和运用能力。
同时，及时调整教学策略，根据学生的不同特点和研究进度，进行个性化的指导和帮助。
参考资料- 《中学数学教材》- 《数学课程标准》。
高中数学椭圆讲解教案
高中数学椭圆讲解教案一、椭圆的定义和性质1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒等于常数2a的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：- 椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点到椭圆中心的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。
- 椭圆的离心率为e，即e = c/a，0<e<1。
- 椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
二、椭圆的基本方程及参数表示1. 椭圆的标准方程：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 椭圆的参数表示：- 横轴端点坐标：(±a, 0)。
- 纵轴端点坐标：(0, ±b)。
- 中心坐标：(0, 0)。
- 焦点坐标：(±c, 0)。
- 离心率：e = c/a。
三、椭圆的性质1.对称性：- 关于x轴对称，y轴对称，原点对称。
2.焦点性质：- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数2a。
3.直径性质：- 过椭圆中心的两条互相垂直的直线叫做椭圆的两条直径。
4.长轴和短轴性质：- 长轴为2a，短轴为2b，满足a^2 - b^2 = c^2。
四、题目练习1.若椭圆的长轴为6，焦距为2，则其离心率为多少？2.已知一个椭圆的长轴为8，焦距为4，过其焦点作两条与椭圆相交的直线，这两条直线的斜率之积为多少？3.求经过点(3,4)和(5,-2)的椭圆的标准方程。
五、作业1.自行查找相关资料，了解椭圆的其他性质和应用。
2.完成练习题目，加深对椭圆的理解。
3.进一步思考，椭圆和其他几何图形之间的联系和区别。
高中数学椭圆定义讲解教案
高中数学椭圆定义讲解教案
一、教学目标：
1. 理解椭圆的定义；
2. 掌握椭圆的性质；
3. 能够应用椭圆解决实际问题。
二、教学重点：
椭圆的定义与性质。
三、教学难点：
如何确定椭圆的方程。
四、教学过程：
1. 引入：通过让学生观察椭圆的形状，引出椭圆的定义。
2. 概念讲解：讲解椭圆的定义，即平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合称
为椭圆。
3. 性质讲解：讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。
4. 示例分析：通过实例讲解如何确定椭圆的方程，以及如何应用椭圆解决实际问题。
5. 练习巩固：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
6. 拓展延伸：让学生思考椭圆在现实生活中的应用，如椭圆形的运动轨迹等。
五、课堂总结：
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合，具有特定的性质和方程形式。
通过本节课的学习，我们对椭圆有了更深入的了解，能够解决相关问题。
六、作业布置：
布置相关练习题，巩固所学知识。
七、教学反思：
本节课通过引入、讲解、示例分析等环节，达到了教学目标。
但是在课堂练习环节的设置
上可以更具体一些，以加深学生对椭圆的理解。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状。
讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)是椭圆的半长轴，\(b\)是半短轴。
解释\(a\)和\(b\)与椭圆的形状和大小之间的关系。
第二章：椭圆的焦点与离心率2.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点定义：椭圆上到两个焦点距离之和为常数的点。
推导椭圆焦点的坐标公式：\((\pm c, 0)\)，其中\(c\)是焦距，满足\(c^2 = a^2 b^2\)。
2.2 椭圆的离心率定义椭圆的离心率：\(e = \frac{c}{a}\)，表示椭圆的扁率。
解释离心率与椭圆的形状之间的关系：离心率越接近1，椭圆越扁；离心率越接近0，椭圆越接近圆。
第三章：椭圆的面积与周长3.1 椭圆的面积推导椭圆的面积公式：\(A = \pi ab\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释椭圆面积与半长轴和半短轴之间的关系。
3.2 椭圆的周长推导椭圆的周长公式：\(C = \pi(a + b)\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释椭圆周长与半长轴和半短轴之间的关系。
第四章：椭圆的直线段性质4.1 椭圆的半通径定义椭圆的半通径：连接椭圆上一点与焦点的线段中点的距离。
推导半通径的公式：\(r = \frac{a}{2}\)。
4.2 椭圆的半焦距定义椭圆的半焦距：椭圆上到焦点距离之和的一半。
推导半焦距的公式：\(f = \frac{c}{2}\)。
第五章：椭圆的参数方程与极坐标方程5.1 椭圆的参数方程引入椭圆的参数方程：\(x = a \cos t\)，\(y = b \sin t\)，其中\(t\)是参数。
椭圆的定义及其标准方程说课稿及教案
椭圆的定义及其标准方程说课稿及教案一、说课稿1. 椭圆的定义椭圆是一种平面内到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴。
椭圆的焦点可以在平面上任意位置，但椭圆的对称轴必须通过焦点。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a是椭圆的长轴的一半，b是椭圆的短轴的一半。
椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 焦点与椭圆的关系椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
即\[ 2a = |PF_1| + |PF_2| \]其中，\( PF_1 \)和\( PF_2 \)分别是椭圆的两个焦点。
4. 椭圆的性质（1）椭圆的长轴和短轴互相垂直，且通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点在长轴上，且距离中心点的距离分别为\( c \)和\( -c \)，其中\( c \)满足\( c^2 = a^2 b^2 \)。
（3）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
（4）椭圆的面积为\( S = \pi ab \)。
二、教学目标1. 了解椭圆的定义及其性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 能够应用椭圆的知识解决实际问题。
三、教学内容1. 椭圆的定义及其性质。
2. 椭圆的标准方程及其求法。
3. 椭圆在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方法进行教学。
2. 使用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受。
3. 设置实例分析，引导学生运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学步骤1. 导入：通过展示生活中常见的椭圆形状物体，引导学生关注椭圆的形状特征。
2. 讲解椭圆的定义及其性质，引导学生理解椭圆的基本概念。
3. 推导椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的求法。
4. 结合实际问题，让学生运用椭圆知识进行分析。
5. 课堂练习：设置相关练习题，让学生巩固所学知识。
椭圆的几何性质说课稿
椭圆的几何性质说课稿一、引言椭圆作为圆锥曲线的一种，具有独特的几何性质。
本次说课将重点介绍椭圆的定义、性质以及一些相关的应用。
通过本次课程的学习，学生将能够深入理解椭圆的几何特性，并能够灵活运用于实际问题中。
二、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F_1和F_2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
定义中的两个定点称为焦点，常数2a称为长轴的长度。
三、椭圆的基本性质1. 椭圆的离心率椭圆的离心率e是一个重要的参数，定义为焦点与长轴之间的距离与长轴长度的比值。
离心率e的取值范围为0到1之间，当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
2. 椭圆的焦点和直径椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数2a，即椭圆的定义。
同时，椭圆的两个焦点与长轴的交点称为椭圆的顶点。
椭圆的直径是通过焦点的直线，且与椭圆的切线垂直。
3. 椭圆的对称性椭圆具有关于长轴和短轴的对称性。
即，椭圆关于长轴对称，且关于短轴对称。
这一性质可以通过椭圆的定义以及焦点的位置来证明。
4. 椭圆的焦点和直角三角形椭圆的焦点与椭圆上的任意一点及该点处的切线构成一个直角三角形。
这一性质可以通过椭圆的定义以及焦点与椭圆上的点的距离之和等于常数2a来证明。
四、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的形状可以用来描述行星、卫星等天体的轨道。
根据开普勒定律，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。
2. 焦点反射性质椭圆具有焦点反射性质，即从椭圆上的一个焦点发出的光线经过椭圆的折射后会聚到另一个焦点上。
这一性质在光学中有广泛的应用，例如太阳能聚焦器和卫星接收器等。
3. 椭圆的图像处理椭圆的数学模型在图像处理中有重要的应用。
椭圆可以用来描述图像中的边缘、形状等特征，对于图像分析和识别具有重要意义。
五、教学设计1. 教学目标通过本课程的学习，学生将能够：- 理解椭圆的定义及其基本性质；- 掌握椭圆的离心率、焦点和直径的概念；- 理解椭圆的对称性及其与焦点的关系；- 熟练运用椭圆的性质解决实际问题。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
椭圆的简单几何性质(讲课)
1.范 围:
(0,b)
从图形上看: a x a, b y b.
从 方程 上看:
x2 a2
1
y2 b2
1
x2
a2
a
x
a;
y2 b2
1
x2 a2
1
y2
b2
b
y
b
故 整个 椭圆 位 于y b, x a所 围成 的矩 形 内.
y
y2 b2
1(a
b
0)
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
范 围 a x a,b y b b x b,a y a
对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
(a,0) ,(0,b) (b,0) , (0,a)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆.
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点. 长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
(-a，0) F1
和短轴.
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长.
b
a
(完整版)人教版文科数学椭圆讲义
2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)例题1（椭圆定义理解）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．案例11．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．案例3 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.例题4 （与焦点有关的三角形问题）如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.第2课时 椭圆的简单几何性质1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知， e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝ 1－b 2a2. 续表例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质）求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.案例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.例题2 （由椭圆的几何性质求方程）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.例题3（求椭圆的离心率）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．案例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)1、直线与椭圆的位置关系（重要）[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．例题1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交； 当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法案例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，2、直线与椭圆的相交弦问题[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？名师指津例题2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 案例2（1）直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. （2）．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 例题3（与椭圆有关的最值问题）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答](1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝63，2a2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1， 所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d＝2|k |3k 2＋1＝23|k |＋1|k |≤33，所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±33时，S △ABO 取得最大值33.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．案例3 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋（－2）2＝813， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的基本概念与性质1.1 椭圆的定义引导学生通过观察实际生活中的椭圆形状物体，如鸡蛋、地球等，初步感知椭圆的形状特征。
给出椭圆的数学定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
1.2 椭圆的性质引导学生通过几何画图工具绘制椭圆，观察并总结椭圆的基本性质，如对称性、弹性碰撞等。
探讨椭圆的长轴、短轴、半焦距等基本参数的定义及其之间的关系。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程的推导引导学生利用椭圆的定义和性质，通过几何推导和代数变换，得到椭圆的标准方程。
介绍椭圆标准方程的形式：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.2 椭圆标准方程的应用引导学生通过实际问题，运用椭圆的标准方程进行计算和解决，如求椭圆上某点的坐标、计算椭圆的面积等。
探讨椭圆标准方程在实际应用中的意义和价值，如天体运动、光学等领域的应用。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程的推导引导学生利用椭圆的性质和参数，推导出椭圆的参数方程。
介绍椭圆参数方程的形式：\(x = a\cos t\)，\(y = b\sin t\)，其中\(t\)为参数。
3.2 椭圆参数方程的应用引导学生通过实际问题，运用椭圆的参数方程进行计算和解决，如绘制椭圆的图形、计算椭圆上某点的坐标等。
探讨椭圆参数方程在几何绘图和计算机图形学中的应用和意义。
第四章：椭圆的图像与变换4.1 椭圆的图像特征引导学生通过绘制椭圆的图形，观察并总结椭圆的图像特征，如对称性、周期性等。
探讨椭圆图像与椭圆参数的关系，分析椭圆图像的变换规律。
4.2 椭圆的图像变换引导学生学习椭圆图像的基本变换方法，如平移、旋转、缩放等。
探讨椭圆图像变换在几何设计和计算机图形学中的应用和意义。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在物理学中的应用引导学生探讨椭圆在物理学中的应用，如行星运动、弹性碰撞等。
椭圆的简单几何性质教学教案
椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。
解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。
1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。
解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。
2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。
解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。
2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。
解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
解释面积公式中π的作用和意义。
3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。
举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。
解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。
4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。
举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。
第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。
解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。
5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。
举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。
椭圆的定义教学教案
椭圆的定义教学教案第一章：椭圆的定义与性质1.1 椭圆的定义1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的标准方程1.4 椭圆的长轴、短轴和焦距第二章：椭圆的参数方程2.1 椭圆的参数方程的定义2.2 椭圆的参数方程的推导2.3 椭圆的参数方程的应用第三章：椭圆的图形特征3.1 椭圆的图形特征概述3.2 椭圆的焦点性质3.3 椭圆的离心率3.4 椭圆的面积公式第四章：椭圆的应用4.1 椭圆在几何学中的应用4.2 椭圆在物理学中的应用4.3 椭圆在工程学中的应用4.4 椭圆在日常生活中的应用第五章：椭圆与其他几何形状的关系5.1 椭圆与圆的关系5.2 椭圆与双曲线的关系5.3 椭圆与抛物线的关系5.4 椭圆与其他几何形状的比较第六章：椭圆的标准方程求解6.1 椭圆标准方程的求解方法6.2 利用椭圆的离心率求解椭圆方程6.3 利用椭圆的焦点性质求解椭圆方程6.4 实际问题中的应用举例第七章：椭圆的焦点变换7.1 椭圆焦点的概念7.2 椭圆焦点的变换规律7.3 椭圆焦点变换在实际问题中的应用7.4 椭圆焦点变换与其他几何变换的关系第八章：椭圆的离心率8.1 椭圆离心率的定义与性质8.2 椭圆离心率的求解方法8.3 椭圆离心率在实际问题中的应用8.4 椭圆离心率与其他几何形状离心率的比较第九章：椭圆的轴对称性与中心对称性9.1 椭圆的轴对称性9.2 椭圆的中心对称性9.3 椭圆的轴对称性与中心对称性在实际问题中的应用9.4 椭圆的轴对称性与中心对称性与其他几何形状的对称性的比较10.2 椭圆与其他几何形状的关系的拓展10.3 椭圆在不同领域的拓展应用10.4 椭圆的研究前景和挑战重点和难点解析一、椭圆的定义：重点关注椭圆与圆、双曲线、抛物线等几何形状的区别和联系。
补充说明椭圆的定义可以通过直观的图形展示和数学公式的推导来加深理解。
二、椭圆的性质：重点关注椭圆的长轴、短轴、焦距等基本性质。
补充说明这些性质对于理解和解决椭圆相关问题至关重要。
椭圆集体备课教案(单元)
椭圆集体备课教案(单元)第一章：椭圆的定义与性质1.1 椭圆的定义介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和实例来解释椭圆的定义，引导学生理解椭圆的概念。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质，如对称性、焦点和准线的概念。
通过图形和实例来展示椭圆的性质，并引导学生进行观察和理解。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程介绍椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。
引导学生理解椭圆标准方程的推导过程，并通过图形进行解释。
2.2 椭圆的标准方程的应用介绍如何通过椭圆的标准方程来求解椭圆的焦点、准线和其他相关几何量。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的标准方程进行解答。
第三章：椭圆的参数方程3.1 椭圆的参数方程介绍椭圆的参数方程：\(x = a \cos \theta\)，\(y = b \sin \theta\)，其中\(\theta\)是参数。
引导学生理解椭圆参数方程的意义，并通过图形进行解释。
3.2 椭圆的参数方程的应用介绍如何通过椭圆的参数方程来绘制椭圆的图形，并研究椭圆的性质。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的参数方程进行解答。
第四章：椭圆的图像与变换4.1 椭圆的图像介绍椭圆的图像特点，如对称性、曲线形状等。
通过图形和实例来展示椭圆的图像特点，并引导学生进行观察和理解。
4.2 椭圆的变换介绍如何对椭圆进行平移、旋转等变换，并研究变换对椭圆图像的影响。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的变换进行解答。
第五章：椭圆的应用5.1 椭圆在几何中的应用介绍椭圆在几何中的各种应用，如椭圆的面积计算、椭圆的弦长和距离问题等。
提供一些实际问题，让学生运用椭圆的几何性质进行解答。
5.2 椭圆在物理中的应用介绍椭圆在物理中的各种应用，如行星运动、卫星轨道等。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案第一章：引言1.1 椭圆的定义讲解椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过实际例子演示椭圆的形成过程，让学生直观理解椭圆的定义。
1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质：椭圆有两个焦点，两个半轴，对称性等。
通过图形和数学公式展示椭圆的性质，让学生理解椭圆的特性。
第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程定义讲解椭圆标准方程的概念：椭圆的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\) 是半长轴，\(b\) 是半短轴。
通过实际例子解释椭圆标准方程的含义和作用。
2.2 椭圆标准方程的推导讲解椭圆标准方程的推导过程：利用椭圆的定义和性质，通过几何方法和代数方法推导椭圆的标准方程。
分步解释推导过程，让学生理解并掌握椭圆标准方程的来源。
第三章：椭圆的长轴和短轴3.1 椭圆的长轴讲解椭圆的长轴的概念：长轴是椭圆上距离两个焦点最远的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆长轴的性质和计算方法。
3.2 椭圆的短轴讲解椭圆的短轴的概念：短轴是椭圆上距离两个焦点最近的点的线段。
通过图形和数学公式展示椭圆短轴的性质和计算方法。
第四章：椭圆的焦点和焦距4.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点的概念：焦点是椭圆上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
通过图形和数学公式展示椭圆焦点的性质和计算方法。
4.2 椭圆的焦距讲解椭圆的焦距的概念：焦距是椭圆上两个焦点之间的距离。
通过图形和数学公式展示椭圆焦距的性质和计算方法。
第五章：椭圆的离心率5.1 椭圆的离心率定义讲解椭圆的离心率的概念：离心率是椭圆的焦距与长轴长度的比值，用\(e\) 表示。
通过图形和数学公式展示椭圆离心率的性质和计算方法。
5.2 椭圆的离心率的应用讲解椭圆的离心率的应用：离心率可以用来判断椭圆的形状和大小，以及与焦点和焦距的关系。
通过实际例子演示椭圆的离心率的应用，让学生理解并掌握椭圆离心率的重要性。
椭圆的几何性质说课稿
椭圆的几何性质说课稿一、引入大家好，今天我将为大家介绍椭圆的几何性质。
椭圆作为一种常见的几何图形，在我们的生活中随处可见。
了解椭圆的几何性质对于我们理解和应用它具有重要意义。
在本次课堂中，我们将探索椭圆的定义、特点以及与其他几何图形的关系，匡助学生全面了解椭圆的几何性质。
二、概念介绍1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为焦点，a为椭圆的半长轴。
2. 椭圆的特点：- 椭圆的离心率：椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆上任意一点P的距离与焦点之间的距离的比值。
离心率e的取值范围为0到1，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一条线段。
- 椭圆的几何中心：椭圆的几何中心为两个焦点的中点，记为O。
- 椭圆的对称性：椭圆具有两个对称轴，分别为横轴和纵轴。
横轴的长度为2a，纵轴的长度为2b，其中b为椭圆的半短轴。
三、性质讲解1. 椭圆的焦点性质：- 定理1：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
- 定理2：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的主轴长度2a与点P到几何中心O的距离的差。
2. 椭圆的切线性质：- 定理3：椭圆上任意一点P处的切线与椭圆的法线垂直。
- 定理4：椭圆上任意一点P处的切线斜率等于椭圆在该点处的切线斜率。
3. 椭圆的离心率性质：- 定理5：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度2a。
- 定理6：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的离心率e与点P到几何中心O的距离的乘积。
四、实例演练让我们通过一些实例来加深对椭圆的几何性质的理解。
1. 实例1：已知椭圆E的两个焦点F1和F2的坐标分别为(-2, 0)和(2, 0)，离心率e为1/2。
求椭圆E的方程及其主轴长度。
解：根据离心率的定义，我们可以得到焦点到几何中心O的距离为ae，其中a为椭圆的半长轴。
高中数学教案 第5讲 椭圆
第5讲椭圆1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点.|F 1F 2|叫做焦距.其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若2a ＞2c ，则集合P 为椭圆；②若2a ＝2c ，则集合P 为线段；③若2a ＜2c ，则集合P 为空集.2.椭圆的标准方程与几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形性质范围□1－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b □2－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称性对称轴：□3坐标轴；对称中心：原点顶点A 1□4(－a ，0)，A 2□5(a ，0)，B 1□6(0，－b )，B 2□7(0，b )A 1□8(0，－a )，A 2□9(0，a )，B 1□10(－b ，0)，B 2□11(b ，0)轴长轴A 1A 2的长为□122a ；短轴B 1B 2的长为□132b焦距|F1F2|＝□142c离心率e＝ca∈□15(0，1)a，b，c间的关系c2＝□16a2－b2由e＝ca＝1－（ba）2知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆.常用结论1.若点P在椭圆上，点F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.(1)当P为短轴端点时，θ最大；(2)S＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min＝2b2a.4.AB为椭圆x2a2＋y2b21(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|(k≠0)；(2)直线AB的斜率k AB＝－b2x0a2y0(y0≠0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(3)若椭圆的短轴端点为B ，焦点为F ，则cos ∠OFB ＝e (e 为离心率).()(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相等.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2.回源教材(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析：A 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.(2)已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C 的标准方程为.解析：由题意，可设椭圆C 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为椭圆C 经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2＝1，＝4n＝1，＝4m，得＝19，＝49＝19，＝136，所以椭圆C 的标准方程为x 29＋4y 29＝1或y 236＋x 29＝1.答案：x 29＋4y 29＝1或y 236＋x 29＝1(3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为.解析：由已知得a 2－4＝4，故a ＝22，所以离心率e ＝c a ＝22.答案：22椭圆的定义及应用例1(1)(2024·丽江模拟)一动圆P 与圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1外切，而与圆B ：(x －1)2＋y 2＝64内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支解析：A 设动圆P 的半径为r ，又圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1的半径为1，圆B ：(x －1)2＋y 2＝64的半径为8，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝8－r ，可得|PA |＋|PB |＝9，又9＞2＝|AB |，则动圆的圆心P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为9的椭圆.(2)(2023·全国甲卷)设O 为坐标原点，F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 26＝1的两个焦点，点P 在C 上，cos ∠F 1PF 2＝35，则|OP |＝()A.135B.302C.145D.352解析：B依题意a ＝3，b ＝6，c ＝a 2－b 2＝ 3.如图，不妨令F 1(－3，0)，F 2(3，0).设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－122mn＝35，①由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ＝6.②由①②，解得mn ＝152.法一：设|OP |＝x .在△F 1OP 和△F 2OP 中，∠F 1OP ＋∠F 2OP ＝π，由余弦定理得x 2＋3－m 223x ＝－x 2＋3－n 223x，得x 2＝m 2＋n 2－62＝（m ＋n ）2－2mn －62＝152，所以|OP |＝302.法二：因为PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO →|2＝14(m 2＋n 2＋2mn cos ∠F 1PF 2)＝14（m ＋n ）2－45mn ＝152，所以|PO |＝302.反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.训练1(1)已知点A (－7，0)，B (7，0)，动点P 满足|PA |＋|PB |＝16，则点P 的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段解析：A 因为A (－7，0)，B (7，0)，所以|AB |＝14，所以|P A |＋|PB |＝16＞|AB |，根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为椭圆.故选A.(2)(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A.1 B.2C.4 D.5解析：B法一：因为PF →1·PF →2＝0，所以PF 1⊥PF 2，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2tan ∠F 1PF 22，得12|PF 1|·|PF 2|＝1×tan 90°2，所以|PF 1|·|PF 2|＝2，故选B.法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝16.因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2＝20，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF2|＝2，故选B.椭圆的标准方程例2(1)(2024·西安期中)已知椭圆的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点.若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是()A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1解析：C设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，|F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3.因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2.所以该椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.故选C.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为.解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n ).将P 1，P 2代入方程，m ＋n ＝1，m ＋2n ＝1，＝19，＝13.所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.答案：x29＋y23＝1反思感悟根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.训练2(1)(2024·四平一中第三次月考)已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为()A.x2 9＋y24＝1 B.4x29＋y2＝1C.y2 9＋x24＝1 D.4y29＋x2＝1解析：C令x＝0，可得y＝－3；令y＝0，可得x＝2，则椭圆的两个顶点坐标分别为(0，－3)，(2，0).因为|－3|＞2，所以椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为y29＋x24＝1.故选C.(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为()A.x2 3＋y22＝1 B.x23＋y2＝1C.x2 12＋y28＝1 D.x212＋y24＝1解析：A由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又ca＝c3＝33，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1，故选A.椭圆的几何性质离心率问题例3(1)已知A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和右焦点，P 是椭圆上一点，直线AP 与直线l ：x ＝a 2c 相交于点Q ，且△AFQ 是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：C 如图，设直线l 与x 轴的交点为H ，由△AFQ 是顶角为120°的等腰三角形，知|FQ |＝|F A |＝a ＋c ，∠QFH ＝60°，则在Rt △FQH 中，|FH |＝12|FQ |＝a ＋c 2.又|FH |＝a 2c －c ＝b 2c ，所以b 2c ＝a ＋c 2.结合a 2＝b 2＋c 2得3c 2＋ac －2a 2＝0，即3e 2＋e －2＝0，解得e ＝23或e ＝－1(舍去).故选C.(2)(2024·济南质检)如图所示，设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点.若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为.解析：∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.答案：2－1反思感悟求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解.(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解.(3)构造a ，c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .最值(范围)问题例4(2024·河南部分学校大联考)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C 过A (－2，0)和B (0，1)两点，点P 在线段AB 上，则PF 1→·PF 2→的取值范围为()A.－115，＋∞ B.1，375C.[－2，1]D.－115，1解析：D 因为椭圆C 过点A (－2，0)和B (0，1)，所以a 2＝4，b 2＝1，可得c ＝a 2－b 2＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0).设P (x ，y )，由题意得直线AB 的方程为x－2＋y ＝1，即x －2y ＋2＝0.因为点P 在线段AB 上，所以P (x ，y )满足－2≤x ≤0，0≤y ≤1，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝(2y －2)2＋y 2－3＝5y 2－8y ＋1＝5(y －45)2－115，y ∈[0，1]，当y ＝45时，(PF 1→·PF 2→)min ＝－115，当y ＝0时，(PF 1→·PF 2→)max ＝1，所以PF 1→·PF 2→的取值范围为[－115，1].故选D.反思感悟利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围.训练3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，若e 2＝3e 1，则a ＝()A.233B.2C.3D.6解析：A 由已知得e 1＝a 2－1a ，e 2＝4－12＝32，因为e 2＝3e 1，所以32＝3×a 2－1a ，解得a ＝233，故选A.(2)(2024·湖南部分学校联考)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，则△PF 1F 2内切圆半径的最大值为()A.3B.223C.233D.2解析：C 设△PF 1F 2的内切圆半径为r .由题意得，a ＝4，b ＝23，c ＝16－12＝2，故|F 1F 2|＝4.因为P 为椭圆C 上的一点，故|y P |≤b ＝23，所以△PF 1F 2的周长C △PF 1F 1＝|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝12.又△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y P |＝12C △PF 1F 2r ，则6r ＝2|y P |≤43，所以r ≤233.故选C.限时规范训练(六十一)A 级基础落实练1.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是()A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析：B动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离，则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.2.(2024·昆明模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，则△F 1MN 的周长为()A.2 B.4C.6D.8解析：D 由x 24＋y 23＝1得a ＝2.因为M ，N 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，所以|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|NF 1|＋|NF 2|＝2a ，因此△F 1MN 的周长为|MF 1|＋|MN |＋|NF 1|＝|MF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＋|NF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8.3.(2024·重庆诊断)“4＜k ＜10”是“方程x 2k －4＋y 210－k ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B ∵方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴－4＞0，－k ＞0，－k ＞k －4，解得4＜k ＜7，故“4＜k＜10”是“方程x2k－4＋y210－k＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.4.(多选)已知F1，F2分别是椭圆Γ：x216＋y212＝1的左、右焦点，点M是Γ上的动点，则()A.Γ的离心率为12B.∠F1MF2＜π2C.△MF1F2的周长为12D.△MF1F2的面积的最大值为23解析：ABC A选项：依题意，a＝4，b＝23，c＝2，所以Γ的离心率e＝c a＝2 4＝12，A正确.B选项：因为c＜b，所以以F1F2为直径的圆在Γ的内部，故∠F1MF2＜π2，B正确.C选项：△MF1F2的周长为2a＋2c＝12，C正确.D选项：设O为坐标原点，连接OM，易知当OM⊥F1F2时，△MF1F2的面积最大，最大值为12×2cb＝cb＝43，D错误.5.(多选)(2024·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ(0＜θ＜π2)角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，θ＝π3，则下列结论正确的是()A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为22C.椭圆的标准方程可以是y 216＋x 24＝1D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－23解析：CD设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝π3得2a ＝4cos θ＝8，解得a ＝4，A 不正确；显然b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝23，离心率e ＝c a ＝32，B 不正确；当以椭圆长轴所在直线为y 轴，短轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为y 216＋x 24＝1，C 正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ＝4－23，D 正确.6.(2024·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 为其左焦点，直线y＝kx (k ＞0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB .若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为()A.73B.63C.76D.66解析：A 设椭圆C 的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2，则四边形AFBF 2为平行四边形.设|AF |＝m ，∵∠ABF ＝30°，AF ⊥AB ，∴|BF |＝2m ，|BF 2|＝|AF |＝m ，|BF |＋|BF 2|＝2m ＋m ＝2a ，则m ＝23a .在△BFF 2中，(2c )2＝(43a )2＋(23a )2－2×43a ×23a ×cos 120°，整理得4c 2＝289a 2，即c ＝73a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝73.7.(2023·济南联考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，若F 2为线段AB 的中点，则△AF 1B 的面积为.解析：由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，因为点F 2为线段AB 的中点，所以AB ⊥F 1F 2，所以|AB |＝2b 2a ＝1，所以S △AF 1B ＝12|AB |·|F 1F 2|＝3.答案：38.(2024·上海外国语大学附属外国语学校段考)过点(3，0)且与椭圆C ：9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆的标准方程是.解析：由9x 2＋4y 2＝36得x 24＋y 29＝1，所以椭圆C 的半焦距c ＝9－4＝5，所以椭圆C 的焦点坐标为(0，－5)，(0，5).设所求椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0).因为所求椭圆与椭圆C 有共同焦点，所以所求椭圆的焦点坐标为(0，－5)，(0，5).又所求椭圆经过点(3，0)，所以32b 2＋02a 2＝1，得b 2＝9，所以a 2＝9＋5＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 29＋y 214＝1.答案：x 29＋y 214＝19.(2024·威海模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)与椭圆的一个交点为M ，若MF 垂直于x 轴，则该椭圆的离心率为.解析：根据椭圆和抛物线的对称性不妨令点M 在第一象限.由M 在抛物线上且MF ⊥x 轴得M (p 2，p )，由M 在椭圆上且MF ⊥x 轴得M (c ，b 2a)，由条件得p 2＝c 且p ＝b 2a，则2ac ＝b 2，∴2ac ＝a 2－c 2，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1＋2或e ＝－1－2(舍去)，所以e ＝－1＋ 2.答案：2－110.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程.解：(1)∵|AF 1|＝|AF 2|＝a ，且∠F 1AF 2＝90°，|F 1F 2|＝2c ，∴2a 2＝4c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.11.(2024·郑州调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若椭圆上一点P 与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为(a2，a2)，代入椭圆方程可得14＋a24b2＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝6 3 .(2)由(1)得椭圆E的方程为x23b2＋y2b2＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).y＝k（x－1）－1，x2＋3y2＝3b2，∴(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.∴x1＋x2＝6k（k＋1）3k2＋1，x1x2＝3（k＋1）2－3b23k2＋1.又x1＋x2＝2，∴k＝13，∴x1x2＝16－9b24，则|AB|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1034－4·16－9b24＝25，∴b2＝103，则a2＝10，∴椭圆E的标准方程为x210＋y2103＝1.B级能力提升练12.(多选)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则()A.当a＝2b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个B.△PF1F2的周长一定小于4aC.△PF1F2的面积可以大于a22D.若|PF1|≤2b恒成立，则C ，3 5解析：ABD对于A，当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，此时，若a＝2b，则b＝c，所以∠F1PF2＝90°，A正确；对于B，△PF1F2的周长为2a＋2c＜4a，故B正确；对于C，△PF1F2的面积为12|F1F2||y P|≤bc≤b2＋c22＝a22，故C错误；对于D，因为a－c≤|PF1|≤a＋c，所以a＋c≤2b，可得5c2＋2ac－3a2≤0，得5e2＋2e－3≤0，得－1≤e≤35，又e∈(0，1)，所以e ，3 5，故D正确.故选ABD.13.(2024·邯郸模拟)已知椭圆x29＋y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为.解析：由题意可得a＝3，b＝5，c＝9－5＝2.如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c ＝4，根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，所以cos∠PF2F1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝16＋16－42×4×4＝78，所以sin ∠PF 2F 1＝1－cos 2∠PF 2F 1＝158，故△PF 1F 2的面积为12|PF 2|·|F 1F 2|·sin ∠PF 2F 1＝15.答案：1514.(2024·烟台调研)已知椭圆A ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于抛物线y 2＝16x 的焦点到准线的距离，椭圆A 的离心率是方程2x 2－33x ＋3＝0的一个实数根.(1)求椭圆A 的方程；(2)若F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，M 是椭圆上的一点.求MF 1→·MF 2→的取值范围.解：(1)由y 2＝16x ，得p ＝8，抛物线的焦点到准线的距离为8，则椭圆的长轴长2a ＝8，∴a ＝4，由2x 2－33x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝32，由0＜e ＜1，得椭圆A 的离心率e ＝c a ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆A 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)设M (x 0，y 0)，则x 2016＋y 204＝1，即x 20＝16－4y 20，易知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－23－x 0，－y 0)·(23－x 0，－y 0)＝x 20－12＋y 20＝－3y 20＋4，∵－2≤y 0≤2，∴－8≤－3y 20＋4≤4，即MF 1→·MF 2→的取值范围是[－8，4].。
椭圆的几何性质说课稿
椭圆的几何性质说课稿一、引言椭圆是数学中重要的几何图形，具有许多独特的性质和应用。
本节课将重点介绍椭圆的几何性质，包括椭圆的定义、焦点与直径的关系、离心率、焦点到任意点的距离等内容。
通过本节课的学习，学生将深入了解椭圆的特点和性质，为后续学习打下坚实的基础。
二、椭圆的定义及基本要素1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
2. 椭圆的基本要素：a. 焦点：椭圆的两个焦点F1和F2是确定椭圆的两个固定点，它们与椭圆的主轴垂直。
b. 主轴：椭圆的主轴是连接两个焦点的直线段。
c. 短轴：椭圆的短轴是与主轴垂直且通过椭圆中心的直线段。
d. 中心：椭圆的中心是主轴和短轴的交点，也是椭圆的对称中心。
e. 离心率：椭圆的离心率定义为离心距离与主轴长的比值，用e表示。
三、椭圆的焦点与直径的关系1. 定理1：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的主轴长。
证明：设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1 + PF2 = 2a，而主轴的长度为2a，因此焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的主轴长。
2. 推论1：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之差等于椭圆的短轴长。
证明：设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1 + PF2 = 2a，而短轴的长度为2b，因此焦点到椭圆上任意一点的距离之差等于椭圆的短轴长。
四、椭圆的离心率1. 定义：椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与主轴长之比。
e = PF1 / a = PF2 / a2. 性质1：椭圆的离心率范围为0 < e < 1。
证明：根据椭圆的定义，焦点到椭圆中心的距离小于主轴长，因此离心率e小于1。
又因为焦点到椭圆中心的距离不可能为0，所以离心率e大于0。
综上所述，0 < e < 1。
3. 性质2：当离心率e接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率e接近于1时，椭圆趋近于直线。
椭圆讲稿
椭 圆
一．椭圆的第一定义：
二．椭圆标准方程：
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，求它的标准方程．
三．椭圆的简单几何性质
x 、y 的范围：
对称性：
顶点：
离心率：
例2求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
四．椭圆第二定义：
例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45
，求点M 的轨迹方程．
五．焦半径公式：
例4 椭圆上22
221(0)x y a b a b
+=>>一动点(,)P x y ，该椭圆的右焦点(,0)F c ，试问当P 点运动到什么位置时，线段||PF 最长，最长为多少？又当P 点运动到什么位置时，线段||PF 最短，最短为多少？
椭圆练习
1．已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =
m 的值．
2．设定点()6,2A ，P 是椭圆22
1259
x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．
3．如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ⨯=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程．。
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椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用
1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F
1、F
2
，和一个定长2a。
若动点P到
两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F
1F
2
|<2a.则动点轨迹是椭
圆。
两个定点F
1、F
2
称为椭圆的焦点。
由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。
此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。
即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。
1.2 应用举例
例1.已知点
1(3,0)
F-,
2(3,0)
F,有
126
PF PF
+=,则P点的轨迹是 .
例 2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P
的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.
解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。
我们若抓住PF 2为一个圆直径，PF 1为另一个圆半径的2倍，用公式
，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，
求的面积.24
解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用
解决
例4.P 是椭圆22
14520
x y +
=上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若
则12PF PF -的值为( )
A. 65
B. 25
C.
1
53
D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.
练:一动圆与圆⊙o1：x2+y2+6x+5=0外切,同时与⊙o2 ： x2+y2_ 6x _ 91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭
圆上移动时，求| AM| ＋ | MF |的最小值与最大值。
例7.设P是直线x-y+9=0上一点，过P点的椭圆以F
1 (-3，0)和F
2
（3，0）为
焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭圆的方程。
解评：（1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为
求的最小值，再转化为求F
1
关于直线x-y+9=0的对称点。
这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。
二、椭圆第二个定义的应用
2.1 椭圆的第二个定义（课本P78）点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离
的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆。
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
2.2 应用举例
例1.椭圆焦点F
1（-c，0），F
2
（c，0），离心率M是椭圆上一点，其横
坐标为x
0，求M点的两个焦半径|MF
1
|和|MF
2
|之长.
解：过M作右准线的垂线MM2，
则
根据椭圆第二定义
同理可得
解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径结果易见。
题设中若有某点的焦半径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。
（2）此题的结果，与第二定义等式都可作为公式加以应用。
例2.椭圆上一点P到左准线的距离等于2，求P到右焦点距离。
解：
解评此题使用了椭圆的两个定义.
例3.已知定点A（－23,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭
圆上移动时，求| AM| ＋ 2| MF |的最小值。
三、同步检测
1.椭圆上一点P到左、右两焦点距离之比为1：3，则P到左准线的距离是（）
A.5
B.15
C.
D.
2.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F
1和F
2
. 过F
1
作直线交
椭圆于A、B两点，则的周长为（）
A.24
B.12
C.6
D.3
3.已知椭圆上一点P到右焦点的距离为b，则P到左准线的距离是（）
4.已知椭圆的焦点F
1（-1，0），F
2
（1，0），P是椭圆上的一点，且|F
1
F
2
|是
|PF
2|与|P F
1
|的等差中项，则该椭圆的方程是（）
5.P是椭圆上的动点，过点P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM 中点的轨迹方程是（）
答案及提示
提示：
|=5
1. | PF
1
2.
3.
4.
5. 设P（x
0，y
），PM的中点N（x，y），
代入即得结果。