定积分在物理中的应用
定积分在物理中的某些应用
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的
方程为
(0 x R)
利用对称性 , 侧压力元素
dF 2 g x R2 x2 dx
端面所受侧压力为
F
R
0
2g
x
小R窄2 条x上2 d各x点的2压g 强R3 P g x3
2019年12月9日9时34分
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2
由于质点在细杆的中垂线上，从而水平合力为零．
垂直方向合力为： Fx
l
2
kmMa
(a 2
x
2
)
3 2
dx
l 2
l
2019年12月9日9时34分
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12
Fx
l
2
kmMa
(a 2
x
2
)
3 2
dx
l 2
l
2
l
2
kmMa
(a2
x2
3
对质点的万有引力．
y
解: 建立坐标系如图. 任取
a
[x , x dx] [ l , l ] , 22
则位于该区间上的细杆的质量为
M
dM dx .
于是它对质点
m
l
的引力的大小为
l 2
xdx
o x lx
2
dF
km dM r2
km a2 x2
M l
dx
.
2019年12月9日9时34分
窄条形所受的压力约为
O
A(0,3)
定积分物理应用公式
定积分物理应用公式定积分在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们计算一些重要的物理量，如质心、力矩和功等。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 质心的计算：质心是一个物体的平均分布位置，可以用定积分来计算。
对于一维情况下的质心计算，我们可以使用以下公式：质心位置x_c = (1/M) * ∫(x * dm)其中，M是物体的总质量，x是物体的位置，dm是质量元素。
通过对物体的质量进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以质量进行积分，就可以得到质心的位置。
2. 力矩的计算：力矩是一个物体受力时产生的转动效应，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的力矩计算，我们可以使用以下公式：力矩M = ∫(r x F) dx其中，r是力矩臂的长度，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，再乘以力矩臂的长度，就可以得到力矩的大小。
3. 功的计算：功是一个物体在受力作用下所做的功，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的功计算，我们可以使用以下公式：功W = ∫(F dx)其中，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，就可以得到功的大小。
以上是定积分在物理学中的一些应用。
通过定积分的计算，我们可以得到质心的位置，力矩的大小和功的大小，从而帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过测量和实验来获取所需的物理量，然后将其代入相应的定积分公式中进行计算。
这样可以帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
定积分在物理学中有着重要的应用，可以帮助我们计算质心、力矩和功等物理量。
通过定积分的计算，我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
定积分在物理上的应用
定积分在物理上的应用
一、变力做功
1.某质点受到F=6x2的力的作用，从x＝0处移动到x＝
2.0m处，求力F做了多少功
2.半径等于r的半球形水池，期中充满了水，把池内完全抽干，至少要做多少功？
3.地球质量M，半径为R，万有引力常量G，地球表面质量为m的物体具有的重力势能多大？
4.一质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为R的竖直圆轨道内绕“死圈”运动，已知动摩擦因数为μ，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？
二、求位移或时间
5.蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m 的A点处时，速度为v1=2cm/s。
问蚂蚁继续由A点爬到距离巢中心2m的B点需要多长时间？
三．求力
6.设有一竖直的阐门，形状是等腰梯形，尺寸如图所示，当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水的压力
3m
7．有一密度为ρl，半径为r的半球放在盛有密度为ρ2的液体的容器底部，它与容器底部密切接触(即半球表面与容器底面间无液体)，若液体深度为H，问半球体上表面所受压力是多大?
8.一根长为L的均匀直棒，其线密度为ρ在它的一端垂线上距直棒a处有质量为m的质点，求棒对质点一引力。
四、求转动动能
9.长为L，质量为m均质杆在水平面内以角速度ω绕通过杆端的竖直轴o转动，试求杆的动能
10一圆环质量为m，半径为R，绕它的一条直径为轴以角速度ω转动，求其动能
11.上题改为球壳，求球壳的动能
12.上题改为球体，求球的动能
五、证明正弦交流电的最大值的有效值的2倍。
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中的应用积分在物理学中作为一种“全局”而非局部的方法，能够用来求解许多复杂系统的总体属性，广泛地应用于物理学中各个方面，其中最常用的就是力学。
积分在力学中的应用主要有两个方面：求解力的动力学和求解位置的力学。
其中动力学通常应用导数，如布朗-特里安力学中的机械动力学，而位置力学则通常使用积分，像是拉格朗日力学的位置力学等。
布朗-特里安力学是一种建立在冯·诺依曼结构的物理学理论。
它主要用于描述与经典力相关联的系统，通过使用细分和积分来求解系统。
简而言之，使用导数和积分，就可以求出系统的运动方程。
而根据拉格朗日力学，可以得出一个系统的动力学特性，也就是说可以得出其运动轨迹方程。
积分在电磁学中也有重要的应用。
例如，世界著名的电磁学家盖伊·法拉第曾将电磁学的所有现象描述为电磁场的密度和磁场的流量，他提出了一个统一的方程——完全电磁学方程（Maxwell's equation），它将电磁波的表现形式写作∮⃗E.dt，其中⃗E为电场的强度矢量，把这个积分写成A=∫E⃗Adt⃗。
综上所述，Maxwell's equation可以用来求出电磁波在任何情况下的分布情况。
积分在物理学中也有许多应用，例如量子力学中的对称性分析。
量子力学中常使用到对称性和对称性分析，而积分正好可以帮助我们求出量子力学模型的特殊参数的值。
此外，积分还被广泛用于统计力学中，例如统计力学方程和各种热力学量的求解等。
总之，积分在物理学中有着广泛而重要的应用，使得物理学家可以更好地理解和探索现实物理世界。
历史上有着许多杰出物理学家，如爱因斯坦和爱迪生等，他们都在物理学领域有着杰出的贡献，而积分则是其中不可或缺的工具。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分的应用于物理学
定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念，它可以描述一个函数在一定区间内的面积。
除了数学上的应用之外，定积分在物理学中也有广泛的应用。
一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个基本的物理量。
对于一个以某个加速度运动的物体，我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。
而得到位移后，我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。
2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量，而质心则是一个系统的重心。
对于一个由若干个质点组成的系统，我们可以将每个质点的质量加起来，然后用质心的坐标来描述整个系统。
这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。
3.力和功在物理学中，力是另一个基本的物理量。
对于一个物体在某个力场中做功，我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。
与此同时，我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。
二、例子：牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则，它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。
具体而言，我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。
假设一个物体受到一个恒定的力F作用，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = ma其中，a是物体的加速度，m是物体的质量。
为了求解这个方程，我们需要将其改写为以下形式：a = F/m这个定理告诉我们，当一个物体受到一个力的作用时，它的加速度是与它的质量成反比例的。
因此，我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。
假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式，我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。
一旦我们知道了加速度函数，我们就可以将它关于时间的定积分求解出来，得到物体在受到力的作用下所走过的位移。
这个过程可以用以下公式来描述：x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中，v0是物体的初始速度，a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。
高等数学中定积分在物理学领域中的应用
在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。
通过对定积分的运用，我们可以更好地理解物理现象，解释实验结果，并推导出物理定律。
本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。
一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中，质心、转动惯量和力矩是常见的物理量，它们的计算与定积分有着密切的联系。
1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置，其坐标可以通过下式进行计算：在这个公式中，x 表示物体上各个微小质量元的横坐标，f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
通过对质心的计算，我们可以更好地理解物体的分布特性，分析物体的运动规律。
2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。
3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度，F 表示施加在物体上的力。
力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。
通过以上介绍，我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值，它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。
二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。
1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系，可以通过下式进行表达：在这个公式中，F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
通过定积分，我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。
定积分在物理上的应用
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算．
例 3 有一长度为 l 、线密度为 r 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
建立坐标系如图
（k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力F 对
它所作的功．
解 取r 为积分变量，
q
•o
a•
1
•r•
•
r
•
•
dr
•b
r
r [a,b],
取任一小区间[r, r dr], 功元素
dw
kq r2
dr,
所如求果功要为考w虑将ab单krq2位dr电荷k移q到 1r无ba穷远kq处 a1
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2 x2
3
R 0
2
3
R3.
例 2 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
压力
由 物 理 学 知 道 ， 在 水 深 为h 处 的 压 强 为
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为A
的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P p A．
定积分在物理上的应用-文档资料
例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
端 面 上 所 受 的 压 力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0
R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
连 线 方 向 ．
m 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 距 为 1, m 2相
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取 任 一 小 区 间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解 在端面建立坐标系如图
定积分在物理中的应用
b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作 业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功 问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
定积分在物理中的应用
km a2 x2
M l
dx.
由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不
能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴
两个方向上, 得
dFx dF sin , dFy dF cos .
由 cos a
得垂直方向总合力为
a2 x2
Fy
l
2 l
dFy
2
2
l 2
kmMa
所作功的微分为
I
2 0
R
sin2
t
dt
.
一个周期所作功为
W
I
2 0
R
T sin2 t dt,
0
于是,平均功率为:
P W I02R T sin2 t dt
T 2 0
I
2 0
R
2 sin2
s ds
I
2 0
R
2
(1 cos 2s)ds
2 0
4 0
1 2
I02 R.
例4 一圆锥形水池, 池
口直径 30 米, 深 10米,
O
池中盛满了水. 试求将
全部池水抽出池外需作
10
x
的功?
解 如图建立直角坐标系.
将池中深度为 x 到 x + 的一薄层水Δ抽x到池口
15 y
x x+Δx
所作的功 W 的微元为
dW vxdV ,
而
dV
π
15
1
x 10
2
dx,
因此
于是求得
一、液体静压力
例1 如图所示为管道
的圆形闸门(半径为 3
米). 问水平面齐及直 径时,闸门所受到的水 的静压力为多大(设水
定积分的物理应用
定积分的物理应用在物理学中，定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题，为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。
本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。
一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中，研究质点在空间中的运动是一项基础工作。
定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。
假设质点在一维坐标轴上运动，位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。
可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移，其计算公式为：\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中，v(t)表示质点运动的速度函数，t1和t2表示计算位移的时间段。
路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。
即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同，也可以通过定积分来计算路径长度。
计算公式如下：\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。
二、力学中的功和能量在力学中，定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。
功是描述力对物体做功的量，可以通过定积分来计算。
在一维情况下，力对物体做功的公式为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中，F(x)表示作用在物体上的力，x1和x2表示计算功的位置范围。
能量是物理系统的重要性质，也可以通过定积分来计算。
例如，在弹簧振子系统中，弹性势能可以用以下定积分表示：\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中，k表示弹簧的弹性系数，x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。
三、流体力学中的流量和质量在流体力学中，定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。
5.6定积分在物理上的应用
解
_
1
y
1 (1 x 2 )dx 2
1 (1) 1
3
例6 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低
体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验
测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为
10t t 2 0 t 5 c
C(t
)
25e
k
(
60 0
5
1 (5t 2 1 t 3 ) 5 5 ek(t5) 60
60
3 0 12k
5
11.63(单位 / ml )
三、平均速度
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
故作用在活塞上的
力为 功元素为 所求功为
S
o a xx dx b x
例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
kq
1 r
b a
k
q
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 .
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在物理及其他领域中有着广泛的应用。
在物理学中，定积分的应用可以帮助我们解决各种复杂的实际问题，比如计算物体的质心、计算密度分布的质量、计算电场与磁场的功率等。
在其他领域，定积分也被广泛应用于各种领域，比如经济学、生物学和工程学等。
本文将就定积分在物理及其他领域的应用进行更详细的探讨。
一、定积分在物理学中的应用1. 计算物体的质心物理学中，质心是一个非常重要的概念，它表示一个物体整体的平均位置。
利用定积分的方法，我们可以求得任意形状的物体的质心。
一个均匀细杆，利用定积分可以轻松求得其质心位置。
这对于工程设计或者物体平衡问题都具有重要的意义。
2. 计算密度分布的质量在物理学中，经常需要根据密度分布来计算物体的质量。
利用定积分，我们可以求得密度分布在空间中的质量总量。
这在研究天体物理学或者地球物理学等方面有着非常重要的应用。
3. 计算电场与磁场的功率在电磁学中，电场与磁场的功率计算经常需要用到定积分。
当分布的电荷或者电流密度不均匀时，可以利用定积分来计算电场与磁场的功率。
这对于电路设计或者电动机性能分析等方面都具有着非常重要的应用。
二、定积分在其他领域的应用1. 宏观经济学在宏观经济学中，定积分可以用来描述生产总值、就业率、通货膨胀率等经济指标的变化趋势。
通过对这些指标的定积分分析，可以更好地理解宏观经济运行的规律性，并为制定经济政策提供依据。
2. 生物学在生物学领域，定积分可以被应用于描述生物体内各种物质的浓度变化趋势，比如代谢产物在细胞内的扩散过程等。
定积分也可以用来描述生物体的生长规律以及种群数量的动态变化过程。
3. 工程学在工程学中，定积分是一个非常重要的工具，可以用来计算工程设计中各种复杂形状的物体的体积、质量、重心位置等物理量。
在建筑工程中，可以利用定积分来计算建筑结构的重心位置，以便施工和设计过程中的平衡和稳定性分析。
以上只是定积分在物理及其他领域中部分应用的介绍。
定积分在物理中的应用
探究:变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从 xБайду номын сангаасa移动到x=b(a<b),那么如何计算变力 y F(x)所做的功W呢？ y=F(x)
f(b) f(a)
由”四步曲”能得到
W F ( x)dx
a
b
O
a
b
x
例题讲解：变力作功
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置L米处，求克服弹 力所作的功.
0
10
40
60
t
（30＋60） 30 1350(m) 2 不是所有的路程题都适用定积分的几何 意义求解
练习1:现学现用 一物体沿直线以v=2t+3(t 的单位:s,v的 单位：m/s)的速度运动，求物体在3s~5s 间行进的路程。
方法一：s
2
5
3
(2t 3) dt 5 3
2
(t 3t )
3 3 2 1050 ( 60 90 60) ( 402 90 40) 4 4
1350(m)
小结 :做变速直线运动的物体所经过 答：汽车 1分钟行驶了 1350m. b 的路S, s v(t )dt (v(t ) 0)
a
例题讲解:变速直线运动的路程
1
1 3 1 3 (5 2 2 ) (5 1 1 ) 3 3 8 3
练习3:能力提升
一物体在变力F(x)=5-x2作用下，沿与 F(x)成300方向作直线运动，则由x=1运 4 3 动到x=2时F(x)作的功为（ (J ) ） 2 3 2 0 W (5 x ) cos30 dx F(x)
定积分在物理上的应用
它所作的功．
解
取r为积分变量，
q
•
o
a••r•1•r •d•• rb r
r[a,b],
取 任 一 小 区 间 [ r ,r d ] ,功r 元素
dw
kq r2 dr,
所如求果功要为考w虑将ab单kr2q位d电r 荷kq移到 1r无 ba穷远kq处a1 1b.
w
kq
a r2dr
kq
1 r
a
kq a
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
建立坐标系如图
ly
取 y为 积 分 变 量 y
l, 2
2l ,
取 任 一 小 区 间 [y,yd]y
2 ydy
yr
o a • M
x
将典型小段近似看成质点
l
2
小段的质量为 rdy,
小段与质点的距离为 r a2y2,
w1
1 0
f(x)dx k
2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f(x)dx.
wh
h
0 kxdx
kh 2 2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2Βιβλιοθήκη 2nk 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
二、水压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 元 素 法 ” 思 想 ．
例 4 一 个 横 放 着 的 圆 柱 形 水 桶 ， 桶 内 盛 有 半 桶 水 ，
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a
7 3
.
7
【补偿训练】在原点O有一个带电量为+q的电荷，它 所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位 正电荷从距O点a处沿着射线方向移至距O点为b(a<b) 的位置，求电场力做的功.
【解析】取电荷移动的射线方向为x轴的正方向，那
么电场力为F=k·xq2 (k为常数)这是一个变力，在
[x，x+Δx]上，显然，W=kq ·Δx，
20x)
|9000 1 723J.
4
所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.
【方法总结】求变力做功的方法 (1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变 力F的表达式.
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下， 沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移动到 x=b(a<b).因此求功之前还应求出位移的起始位置与 终止位置.
【解析】在AB段运动时F在运动方向上的分力F1= Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力 F2=Fcos 45°.
由变力做功公式得:
W＝
50 0
(
1 4
x
5)cos
30dx＋
90 50
(
1 4
x
5)cos
45dx＋600
＝
3 (1 x2 82
20x)|500＋
2 (1 x2 82
所以s(t)=A+Aω2cos t-Aω2. 所以质点的位移方程为s(t)=A+Aω2cos t-Aω2， t∈[0，+∞).
【补偿训练】一辆做变速直线运动的汽车开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动，求: (1)在t=4 s时的位置. (2)在t=4 s时运动的路程.
【解析】(1)在t=4 s时该点的位移为
【跟踪训练】一物体按规律x=bt3作直线运动，其中x 为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平 方，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力所做的功.
【解析】物体的速度v=x′(t)=(bt3)′=3bt2，媒质
的阻力F阻=kv2=k·(3bt2)2=9kb2t4(其中k为比例常
数，k>0).当x=0时，t=0;当x=a时，t=( a
【跟踪训练】一质点做直线运动，其瞬时加速度的变 化规律为a(t)=-Aω2cos t，在t=0时，v(0)=0， s(0)=A，其中A，ω为常数，求质点的位移方程.
【解析】v(t)-v(0)= a0t (t)dt= (0t-Aω2cos t)dt， 所以v(t)=-Aω2sin t |0t=-Aω2sin t. 所以s(t)-s(0)= v0t (t)dt= (-0t Aω2sin t)dt， 所以s(t)-A=Aω2cos t-Aω2.
1.7.2 定积分在物理中的应用
类型一 求变速直线运动的路程 【典例1】(1)物体A的运动速度v与时间t之间的关系为 v=2t-1(v的单位是m/s，t的单位是s)，物体B的运动速 度v与时间t之间的关系为v=1+8t，两个物体在相距为 405 m的同一直线上同时相向运动，则它们相遇时，A 物体的运动路程为________.
0
x
90， (单位:N)，在AB段运动时
20， 90 x 120
F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成 45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A 运动到D所做的功.( 3 ≈1.732， 2 ≈1.414，精确 到1 J)
【解题指南】分析力的分解与合成，根据变力做功的 情况列出积分表达式，应用微积分基本定理求解.
x2
所以W=ab
kq x2
dx
kq(
1 x
)
|ab
kq( 1 a
1)J.
b
【知识思维导图】
0
1
3
1 t2 4t 3 dt 3 t2 4t 3 dt 4 t2 4t 3 dt 4m.
0
1
3
类型二 变力做功问题
【典例2】如图所示，一物体沿斜面
在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，
其中AB=50 m，BC=40 m，CD=30 m，
变力F=
1
4
x 5，
s1
4 0
8t 2t2
dt
6 4
8t 2t2
dt
(4t 2
2 3
t3)
4 0
(4t 2
2 3
t3)
6 4
128 . 3
当t=6时，点P的位移为
6 0
8t 2t2
dt
(4t 2
2 3
t3)
6 0
0.
【方法总结】变速直线运动的路程或位移的求法步骤 (1)确定所求时间段上的速度函数. (2)解不等式v(t)>0， v(t)<0确定积分区间. (3)确定所求的是路程还是位移. (4)用定积分表示相应的路程或位移. (5)通过定积分的运算得出结论.
4 0
t2 4t 3
dt
(
1 3
t3
2t 2
3t)|04
4 m.
3
即在t=4 s时该点距出发点 4 m.
3
(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上，v(t)≥0， 在区间[1，3]上， v(t)≤0，
所以在t=4 s时的路程为
s 1 t2 4t 3 dt | 3 t2 4t 3 dt | 4 t2 4t 3 dt
【解析】(1)依题意 (0t 2t-1)dt+ (0t1+8t)dt=405，
即(t2-t) +|0t (t+4t2) =|0t 5t2=405， 解得t=9， 所以A物体的运动路程为(t2-t) |90=72(m). 答案:72 m
(2)由v(t)=8t-2t2≥0，得0≤t≤4， 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， 当t>4时，P点向x轴负方向运动. 故t=6时，点P离开原点的路程为
(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求:点 P从原点出发，当t=6时，点P离开原点的路程和位移.
【解题指南】(1)本题是一个相遇问题，两个物体运 动的总路程是知道的，我们只需要对时间t进行积分， 相加列方程求解出时间，即可求出A物体的运动路程.
)
1
3，所以阻
b
1
1
力所做的功为W阻=
a 0
F阻
dx＝
(a b
0
)3
kv2
vdt＝
(a b
0
)
3
9kb 2 t 4
3bt 2dt
1
1
＝( a )3 b 0
27kb3t6dt＝27 7
kb3 t 7
( a )3
|0b
＝27 7
27
kb3a 3 .
故物体由x=0运动到x=a时，阻力所做的功为27
kb
2 3