第十课时图形及其基本性质。
图形基本性质
图形基本性质一、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）1、长方形：有两个角是直角的平行四边形(正方形属于特殊的长方形）。
性质：①对角线相等且互相平分；②有四条边；③对边平行且相等；④四个角都相等且都是直角；⑤四个角度数和为360°；⑥有2条对称轴；⑦水平的那一边为长，垂直的那一边为宽；⑧长方形是特殊的平行四边形；⑨长方形有无数条高。
长方形周长计算公式：周长文字公式：(长+宽)×2 （周长字母公式：C=(a+b)×2 ）面积计算公式：面积文字公式：长×宽（面积字母公式：S=ab ）2、正方形：①在同一平面内，四条边都相等且一个角是直角的四边形是正方形。
②有一组邻边相等的矩形（长方形）是正方形。
③有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形。
④四边形对角线相等且互相垂直平分。
性质：①边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；②内角：四个角都是90°；③对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；⑤形状：正方形也属于长方形的一种；⑥正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质。
长方形周长正方形周长计算公式：周长文字公式：边长×4 （周长字母公式：C=4a ）面积计算公式：面积文字公式：边长×边长（ S=a×a ）（其他计算方法：S=对角线×对角线÷2）3、平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（矩形（即长方形），菱形，正方形都是特殊的平行四边形。
）定义：①如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的一组对边平行且相等。
（简述为“平行四边形的对边平行且相等”）②如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别平行。
（简述为“平行四边形的对边平行”）③如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别相等。
2024年新青岛版九年级上数学教学计划
2024年新青岛版九年级上数学教学计划教学目标：1. 知识目标：掌握九年级上册数学的全部知识点，包括代数式与方程、平面图形的认识、平面图形的性质、带根式的运算、实数概念及运算、函数基本性质等。
2. 能力目标：培养学生数学思维和解决问题的能力，使学生能够熟练地运用所学知识解答问题，提高其数学应用能力。
3. 态度目标：培养学生对数学学习的兴趣，建立正确的数学学习态度，发展合作学习精神，培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学内容及计划：第一章代数式与方程1. 代数式的含义与性质（4课时）教学内容：代数式的定义，基本运算法则，指数法则，化简与展开。
教学计划：第1课时：引入代数式的定义，让学生了解代数式的基本概念。
第2课时：介绍代数式的基本运算法则，引导学生进行代数式的简化。
第3课时：讲解指数法则，让学生掌握指数运算的规律。
第4课时：综合运用，让学生进行代数式的展开与合并。
2. 一元一次方程（4课时）教学内容：一元一次方程的定义、解法及实际应用。
教学计划：第5-6课时：引入一元一次方程的定义与解法，让学生学会使用逆运算解方程。
第7课时：讲解一元一次方程的实际应用，引导学生将数学知识应用于实际问题。
第8课时：巩固与综合运用，让学生解决一元一次方程实际问题。
第二章平面图形的认识1. 平面图形的定义及分类（4课时）教学内容：平面图形的分类及性质。
教学计划：第9-10课时：引入平面图形的定义及分类，让学生了解各种平面图形的基本特点。
第11课时：讲解平行四边形及其性质，引导学生运用性质进行证明。
第12课时：综合运用，让学生解决平面图形的真实问题。
2. 圆的相关概念与性质（4课时）教学内容：圆的定义、元素、性质及相关定理的应用。
教学计划：第13-14课时：引入圆的定义、元素及性质，让学生学会计算圆的周长和面积。
第15课时：介绍圆的切线及其性质，引导学生运用性质进行证明。
第16课时：巩固与综合运用，让学生解决圆相关问题。
七年级数学社团教案共七课时
七年级数学社团教案共七课时一、第一课时：认识平面几何【教学目标】1. 了解平面几何的基本概念，如点、线、面等。
2. 掌握平面几何中各种基本图形的性质和判定。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
【教学内容】1. 平面几何的基本概念介绍。
2. 平面几何中各种基本图形的性质和判定。
【教学步骤】1. 引入新课，讲解平面几何的基本概念。
2. 通过示例，讲解平面几何中各种基本图形的性质和判定。
3. 练习题巩固所学知识。
二、第二课时：角的计算【教学目标】1. 掌握角的计算方法。
2. 学会使用量角器。
3. 培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 角的计算方法介绍。
2. 使用量角器的方法。
【教学步骤】1. 引入新课，讲解角的计算方法。
2. 演示如何使用量角器，并让学生动手操作。
3. 练习题巩固所学知识。
三、第三课时：三角形的性质【教学目标】1. 了解三角形的定义和性质。
2. 学会判断三角形的类型。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
【教学内容】1. 三角形的定义和性质介绍。
2. 判断三角形类型的方法。
【教学步骤】1. 引入新课，讲解三角形的定义和性质。
2. 通过示例，讲解如何判断三角形的类型。
3. 练习题巩固所学知识。
四、第四课时：四边形的性质【教学目标】1. 了解四边形的定义和性质。
2. 学会判断四边形的类型。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
【教学内容】1. 四边形的定义和性质介绍。
2. 判断四边形类型的方法。
【教学步骤】1. 引入新课，讲解四边形的定义和性质。
2. 通过示例，讲解如何判断四边形的类型。
3. 练习题巩固所学知识。
五、第五课时：图形的变换【教学目标】1. 了解图形的平移、旋转和轴对称。
2. 学会运用图形变换解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 图形的平移、旋转和轴对称的定义和性质。
2. 运用图形变换解决实际问题的方法。
第十章图形的相似复习1教案
怀文中学2012—2013学年度第二学期教学设计初二数学(第十章复习1 )主备:陈曼玉审校：胡娜授课时间： 2013-5-7教学目标：1、理解线段比和成比例的线段的概念. 掌握比例的基本性质。
2、理解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的概念。
3、掌握比例的性质及其黄金分割在几何中的应用。
教学重点：掌握比例的性质及黄金分割的应用。
教学难点：理解比例的性质及其应用。
教学过程：一．自主学习（导学部分）1、地图比例尺：地图上的线段长度与实地相应线段长度之比。
2、线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.3、成比例的线段：在四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么称这四条线段成比例.在比例式中， a、b、c、d叫比例的项.其中两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.注意:成比例的四条线段是有次序的.4、比例中项：特别地,如果a:b=b:c，这时我们把b叫做a、c的比例中项。
5、比例的的基本性质：ad = bc，两个外项的积等于两个内项的积。
比例式ab=cd可以写成多少种不同的形式。
6、比例的性质：（1）如果ab＝cd，那么a＋bb＝c＋dd；（2）如果ab＝cd，那么a－bb＝c－dd；（3）如果ab＝cd＝ef,那么a＋c＋eb＋d＋f＝ab；（4）如果ab＝cd=…=mn（b+d+…+n≠0）,那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab。
7、黄金分割：黄金分割的意义,黄金矩形,黄金三角形等概念。
二．合作、探究、展示例1、已知2x=3y（x≠0）则下列比例式成立的是A．x2=y3Bx3=y2Cxy=23Dx2=3y例2、下列四组线段中，成比例的是( )Ａ、３、６、７、９Ｂ、２、５、６、８Ｃ、３、６、９、１８Ｄ、１、２、３、４例3、已知四条线段a、b、c、d的长度，ａ＝２cm，b=30cm，c=6cm，d=10cm. 试判断它们是否是成比例线段？例4、已知:有两条长分别为,4cm,8cm的线段,请你再添加一条线段,使其中一条线段是其余两条线段的比例中项.例5、已知，3x－4y2x+y=12，求xy的值。
初三数学复习计划PPT课件
知识技能
数学思考 问题解决 情感态度
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理 解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数； 掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问 题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方 程、不等式、函数进行表述的方法。 2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边 形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法 和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、 旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平 面直角坐标系，能确定位置。 3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理 解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一 步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
情感态度
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知 欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决 数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学 好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识 数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会 数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真 勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成 实事求是的科学态度。
12课时序号复习内容课时过关测试内容时间第1课时实数第2课时二次根式第3课时代数式整式运算第4课时因式分解分式第5课时一次方程分式方程一次方程组方程与不等式1课时第6课时一元二次方程第7课时一元一次不等式组1第8课时不等式的应用第9课时函数概念一次函数函数及其图像1课时第10课时反比例函数第11课时二次函数第12课时函数的应用第13课时平行线三角形与证图形的性质1课时第14课时特殊三角形第15课时多边形平行四边形与证明第16课时特殊平行四边形梯形与证明第19课时投影与视图图形与变换第20课时图形的变换图形与变换1课时第21课时相似形第22课时解直角三角形图形与坐标第23课时图形变换与坐标图形与坐标1课时14概率与统3课时第24课时统计概率测试1课时第5课时概率151620201217重视模块之间的联系
第十课时 实践活动：画出美丽的图案
第十课时实践活动：画出美丽的图案教学内容：教科书第112～113页，画出美丽的图案。
教学目标：1、通过对图案图形的观察，使学生感受到由圆组成的图形美，提高学习兴趣。
2、通过操作，进一步培养学生的动手操作能力，感受平面图形的应用价值。
教学重点：通过对图案图形的观察，使学生感受到由圆组成的图形美，提高学习兴趣。
教学难点：进一步培养学生的动手操作能力，感受平面图形的应用价值。
教学准备：1、教学课件2、圆规教学过程：一、教学新课1、出示美丽的图形图案。
欣赏后说说感受。
2、板书课题：画出美丽的图案。
3、看看书上的操作，大致分为几个步骤？你能说说每一步应该怎样操作吗？说说画图操作的步骤。
按这样的操作步骤，我们一起来试一试吧！（1）画出一个直径4厘米的圆，再轻轻地画出两条互相垂直的直径。
（2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。
这4个小圆的圆心分别在哪里？半径应该是多少呢？（3）经过每两个小圆的交点再画出4条大圆的半径。
每两个小圆的交点指的是什么？（4）以新画出的4条半径为直径再画4个小圆。
圆心在哪里？半径是多少呢？指出：圆规两脚间的距离要准确，圆心定位要准确。
按书上的图示进行涂色。
4、展示不同涂色的效果，看了以后有什么感受？二、巩固练习1、观察图案，想象它们是怎样画出来的，在小组中说说画图的步骤。
（1）说说画图步骤，集体评价。
（2）按所说步骤画出其中的一幅，涂上颜色。
（3）展示交流。
2、在方格纸上设计一幅图形图案，画好后与同学互相评价。
三、课堂小结今天这一节课美吗？我感觉既有图案的美，也有同学们心灵手巧的美，你有什么感觉呢？第一课时数的世界（一）教学内容：教科书第114页第1～6题教学目标：1.使学生进一步加深对方程意义的理解，会用等式的性质解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b 的简单方程，能正确理解简单实际问题中数量间的相等关系，会列方程解决一些简单的实际问题。
2.使学生进一步理解公倍数与最小公倍数、公因数与最大公因数的含义，能在1～100的自然数中，找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数以及100以内数的公因数和最大公因数。
第三学段图形与几何
第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。
一、图形的性质：包括 9 个基本事实、探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义、命题、定理等内容。
1．关于“点、线、面、角”这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。
这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”、“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，《标准》不要求进行角的倍、分的计算。
2．关于“相交线与平行线”（ 1 ）两条直线的位置关系有相交、平行两种，《标准》没有把两条直线重合作为第三种位置关系。
（ 2 ）两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。
这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系——两直线相交所成角的大小成为特殊值（ 90 °）时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。
（ 3 ）“两条直线相交，只有一个交点”，《标准》既没有把这个显然的结论作为基本事实（如作为基本事实，它与基本事实（ 1 ）不独立），也没有要求根据基本事实（ 1 ）用反证法加以证明。
（ 4 ）需要指出：《标准》没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。
这样处理一是为了减少“基本事实”的个数；二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解。
这个定理的证明要运用反证法完成（参见《标准》附录 2 例 60 ），只要求学生“了解”。
（ 5 ）认别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。
这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练；而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。
3．关于“三角形”（ 1 ）三角形内角和定理，是一个十分重要的定理。
第二学段要求学生“了解三角形内角和是 180 °”，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。
轴对称图形中心对称图形的定义及性质
轴对称图形、中心对称图形的基本概念轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
轴对称图形的性质1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
（对于一个图形来说）（2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
（对于两个图形来说）（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。
中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的性质：①于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等．只是轴对称图形的有：射线，角等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．只是中心对称图形的有：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．。
初中图形性质定义教案模板
初中图形性质定义教案模板一、教学目标：1. 知识与技能目标：让学生掌握常见几何图形的性质定义，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质定义。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质定义。
2. 教学难点：图形性质的推理与应用。
三、教学准备：1. 教师准备：准备好几何图形模型、幻灯片等教学辅助工具。
2. 学生准备：预习相关几何图形的性质定义内容。
四、教学过程：1. 导入新课：教师通过展示几何图形模型，引导学生观察并思考：这些图形有什么特点？它们之间有什么联系？2. 自主学习：学生根据预习内容，总结等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质定义。
3. 课堂讲解：教师根据学生的自主学习情况，讲解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质定义，并通过示例进行解释。
4. 互动交流：教师提出问题，引导学生进行分组讨论，分享各自的解题思路和方法。
5. 巩固练习：教师布置练习题，学生独立完成，教师进行讲解和解答。
6. 课堂小结：教师引导学生总结本节课所学的内容，巩固图形性质定义。
7. 课后作业：教师布置课后作业，让学生进一步巩固本节课所学内容。
五、教学反思：教师在课后对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对存在的问题调整教学策略，以提高教学效果。
六、教学评价：1. 学生评价：学生对课堂教学进行评价，包括教学内容、教学方法、教学效果等方面。
2. 教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，包括课堂表现、课后作业完成情况等方面。
3. 家长评价：家长对学生的学习情况进行评价，包括学生在家的学习态度、学习效果等方面。
4. 教学考核：教师对学生的学习成绩进行考核，了解学生对图形性质定义的掌握程度。
七、教学拓展：1. 开展几何图形绘画比赛，激发学生的学习兴趣。
数学立体几何——10.1平面的基本性质
在以后的学习中，我们将经常用到这些记号．
课内练习1
1.能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？
2.画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．
3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．
4.用符号表示下列点、线、面间的关系：
1.判断题
(1)如图，我们能说平面与平面只有一个交点A吗？
(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗?
(3)如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗?
2.三角形一定是平面图形吗？为什么？
3.一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？
4.怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？
济宁技师学院教案
教师姓名
郑理
授课班级
18计算机
授课形式
新授
授课日期
2019年10月日第周
授课时数
2
授课章节
名称
§9.1平面的基本性质
教学目的
了解平面的表示方法和基本性质
教学重点
平面的基本性质
教学难点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
教案授课教师：郑理
章节内容
基本性质：
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
如图5-29，直线l上两点A,B在平面内，那么 l上所有的点都在平面内，这时我们可以说，直线l在平面内或平面经过直线l．
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内．
因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质：
澧县五中七年级数学下册第10章轴对称平移与旋转10.1轴对称4设计轴对称图案课件新版华东师大版5
情景导入
我们已经知道了什么是不等式以 及不等式的性质.这节课我们将学习一 元一次不等式及其解法 , 并用它解决 一些实际问题.
• 学习目标 : 〔1〕知道什么是一元一次不等式 , 会解 一元一次不等式.
〔2〕类比一元一次方程的解法来归纳解 一元一次不等式的方式和步骤 , 加深対 化归思想的体会.
如下图 , 图中哪条线段可以由线段 b 经过平 移得到 ？如何进行平移 ？
解 : 线段 c ． 可由线段 b 向右 平移 3 格 , 向上平移 2 格得到．
a c
b
d
知识点2 平移作图
例1 如下图 , 平移△ABC , 使点 A 移动到点 A' , 画出平移后的△A'B'C'．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
系数化为1得 : x≥8.
08
（2） 2 x≥2x 1
2
3
解 : 去分母得 : 3〔2+x〕≥2〔2x-1〕 ;
去括号得 : 6+3x≥4x-2 ;
移项得 : 3x-4x ≥ -2-6 ; 合并同类项得 : -x ≥ -8 ;
将解集用数轴表 示 , 那么如以下 图:
系数化为1得 : x≤8.
0
8
随堂练习
1.用四块如下图的瓷砖拼成一个正方形 , 形成轴对称的图案 , 和自己的同伴比一比 , 看 谁的拼法多.
七年级数学下册第10章轴对称平移与旋 转10.1轴对称4设计轴对称图案课件新 版华东师大版5
同学们，下课休息十分钟。现在是休
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
怎样安排高中《立体几何》复习计划(授课以及相应训练)
怎样安排高中《立体几何》复习计划（授课以及相应训练）复习的几点建议一、教学课时分配建议第一课时空间几何体的结构特征及三视图和直观图第二课时空间几何体的表面积与体积第三课时平面基本性质及两直线的位置关系第四课时空间直角坐标系和空间向量及其运算第五课时空间中的平行关系（一）第六课时空间中的平行关系（二）第七课时空间中的垂直关系（一）第八课时空间中的垂直关系（二）第九课时空间向量应用（一）——位置关系的向量解法第十课时空间向量应用（二）——空间角第十一课时空间向量应用（三）——空间角•二. 立体几何复习应突出什么样的数学思维特征？•内容设置（理念变化）1.《大纲》从直线、平面到简单几何体，即从局部到整体展开几何内容的方式不同.《标准》按整体到局部的视角来展开几何内容，即从空间几何体出发到点、线、面之间的位置关系.符合学生学习几何的一般认知规律，有助于培养几何直观能力• 2. 在研究线面、面面平行和垂直的位置关系中，与《大纲》从线面、面面出发分别研究平行和垂直的处理方式有所不同，《标准》中以平行和垂直为两条主线，先研究线线、线面、面面平行，再研究线面、面面垂直.这样处理既突出平行和垂直两种基本位置关系，又突破《大纲》中线面、面面关系自成体系的格局，使二者之间自然、有机地联系起来，易于实现线线、线面位置关系之间的互相转化，形成知识之间的实质性联系，最终使学生形成较系统的知识结构.• 3.与《大纲》相比，《标准》在立体几何初步中删减的主要是度量关系方面的内容. 线线、线面、面面之间的角以及三垂线定理和逆定理在立体几何初步中未涉及，而放在选修系列2 中用向量方法解决. 主要目的在于使学生体味向量法解决几何问题的基本思想；突出用向量方法解决几何问题.(适度逻辑推理，突出向量方法)其次，删减了异面直线的距离、点到平面的距离、平行平面间的距离. 可见立体几何内容的删减辐度较大。
几何体及构成几何体的元素之间的关系：位置关系(平行、垂直、等)及其数量关系（几何体的度量：长度、面积、体积）三、典型例题分析（一）.基础知识、概念1. 空间中的直线与平面（1）平面的基本性质.例1. 对于平面M、直线a、点P，已知P∈a，P∈M，则a和M的位置关系是C(A) a⊂M(B ) a∩M＝P(C) a⊂M或a∩M＝P(D) a⊄M（2）空间两直线的位置关系.例2. 有三个图形：(1)两条平行线，(2)一个四边形，它的两个相邻的内角分别是60度角和120度角(3)一个四边形，它的两条对角线成60度角.其中一定是平面图形的是C （A）（1）和（2）（B）（1）和（3）（C）（1）（D）（2）和（3）（3）空间直线及平面平行的概念、判定和性质例3. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.如果a∥b，那么a和任意一个过b的平面平行；(×)过不在a上的一点，可以有无数个平面与a平行；(√)过不在M内的一点，可以有无数条直线与M平行；(√)如果a∥M，那么a平行M内的无数条直线；(√)如果a∥M，那么a平行M内的任意一条直线；(×)例4. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.如果a∥b，那么分别经过a和b的两个平面平行；(×)过不在M内的一点，可以有无数个平面与M平行；(×)过不在M内的一条直线，一定有一个平面与M平行；(×)如果N∥M，那么N内的任意一条直线平行M内的无数条直线；(√)如果N∥M，那么N平行M内的任意一条直线；(√)（3）空间直线及平面垂直的概念、判定和性质例5. 对于直线l、m、n和平面α、β，判断下列各命题的正误.如果m⊥α，m∥n，那么n和α内的任意一条直线垂直；(√)过空间中一点，有且只有一个平面与m垂直；(√)过不在α上的一点，可以有无数条直线与α垂直；(×)如果m⊥α，n∥α，那么m垂直于过n的每个平面；(×)如果m⊥α，那么m垂直于α内的任意一条直线；(√)例6. 对于直线m、n和平面α、β，判断下列各命题的正误.如果m⊥n，那么分别经过m和n的两个平面垂直；(×)过空间中的一点，可以有无数个平面与α垂直；(√)过不在α上的一条直线，一定有一个平面与α垂直；(√)如果β⊥α，那么β内的任意一条直线与平面α垂直；(×)如果β⊥α，那么过β内任意一点，垂直于交线的直线与平面α垂直；(√)（二）. 空间直线、平面平行、垂直的判定及性质的应用1.定理应用例7.如图，已知：等腰△ABC与等腰△DBC有公共底边但不在同一个平面内，O、E、F分别是BC、BD、CD的中点.求证：平面AEF ⊥平面AOD .2.用向量方法证明直线、平面垂直或平行例8．如图，已知：E 是正方体ABCD -1111A B C D 中11A B 的中点.求证：平面AC 1D ⊥平面AE 1D .例9（2009浙江）（三）. 求空间中成角常用方法例10（2009天津卷）（四）. 柱、锥、台、球的概念和表面积、体积公式的应用例11. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP =C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ B ） A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V 例12. (2009辽宁卷)正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（ C ）（A ）1：1 （B ）1：2 （C ）2：1 （D ）3：2例13．（2008江西卷）如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 BD ．(写出所有真命题的代号) ．（五）.加强对新增内容的复习——三视图（平行投影，正投影）例14．（2009广东卷）例15．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C ).A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+例16． 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. (Ⅰ)求证：MN ∥平面CDEF ；(Ⅱ)求多面体A —CDEF 的体积．P1Ax三视图直观图E N MF D CB A例17．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且31=AA ，设D 为1AA 的中点.(Ⅰ)作出该几何体的直观图并求其体积；(Ⅱ)求证：平面⊥C C BB 11平面1BDC ；(Ⅲ)BC 边上是否存在点P ，使//AP 平面1BDC ？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论.。
沪科版七年级下册数学课件 第10章 相交线、平行线与平移 第1课时 平行线的概念、基本性质及三线八角
B. ∠3
23
45
C. ∠4
D. ∠5
归纳总结 变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系.
1
1
12
2
2
2
1
图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.
三、同旁内角的概念
活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB、CD 之间
E1 2
B
同旁内角
A
34
4
65
5
C
第10章 相交线、平行线 与平移
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线的概念、基本事实及三线八角
回顾与思考 问题 前面我们学过两条直线的什么位置关系？ 两条直线相交 (其中垂直是相交的特殊情形).
生活中两条直线除了相交以外，还有什么其他的 情形呢？下面我们一起来体会一下.
摩托车在公路上奔驰
国旗上的线条
解： 因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
因为 c∥d，所以 a∥d.
（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线互相平行 ）
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
平行线 的概念
平行线 及三线 八角
平行线 的性质
三线八角
合作与交流： (1) 经过点 C 能画出几条直线？ 无数条
(2) 与直线 AB 平行的直线有几条？ 无数条
·C
a
A· ·B
·D
b
(3) 经过点 C 能画出几条直线与直线 AB 平行？
1条 (4) 过点 D 画一条直线与直线 AB 平行，与 (3) 中所画
【数学知识点】几何原理每章节内容概括人教版50字
【数学知识点】几何原理每章节内容概括人教版50字【数学知识点】几何原理每章节内容概括（人教版）第一章：平面直角坐标系介绍了平面直角坐标系的定义和基本性质，研究了点的坐标表示和坐标系的转换方法，明确了点、线、面的几何概念。
第二章：直线和圆的方程研究了直线的方程及其性质，包括点斜式、斜截式和截距式等表示方法，并能够通过方程解决相关问题。
同时介绍了圆的方程及其基本性质。
第三章：平面图形的性质讲解了平面图形的性质以及判定方法，包括平行、垂直、相等、相似等概念的理解和应用。
同时研究了三角形和四边形的性质。
第四章：三角形的性质深入研究了三角形的性质，包括角的概念与性质、边的关系与性质、全等三角形和相似三角形的判定方法等。
第五章：平行线与比例研究了平行线与比例的关系，研究了平行线的性质，包括平行线之间的夹角、对应角、内错角等，同时掌握了相似三角形的比例关系。
第六章：勾股定理介绍了勾股定理的概念、性质与应用，包括直角三角形的判定、勾股数的应用以及勾股定理在解决问题中的应用。
第七章：三角函数研究了三角函数的概念及其基本性质，包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质和应用，能够通过三角函数解决相关问题。
第八章：解析几何系统研究了解析几何的基本知识，包括直线的方程、圆的方程及其性质，以及解析几何与几何图形的关系等。
第九章：立体几何研究了立体几何的基本概念与性质，包括正多面体、球面、圆柱、圆锥等的特点与性质，能够理解并应用相关概念解决问题。
第十章：坐标转化探究了坐标转化的原理与方法，包括平移、旋转和对称等运算的坐标表示方法和性质，并能够通过坐标转化解决相关问题。
以上为人教版数学教材中几何原理部分每章节内容的概括。
通过学习这些知识点，可以帮助学生建立几何思维，掌握几何推理的方法，培养解决实际问题的能力。
新苏教版小学数学六年级重难点整理
第一单元长方体和正方体第一课时：长方体和正方体的认识教学重点：认识长方体、正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高(棱长)的含义，掌握长方体和正方体的基本特征。
教学难点：探索长方体和正方体的特征的过程。
第二课时：长方体与正方体的展开图教学重点：认识长方体与正方体的侧面展开图。
教学难点：动手操作进一步认识长方体和正方体的特征，会根据所给的长方形的特征判断它们能否组成长方体或正方体。
第三课时：长方体和正方体的表面积(1)教学重点：理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。
教学难点：能运用长方体和正方体的表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。
第四课时：长方体和正方体表面积(2)教学重点：学会运用长方体、正方体表面积的计算方法解决求物体的4个或5个面的面积之和的实际问题。
教学难点：学会根据所求问题的具体特点选择计算方法解决一些简单的实际问题。
第五课时：体积和体积单位(1)教学重点：初步认识体积和容积的意义，能直观比较物体体积或容器容积的大小。
教学难点：初步认识体积和容积的意义，体会物体是占有空间的，而且占有的空间是有大小的。
第六课时：体积和体积单位(2)教学重点：认识常用的体积单位，能正确区分长度单位、面积单位和体积单位。
教学难点：初步建立1立方厘米、1立方分米的实际大小的观念。
第七课时：长方体和正方体的体积(1)教学重点：掌握长方体和正方体的体积公式，能运用公式正确计算它们的体积，并解决相应的简单实际问题。
教学难点：长方体和正方体的体积公式的探索。
第八课时：长方体和正方体的体积(2)教学重点：应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。
教学难点：熟练应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。
第九课时：体积单位间的进率(1)教学重点：根据进率进行相邻体积单位的换算。
教学难点：经历1立方分米=1000立方厘米，1立方米=1000立方分米的推导过程，明白相邻的两个体积单位间的进率是1000。
七年级数学社团教案共七课时
七年级数学社团教案共七课时一、第一课时：认识几何图形【教学目标】1. 让学生了解并认识常见的几何图形，如三角形、四边形、圆形等。
2. 培养学生观察、思考和交流的能力。
【教学内容】1. 导入：通过展示各种几何图形，让学生初步认识几何图形。
2. 讲解：详细介绍各种几何图形的定义和特点。
3. 练习：让学生通过观察、画图和解析，加深对几何图形的理解。
二、第二课时：几何图形的性质与判定【教学目标】1. 让学生掌握几何图形的基本性质和判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
【教学内容】1. 讲解：介绍几何图形的基本性质和判定方法。
2. 案例分析：通过具体案例，让学生学会运用几何知识解决问题。
3. 练习：让学生通过自主探究和合作交流，提高对几何图形的认识。
三、第三课时：三角形的全等与相似【教学目标】1. 让学生了解三角形的全等和相似概念。
2. 培养学生运用全等和相似知识解决几何问题。
【教学内容】1. 讲解：介绍三角形的全等和相似的定义和判定方法。
2. 实例解析：通过具体实例，让学生理解全等和相似在几何中的应用。
3. 练习：让学生通过解决实际问题，提高对全等和相似的认识。
四、第四课时：四边形的分类与应用【教学目标】1. 让学生了解并认识四边形的各种分类。
2. 培养学生运用四边形知识解决实际问题。
【教学内容】1. 讲解：介绍四边形的各种分类及其特点。
2. 实例解析：通过具体实例，让学生了解四边形在实际中的应用。
3. 练习：让学生通过解决实际问题，提高对四边形的认识。
五、第五课时：圆的认识【教学目标】1. 让学生了解圆的基本概念和性质。
2. 培养学生运用圆的知识解决实际问题。
【教学内容】1. 讲解：介绍圆的定义、圆心、半径等基本概念和性质。
2. 实例解析：通过具体实例，让学生了解圆在实际中的应用。
3. 练习：让学生通过解决实际问题，提高对圆的认识。
六、第六课时：概率初识【教学目标】1. 让学生了解概率的基本概念。
托管班的数学教案
托管班的数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握基本的数学运算技巧。
2. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。
二、教学内容：1. 第一课时：加减法运算学习加减法的计算法则。
进行简单的加减法练习。
2. 第二课时：乘除法运算学习乘除法的计算法则。
进行简单的乘除法练习。
3. 第三课时：整数的概念和大小比较学习整数的概念和大小比较方法。
进行整数大小比较的练习。
4. 第四课时：认识分数学习分数的定义和基本性质。
进行分数的简单计算和比较练习。
5. 第五课时：几何图形的基础知识学习几何图形的基本概念和性质。
进行几何图形的识别和计算练习。
三、教学方法：1. 采用讲解法，让学生掌握数学概念和运算方法。
2. 采用练习法，让学生通过实际操作巩固所学知识。
3. 采用分组讨论法，培养学生的团队合作和沟通能力。
四、教学准备：1. 教师准备教案和教学PPT。
2. 学生准备数学课本和练习本。
五、教学评价：1. 课后作业：布置相关的数学练习题，检查学生的掌握情况。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和表现，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在团队合作中的表现，包括沟通能力、合作态度等。
六、第六课时：简单方程的解法1. 学习简单方程的定义和组成。
2. 学习解一元一次方程的方法。
3. 进行简单方程的练习和解题。
七、第七课时：数据的收集和处理1. 学习数据的收集方法，如调查、实验等。
2. 学习数据的整理和处理方法，如排序、筛选、绘制统计图表等。
3. 进行数据收集和处理的实践操作。
八、第八课时：数学在日常生活中的应用1. 学习数学在购物、烹饪、旅行等方面的应用。
2. 进行生活中的数学问题分析和解决。
3. 培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
九、第九课时：数学游戏和竞赛1. 设计数学游戏和竞赛活动，如数独、24点、数学接龙等。
2. 学生参与游戏和竞赛，提高学习的兴趣和动力。
3. 通过游戏和竞赛，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
椭圆及其性质
《第十章 圆锥曲线本章知识结构图第一节 椭圆及其性质考纲解读1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质3. 了解椭圆的简单应用4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型预测2019年高考对本节考查内容为：（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.（2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1) 曲线f (x ，y ) ───────→关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ⎩⎪⎨⎪⎧A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 22＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0直接代入法点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称在5分.知识点精讲一、椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=> 注明：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1） 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程 cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（） cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长长轴长2a = 短轴长2b =长轴长2a = 短轴长2b =对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==-离心率22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程2a x c=±（不考）点和椭圆 的关系 2200002211(,)1x y x y a b >⎧⎧⎪⎪+=⇔⎨⎨⎪⎪<⎩⎩外点在椭圆上内2200002211(,)1y x x y a b >⎧⎧⎪⎪+=⇔⎨⎨⎪⎪<⎩⎩外点在椭圆上内切线方程0000221((,)x x y yx y a b+=为切点） 0000221((,)y y x xx y a b+=为切点） 对于过椭圆上一点00(,)x y 的切线方程，只需将椭圆方程中2x 换为0x x ，2y 换为0y y 便得切点弦所在 的直线方程0000221((,)x x y yx y a b +=点在椭圆外） 0000221((,)y y x xx y a b+=点在椭圆外） 焦点三角形面积①2max 12122cos 1,,(b F BF B r r θθ=-=∠为短轴的端点）②121201022||,1tan ()22||,sin PF F c y x S r r b F PF c x y θθθ∆⎧⎪===∠⎨=⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上③212212min =max =P r r b P r r a ⎧⎪⎨⎪⎩当点在长轴端点时,（）当点在短轴端点时,（）焦点三角形中一般要用到的关系是12121222212211212121||||)||||222si 2||||||2||n ||cos PF F MF MF a a S PF PF F PF F F PF PF PF PF F PF c ∆+=>=∠=⎧⎪⎪⎨⎪+-∠⎪⎩（）焦半径左焦半径：10MF a ex =+又焦半径：10MF a ex =-上焦半径：10MF a ey =- 下焦半径：10MF a ey =+焦半径最大值a c +，最小值a c -通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=22b a（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ,AB k k =, 则弦长22212121211()4AB k x x k x x x x =+-=+--21212211()4y y y y k =+--21||k a ∆=+ （其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的2x 的系数，∆是判别式）题型归纳及思路提示题型136 椭圆的定义与标准方程思路提示（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,a b c 的方程组，解出22,a b ，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠.②与椭圆221x y m n +=共焦点的椭圆可设为221(,,)x y k m k n m n m k n k +=>->-≠++. ③与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆，可设为22122x y k a b+=（10k >，焦点在x 轴上）或22222x y k a b+=（20k >，焦点在y 轴上）.一．椭圆的定义与标准方程的求解例10.1 动点P 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169x y += B. 221259x y += C. 2212516x y += D. 22110036x y += 解析 依题意，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由4,210,5c a a ===，得223b a c =-=，则椭圆方程为221259x y +=，故选B. 变式1 求焦点的坐标分别为12(4,0),(4,0)F F -，且过点16(,3)5P 的椭圆的方程. 变式2 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 例10.2 在△ABC ，已知(2,0),(2,0)A B -，动点C 使得△ABC 的周长为10，则动点C 的轨迹方程为_________.解析 由题意||||10||1046||CA CB AB AB +=-=-=>，故动点C 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去左右顶点），即3,2a c ==，则2225b a c =-=，则轨迹方程为221(0)95x y y +=≠ 变式1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，且与圆22:(3)64B x y -+=相切，求动圆圆心P 的轨迹方程.变式2 已知一动圆与圆221:(3)1O x y ++=外切，与圆222:(3)81O x y -+=内切，试求动圆圆心的轨迹方程.变式3 已知圆221:(2)16O x y ++=，圆圆222:(2)4O x y -+=，动圆P 与圆1O 内切，与圆2O 外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ） A.221169x y += B. 221167x y +=或221716x y += C.2211625x y += D. 2211625x y +=或2212516x y += 解析 因为椭圆的长轴长是8，即28a =，所以4a =，离心率为34，则3,34c c a ==，所以2227b a c =-=，所以椭圆的标准方程是221167x y +=或221716x y +=.故选B变式1 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为__________.变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过(5,4)P -，则椭圆的方程为_________. 变式3 经过210315(1,),(,)322A B 两点的椭圆的标准方程是________________. 二．椭圆方程的充要条件例10.3 若方程22153x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是__________. 解析 由题意可知503053k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得34k <<或45k <<故k 的取值范围为(3,4)(4,5)⋃ 评注 易错点：忽略53k k -≠-.221x y m n+=表示椭圆的充要条件为：0,0,m n m n >>≠； 221x y m n+=表示双曲线方程的充要条件为：0mn <： 221x y m n+=表示圆方程的充要条件为：0m n =>： 变式1 如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是___________. 变式2 “0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件变式3 若方程22(5)(2)8m x m y -+-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________.题型137 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探究,a c 之间的数量关系，知道,,a b c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.例10.4 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________. (2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.解析 （1）由题设可知2b a c =+，且222a b c =+，故2222()2a cb ac +=-=， 即4a ca c +-=，即35a c =， 所以35c e a ==.（2）由题设可知2b ac =，且222a b c =+，故22a c ac -=，即220c ac a +-=，所以ce a=可得， 210e e +-=，解得512e -=或152e --=（舍去） 所以512e -=. 变式1 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别是,A B ，左右焦点分别是12,F F .若1121||,||,||AF FF BF 成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则该椭圆的离心率是___________.例10.6 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若012=60F PF ∠，则椭圆的离心率为( )A.22B. 33 C. 12 D. 13解析 解法一：（定义法）令1||=1PF ，则在12Rt PF F 中，由012=60F PF ∠，可知212||=2,||=3PF F F ，由椭圆定义得122||||3a PFPF =+=，23c =， 所以2323c e a ==.故选B. 解法二 因为2(,)b P c a -±，再由012=60F PF ∠，所以021=30PF F ∠，得21||=2||PF PF ，13|2,PF a =22232,23b a a b a ==，故2223b a =所以22313b e a =-=.故选B . 解法三 同解法二，因为2(,)b Pc a -±，在12Rt PF F 中，得0121||=tan603||F F PF =，即22223c acb b a==，故有222233()ac b a c ==-,223230c ac a +-=,23230e e +-=所以33e =或3e =-.故选B . 评注 求离心率的过程就是探求基本量,,a b c 的齐次式间的等量关系，常见的离心率公式应熟悉：①c e a =；②221b e a =-（椭圆）③221b e a=+（双曲线），另外，在求解离心率过程中要有以下意识：①利用定义的意识（定义中有2a ，且122F F c =）②获得了,,a b c 中的任意的两个参数间的数量关系都可以求解离心率e .变式1 已知正方形ABCD ，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的离心率为______.变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，且1AF 垂直于x 轴，212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e 等于（ ）A.33 B. 312- C. 512- D. 22变式3 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距122F F c =，若直线3()y x c =+与椭圆的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则椭圆的离心率e 等于_________.变式4 设1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，以2F 为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线1F M 与圆2F 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.31- B. 23- C.32 D. 22例10.7椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________. 解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取得最大值，而由题意可知，若在椭圆上存在点M 使得120FM F M ⋅=，即01290F MF ∠=，只需要焦点三角形的顶角最大值090≥即可，故只需保证当点M 落在椭圆短轴端点处情形时01290F MF ∠=的即可，所以0122sin sin 4522F MF c a ∠=≥=，又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭解法二：由椭圆的定义知12||||2MF MF a +=，在12F MF 中，01290F MF ∠=，由勾股定理得， 22221212||||||4FM F M F F c +==，将上式化简得2212||||2()FM F M a c ⋅=-，根据韦达定理，可知2212||||2()FM F M a c ⋅=-是方程22222()0x ax a c -+-=的两个根，则22248()0a a c ∆=--≥21()2ca≥，即22e ≥，又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭变式1 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点，满足120FM F M ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）A. (0,1)B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭例10.8 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，2F ，则此椭圆离心率的取值范围为____________分析 根据椭圆的定义12||||2PF PF a +=求解..解析 解法一，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =得14||3a PF =，22||3a PF =，又12||||2PF PF c -≤，即223ac ≥，得113e ≤<，故离心率的取值范围为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 评注 若椭圆上存在点P ，使得12||||(0,1)PF PF λλλ=>≠，则1||,11e λλ-⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦变式1椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，椭圆上存在P 使得12||3||PF PF =椭圆方程可以是（ ）A.2213635x y += B. 2211615x y += C.2212524x y += D. 22143x y += 变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________.题型138 焦点三角形思路提示焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即12||||2PF PF a +=.例10.9已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PFF ∆的面积为9，则b =_________. 解析 焦点三角形12PF F 中，12PF PF ⊥，故12121||||2PF F S PF PF ∆=， 又2221212||||||PF PF F F +=，12||||2PFPF a += 则()221212212F F PF PF PF PF =⋅-+，2212424c PF PF a =⋅-，所以2212b PF PF =⋅，则9221==∆b S F PF ，故3=b .评注 若21F PF ∆为一般三角形，则=∆21F PF S θsin 2121PF PF ⋅（用θ表示21PF F ∠）. 由余弦定理得221212221cos 2F F PF PF PF PF =⋅-+θ，又aPF PF 221=+，cF F 221=，所以()()2212214cos 12c PF PF PF PF =+⋅⋅-+θ，所以()2214cos 12b PF PF =+⋅⋅θ，θcos 12221+=⋅b PF PF ， 所以=∆21F PF S 2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 21222221θθθθθθθb b b PF PF ==+=⋅.本题︒=∠9021PF F ，则9221==∆b S F PF ，易得3=b ，故熟记椭圆焦点三角形21F PF 的面积公式=∆21F PF S 2tan2θb ，对于求解选、填空题有着很大的优势.变式 1 已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，P 为该椭圆上一点，且135cos 21=∠PF F ，求21PF F ∆的面积.变式 2 已知21,F F 是椭圆14:22=+y x E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上一点，且︒=∠6021PF F ，则点P 到x 轴的距离为____________.例10.10 已知椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上的一动点. （1）求的21PF PF ⋅取值范围； （2）求的21PF PF ⋅取值范围；解析：（1）()()22111212a a PF PF a PF PF PF +--=-⋅=⋅，又[]c a c a PF +-∈,1故 当c a c a PF +-=或1时，()222max21b a c PF PF =+-=⋅.当a PF =1时，()2max21a PF PF =⋅.所以 []2221,ab PF PF ∈⋅ 即[]4,321∈⋅PF PF .（2）解法一：()()22122212212221212F F PF PFPF PF PF PF PF PF -+=--+=⋅()()22212212142242b aa PF c PF a PF +--=--+=即 ()22212122b aaPF PF PF +--=⋅ 又[]c a c a PF +-∈,1 故 当a PF =1时，()22max212a b PF PF -=⋅.当c a c a PF +-=或1时，()2222max212b b a c PF PF =+-=⋅.所以 []22221,2ba b PF PF -∈⋅ 即 []3,221∈⋅PF PF .解法二：设[]a a x y x P ,),,(000-∈，则()()2222020000021,,c OP c y x y x c y x c PF PF -=-+=--⋅---=⋅.又 []222202220222202022,a b b x ac x a b b x y x OP ∈+=-+=+=.故[]2222221,2b a b c OPPF PF -∈-=⋅评注：（1）若本题的第（1）问只求21PF PF ⋅的最大值，则使用椭圆的定义求取更为简洁；由椭圆定义知a PF PF 221=+，又因为212122PF PF PF PF a ⋅≥+=，故有221a PF PF ≤⋅，故21PF PF ⋅的最大值为4.（2）通过本题的求解，可得到椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有以下重要结论：①[]c a c a PF +-∈,1 ②[]2221,a b PF PF ∈⋅；③[]2222221,2b a b c OP PF PF -∈-=⋅；④1212cos 2221221-≥-⋅=∠ab PF PF b PF F （当且仅当a PF PF ==21，即P 为椭圆的短轴端点时，21cos PF F ∠取得最小值，且此时点P 对两个焦点的张角21PF F ∠最大）. 以上结论在求解椭圆的焦点三角形问题时有重要的应用，值得同学们熟记.变式1 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任一点，且21PF PF ⋅的最大值的取值范围是[]223,c c ，其中22b a c -=，则椭圆M 的离心率e 的取值范围（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22 D. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21变式2 设P 是椭圆14922=+y x 上一动点，21,F F 分别是左、右两个焦点，则21cos PF F ∠的最小值是（ ） A.21B.91C. 91-D. 95-变式3 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为21F F 和，P 是椭圆上任一点，若21PF F ∠的最大值为32π，则此椭圆的离心率为____________.最有效训练题42（限时45分钟）1. 已知点)0,3(M ，椭圆1422=+y x 与直线())0(3≠+=k x k y 交于B A ,，则ABM ∆的周长（ ） A. 4 B. 8C. 12D. 162.已知P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，N M ,分别为圆()1322=++y x 和圆()4322=+-y x 上的点，则PN PM +的最小值为（ ）A.21 B.91C. 91-D. 95-3. 椭圆16410022=+y x 的焦点为21,F F ，椭圆上的点P 满足︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A.3364 B.3391 C.3316 D.3644. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AC 与BF 交于D ，且︒=∠90BDC ，则椭圆的离心率为（ ） A.213- B.215- C.215- D.235. 若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值为（ ） A. 3B.315515或C.15 D. 3253或6. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为（ ）A.2B.3C. 6D. 87. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，若线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为__________.8. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ，若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.9.椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则m 当取最大值时，点P 的坐标是___________.10. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，经过点)23,1(P ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.11. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为B A ,，从此椭圆上一点M ，FxODCB A y图10-4（在x 轴上方）向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，OM AB //. （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，21,F F 分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围.12. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点)0,2(-F ，且长轴长与短轴长的比是3:2， （1）求椭圆C 的方程；（2）设点)0,(m M 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围.【例10．1变式1】解析 由椭圆的定义知()()2222161620330331055a ⎛⎫⎛⎫=-+++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而2225,3,16a c b a c ===-=，又焦点在y 轴上，故椭圆的方程为2212516y x +=.评注 也可用待定系数法，设椭圆方程为()222210y x a b a b +=>>，由2222222916351c a b a b ⎧=-=⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩，求出2225,16a b ==. 【例10.1变式2】解析 解法一： 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程是()222210y x a b a b +=>>，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，则122|PF ||PF |25a =+=，所以5a =，在方程22221y x a b +=中，令x c =±，得225|y |3b a ==，又5a =，所以2103b =，即椭圆的方程为2231510x y +=，同理可得焦点在y 轴上的标准方程2231510y x +=. 解法二： 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，则124525|PF |,|PF |33==，由椭圆定义知122|PF ||PF |25a =+=，即5a =，由12|PF||PF |>知，2|PF |垂直于长轴. 故在12Rt PF F ∆中，()22212202|PF ||PF |3c =-=，所以253c =，于是222103b ac =-=，又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 评注 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成()2210,0,y x m n m n m n +=>>≠. (2)过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦叫作通径，其长度为22b a.【例10.2变式1】解析 如图10-49所示，由题设知动圆P 与圆B 内切，设动圆P 和定圆B 内争于点M ，动点P 到定点()3,0A -和圆心()3,0B 的距离之和等于圆B 的半径，即|PA ||PB||PM ||PB||BM |86|AB|+=+==>=.所以点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，长半轴长为4， 短半轴长为22437b =-=的椭圆，故其标准方程为221167x y +=. AyxOBMP图10-49【例10.2变式2】解析 依题意，两定圆的圆心和半径分别为()()11223,0,1,3,0,9O r O r -==，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，则由题意可得12|MO |1R,|MO |9R =+=-，故1212|M O ||M O |10|O O |+=> 由椭圆的定义知，M 在以12,O O 为焦点的椭圆上，且5,3a c ==，所以22225916b a c =-=-=，故动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=. 【例10.2变式3】解析 如图10-50所示，设动圆P 的半径为r ，圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ，则1122|PO |,|PO |,r r r r =-=+1212|PO ||PO |426r r +=+=+=，即223,5a b a c ==-=，从而轨迹方程为22195x y +=， 设点A ，B 分别为圆1O 与圆2O 的交点，又圆P 在圆1O 内，且在圆2O 外，P 点向右可无限靠近圆1O 与圆2O 的交点A ，B ，由()()222221624x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得32x =，故32P x <，所以点P 的轨迹方程为22313952x y x ⎛⎫+=-≤< ⎪⎝⎭.【例10.3变式1】解析 设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，如图10-51所示，因为2ABF ∆的周长为221212|AB||BF ||AF ||AF ||AF ||BF ||BF |++=+++， 即416a =， 故216a =，由22e =知，22c a =，即2282a c ==， 故2221688b a c =-=-=，1O2OA Bxy-6-22 4 图10-50AxyBF 2F 1O图10-51所以椭圆C 的方程为221168x y +=. 【例10.3变式2】解析 解法一：由55e =，可得55c a =，则2215c a =，可得225a c =，22224b a c c =-=，设椭圆方程为2222154x y c c+=，将()5,4P -代入，可得29c =故椭圆的方程为2214536x y +=． 解法二：由题意55e =，故有222222415b a c e a a -==-=，故设椭圆方程为()22054x y λλ+=>，又因椭圆过点()5,4P -，代入椭圆方程，可得9λ=． 故椭圆的方程为22954x y +=，即2214536x y +=． 评注 应牢牢掌握与离心率e 有关的几个数量关系. 在椭圆中，221c be a a==-，2221b e a =-；在双曲线中，221c b e a a==+，2221b e a =-． 【例10．3变式3】解析 设椭圆的标准方程为()2210,0,x y m n m n m n+=>>≠， 由题设得14019915144m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得95m n =⎧⎨=⎩，故所求的方程为22195x y +=． 评注 将椭圆的标准方程设为221(0,0Ax By A B +=>>，且)A B ≠，解方程组更方便．【例10．4变式1】解析 由22122x y k+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则22k >，解得()0,1k ∈． 【例10．4变式2】解析 把椭圆方程化为22111x y m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆⇔110n m >>，即 0m n >>，故选C ．【例10．4变式3】解析 原方程标准化为2218852x y m m +=-- 因为焦点在x 上，所以88052m m >>--，解得7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【例10．5变式1】解析 由题设可知1121||,||2,||AF a c F F c BF a c =-==+， 故4c a c a c =-++，即2c a =， 所以12c e a ==． 【例10．5变式2】解析 因为090BAO BFO ∠+∠=，所以tan 1BAO BFO ∠∠=，即1b b a c⨯=，得2b a c =，又222a b c =+，故22a ac c =+，即220c ac a +-=，由c e a=可得210e e +-=，解得 512e -=或512e --=（舍去），所以512e -=． 【例10．6变式1】解析 如图10-52所示，不妨设正方形ABCD 的边长为1，根据椭圆定义知2|AC||BC|21,|AB|2c 1a =+=+==，所以2121221c e a ===-+， 故椭圆的离心率为21-． 【例10．6变式2】解析 因为AF 1垂直于x 轴，所以22121|AF |AF AF c ==，故1|AF |c =，又12||2F F c =，所y xA BCDO以2|AF |5c =，12122225122551F F c c e a AF AF c c -=====+++，故选C ． 评注 也可由21|AF |b c a==直接去解e ． 【例10．6变式3】分析 利用椭圆定义寻求,,a b c 之间的关系，进一步求解离心率．解析 已知()()12,0,,0F c F c -，直线()3y x c =+过点1F，且斜率为3，所以倾斜角01260MF F ∠=．如图10-53所示，因为021121302MF F MF F ∠=∠=， 所以01290F MF ∠=， 所以12,3MF c MF c ==，由椭圆定义知1232MF MF c c a +=+=，所以离心率23113c e a ===-+． 【例10．6变式4】解析 由直线1F M 与圆F 2相切得12MF MF ⊥，又2MF c =，122F F c =， 故13MF c =，所以1212223123F F c ce a MF MF c c====-++，故选A ． 【例10．7变式1】解析 解法一：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，故以坐标原点为圆心，c 为半径的圆总在椭圆内部，即22221,,2c b c a c e <<-<，得202e <<． 解法二：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，所以对于椭圆上任意一点P 都有1290F PF ∠<，故最大顶角小于090，从而09020sin 22e <<=，即202e <<，故选C ． 评注：若椭圆上存在点P 使得12F PF α∠=（F 1，F 2为焦点，()0,απ∈），则sin ,12e α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，yxMF 1F 2O060图10-53反之，0,sin2e α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【例10．8变式1】解析 当123PF PF =时，12242PF PF PF a +==， 故2112123,,22a a PF PF PF PF F F ==-≤，即2a c ≤，故1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，经验证只有选项D 符合，故选D ．【例10．8变式2】解析 解法一：在12PF F ∆中，由正弦定理得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin sin PF PF F ce PF F PF a ∠===∠ ，则1211PF PF e=>，由结论知11111e e e-<<+得211e -<<，则该椭圆的离心率的取值范围是()21,1-．解法二：依题意，所以212211sin sin PF PF F ce PF F PF a∠===∠ ，故21PF e PF =，121222PF PF a PF PF c ⎧+=⎪⎨-<⎪⎩，即11211212210122PF e PF a e ce e c e aPF e PF c ⎧+=-⎪⇒<=⇒+->⎨+-<⎪⎩，又因为()0,1e ∈，所以211e -<<，该椭圆的离心率的取值范围是()21,1-．【例10．9变式1】解析 解法一：由22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()221212121222PF PF PF PF F F PF PF +--=22121212422512213b PF PF b PF PF PF PF -==-=得21213139b PF PF ==．1212121112sin 1362213PF F S PF PF F PF ∆=∠=⨯⨯=． 解法二：设12F PF θ∠=，由25cos 2cos 1132θθ==-得2229113cos ,1tan 21329cos 2θθθ=+==，2tan 23θ=，122tan 62PF F S b θ∆==．【例10．9变式2】解析 如图10-54所示，设12,PF m PF n ==，则有4m n +=，在12PF F ∆中，由余弦定理可得220122cos60m n mn =+-， 即()2212m n mn mn +--=，解得43mn =， 又120133sin 60243PF F S mn mn ∆===， 所以1211323223p p F F y y ⨯=⨯=． 所以13p y =，即点P 到x 轴的距离为13．评注：求点P 到x 轴的距离等价于求P 点的纵坐标的绝对值，又01260F PF ∠=，所以12203tantan 3023PF F S b θ∆===，即1211323223p p F F y y ⨯⨯=⨯=，即13p y =．在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，焦点三角形的面积122tan 2PF F S b θ∆=，其中12F PF θ=∠，请同学们记住这个结论．【例10．10变式1】解析 设()()()12,,,,,P x y PF c x y PF c x y =---=--，22222222122c PF PF x y c x b c b a=+-=+-≤因此()212maxPF PF b =，则2223c b c ≤≤，得22224c a c ≤≤，21142e ≤≤， 即1222e ≤≤，故选B ． 【例10．10变式2】解析 由例10.10评注内容中的结论可知，当P 为椭圆的短轴端点时，12cos F PF ∠取得最xyF 1F 2 PO 图10-54小值，22212224941cos 1212299a c F PF e a --∠==-=-⨯=-，故选C ．【例10．10变式3】解析 由例10.10评注内容中的结论可知， 1223F PF π∠=，当点P 为椭圆的短轴端点时取得最大值，故3sin 32c e a π===．最有效训练421．B 解析 如图10-55所示，直线()3y k x =+过椭圆2214x y +=的左焦点()()3,0,3,0M -为椭圆的右焦点，因此ABM ∆的周长为48a =，故选B ．2．B 解析 两圆心C ，D 恰为椭圆的焦点，所以PC PD +10=，无论P 位于椭圆上的何处，均有PM PN +的最小值为10-1-2=7，故选B ．3．A 解析 122012643tan64tan 3023F PF F PF S b ∆∠===，故选A ． 4．B 解析 依题意，,AC BD b bk k a c==-，由090BDC ∠=，得1AC BD k k =-，即1bb ac ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得222b ac a c ==-，得512c e a -==，故选B ． 5．D 解析 若椭圆2215x y m +=的焦点在x 轴上，则51055m e -==，解得3m =；若椭圆2215x y m +=的焦点在y 轴上，则5105m e m-==，解得253m =，所以m 的值为3或253，故选D ． 6．C 解析 由椭圆方程，得()1,0F -，设()00,P x y ，则()()0000,1,OP FP x y x y =+22000x y x =++，因为P 为椭圆上一点，所以2200143x y +=，所以OP FP = yxABMO图10-5522000314x x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭()[]200122,2,24x x =++∈-，所以OP FP 的最大值在02x =时取得，且最大值为6，故选C ． 7．33解析 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图10-56所示，()()()0,,,0,,D D B b F c D x y ，则()(),,,D D BF c b FD x c y =-=-，因为2BF FD =，所以()22D D c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得322D D c x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22223221c b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即213e =，所以33e =． 8．55解析 由椭圆的性质可知：1121,2,AF a c FF c FB a c =-==+，又已知1121,,AF F F F B 成等比数列，故()()()22a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =，故55e =． 9．()3,0和()3,0- 解析 依题意，12210PF PF a +==，21212252PF PF PF PF ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12PF PF =时取“=”），此时12PF PF 取最大值为25，点P 的坐标为()3,0和()3,0-．10． 解析 (1)因为椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22222223412,1433a c c c b c⎛⎫⎪⎧=⎪⎝⎭+=⎨=⎪⎩ “=”），解得1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． (2)由(1)知椭圆C 的左焦点F 的坐标为()1,0-，以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为y x O BDD 1图10-56F224x y +=，圆心坐标()0,0，半径为2，以PF 为直径的圆的方程为22325416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，圆心坐标是30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为54，因为两圆心之间的距离为()223350002444⎛⎫-+-==- ⎪⎝⎭， 故以PF 为直径的圆与以椭圆C 的长轴为直径的圆内切．11． 解析 (1)因为()1,0F c -，则2,M M b x c y a =-=，所以2OM b k ac =-，因为,//ABb k AB OM a =-，所以2b b ac a -=-，所以,2b c a c ==，故22c e a ==．(2)设112212,,FQ r F Q r FQF θ==∠=，所以12122,2rr a FF c +==， ()2222221212121212122442cos 122r r r r c r r cb r r r r r r θ+-+-===-22212121102a a r r r r =-≥-=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12r r =时，cos 0θ=，所以0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12． 解析 (1)设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则22222:2:316,122a b c a b a b c ⎧=+⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． (2)设(),P x y 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为2211612x y +=，因为(),MP x m y =-， 所以()222211212=412344x mx m x m m -++-+-，[]4,4x ∈- 因为当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当4x =时， 2MP 取最小值， 又[]4,4x ∈-，所以44m ≥，解得1m ≥，又点M 在椭圆的长轴上， 故实数m 的取值范围是[]1,4．。
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如果对称轴互相垂直,那么两次翻折就相当于一次中心对称,且两条对称轴的垂足为对称中心.
一步一步地独立完成。
分小组讨论，两次翻折（对称轴互相垂直）与中心对称的关系：得出结论。
反馈
训练
应用
提高
1、如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，画出△ABC关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，△A″B″C″与△ABC是否关于点O成中心对称？
第10教时
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
回顾中心对称、中心对称图形及其基本性质。
回顾轴对称、轴对称图形及其基本性质。并完成
1、点A和直线l，求作A关于l对称的图形。
2、已知线段AB和点l，求作AB关于点l对称的图形。
3、已知三角形ABC和点l，求作三角形ABC关于点l对称的图形。
―――从敦煌洞窟到欧洲教堂
学生可在课本上直接画。
提高审美能力。
小结
提高
两次翻折（对称轴互相垂直）与中心对称的关系。
讨论、体会。
布置
作业
课本P22页3、4反思ຫໍສະໝຸດ 积极回答独立完成。
探
究
新
知
1
做一做
如图11.3.6，在纸上画△ABC、点P，以及与△ABC关于点P成中心对称的三角形△A″B″C″。
过点P任意画一条直线，画出△ABC关于此直线对称的△A′B′C′，如图11.3.7。
观察△A′B′C′和△A″B″C″，这两个三角形对称吗？画出使这两个三角形成轴对称的对称轴，你发现了什么？