高数下册第9章空间解析几何与向量代数
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a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1
M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例2. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
3. 向量在轴上的投影
如图所示：
O
M
e
M
u
则向量
称为向量r在u轴上的分向量.
设OM e , 则数称为向量r在u轴上的投影, 记作 Pr ju r或( r )u .
性质：
^ i .(a ) u a cos ,( (a , u)) ii .(a b ) u (a ) u (b ) u iii.(a ) u (a ) u
x
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
向径 r 有序数组 ( x, y, z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
1 1
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
例1. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
来自百度文库
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
平行向量对应坐标成比例:
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b
a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
2 2 2 bx by bz
2 2 ax a2 a y z
例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求
第九章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第九章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第九章
*三、向量的混合积
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为M (0 , 0 , 14 ) .
9
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0 , 即 .
―
‖ 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向 注： 定理1是建立数轴的理论依据。
因给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴
a 3 i 5 j 8 k , 例5. 设 b 2 i 4 j 7 k , c 5 i j 4k
求向量 l 4 a 3 b c 在 x 轴上的投影及在 y轴上
解: 因
的分向量.
故在 x 轴上的投影为 l x 13 在 y 轴上的分向量为 l y j 7 j
点P 向量OP xi 实数x
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
的夹角. a ,b
z
o
r
x
y
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
例3. 已知两点
和
计算向量
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
a b 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积) .
b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: ― ‖. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
OA O A OA 6 ( 1 , 2
4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量 . M r OM xi yj zk ( x, y, z )
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
3 4, 0 2 , 2 1) ( 1 , 2 , 1 )
( 1)2 ( 2 )2 12 2
2 cos 2
2 3
3 4
1 cos , 2
3
例4. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1
M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例2. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
3. 向量在轴上的投影
如图所示：
O
M
e
M
u
则向量
称为向量r在u轴上的分向量.
设OM e , 则数称为向量r在u轴上的投影, 记作 Pr ju r或( r )u .
性质：
^ i .(a ) u a cos ,( (a , u)) ii .(a b ) u (a ) u (b ) u iii.(a ) u (a ) u
x
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
向径 r 有序数组 ( x, y, z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
1 1
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
例1. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
来自百度文库
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
平行向量对应坐标成比例:
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b
a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
2 2 2 bx by bz
2 2 ax a2 a y z
例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求
第九章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第九章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第九章
*三、向量的混合积
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为M (0 , 0 , 14 ) .
9
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0 , 即 .
―
‖ 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向 注： 定理1是建立数轴的理论依据。
因给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴
a 3 i 5 j 8 k , 例5. 设 b 2 i 4 j 7 k , c 5 i j 4k
求向量 l 4 a 3 b c 在 x 轴上的投影及在 y轴上
解: 因
的分向量.
故在 x 轴上的投影为 l x 13 在 y 轴上的分向量为 l y j 7 j
点P 向量OP xi 实数x
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
的夹角. a ,b
z
o
r
x
y
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
例3. 已知两点
和
计算向量
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
a b 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积) .
b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: ― ‖. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
OA O A OA 6 ( 1 , 2
4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量 . M r OM xi yj zk ( x, y, z )
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
3 4, 0 2 , 2 1) ( 1 , 2 , 1 )
( 1)2 ( 2 )2 12 2
2 cos 2
2 3
3 4
1 cos , 2
3
例4. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹