线线角-线面角的向量求法

量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
若两直线 l , m 所成的角为 (0 ≤ ≤

2
), 则
cos
ab a b
l
l
a

m
a b
m
例2 R t A B C 中 ， B C A 9 0 , 现 将 A B C 沿 着
求职： B1C1与平面AB1C所成角的正弦值
z
D1
设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) A
则n AB1 0， n AC 0 x z 0 所以 ，取x = 1， x y 0
AB1 (1 ， 01) ，， AC (11 ， ， 0)
C1
y
D
C
B
x
0 1 0 3 cos n， B1C1 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
练习:
已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两 平面所成的钝二面角为______ .
0
平 面 A B C 的 法 向 量 平 移 到 A1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知
取 A1 B 1、 A1 C 1的 中 点 D 1、 F1， B C C A C C 1，
求 B D 1 与 A F1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
F 1
C1
C
B 1
D1
A 1
A
B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C x y z 如图所示，设 C C 1 1 则： z


u
例 3、
的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解1 建立直角坐标系.
则B1C1 (0，-1 ， 0)，
z
D1 C1
D B1 E
A1
平面AB1C的一个法向量为 D1B = (1，1， 1)
0 1 0 3 cos BD1， B1C1 3 1 3
F
x
A (1, 0 , 0 ), B ( 0 ,1, 0 ),
1 1 1 F1 ( , 0, a ), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
F 1
C1
B 1
A 1
C
D1
1 1 AF1 BD1 30 4 co s A F1 , B D 1 . 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
2 AB n
AB n
可求
2 ，பைடு நூலகம்

A
2
1
n
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a ， 平面 的法向量为u ，且 直线 l 与平面 所成的角为 (0 ≤ ≤ ), 则

2
cos u, a
sin
au a u


2
1
a u

a

l
1 2
立体几何中的向量方法
线线角,线面角,二面角的求法
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
A y
C
B
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
练习： 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
求职： B1C1与平面AB1C所成角的正弦值
A1
B1 C1
D1
A B
C
D
练习： 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
以AB， AD， AA1为单 解：设正方体棱长为1， A1 0，， 0) B1 (1， 位正交基底，可得 A(0， 0，， 1) B1 ， ，， 0) C (11 ， ，， 0) C1 (111) ， ，，则B1C1 (01
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
A x
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2. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所 成的角为 1 ，向量 AB 与n所成的角为 2 ， 则
1
2 2
(0 1

1 2 2
,0 2 )
n B
而利用 cos 2 从而再求出 1.