同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案

同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。

移动荷载是否可能产生动力效应？10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。

为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。

(a) (b)EI 1=∞EImyϕ分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，ϕ。

(c)(d)在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。

有四个自由度。

10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。

可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。

其端部集度为..ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为：....3121233I M ml a l l m a l =⨯⨯⨯=由动力荷载引起的力矩为：()()2121233t t q l l q l ⋅⋅=由弹性恢复力所引起的弯矩为：.2133la k l c a l ⋅⋅+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：()3...3221393t q l ka m a l l c a l ++=整理得：()...33t q ka c a m a lll++=2）力法.cα解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。

根据几何关系，虚功方程为：()...21110333l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-⋅-⋅-⋅=⎰则同样有：()...33t q ka c a m a lll++=。

10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

t )解：取DF 隔离体，0F M =∑：..222.2322324a R a m x dx ka R ma ka αααα⋅=+⇒=+⎰取AE 隔离体：0A M =∑...3222430a k m x dx ca ka Ra θαααα++++=⎰将R 代入，整理得：..32251504R ma ka k θααα=++=10-10 试建立图示各体系的运动方程。

(a)解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。

图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。

(t )..α（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）()324t l M α-()t pM3EIl1Mll 2m(t )（3）列出刚度法方程113EI k l=，()..3124p t m R l M α=-1110p k R α+=代入1p R 、11k 的值，整理得：()..432472t M EI m llαα+=(b) 解：11=1M 图21P =2l2M 图 试用柔度法解题此体系自由度为1 。

设质量集中处的竖向位移y 为坐标。

y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。

11112()p t y M F δα=+由图乘法： 321112233ll l EIEIδ=⋅=312/252622248l l l l l l EI EIδ⎛⎫=⨯⋅+⋅= ⎪⎝⎭ 惯性力矩为..m y l -()33..5348p t ll y m y l F EI EI⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭经整理得，体系运动方程为：()..33516p t EI m y y F l+=。

10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。

l 2 l 2(a)解：21M图图乘得：3 1111225 222223236a a a f a a a aEI EI ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ω==(b)解：此体系为静定结构，内力容易求得。

在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23。

由此根据弯矩平衡可求得49Pk=。

ω==(c)解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。

上简支梁柔度系数为()332486l lE I E I=下简支梁柔度系数为396lE I于是两者并联的柔度系数为331696102lEI EI EIlδ==+并l2l2l2l22a a aω=(d)解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。

水平支杆中力为33013E I l，即1133013EI k l=。

ω==(e)忽略水平位移解：1M 图22112455272213362a a a f a E A E A E A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ω==(f)4a4a3a解：33321M图2M图M图31312331323162130.0149743223323221933219364ll l l l l l lEI EIδ⎛⎫=⨯⨯⨯+⋅⋅⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭ω===10-12 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？10-13 试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。

此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？10-14 什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。

解：0475.006.0188.1ln201ln21==≈+ππξnkkyyn10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P(t)= F tθsin作用，且有ωθ75.0=。

若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？解：2222222411ωθξωθω+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=mFA已知ξ从0.2降低至0.02. ωθ75.0=，tFFθsin1=，A不变。

12222221827.016902.0416911692.041691FFFF=⇒⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-=l2l2F 简谐荷载的幅值应调整到0.827F 。

10-17 试说明动力系数的含义及其影响因素。

单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？10-18 什么是共振现象，如何防止结构发生共振？10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。

设36mlEI =θ。

(a)解：由力法可知，单位荷载作用在B 点引起33lE I位移。

ω==θ=()32221sin sin 31t F Fly t t EIm θθθωω=⋅=--即幅值为33F lE I当幅值最大时，弯矩也最大。

Flm a x M 图(b)解：1M 图 2M 图（1）求结构运动方程 如所示弯矩图，图乘后，333112212215,,24348lllf f f f EIEIEI====()..11121112..3sin sin 245sin 2I t C y f F f F t f m y f F tEI F y y tmm lθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭+=2l2lt θsint θ sin l其中2*3245,2EI P F m lω==稳态解：()*222331sin 1512 =sin 124145 =sin 36t C Py tm F lt E IF ltE Iθωθωθθ=⋅-⋅-所示结构的运动方程为()35=sin 36t C Fly t EIθC 点最大动位移幅值为3536F lE I（2）求B 点的动位移反应()()..21222122sin sin I t B t B y f F f P t f m y f P t θθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭()*2221sin 1t B Py t m θωθω=⋅-()*..22221sin 1t B Py t m θθωθω=-⋅-()()32*212222232322232222235=sin 361sin 1551 =sin 48231251=1sin 33217132 =3t C t BFly tEIy f P Pf tl lP P t EI EI Pl t EI Pl EI θθθωθωθθωθωθθωθωθ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪=⋅⋅+⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅+ ⎪- ⎪⎝⎭-22233sin 11214=sin 31283121 =sin 288t PltEI PltEIωθθωθθ⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⋅⋅B 点的动位移幅值为3121288P lE I（3）绘制最大动力弯矩图221M 图 2M 图()33m ax 2212135122812883696A PlEI PlEI MPl EI EI ll=⨯+⨯=()3max 212131212881922C PlEI M Pl EIl=⨯=121192Pl 28196Pl最大动力弯矩图10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。

设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k 。

解：α若()t q 为静力荷载，弹簧中反力为ql 89。

已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。

设为B 点处顺时针方向转角α为坐标。

建立动力方程：⎰=⋅+⋅+lxdx q l l k l m l lm l23....2332322αααααααq k m l ql k l m 8989..2222..=+⇒=+αααααα2211ωθμ-=2l 2ll则弹簧支座的最大动反力为l 891122⋅-ωθ。

10-21 设图a 所示排架在横梁处受图b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。

已知EI =6×106N ·m 2，t 1＝0.1s ，F P0＝8×104N 。

(a)解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。

可将排架柱视为三个并联的弹簧。

边柱刚度柔数3313hEI k k == 中柱326hEI k =312hEI k =并s rad Nm mN m k /645.010800061061223326=⨯⋅⋅⨯⨯==ωs T 73.92==ωπ3.97173.91.01==T t 数值很小所以认为当()t P F 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得： sm v v Ft v m t t t /1051.010821108213141511-⨯=⇒⨯⨯⨯=⨯⇒=⋅再根据势能守恒得： ()my y ky mv st stt 0077.0103121105108212121262352max 21=⇒⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=-N k y F st Q 128310610077.06=⨯⨯=⋅=中中N F F Q 中Q 边64221==(b)10-22 设图a 所示排架横梁为无限刚性，并有图b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。