期权定价理论

可见，传统的计算方法是一个不断试错 的过程，整个程序可能异常复杂，利用计 算机可以大大减轻计算工作量。 举例： 假定某家公司在美国华尔街上市，现行 市场相关数据归集如下： 股价： S ＝125.93 期权执行价格： X＝125 无风险利率：r＝4.46% 期权有效期：T＝0.0959 （时间分数）
有关B—S模型的假设条件 二. 有关 模型的假设条件 1. 不支付股息和红利 2. 期权为欧式期权 3. 不存在无风险套利机会 4. 不考虑交易成本 5. 利率为常数或已知 6. 收益呈对数正态分布
波动率(volatility)的计算 三. 波动率 的计算 1. 正向计算法（forwards）:历史波动率 正向计算法（forwards） 正向法举例: 正向法举例 =∑ln(Pn/Pn-1)/N = 0.0246/10 = 0.00246
[8 . 41 13 . 50 ]e 0 .1533 / 2
125 . 93 0 . 959
2π
上式中的0.1533是利用0.4950从B-S模型中 求得的累积分布值d1。 将求出的新的波动率数据代入B-S模型计算， 求出的期权价格为： Ｃ＝13.49 可见，只经过二步计算，期权价格与期权 市场价格已经足够接近。由此判断，隐含 波动率约为0.83左右。
现在金融市场上对该公司股票看涨期权的 期权价格定为： C＝13.50 我们需要反推出隐含在该价格中的波动率 是多少？ 若选择初始波动率σ＝0.5,代入B-S模型求 出的期权价格为： C＝8.48 价格过低，可以继续测试。将σ＝0.6 入，求得结果为10.02，………直至结束。
计算隐含波动率的一种便捷方法 在计算隐含波动率的过程中，需要经历一 个烦琐的试错过程。为了避免过于冗繁的 计算过程，Manaster and Koehler(1984)利 用牛顿－－拉夫森检索程序（NewtonRaphson）提出了一种便捷计算方法。 思路：与上述介绍过的试错过程类似，但 在计算技术上加以改进，从而简化了计算 步骤。
cash flow +C - S0 -P
K / (1 + r )
t
K - S1 S1 0 -K 0
CPS0 +K/ (1+r)
0
跌——涨平价关系 :
C P = S0 + K / (1 + r )
t
跌——涨平价定理告诉我们，当期权为平价期权 —— 时，不考虑股息红利的支付，看涨期权的相对价格 （C/S）应该大于看跌期权的相对价格（P/S），其 差额约等于无风险利率
2
[ln(Pn/Pn-1)-] 0.000154 0.001410 0.000234 0.001264 0.000006 0.000382 0.000205 0.000582 0.000000 0.000053 0.004290
四. 期权费的决定因素 1. 市场因素 2. 会计因素 五. 应用B-S模型需要注意的问题 模型需要注意的问题 应用
将上述数据代入（1）式，试算出来的数值 如下：
σ =
* 1
2 125.93 ln + 0.0446(0.0959 ) 0.0959 125
= 0.4950
当波动率为0.4950时，运用B-S模型得出的 期权价格为8.41。于是，继续进行下一步 试算。
σ
* 2
= 0 . 4950 = 0 . 826
概率(%) 10 20 40 20 10
我们可以利用上述资料为下述看涨期权定价:
协定价格 K=110 ; 期限T=1年; 无风险利率 Rf =10% p.a. 预期价格 概率(%) call价值 按概率调整 (一年后) 后的call 价值 90 10 0 0 100 20 0 0 110 40 0 0 120 20 10 2 130 10 20 2 4
1955年，Richard Kruizega：“Put and Call Option: A Theoretical and Market Analysis”。 1962年，A. James Boness ：“A Theory and Measurement of Stock Option Value” 3．当代 1973年，Fisher Black, Myron Scholes “B-S Option Pricing Model”.
第二节 B-S期权定价模型
一. B-S 模型
C = SN ( d 1 ) Ke
rt
N (d 2 )
2
d1
ln( S / K ) + ( r + σ = σ t
2
/ 2Hale Waihona Puke Baidut
d
= d
1
σ
t
式中， C ——看涨期权费（理论值）； S ——现行股价 K ——期权协定价 t ——期权至到期的时间 r ——无风险利率 e ——指数函数（2.71828） σ——股票收益的标准偏差 N ——累积正态分布 ln ——自然对数
将以下几笔交易组合起来，构成某种综 合金融结构： 某投资者借入一笔资金 用这笔资金购买股票 出售一份以该股票作为基础资产的看涨期 权 买入一份以该股票作为基础资产的看跌期 权
期权的定价应使上述组合交易所产生的现金流 量净值为零，即下式成立：
Sr C P (1 + r
)
= 0
式中各符号的含义分别为： C —— 看涨期权费 P —— 看跌期权费 S —— 股票价值（一份合约含100股） r ——— 无风险利率
2. 逆向计算法 (backwards)：隐含波动率 (backwards)： 隐含波动率是指根据期权的报价， 隐含波动率是指根据期权的报价，反推 出隐含于期权价格中的金融资产价格波动 率。 其计算思路如下： 其计算思路如下： 将现行市场已知的五大数据－－ －－基础金 将现行市场已知的五大数据－－基础金 融资产的市场价格、期权执行价格、 融资产的市场价格、期权执行价格、无风 险利率、期权有效期、期权价格汇集。 险利率、期权有效期、期权价格汇集。选 定初始的波动率数值（任意），代入B ），代入 定初始的波动率数值（任意），代入B-S模 型计算， 型计算，若所得结果不等于原先的期权价 则调整初始波动率。 格，则调整初始波动率。反复测试直至相 等为止。 等为止。
一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价 格变动作出假定，进而估计期权到期时的预期价格 。利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克—斯 科尔斯模型。 另一种定价方法是在出售期权时，设计一种无风 险保值方案，然后根据基础金融资产市场价格的变 化，对这种保值方案不断进行调整，直至期权到期 。这种期权定价方法就是所谓的“双向式模型”。
第八讲 期权定价理论
模型如同汽车：你可以拥有世界上 模型如同汽车： 最好的汽车， 最好的汽车，但是如果你没有拥有 合适的驾驶技能， 合适的驾驶技能，纵然是最好的汽 车也无法保护你免于车祸。 车也无法保护你免于车祸。 －－－ Mamdouh Barakat Risk,1997
期权定价的两种基本思路:
第三节
双向式期权定价模型（Binomial 双向式期权定价模型（ Option`s Pricing Model） Model）
= σ
* 1
[C (σ ) C (σ )]e
* 1
d 12 / 2
2π (2)
S
T
其中， d1 是利用第一个试算数据，按B-S模型计 算出来的累积分布值。 如果结果依然不同于期权标价，则将新设定的波 动率数据代入上式中继续试算，直至吻合为止。
举例:同前例（见上例） 假定某家公司在美国华尔街上市，现行 市场相关数据归集如下： 股价： S ＝125.93 期权执行价格： X＝125 X 125 无风险利率：r＝4.46% 期权有效期：T＝0.0959 （时间分数） 期权价格：C＝13.50
对上述方程进行整理后得到：
Sr C P = (1 + r
)
C P r = ≈r (1 + r ) S S
即看涨期权费应该超过看跌期权费，看涨期权和 看跌期权的相对价格之差约等于无风险利率。
跌——涨平价套利表 期权到期时的股价 S1≤K S1 > K 0 S1 K- S1 -K
t
transaction Sell call Buy stock Buy put borrowing 总计
第一节
套利与跌——涨平价 套利与跌——涨平价
一．期权定价简史 1．早期 ． 1877年，Charles Castelli ：“The Theory of Options in Stocks and Shares” 1900年 ，Louis Bachelier ：“Theorie de la Speculation.” 2．中期 中期 1955年 , Paul Samuelson :“Brownian Motion in the Stock Market”
首先设定任意一个波动率值，譬如 其代入下式中进行试算：
σ
*
，然后将
σ =
* 1
S0 T ln + rT 2 X
(1)
如果计算出来的价格与期权价格不吻合，就设定 另一数值，代入下式中，再进行试算：
如果计算出来的价格与期权价格不吻合，就设定 另一数值，代入下式中，再进行试算：
σ
* 2
二. 期权定价思路 假定: 某种金融资产的现行市场价格(S)=100 一年期无风险市场利率(Rf)=10% p.a. 如果该资产在一年期内没有其它任何收入,一 年后的本利为110. 该金融资产一年后的实际 市场价格虽然无法预知,但我们可以将其变动 范围及概率描述如下(或规定):
预期一年后的市场价格 90 100 110 120 130
一年后期权到期时的预期价值为4, 将其 按一年期利率贴现成现值, 所以该看涨期权的 现在价值为3.64。 这一期权的定价思路，与所有期权的高 级定价模型一样，含有以下变量： 期权到期时基础资产的可能价格或价值； 可能价格或价值的概率 无风险利率（将期权预期值贴现）
二．跌——涨平价定理（put-call parity） 1. 套利（arbitrage）通常是指在金融市场 上利用金融产品在不同的时间和空间上所存 在的定价差异、或不同金融产品之间在风险 程度和定价上的差异，同时进行一系列组合 交易，获取无风险利润的行为。 2．跌——涨平价定理（put-call parity） 推导.
We sent the first draft of our paper to the Journal of Political Economy and promptly got back a rejection letter. We then sent it to the Review of Economics and Statistics where it also was rejected. Merton Miller and Eugene Fama at the University of Chicago then took an interest in the paper and gave us extensive comments on it. They suggested to the JPE that perhaps the paper was worth more serious consideration. The Journal then accepted the paper……
σ = 0.004290/N-1 = 0.004290/9 = 0.000476
2
σ = 0.021817
历史波动率的计算 时期 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 价格 Pn 100.00 101.50 98.00 96.75 100.50 101.00 103.25 105.00 102.75 103.00 102.50 相对价格 Pn/Pn-1 1.0150 0.9655 0.9872 1.0388 1.0050 1.0223 1.0169 0.9786 1.0024 0.9951 相对价格的对数 ln(Pn/Pn-1) 0.0149 -0.0351 -0.0128 0.0380 0.0050 0.0220 0.0168 -0.0217 0.0024 -0.0049 0.0246 离差的平方