二次根式综合提高
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》提高题（一）填空题：（每小题2分，共20分）1、当x __________时，式子31-x 有意义． 2、化简－81527102÷31225a ＝ ． 3、a －12-a 的有理化因式是____________．4、当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．5、方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．6、已知233x x +＝－x 3+x ，则x 的取值范围是 。
7、在实数范围内分解因式2233a a -+=______________.8、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______． 9、比较大小：－721_________－341．10、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．11、若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．12、x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（二）选择题：（每小题3分，共15分）13、已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤014、m 为实数，则245m m ++的值一定是（ ）（A ）整数 （B ）正整数 （C ）正数 （D ）负数15、设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5 16、已知a ＜b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -17、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 19、化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20、当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（三）计算题：21、（235+-）（235--）； 22、1145-－7114-－732+；23、 （a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2m n ；24、（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．25、已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26、当x ＝1－2时，求2222a x x a x x +-+＋222222a x x x a x x +-+-＋221a x +的值．27、若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x y y x +-2的值．28、若实数,x y 满足111y x x <-+-+，求11y y --的值．29、 若a=15+， b=15-,求a 2b+ab 2的值.30、若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求)25()4932(3xy x xy x x +-+的值。
初中数学二次根式拓展提高综合题目含答案学习资料
初中数学二次根式拓展提高综合题
一、单选题(共8道，每道12分)
1.设a,b,c都是实数,且满足,则的值为()
A.-5
B.11
C.5
D.3
答案：A
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
2.若,则的值为()
A. B.
C. D.
答案：D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
3.化简的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性
4.已知,化简:结果为()
A.a
B.b
C.2b-a
D.a-2b
答案：A
试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简求值
5.在如图所示的数轴上,点B和点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和-1,则点
C所对应的实数是()
A. B.
C. D.
答案：C
试题难度：三颗星知识点：数轴表示无理数
6.比较大小:()
A.大于
B.小于
C.等于
D.无法判断
答案：B
试题难度：三颗星知识点：比较大小
7.化简的结果是()
A. B.
C. D.
答案：A
试题难度：三颗星知识点：完全平方式的应用
8.若,则代数式=()
A.2013
B.2012
C.-2013
D.-2012
答案：C
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的运用。
二次根式能力拓展题(提高篇)
二次根式能力拓展题(提高篇)1、已知$m$是$2$的小数部分，求$m^2+\frac{1}{m^2}-2$的值。
2、化简：begin{enumerate}item $(1-x)^2-x^2-8x+16$item $\frac{32x^3+2x^2-x^2}{x}$item $4a-4b+(a-b)^3-a^3-a^2b$，其中$a>0$end{enumerate}3、当$x=2-\sqrt{3}$时，求$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+3x)+3$的值。
4、先化简，再求值：$\frac{2a^3ab^3-b}{6\sqrt[3]{27a^3b^3}+2ab^4}$，其中$a=\frac{1}{9},b=3$。
5、计算：frac{1}{2+1}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+3}+\cdots+\frac{1 }{2005+2004}$$6、已知$a=2-\sqrt{3}$，先化简$\frac{a^2-2a+1}{a-2}+\frac{a^2-a}{a^2-4}$，再求值。
7、已知：$a=\frac{1}{2}+\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$，求$\frac{2-3a+2b}{1-2a+2b}$的值。
8、已知：$a=3+2,b=3-2$，求代数式$a^2-3ab+b^2$的值。
9、已知$1\leq x\leq 3$，化简$x^2+x^2-6x+9$。
10、已知$a=2-\sqrt{3}$，化简求值$\frac{1-2a+a^2}{a^2-2a+1}-\frac{a^2-a}{a-1}-\frac{a}{a^2-a}$。
11、begin{enumerate}item 已知$x=2-\sqrt{3},y=2+\sqrt{3}$，求$x^2+xy+y^2$的值。
item 已知$x=2+\frac{1}{x-1}$，求$x+\frac{1}{x}$的值。
二次根式巩固与提高
思考：设： m , n 都是实数，且满足 m
n 9
2
9n
2
6
n3
。求： m n 的值
注意： a 0 , a 是个非负数 特别地， " " ,
2
2 ， " " 均为非负数，当几个非负数的和为 0 时，则每个非负数均为 0。
3）利用 ( a ) a ( a 0 ) 给多项式在实数范围内分解因式 反过来 a ( a ) ( a 0 ) ,这样任何一个非负数都能写成一个数（其正的平方根）的平方。
6
· · · 0 b 1
4、化简 (1 A、 1
2
2 ) 的结果是（
2
） C、 ( 2 1) ） B、 6
3 9 3
B、 2 1
D、 (1
2)
5、下列计算中，正确的是（ A、 2
3 2 3
C、 3 5 2 3 ( 3 2 ) 5 3
x 1 x2 x 1 x2
2 m 6
） D. a 2 , b 0
C. a 0 , b 2 或 a 1, b 1 是同类二次根式？
与6
2m 3 4
三、总结与反思：
四、课后练习：
1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
4
A． a a 与
1 2
3a
B． 2 a 与 3 a ）
2
C． 3 a 与 3 a
三、计算或化简（1-4 每题 8 分，5-6 每题 10 分，计 52 分） 1、 12 18
0 .5 1 3
2、
1 2
10 ( 3 15 5 6 )
初二数学特优生暑假综合提高题二次根式、四边形、勾股、一次函数
《二次根式》综合提高一、填空题1. 若a 的算术平方根是12，则a ＝________ 2. 64的平方根为__________；--=2723_________3. 若x ≤0时，则||12--=x x _______ 4. 当a<1且a ≠0时，化简a a a a2221-+-=__________ 5、 已知xy ＝3，那么x y x y xy+的值为_________ 6、 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简||()a a -+-=122________ 7、计算12327613++-=_______ 8、 若y x x x =-+-+36633，则10x ＋2y 的平方根为_________ 9、根式：y 2，m n2，23x y ，622()a b -，7533x y ，x y 22+，22a a 中，最简根式有____个10、在实数范围内分解因式：a a a 5356--=________ 11、 已知x>0，y>0，且x x y y --=560，则x xy yx xy y-++-=22________ 12、若式子x x x ---2232有意义，则x 的取值范围是________ 13、当0<x<1时，化简式子x x x +-=12_______ 二. 选择题1. 如果最简根式3b b a -和22b a -+是同类二次根式，那么a ，b 的值是（ ）A. a ＝0，b ＝2B. a ＝2，b ＝0C. a ＝－1，b ＝1D. a ＝1，b ＝－2 2. 化简二次根式a a a-+12的结果是（ ） A.--a 1B. ---a 1C.a +1 D. --+a 1 3. 已知：ab>0，bc<0，化简-a c b333的结果为（ ） A. ac b abc 2 B. ac b abc 2- C. --ac b abc 2 D. -acbabc 24. 已知：a b =-=+152152，，则a b 227++的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三. 化简与计算 1.-a b 3（b>0） 2. a bb a a b b a bb a b bab++⋅--+÷-()13. 先化简，再求值：()x x y y x y x y x y x++++-÷-+211，其中x =+23，y =-23a -1 0 1 24. 用简便方法计算： 已知x =+512，求x x x 331++的值。
二次根式混合运算提高题
二次根式混合运算提高题
小试牛刀
(1)( 2+1)( 2-1)；
(2)( 2- 3)2 .
再试一把： 2 + ？1 2 -1
1- 5 . 1+ 5
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1、计算
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
23
x y x y
( 2 )已 知 ： a =1,b =1 ,求 a 2 2 a b b 2 7 的 值 5 2 5 2
三：注意二次根式运算中隐含条件
例3
已知：a＝2＋1
，
3
求
a2－1 a＋1
－
a2－2a＋1 a2－a
的值．
老师忠告
三解更题灯 示火范五—更—鸡规(，范1正步)是骤题男，目儿该读得中书的时分的；一分隐不丢含！条件为a＝ 1
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
迁移:
(1) 62－ 18－120；
(2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分 为b，求a2－b2的值．
二：二次根式运算中的技巧
例 4 、 （ 1 ） 当 x = 1 ,y 1 时 ， 求 代 数 式x y的 值
(1)题目中的隐含条件为a＝ <1，所以
＝
2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
三三三更更更灯 灯 灯火火火五五五更更更鸡鸡鸡，，，正正正a是是是－男男男儿儿儿1读读读书书书2 ＝时时时；；；|a－1|＝1－a，而不是a－1；
精品 八年级数学下册 二次根式基础+综合提高题
B. a ab
C.a ab
3
Da . ab
八年级数学下册 同步提高练习
8.估算
50 2 3 的值（ 2
） C．在 6 和 7 之间 D．在 7 和 8 之间
A．在 4 和 5 之间
m 1
B．在 5 和 6 之间
9.若 m 1 有意义，则 m 的取值范围是 10.已知 x 1 1 x 有意义,则 x _____________ .
D．点 N
1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在 - mn
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8
八年级数学下册 同步提高练习
6.下面说法正确的是（
C. 2 与
）
B. 8 与 80 是同类二次根式 D.同类二次根式是根指数为 2 的根式
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
能力提高： 1.如果 0＜a＜ a ，那么 a 的取值范围是______ 2.计算
1 1 3 1 3 5 1 5 7 …… 1 2n 1 2n 1
的结果是_________
3.已知 a b 2 3 ， b c 2 3 ，那么 a 2 b2 c2 ab bc ac 的值是_______ 4.已知 a, b 为实数，且 1 a b 1 1 b 0 ，求 a 2005 b 2006 的值。
5.已知： x 3 2 , y 3 2 ，求
3 2 3 2
x 3 xy 2 的值。 x 4 y 2 x3 y 2 x 2 y 3
7
八年级数学下册 同步提高练习
6.若
1 17 - 12 2
的整数部分是 a。小数部分是 b，那么 a2-ab+b2 的值。
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22.1145-－7114-－732+；23.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn ；24.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26.当x ＝1－2时，求2222a x x a x x+-+＋222222a x x x a x x +-+-＋221a x +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．。
八年级数学下册专题复习：《二次根式》的巩固与提升分专题例谈
《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例（ ）A.--分析a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==-，故选C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=则(a 1-===故应填-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题例1.x y 、6y =-，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a +=，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0≥，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪ ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住23a 0-≥，可求得a0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-+=,化简并求22222a ab a abb a b +-+-的值？3.若2m 6m 9-+xy 的值？ 4.5.已知2014a a -+=，试求2a 2014-的值？三、逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简： 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b ==∴22a b -=-=,L等，即逆用()2a a 0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎭=22⎛⎫+=ab+⋅=abab++=ab ab-==a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2aa 0=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21=-=点评：逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a 0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.. 2.化简：⎫3.已知：y18=a 计算或化简.例1.若0m 1<<111m 1m⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭. 分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m 2m+-可以借助因式分解的方法化成21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m 1<<2111m m m m m m -=-=-=∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m1m m 1m m m 11m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪++++⎝⎭. 例2.若ab c 、、为ABC 的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.==点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及a=的这个二次根式的性质.a抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2a的形式；a；最后根据绝对值的代数意义[ 即()()a a0aa a0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩] 来化简.追踪练习：1.计算：①(()2101---+；②.2. 实数m n、如图所示：请化简+3. 1=a？五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简.例.计算：1.))2015201544；2.(21+； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡=+=-+-+==-⎣L3.原式22235⎡⎡==-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想.追踪练习：1.计算：①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤. ))2015201622；⑥. (11+.2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a是1-b5+的小数部分，c abc的值？分析：由..,14014123<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c、、的值.略解：∵..,14014123<<∴,,61575823-<-<-<<∴,,a5b572c2=-=-==11-mn∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？ 2.已知a b 、分别为6-2a b -的值？3.5+的小数部分是a，5b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x是6y2的小数部分，z是)12--的整数部分，求22x z y z -的值？6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表n表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？七、整体代换·巧变求值.例1.已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了.略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.略解：∵a b=∴((,22ab 1a b 22434314==+==+=++-=L L2a b 11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想， “两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x 2=-2x 4x 6--的值？2.已知：,11a b 22==，求：①.22a ab b -+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z -=-，求222x y z xy xz yz ++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例.的大小.分析：若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n ==，则m n===∴m n > ∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或 “=”）3..4.设a ＞b ＞c ＞d ＞0且，x y z ===．试比较x 、y 、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x 1+ 分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x 1+得x 1>∴(1x 1>∵10<∴x =∴x 1=--例2.解方程组：2y +=+=分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y += ③③-②得：y =将y ==解得：x∴原方程组的解是x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1+2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm ，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积. 略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-=⨯⨯=此矩形的面积为：66==-=故矩形另一边长为(cm ，而矩形的面积为2例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论： ①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB ⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=，h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥===求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内（阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
二次根式的概念和性质(提高)知识讲解
二次根式的概念和性质（提高）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、； 2.；3..要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a a =≥）.2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值. 2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似). 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（天津期末）已知y=+﹣4，计算x ﹣y 2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出y的值，然后代入x ﹣y 2求值即可． 【答案与解析】解：由题意得：，解得：x=， 把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x ﹣y 2=﹣16=﹣14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 举一反三【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】 C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】（铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3. （罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．【高清课堂：高清ID号： 381279关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=． 【答案】a b c ++. 【解析】c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->,即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++. 【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<a <b ,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b a a b a b a b +--+=1()()()a b b a a b a b ab a b a b +-⨯+⨯-++=1a b ab-+. 【总结升华】2a a =成立的条件是a >0;若a <0,则2a a =-.类型四、同类二次根式6. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( ) A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C. a =1，b =-1 D. a =1，b =1【答案】 D. 【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴，∴a =1，b=1.二次根式的概念和性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1 2.使式子有意义的未知数x 有( )个A ．0B ．1C ．2D ．无数 3. 把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m -C ．m --D ．m -4.（蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①2(4)4-=；②（﹣）2=16；③（）2=4；④2(4)4-=-．正确的是（ ） A.①② B.③④ C.②④ D.①③5. 若 ，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．6.将a a --中的a 移到根号内，结果是（ ） A ．3a -- B. 3a - C.3a - D.3a 二. 填空题7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则.8. （江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第 n(n ≥1)个等式写出来________________.12. （乐山）在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简+|a ﹣2|的结果为 ．三. 综合题13. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值. 14. 若时，试化简.15. （武昌区期中）已知a 、b 、c 满足+|a ﹣c+1|=+，求a+b+c 的平方根．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.【解析】依题意得：x ﹣1＞0，解得x ＞1．2．【答案】B. 3．【答案】C. 4．【答案】D. 【解析】解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确； ④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D ．5．【答案】D. 【解析】 因为=22(4)a +，即222(4)4A a a =+=+.6．【答案】 A.【解析】因为a ≤0，所以a a --=23()()a a a a a ---=---=--.二、填空题 7.【答案】1；1. 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+又，所以1b =. 8.【答案】52. 9.【答案】5.【解析】23100x x x -+=∴≠,13,x x ∴+=即21()9x x+=,2217x x ∴+=，即原式=725-=. 10.【答案】3.【解析】因为原式=21x x -++=213x x -++=.11．【答案】 11(1)22n n n n +=+++ . 12．【答案】 3.【解析】由数轴可得：a ﹣5＜0，a ﹣2＞0，则+|a ﹣2|=5﹣a +a ﹣2=3．三、解答题 13.【解析】因为1+21122y x x =--2x-1≥0,1-2x ≥0，即x=12，y=12则2234x xy y ++=. 14.【解析】 因为，所以原式==23523510x x x x x x x -+++-=-+++-=-. 15.【解析】解：由题意得，b ﹣c ≥0且c ﹣b ≥0，所以，b ≥c 且c ≥b ， 所以，b=c ，所以，等式可变为+|a ﹣b+1|=0，由非负数的性质得，，解得，所以，c=2， a+b+c=1+2+2=5， 所以，a+b+c 的平方根是±．。
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【最新整理，下载后即可编辑】二次根式综合提高1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．xy 2 B ．2ab C ．21D ．422x x y +2．下列二次根式中，的取值范围是3x ≥的是（ ）A ．3x -B ．62x +C ．26x -D ．13x -3．若2(21)12a a -=-，则（）A ．＜12B.≤12C.＞12D.≥124．已知x =，y =，则x 2+xy +y 2的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．75．下列二次根式,不能与12合并的是( )A ．48B ．18C ．311D ．75- 6．化简aa --3的结果是（ ）A ．a B ．a - C ．a -D ．a --7．若m 203，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ． 2＜m ＜3B ． 1＜m ＜2C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜58．已知211a aa a--=，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a <C ．01a <≤D ．0a >9．计算1333÷⨯的结果为（ ） A ．3B ．9C ．1D ．3310．已知3()(221)3m =-⨯-，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－511．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a a bb=，②1a bb a=，③aab b b÷=-，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③12．计算(232)(323)--的结果是（ ）A ．666-B ．6663626--+C ．6D ．6662636+--13．实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+-化简后为（ ）A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定14．若1983-的整数部分是a ，小数部分是b ，那么2a+b 的值是( )Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．23+ Ｄ．23-15．若y =++2，则=_____________． 1624n n 的最小值是 ．17．把1(2)2a a--的根外的因式(2)a -移到根号内得 ．18．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 19．把1x x-根号外的因式移入根号内，结果化简为_________．21．已知a ，b 为有理数，m,n 分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += . 22．若两个连续整数x y ，满足51x y <+<，则x y +的值是．23．若3288x x x x +=-+，则x 的取值范围是 ． 24．36333635363936413636363638⨯⨯⨯+-⨯= ．25．设m,x,y 均为正整数，且y x m -=-28，则x+y+m= ． 26．当x ________时，式子4||35--x x 有意义．27．已知0 < x < 1，化简2212x x +-=______________．28．计算：(321)(321)+--+=______________．30.化简：2115141075++++31．先化简，再求值：÷（2＋1），其中=2－1．32．已知：6a b +=-，8=ab ．求+b a a b的值．33．已知5216812-=+---x x x x ，求x 的取值范围．34.解方程：2(123)3x y z x y z ++=---+.35．因为223)12(2-=-，所以12223-=-，因为223)12(2+=+，所以12223+=+， 因为347)32(2-=-，所以32347-=-，请你根据以上规律，化简下列各式：(1)625-； (2)36．已知2a =-4328161a a a a -+-+的值．37．如果a +b =1-a +b 3，求ab 的值．。
九年级数学二次根式综合提高知识精讲
初三数学二次根式综合提高【本讲主要内容】二次根式综合提高1. 本章知识网络、重点、难点2. 解有关二次根式题中的数学思想方法与本章学法建议3. 二次根式与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题4. 与根式有关的数学竞赛题举例【知识掌握】【知识点精析】本章的重点是二次根式的运算，二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础，正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键，深刻理解和运用公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()是本章的难点．二. 解有关二次根式题中的数学思想方法与本章学法建议1. 二次根式四则运算的主导思想是利用二次根式的概念和性质转化成有理式的运算化简求解．常用到的方法有配方法、换元法、待定系数法等．基本方法如代入法、比较法、裂项法、特殊值判别法等等．2. 本章学法建议（l ）抓对比，明确概念 本章概念多，容易混淆．学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力的有效方法．（2）抓类比，发展联想美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似．”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力． （3）抓审题，提高素质由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质． （4）抓“化简”，落实双基本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确．”三. 二次根式与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题常用到根式的运算．四. 与根式有关的数学竞赛题举例1. 基础知识是解答竞赛题的出发点和推理依据；2. 基本方法是解答竞赛问题的工具．【解题方法指导】例1. （2004，某某）若42b a |1b a |+++-与互为相反数，则=+2004)b a (_______． 解析：42b a |1b a |+++-与 互为相反数，42b a 0，|1b -a |04b 2a |1b a ≥++≥+=++++-∴|而⎩⎨⎧=++=+-∴04b 2a ,01b a ⎩⎨⎧-=-=∴1b 2a20042004200420043)3()12()b a (=-=--=+∴点评：绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数．即：0|a |≥，0a ，0a 2≥≥．非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：0b ,0a 0b |a |==⇒=+；0c ,0a 0c |a |2==⇒=+；0c ,0b 0c b 2==⇒=+；0c ,0b ,0a 0c b |a |2===⇒=++例2. 在实数X 围内分解因式． （1）3x 42-；（2）4y 94- 解：（1）原式)3x 2)(3x 2(-+=（2）原式)2y 3)(2y 3)(2y 3()2y 3)(2y 3(222-++=-+=例3. 比较下列数值的大小．（2001）（1） 3.4554与；（2）225103++与分析：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决． 解：（1）4545805345348522=⨯==⨯=,.. 由8580<，得4.3554<（2）30213103213)103(2+=⋅+=+40213225213)225(2+=⋅+=+由4021330213+<+，得225103+<+ 考点：无理数大小比较的常用方法．例4.6的整数部分是_________，小数部分是________．分析：因为6是无理数，即无限不循环小数，所以把6分成整数部分a 和小数部分b ，其中a 是小于6且最靠近6的整数，而1b 0<≤，这样就可以从1a 60<-≤中先求出a ，再求出b ．解：964<< ，即22362<<，362<<∴，即1260<-<又6 是无限不循环小数．6∴的整数部分是2，小数部分是26-．点评：通常把数x 的“不超过x 的最大整数”简称为“x 的整数部分”，常用“高斯记号”表示为[x]，并且[x]满足条件：（i ）[x]是整数；[ii]1]x [x ]x [+<≤．而x 的小数部分则记为[x]，即]x [x ]x [-=．求[x]的方法常用估值法，如本题中由964<<推出362<<，立即得到2]6[=例5. 已知15a21231321211-=+++++++，则a =_________ 分析：把已知式的前三项分母有理化后，解出a ． 解：已知式化为15a21322312-=++-+-+- 25a21-=+∴251a 2-=+，25a 2+=+， 5a =∴点评：因a21+之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求a 了．进一步看到，若把2看成4，则514a =+=．发展：已知1101a 10110991231321211-=+++⋯++++++，则a =______．（答案：a 101=）【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式、解直角三角形、函数等知识综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则，并能灵活应用，掌握其中的数学思想方法．【典型例题分析】例1. （1）（2002年某某省某某市中考题）当251m -=时，求代数式m1m +的值． （2）（2002年某某省中考题）已知12y ,12x +=-=，求xyy x +的值． （3）（2002年某某省内江市中考加试题）已知8ab ,8b a =-=+，求baa ab b +的值． （4）（2002年某某省中考题）填空题：已知3xy =，那么yxy x y x+的值是_______． （5）已知6a1a =+，求a 1a -的值．分析：把已知条件的变形与“目标”的变形结合起来考虑．解：（1） 25251m +=-=，25m 1-=，522525m1m =-++=+∴（2）12y ,12x +=-= ，1xy ,22y x ==+∴∴原式62)22(xyxy2)y x (xy y x 2222=-=-+=+=（3）08b a ,08ab <-=+>= ，∴b a 、同号，且都为负． ∴原式2222baba a ab b b ab a a ab b⋅+⋅=+=abab ab 2)b a (abab b a ab )b a a b (ab baab a b ab |b |a ab |a |b 222⋅-+-=+-=⋅+-=-+-=+=212881664-=--=点评：本题难点是由0ab >，且0b a <+确定a 、b 都是负数，从而为化简2a 和2b 创造了条件．（4）原式22y xyy x xy x+= xy )|y |y |x |x(y xy y x xy x 22+=⋅+⋅=03x y >= y x 、∴同号．当0y ,0x >>时，原式=32； 当32，0y ,0x -=<<原式时． 因此，yx y x y x+的值等于32±． 注意：此题与上题不同之处在于少一个条件，所以只能得出x 、y 同号的结论，从而必须对x 、y 同为正或同为负分别求出结果．（5）解法1：6a1a =+， 24a 1a 1a 2a 4a1a 6)a 1a (22222-=+⋅⋅-∴=+∴=+∴ 即2)a 1a (2=-∴2a1a ±=-解法2：设x a 1a =-，则22x )a1a (=-①由6a 1a =+，得6)a 1a (2=+②②①-，得 46x 2-=-2a1a 2x 2x 2±=-∴±==∴即 点评：解法2是由于目标与已知条件结构基本相同（只差一个符号）并在解法1的启发下得到的，这个解法实际上是换元法．所以在解题时应让思维X 开联想的翅膀，也许就会发现好解法．★归纳一猜想一证明例2. （2000年某某省中考题）观察下列各式及其验证过程：①223223=+，验证：2232322221332==-+-()=-+-=+22122122322()②338338=+，验证：3383833331332==-+-()=-+-=+33133133822() （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形过程，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 是任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给予证明． 分析：（1）观察题中所给两个式子及其验证过程，容易看出规律：左边的根号外的数与根号内的分子相同，分母是分子的平方减1，右边是根号外的数移进根号内，加上左边根号内的分数；（2）把（1）中的语言叙述改为用n 表示的等式．解：（1）猜想：44154415=+． 验证：441541544441441441441533222==-+-=-+-=+()．（2）猜想：nn n n nn 2211-=+-（n 为任意自然数，且n ≥2）． 证明： n nn n n n n nn 23232111-=-=-+-()=-+-=+-2n n n n n nn ()11122， ∴-=+-nn n n nn 2211． （2004年某某省中考题）观察下列各式：113213214314+=+=,，315415+=，……． （1）请你将猜想到的规律用含自然数n n ()≥1的代数式表示出来是_______； （2）请用数学知识说明你所写式子的正确性．答案：（1）n n n n ++=++12112()（n 是自然数，n ≥1）． （2）n n n n n n n n n ++=+++=++=++122121211222()()．点评：本题既是阅读理解题，又是结论探索题，第（1）小题给出两个例子，并在验证中提示了解决问题的信息，这些信息足以引起数字规律的联想，指导猜想的定向，作出结论．这种题的解题思维过程可概括为：观察—归纳—猜想—验证—证明．此题构思新颖，难度适中，可以较好地考查学生的阅读理解能力、观察比较能力、类比迁移能力、归纳猜想能力和探究能力．可以预料，随着素质教育的深化和“新课标”的实施，这类新型题目将会更普遍地出现在各地的中考试题之中．★巧解竞赛题例 3. （1）（2002年全国初中数学联赛试题）选择题：已知a b =-=-21226，，c =-62，那么a b c 、、的大小关系是（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b << （2）（第7届美国数学邀请赛试题）计算：282930311⨯⨯⨯+． （1）分析：直接比较（求差法、求商法）或平方后比较都不好判断；“山穷水尽”之际，想想利用分母有理化比较倒数的大小，或许能“柳暗花明”． 解：显然a b c 、、都是正数．112121a =-=+， 112262262262b =-=+=+， 1162622162c=-=+=+． 643>>，∴=>⋅=>=222232262421，∴+>+>+26221621，于是，1110b a c>>>．∴<<b a c ．故选B ．点评：在许多常用方法无法解决的时候，想想不常用的比较倒数大小方法，或许能够解决大问题．本法就是一个成功的例子．用分母有理化就解决了竞赛难题．（2）分析：这些计算题虽然很繁杂，但或者可用字母代数以简化算式，或者利用已知条件简化算式． 解：（1）设n =30，则原式=--++=---+()()()()()n n n n n n n n 21112122=---+=--=--=--=()()()||||n n n n n n n n 2222222211130301869点评：本题先用字母代换数（换元法），创造了应用代数式恒等变形的条件，在作多项式乘法时，采用第1、4两个因式相乘，第2、3两个因式相乘，目的是得出第三个等号后面根号内的完全平方式．这个题目的解决综合应用了换元法、配方法．例4. 某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60︒的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向．问再向西航行多少海里，船离电视塔最近（结果可保留根号）？分析：首先，根据题意绘出示意图，如图．∠=︒∠=︒=AOB ABC OB 304520,,海里，作AC OB ⊥的延长线于C ，AC 即为船与电视塔的最近距离，这样问题就归结为求BC 的长是多少海里．解：如图，过点A 作AC OB ⊥的延长线于点C ．∵∠=︒AOC 30，∴AC OA =12． 又∵∠=︒ABC 45，∴AC BC =．设BC x =海里，则AC x =海里，OA x =2海里． 在Rt OAC ∆中，由勾股定理得 AC OC OA 222+=， x OC x 2222+=()，∴OC x =3， ∴x x x +==-=+203203110310，()．答：再向西航行()10310+海里，船离电视塔最近．点评：本例是一道测量问题，首先须正确理解方位角、方向角等概念的含义，最后运用勾股定理、二次根式的运算去求解．【综合测试】一. 选择题：1. 计算：13912x x x x-的结果是（） A.xB. x x x ()12-C. x x x 21()-D. 02. 化简---x x x31的正确结果是（） A. ()x x --1 B. ()1--x x C. ()1-x xD. ()x x -13. （2002年某某省某某市中考题）已知xy <0，则x y 2化简后为（） A. x yB. -x yC. x y -D. --x y4. 若最简根式m n m n m n m n ++-+-+-71433423与是同类二次根式，则（）A. m n ==104,B. m n ==187,C. m n ==21,D. m n ==64,5. 当a <-4时，|()|222-+a 等于（）A. 4+aB. -aC. --4aD. a6. （2001年某某市中考题）多项选择题：下列多项式中，能在实数X 围内分解因式的是（）A. x 24+B. x 22-C. x x 21--D. x x 21++二. 化简：x y x yx y xyx y--++++2三. 求代数式的值： 1. 已知a b =+-=-+31313131,，求aa b ba b -++的值．2. 已知a b =-=+152152,，求b a ab ++2． 3. 设0116<<+=a a a ，且，求a a -1的值．4. 已知x x x x =+-+-23326272,求的值．5. 已知x =+23，求x x x 428431--+的值．四. 正误辨析1. 指出下式中的错误，说明理由，并予以改正： a b a b 22+=+2. （2000年某某省中考题）对于题目“化简并求值：11222a a a ++-，其中a =15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：11211222a a a a a a ++-=+-() =+-=-=112495a a a a a ． 乙的解答是： 11211222a a a a a a ++-=+-() =+-==1115a a a a 谁的解答是错误的？为什么？五. 计算：36333635363936413636363638⨯⨯⨯+-⨯六. （1994年市数学竞赛初二试题）若实数m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，求m 的值．七. 某号台风中心位于O 地，台风中心以25千米/时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的X 围内将受影响．城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处，试问A 市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？综合测试答案一. 选择题： 1. D解：由90x ≥且10x>，得x >0． ∴原式=⋅-⋅=-=-=1330222x x x x xx x x x x x x x x故选D ．点评：本题由两个根式的隐含条件90x ≥且10x>，得到整个代数式隐含条件x >0． 2. B 由-≥x 30且->10x，得x <0， ∴原式=-⋅--=⋅--⋅-x x x x x x x xx x 22||||=--+-=--x x x x x ()1．故选B ． 3. B 由xy x y <≥⎧⎨⎩002得x y <>⎧⎨⎩0 ∴原式==-||x y x y ，故选B ．点评：本题的条件由题设条件和二次根式的隐含条件组成；由xy <0得出x 和y 异号，即x y ><00,或x y <>00,；由x y 20≥，x 20≥，得y ≥0．综合xy <0的情况，得出y >0，从而x <0．故本题的情况比较复杂，需要综合题设条件和隐含条件才能确定原式中x ，y的符号，这样才得出唯一的结果．4. C分析：注意题干中所说的“同类二次根式”． 解：由同类二次根式的定义，得34233427143m n m n m n m n m n -=+--=++=-+⎧⎨⎪⎩⎪,,.①②③ 由①、②解得m n ==⎧⎨⎩21 把m n ==21,代入③，也是③的解．∴==m n 21,是这个方程组的解．故选C ．5. C解： a <-4，∴+<+<-<a a 40220，∴+=+=-+()||()2222a a a∴-+=++=+=--|()|||||2222442a a a a故选C ．6. B 、C解：（1）x x x x 2222222-=-=+-()()()x x x x x 2222114541252--=-+-=--()()() =---+()()x x 152152又x 24+和x x 21++在实数X 围内不能分解因式，故选B 、C ．二. 解：原式=--+++⋅+()()()()x y x y x y x y x y22222 =+--+++()()()x y x y x yx y x y 2 =+++=+x y x yx y 2()三. 1. 分析：①a b ,互为倒数关系，并可把a b ,化简；②所求代数式也可简化． 解：a b =+=+=+=-(),312423223232 原式=+-+--=-+-=+a a b a b b a b a b a b ab a b ()()223223=+=+3133332. 分析：a b ,互为倒数，ab =-+=152521()()a b ,有理化后的和为a b +=++-=525225 解：原式=++=+==b a ab ab a b ab 2222225120()() 考点：最简二次根式的概念，分式及根式的计算．3. 分析：目标与已知条件在结构上基本相同，可以考虑如上面的解法2那样用换元法． 解：设a ax -=1，则 ()a ax -=122， ∴=+-=-=x a a212624 01<<a∴<<01a ，∴>11a． ∴=-<x a a10． ∴=-x 2 即a a-=-12． 4. 分析：一种方法是把x 的值代入原式直接求值；另一种方法是抓住已知式与原式的联系，把已知式变形，让已知式及其变形向原式靠拢． 解：由x =+23，得x -=23，∴-=()x 232，∴=-x x 241∴原式=--+-=+-=-++-=+-3412627103275273532753827()()x x x x x x x x =++-=+-=++-=+5382237538233538233129437633()()． 5. 解法1：由x =+23，得x -=32，两边平方，得x x 22332-+=∴+=x x 2123 两边平方，得x x x 4222112++=，∴-+=x x 421010∴原式=-++-+-()()x x x x 42210122312=+⨯-=-02022解法2：原式=--+x x x 228431()=---+=-+()()23123943112243102x x x x x210x 32412x 32410x 324)1x 32(12-=+--=+--=四. 1. 分析：对字母的值要分正、负、零的情况进行讨论．解：原式的错误是把a b ,都看成了非负数．但是，按算术平方根的定义，应有：当a ≥0时，a a a 2==||；当a <0时，a a a 2==-||因此改正如下：（i ）当a b ≥≥00,时，a b a b a b 22+=+=+||||；（ii ）当a b ≥<00,时，a b a b a b 22+=+=-||||；（iii ）当a b <≥00，时，a b a b a b 22+=+=-+||||；（iv ）当0b ,0a ≤≤时，a b a b a b 22+=+=--||||； 点评：分类讨论时，对分类的要求是“不重复，不遗漏”．2. 分析：紧扣a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),(). 解：乙的解答是错误的，因为当a =15时，1510a a a=-<,，所以()a a a a -≠-112，而应该是a a1)a 1a (2-=-．五. 设n =3639，则 原式=--++---()()()()()n n n n n n 6423631=---+---()()()()n n n n n n 2241243631=---+---()()()()n n n n n n 22241243631=-----()()()n n n n 224631=----+=---+-=-||()n n n n n n n n 2222464346439点评：本题虽然是含有四个4位数的乘法，但一经换元，繁难程度立即降低到如同上一题，也同样轻松地解决了．六. 分析：根据非负实数a 中的字母a 的取值X 围：a ≥0，可以得出已知式中有关数的X围；两个非负数之和为零，则每个非负数必为零．解：由已知关系式的右边，得x y -+≥1990，且1990--≥x y ，即x y +≥199且x y +≤199，∴+=x y 199于是，原关系式变为352230x y m x y m +--++-=．∴+--=+-=⎧⎨⎩3520230x y m x y m ①② ②①⨯-2，得x y m ++-=20，∴=++=+=m x y 21992201．点评：本例所给关系式中含三个字母x 、y 、m ，要从中求出m ，似乎不可能．但是仅仅利用了二次根式的非负性（被开方数非负和算术平方根非负），得出x y +≥199且x y +≤199，使x y +“左右为难”，只好取“＝”号；再由非负数之和为零得出等式①和②，使问题得到解决．七. 解：在O 点建立方位图，如图所示，由题意，OA=320千米，∠=︒145作AP OP ⊥，由于AP OP OA AP OA 222222+==,，得OA AP AP OA ==⋅212,=<1602240，所以A 市将遭受台风影响．又设台风到B 处开始影响A 市，到B'处结束对A 市的影响，即AB AB =='240，因此 BB BP AB AP '()==-=-22224016022222=160所以，影响的时间为t BB v ==='.台1602564（小时） 说明：由本例看到，我们只要收集到台风中心移动的速度、移动方向及台风影响的X 围，即可推知是否受台风影响及影响的时间，以早作抗灾准备．。
二次根式提高复习
二次根式（提高）1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）==aa25.分母有理化6.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy=a（a＞0）a-（a＜0）0 （a=0）；例5、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算1．化简：（1__ ；（2=___ （3___ _；（40,0)x y≥≥=___ _；（5）_______420=-。
（6=_________。
例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2.把（a－b）－1a－b化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：11()ba b b a a b++++4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >，>②如果a b <，<例1、比较与的大小。
二次根式综合提高应用
例题1a ，b ，c ，d ，e 五个实数的平均值为k ，各数与k 的差如下表：〔2〕求x 的值．例题2设2=a ，3=b ，用含a ，b 的式子表示54.0，那么以下表示正确的选项是〔 〕A ．0.3ab B ．3ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b有条件的根式求值利用条件进展二次根式的运算． 实例：x 、y 为正数，且x (x +y )〕=3y (x +5y 〕，求yxy x y xy x -+++32的值．赋予新定义根据前面给出的新定义，进展综合运算。
实例：假设a+b=2，那么称a 与b 是关于1的平衡数．〔1〕3与 是关于1的平衡数，5-2与是关于1的平衡数；〔2〕假设〔m+3〕×〔1-3〕=-5+33，判断m+3与5-3是否是关于1的平衡数，并说明理由．一、选择题 1、化简a a3-的结果是〔 〕A ．a 3- B ．a 3 C ．−a 3- D ．3- 2、以下运算错误的选项是〔 〕A ．-2)(π-＝πB ．(−2.0)2=0.2 C ．210-=10-1=0.1 D ．(32)2＝32×(2)2＝18*3、估算23250-的值〔 〕A ．在0与1之间B ．在0与2之间C ．在2与3之间D ．在3与4之间 **4、y 1=2x ，y 2=12y ，y 3=22y ，y 4=32y …，y 2021=20132y ，那么y 1•y 2021等于〔 〕A ．2x 2 B ．1 C ．2 D ．2 **5、假设25)23)(35(2235+=-+-+k ，那么k=〔 〕A ．3-15B ．3+10+15C ．3+10--15D ．3+10-15 二、填空题：*6、假设a-b=2+3，b-c=2-3，那么代数式a 2-2ac+c 2的值为 *7、10414-的整数局部为a ，小数局部为b ，那么b a +1+ ba -1= ．**8、非零实数x 、y 满足〔20132+x -x 〕〔20132+y -y 〕=2021，那么yx yx ++20122012= ．**9、假设[x]表示不超过x 的最大整数〔如[343]=3，[-π]=-4等〕，根据定义计算下面算式：[2121⨯-]+[3231⨯-]+…+[2012201120121⨯-]=三、解答题：*10、给出三个整式a 2，b 2和2ab ．〔1〕当a=3-1，b=3+1时，求a 2+b 2+2ab 的值；〔2〕在上面的三个整式中任意选择两个整式进展加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． **11、：y ＝x 81-+18-x +21，求代数式2++xyy x − 2-+xyy x 的值． **12、解阅读此题的 解答过程，答复以下问题：化简：ab ab b a b a a 322442+-- (0＜a ＜2b )．解：原式＝a b ab b a b a a 322442+--ab ab a b b a a )44(222+--(1)=22)2(2a b a ab b a a -- (2) =ab ab a b a a•-•-22 (3)=ab aba b a a •-•-22 (4)=ab〔1〕上述解题过程中，从哪一步开场出现错误，请填写出该步的代号 ；〔2〕请写出错误的原因： ； 〔3〕写出此题的正确解答过程．二次根式综合运算： 根本运算方法：二.二次根式比拟大小方法平方法：1、比被开方数：32与2332＝1223＝1818＞12 那么可知32＞232、比倒数法：当根号两数差一样时。
二次根式综合提高
二次根式综合提高1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．xy 2B ．2abC ．21 D 2．下列二次根式中，的取值范围是3x ≥的是（ ）A B C D312a -，则（ ）A ．＜12 B.≤12 C.＞12 D. ≥12 4．已知x =，y =，则x 2+xy +y 2的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．75．下列二次根式,不能与12合并的是( )A ．48B ．18C ．311 D ．75- 6．化简aa --3的结果是（ ）A ．a B ．a - C ．a - D ．a --7．若m 3，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ． 2＜m ＜3B ． 1＜m ＜2C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜58=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤B ．0a <C ．01a <≤D ．0a >9．计算3）A ．3B ．9C ．1D ．10．已知()(3m =-⨯-，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．－5＜m ＜－4 D ．－6＜m ＜－511．如果ab ＞0，a ＋b ＜0=1b b a =b =-，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．计算3)的结果是（ ）A ．6B ．6C ．6D ．613．实数a ）A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定14的整数部分是a ，小数部分是b ，那么2a+b 的值是( )Ｂ．Ｃ．2 Ｄ．215．若y =++2，则=_____________．16n 的最小值是 ．17．把(a -(2)a -移到根号内得 ． 18．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．19．把_________．21．已知a ，b 为有理数，m,n 分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .22．若两个连续整数x y ，满足1x y <，则x y +的值是 ．23=-，则x 的取值范围是 ．2436363638⨯= ．25．设m,x,y 均为正整数，且y x m -=-28，则x+y+m= ． 26．当x ________时，式子4||35--x x 有意义． 27．已知0 < x < 1，化简2212x x +-=______________．28．计算：1)=______________．30.化简：2115141075++++31．先化简，再求值：÷（2＋1），其中=2－1．32．已知：6a b +=-，8=ab ．求的值．33．已知5216812-=+---x x x x，求x 的取值范围．34.解方程：3x y z ++=+.35．因为223)12(2-=-，所以12223-=-，因为223)12(2+=+，所以12223+=+， 因为347)32(2-=-，所以32347-=-，请你根据以上规律，化简下列各式：(1)625-； (2)36．已知2a =4328161a a a a -+-+的值．37．如果a +b =1-a +b 3，求ab 的值．。
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===……二次根式单元综合提高
一、选择题
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A
B
D
2
、若a =
，5b =，则a b 、两数的关系是（ ） A ．a b 、互为相反数 B ．a b 、互为倒数 C ．5ab = D ．a b =
3、下列各数分别与（2
）相乘，结果为有理数的是（ ）
A
B
．2+ C
．2 D
．2-+4
、计算：
（ ）（不用计算器） A
． B
． C
D
．
5
）
A ．1x ；≥
B ．1x -；≥
C ．x -；
1≤≤1 D ．11x x -或≥≥． 6、正方形的面积为4，则正方形的对角线长为（ ）
A
B
． C
．．4
二、填空
7
、请你写出一个能与合并的最简二次根式 ．
8、当0a ＜
时，a 的值是 ． 9
、已知1y =
，则y x = 。
10
你发现了什么规律，请用含n （n 是正整数）的式子来表示： ．
三、计算
（1）(2-（2）-
（3） （4）+
（5）(1)(2)+ （6）)÷
（7）
))2011201222⋅
四、综合练习
11、已知：22a b =
=，，分别求下列代数式的值： （1）22a b ab -； （2）22a
ab b ++．
C D A B F E C A D
B
12、由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB ＝3，求：
（1）四边形ABCD 的周长；
（2）四边形ABCD 的面积．
13、如图，扶梯AB 的坡比为4:3，滑梯CD 的坡比为1:2，设AE ＝40米，BC ＝30米，一男
孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？
14、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺 而成。
求一块方砖的边长。
15、①已知的值。
求：22,32,32y xy x y x +++=-= ②已知12+=x ，求1
12
--+x x x 的值．
16、已知：|a-4|+09=-b ，计算22222b a ab a b ab a --⋅+的值。
17、若x x x x -⋅-=--32)3)(2(成立。
则x 的取值范围为：（ ）
A ）x ≥2
B ）x ≤3
C ）2≤x ≤3
D ） 2＜x ＜3
18、若01=++-y x x ，则20112012y x +的值为几
19、仔细观察下列计算过程：;11121,121112=∴= 同样,123211112= ;11112321=∴由此猜想=76543211234567898。