数学建模第二章 整数规划2

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第二章 整数规划
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2.1 概论
2.1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整 数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为 整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往 只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求 解一切整数规划。 2.1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规 划模型大致可分为两类： 1. 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2. 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
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求解指派问题的匈牙利算法实用条件：
模型求最小值，且系数矩阵C每一元素都为非负数。 如果求最大值，m ax z cijxij ，要转化为求最小值问 i j 题，转化方法为： M m ax cij 令
i,j

C M cij
mi n z ci jx i j i j
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2.3 蒙特卡洛法
例2.6 已知非线性整数规划为：
如果用显枚举法试探，共需计算 ( 100 ) 5 个点，其计 算量非常之大。然而应用蒙特卡洛去随机计算106个点， 便可找到满意解，
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随机取样采集6 个点计算时，应用概率理论来估计一下可 信度。 不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇 点。假设目标函数落在高值区的概率分别为0.01，0.00001， 则当计算106个点后，有任一个点能落在高值区的概率分别为
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2.5 分枝定界法
对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的 所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定 界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越 小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一 个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次 分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集 不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪 枝。这就是分枝定界法的主要思路。
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例来说明：
解 （i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最 优解为：
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可见它不符合整数条件。这时z 是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作 。而x1=0, x2 = 0 显然是问题A的一个 整数可行解，这时z = 0，是z*的一个下界，记作 ， 即0 ≤ z* ≤ 356。
（i）首先编写子函数M 文件mente.m 定义目标函数f 和 约束向量函数g，程序如下： function [f,g]=mengte(x); f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);
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（ii）因为 x1, x2当前均为非整数，故不满足整数要求， 任选一个进行分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2 个子集：
因为 4 与5 之间无整数，故这两个子集的整数解必与原 可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集的 规划及求解如下：
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再定界： （iii）对问题B1再进行分枝得问题 B11和B12 ，它们的最优解 为
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2.1.4 求解方法分类： （i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
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2.1.3 整数规划特点 （1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其 整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与 线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。
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③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
(2) 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
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2.2 0 −1 型整数规划 0 −1 型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量 x j 仅取值0 或1。这时xj称为0 − 1变量 约束条件： 此种情况对应实际问题
2.2.1 相互排斥的约束条件
例1： 有两种运输方式可选，但只能用其中一种， 用车的约束条件 用船的约束条件 为了统一在一个问题中，引入 0 − 1变量y，约束条件 可改写为：
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求解指派问题，其系数矩阵为
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解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元 素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得
再将第 3 列元素各减去1，得
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以 B2为系数矩阵的指派问题有最优指派
0 1 X 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
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对于指派问题等 0 − 1整数规划问题，可以直接利用 Matlab 的函数bintprog 进行求解。 例2.7 求解下列指派问题，已知指派矩阵为
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%解：编写Matlab 程序如下： c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5 8 4 2 3 5;9 10 6 9 10]; c=c(:); a=zeros(10,25); for i=1:5 a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1; a(5+i,i:5:25)=1; end b=ones(10,1); [x,y]=bintprog(c,[],[],a,b); x=reshape(x,[5,5]),y %求得最优指派方案为 x51 =x44= x32 =x23= x15 = 1 最优值为21。
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if p0<=f x0=X;p0=f; end end end end end end end x0,p0 toc
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2.4 指派问题的计算机求解 指派问题的数学模型 拟分配n 人去干n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分 配第i 人去干第j项工作，需花费cij单位时间，问应如何分 配工作才能使工人花费的总时间最少？ 要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C(ij) = c ，C 被称为指派问题的系数矩阵。 引入变量 xij ，若分配i干j工作，则取xij =1 ，否则取xij = 0 。 上述指派问题的数学模型为
例2.3 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式 可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的 设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降 低；反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品 的变动成本可能增加。 所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令 xj表示采用第j 种方式时的产量； cj表示采用第j 种方式时每件产品的变动成本； kj表示采用第j 种方式时的固定成本。
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其中M为充分大的数。y=0为用车，1为用船
例2：把相互排斥的约束条件改成普通约束条件
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例3：M个相互排斥的约束条件 如果有m 个互相排斥的约束条件：
为了保证这m 个约束条件只有一个起作用，我们引入m 个 0 − 1变量 yi ( i=1, 2 , ….m ） 和一个充分大的常数M ，则 变为
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分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。 在本世纪六十年代初由 Land Doig 和Dakin 等人提出的。由 于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解 整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度 问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。 设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规 划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A的 整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函 数z*的上界，记作 ,而A的任意可行解的目标函数 值将是z*的一个下界 分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法。 逐步减小 和增大 最终求到z*。现用下
m 个yi中只有一个能取0 值
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2.2.2 关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem）
在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。那 时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列 出。但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线 性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，见下例。
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if p0<=f x0=x1;p0=f; end end [f,g]=mengte(x2); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x2;p0=f; end end end x0,p0 toc
枚举法 p0=0; X=[]; tic for i1=0:99 X(1,1)=i1; for i2=0:99 X(2,1)=i2; for i3=0:99 X(3,1)=i3; for i4=0:99 X(4,1)=i4; for i5=0:99 X(5,1)=i5; [f,g]=mengte(X); if sum(g<=0)==4
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分析：
采各种生产方式的总成本分别为
在构成目标函数时，为了统一在一个问题中讨论，现引入 0 − 1变量yj
于是目标函数
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对应的3个线性约束条件
其中ε是一个充分小的正常数，M 是个充分大的正常数
2.2.3指派问题 例2.4 拟分配n 人去干n 项工作，每人干且仅干一项工作， 若分配第i 人去干第j项工作，需花费 cij单位时间，问应如何 分配工作才能使工人花费的总时间最少？ 分析 要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C= ( cij)， C 被称为指派问题的系数矩阵。 引入变量 xij ，若分配i 干j 工作，则取xij = 1 ，否则取xij = 0 。上述指派问题的数学模型为
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例如
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0 − 1整数规划问题，可以直接利用Matlab 的函数bintprog 进行求解。 例如max=193*x1+191*x2+187*x3+186*x4+180*x5+185*x6; %f st.. x5+x6>=1; x3+x5>=1; x1+x2<=1; x2+x6<=1; x4+x6<=1; x1+x2+x3+x4+x5+x6=3 代码如下 c=[-193;-191;-187;-186;-180;-185]; a=[0,0,0,0,-1,-1;0,0,-1,0,-1,0;1,1,0,0,0,0;0,1,0,0,0,1;0,0,0,1,0,1]; b=[-1,-1,1,1,1]'; aeq=[1,1,1,1,1,1]; beq=[3]; x=bintprog(c,a,b,aeq,beq)