弯曲应力典型习题解析

[ q ] = 15.68 kN / m 。
讨论：本题中根据题意，没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。在实际工程设计时，工字钢
3
等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力。 3 材料相同，宽度相等，厚度 h 1/ h 2 = 1 / 2 的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示，梁上
承受均布载荷 q。(1) 若两板简单叠放在一起，且忽略接触面上的摩擦力，试计算此时两板 内最大正应力；(2) 若两板胶合在一起不能相互滑动，则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少？
8
A
F A q
形截面
d。
F A a C a F D B a
d
h
b
题5图 解题分析：利用圆木直径 d 与 h、b 的数学关系，写出矩形截面抗弯截面系数 W 的表达式， 用求极值的方法确定 h/b 的最优比值。再利用弯曲强度条件确定 W 值，最后解出 d 值。 解：1、确定 W 最大时的
h b
W =
dW b h 2 b ( d 2 − b 2) = ，令 = 0得 6 6 db
2、作弯矩图，确定危险截面
1
弯矩图如图 b 所示，峰值为 M C = 3.75kN ⋅ m 和 M
B
= − 4.5kN ⋅ m 。
B 截面的上边缘各点受拉，下边缘各点受压；C 截面的上边缘各点受压，下边缘各 点受拉。由于不能直观确定最大拉、压应力的位置，需要进一步计算。 3、计算 B、C 截面上的应力 B 截面上：
1 2 ql ql 2 8 = = b ( h 1+ h 2 ) 2 3b h 2 2 6
σ
ma x
=
M
ma x
W
胶合前后最大正应力之比
σ σ
ma x 2 ,m a x
=
1 2
亦即，两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。
4
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
q A x dx l b B h
所以有 W ≥
= 75 × 10 −5 m 3 = 75 × 10 4 mm 3
取 W=
2
bh 2 1 = ( 2 b ) 2 × b = 75 × 10 4 mm 3 ，于是得 b = 131 mm 。 6 6
2
[
]
d
=h
+b
2
= 3b
2
= 3 × 131 2 mm 2 = 515 × 10 2 mm
F
N BD
A
9m q = 4 ≤ [σ ] 1 2 πd 4
解得 q ≤
1 1 × 20 × 10 −6 m 2 × 160 × 10 6 Pa = 22300 N/m = 22.3 kN/m π d 2 [σ ] = 9m 9m
4、确定结构的许用载荷
取 AC 梁、BD 杆的许用 q 值中的小值，即为结构的许用载荷。 所以
由于
1
ρ1
=
M 1 M 2 1 = ， EI 1 ρ2 E I2
M = I I
1 2
所以
M1 M 2 , = EI 1 EI 2
M =M
1
M
2
=(
h1 3 ) M h2
2
=
1 M 8
2
梁中间截面弯矩为
1
+M 1 ql 9
2
=
1 ql 8
2
于是
M
1
=
1 ql 2 ， M 72
2
=
2
4
两板最大弯曲正应力分别为 σ 1, m a x =
5
σ ( x) =
M ( x) W
2
1 1 ql x − q x M ( x) 2 2 = 由胡克定律 σ ( x) = E ⋅ ε ( x) 得 ε ( x) = EW bh 2 E 6
而 ε ( x) =
=
3q Ebh
2
( l x − x 2)
∆ (d x ) 3q ，所以 ∆ (d x) = ( l x − x 2) ⋅ d x Ebh 2 dx
讨论：从计算结果可以看出，杆的两侧有切口虽然截面面积减少，但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小， 可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。 这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因。 7 图示直径为 d 的均质圆杆 AB 承受自重，B 端为铰链支撑，A 端靠在光滑的铅垂墙上。试
确定杆内出现最大压应力的截面到 A 端的距离。
4
= 51.8 MPa < [σ
c
]
最大拉应力 σ
t,ma x
=
M I
C z
y2
=
3.75 × 10 3 N ⋅ m × 88 × 10 765 × 10
−8
−3
m
m
4
= 43.1 MPa > [σ
t
]
所以，梁的强度不够。 2 图示结构承受均布载荷，AC 为 10 号工字钢梁，B 处用直径 d =20 mm 的钢杆 BD 悬吊，
ma x
= 100 × 10 6 Pa = 100 MPa
σ
mi n
=
FN M 12 × 10 3 N 3 × 12 × 10 3 N × 5.2 × 10 −3m − = − A W z 5 × (40 − 5.2) ×10 −6 m 2 5 × ( 40 − 5.2) 2 × 10 −9 m 3
q
h1 h2 A l
Ｂ
b
题3图 解题分析：两板叠放在一起，在均布载荷 q 作用下，两梁一起变形，在任一截面上，两者弯 曲时接触面的曲率相等。小变形情况下，近似认为两者中性层的曲率相等。根据该条件，可 计算出各梁分别承担的弯矩。然后再分别计算两梁的最大应力。两板胶合在一起时，按一个 梁计算。 解：1、计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为 ρ 1 和 ρ 2 ，两梁承担的弯矩分别为 M 1 和 M 2 ，截面惯性矩分别为 I 1 和 I 2 。则由前面分析知 ρ 1 = ρ 2 。
y D FBy z 1m y2 y1
F1
F2 B 1m
(a)
A FAy 1m
C
M
3.75kN·m
(b)
4.5kN·m
x
题1图 解题分析：铸铁为脆性材料。脆性材料的拉压强度有显著区别，一般其抗压强度明显高于抗 拉强度。为了充分利用这一特点，通常将其横截面选为 T 形。脆性材料梁一般要同时校核 其抗拉强度和抗压强度。 解：1、计算支反力 设 A 处支反力为 F A y ，B 处支反力为 F B y ，均竖直向上。考虑梁 AD 的平衡，有
σ m a x ≤ [σ ] 或 σ m a x =
解得
q≤
W z [σ ] 49 × 10 −6 m 3 × 160 × 106 Pa = = 15 680 N/m = 15.68 kN/m 0 .5 m 2 0 .5 m 2
3、BD 杆的强度条件
BD 杆横截面上各点拉伸正应力相同，强度条件为
σ ≤ [σ ] 或 σ =
弯曲应力
典型习题解析
1 T形截面铸铁梁受力如图，许用拉应力 [σ
2 t
] = 40 MPa ，许用压应力 [σ c ] = 60 MPa ，已知
F 1 = 12 kN， F
= 4.5 kN， I
z
= 765 × 10 −8 m 4， y1 = 52 mm ， y 2 = 88 mm 。不考虑弯曲切
应力，试校核梁的强度。
题4图 解题分析：梁弯曲时，截面上、下边缘上各点处为单向应力状态。利用弯曲正应力公式计算 应力，再由胡克定律求应变。在下表面取微段，可由该微段处应变计算其伸长，然后进行积 分可求出梁下边的总伸长。 解：1、计算梁底层微段的伸长量 在距左端为 x 处，取梁底层上一微段 dx 来研究。由弯曲正应力公式，有
6
1 (h 6
2
− 2 b 2) = 0 或
h = 2 b
2、确定圆木直径 d
C、D 截面处弯矩最大，为危险截面。根据强度条件
σ
ma x
=
M
ma x
W
≤ [σ ] 知 W ≥
M max [σ ]
M
max
= F a = 5 × 10 3 N × 1.5 m = 7.5 × 10 3 N ⋅ m
7.5 × 10 3 N ⋅ m 10 × 10 6 Pa
M y1
z
最大拉应力 σ
t,ma x
=
B
I
=
4.5 × 10 3 N ⋅ m × 52 × 10 765 × 10
−8
−3
m
m
4
= 30.6 MPa < [σ
t
]
最大压应力 σ C 截面上：
c,ma x
=
M
B
y
z
2
I
=
4.5 × 10 3 N ⋅ m × 88 × 10 765 × 10
−8
−3
m
m
= 38 × 10 6 Pa = 38 MPa
切口截面上的应力分布如图 d 所示。
3、在杆另一侧切出同样的切口情况
由于没有偏心，切口截面只承受轴向拉力 F，正应力在截面上均匀分布，其大小为
σ =
FN F 12 × 10 3 N = = = 81.1× 10 6 Pa = 81.1MPa A b ( h − 2 y) 5 × (40 − 2 × 5.2) × 10 − 6 m 2
2
≤ [σ ]
y
2
− 128 y mm + 640mm 2 = 0
解方程后得到两个解： y 1 = 122.8 mm , 切口最大深度不得超过 5.2 mm 。
y
2
= 5.2 mm 。显然 y 1 = 122.8 mm 不合理，所以
2、计算切口截面的最大正应力和最小正应力，画应力分布图
σ
= FN 12 × 10 3 N 3 × 12 × 10 3 N × 5.2 × 10 −3 m M + = + −6 2 A W z 5 × (40 − 5.2) × 10 m 5 × ( 40 − 5.2) 2 × 10 −9 m 3
∑M
得 F
B
= 0，− F
Ay
× 2 m − 4.5 × 10 3 N × 1 m + 12 × 10 3 N × 1m = 0
Ay
= 3.75 kN
× 2 m − 4 .5 × 1 0 3 N × 3 m - 12 × 1 0 3 N × 1m = 0
∑M
得 F
A
= 0，F
B y
By
= 12.75 kN
2
得 d = 227 mm 。 6 截面为 40 mm×5 mm 的矩形截面直杆，受轴向拉力 F = 12kN 作用，现将杆件一侧开一
切口，如图 a 所示。已知材料的许用应力 [σ ] = 100 MPa ， (1) 计算切口许可的最大深度，并 画出切口处截面的应力分布图。(2) 如在杆的另一侧切出同样的切口，正应力有何变化？
3、梁的最底层纤维的总伸长
沿梁全长积分得 ∆ l =
Baidu Nhomakorabea
∫
l
0
∆(d x ) =
3q l l ( x 2 − x 3) 2 Ebh 2 3
l 0
=
ql 3 2E b h 2
5
矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知 F = 5 k N ， a = 1.5 m ， [σ ] = 10 MPa ，试确定此矩
h 的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径 b
M W
1 1
=
6M bh
1 2 1
=
ql
2
2 12b h 1
σ
2 ,m a x
=
M W
2 2
=
6M bh
2 2 2
=
2q l 3b h
2 2 2
σ σ
1, m a x 2, m a x
=
1 h2 1 2 = 8 h12 2
2、计算两板胶合在一起时的最大正应力
这时，按一个梁计算，于是梁中最大弯曲正应力为
F
Ay
=
3m q， F 4
By
=
9m q 4
2、梁的强度条件
画梁的弯矩图如图 b。显然，B 截面为危险截面。 M 字钢 W
B
= 0.5 m 2 q ，查表知 10 号工
z
= 49 × 10 −6 m 3 ，于是 B 截面上弯曲正应力强度条件为
M max 0.5 m 2 q = ≤ [σ ] Wz Wz
梁和杆的许用应力 [σ ] = 160 MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
D d q A 2m
B 1m
C
(a)
M 9 q 32 x
(b)
题2图
2
1q 2
解题分析：DB 杆作为支撑 AC 梁的约束，在考虑梁的强度时，也要考虑 DB 杆的强度，许 可载荷取两种构件能承担的最小值。 解：1、计算支反力 设 A 点处支反力为 F A y ，B 处支反力为 F B y ，均竖直向上。考虑 AC 梁的平衡，得
7
N
= F ，弯矩 M=Fy/2。切口的许
可最大深度 y 由杆的强度条件确定。强度条件为
σ
ma x
=
FN M + ≤ [σ ] A W z = b ( h − y) 2 ，代入强度条件得 6
式中切口截面的面积 A = b ( h − y ) ，抗弯截面系数 W
z
σ
ma x
=
F 3Fy + b ( h − y) b ( h − y)
h=40mm
F
y
F
C' F C F F
M F
38MPa
100MPa (c) (d)
(a)
b=5mm
(b)
题6图
解题分析： 此题为偏心拉伸问题， 可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深 度。若另一侧开同样深度切口，偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题。 解：1、计算切口许可的最大深度 设切口深度为 y 。如图 b 所示,切口截面形心在 C ′ 点，显然，杆在切口处截面承受 偏心拉伸，偏心距 e=y/2。切口的内力如图 c 所示。轴力 F