考研数学极限求法模版
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
考研数学：极限计算方法——利用单侧极限
考研数学：极限计算方法——利用单侧极限今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。
为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。
例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan )0121x e x x f x x x x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨⎪>+-在0=x 处的极限。
分析：在做这道题时我们发现0=x处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即1lim 221arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==⨯=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→xx x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0=→x f x 。
有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。
第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x，在脱绝对值时会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，所以1sin 12lim 410=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 。
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
极限分为一般极限,还有个数列极限,（区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种）。
解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！你还能有补充么？）1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E 的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
极限求法总结PDF打印版
9.
lim(tan x) cos x −sin x
x→
4
x1 0 ， xn +1 = xn + (n = 1, 2,3, ) 例 设 a0 ， 2 x
n
1
a
（1）证明
lim xn 存在； （2）求 lim xn . n →+ n →+
解: (1) xn+1 = xn + xn = a 0 xn a 2 xn xn
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
2 x 2 + 5x + 1 . x →1 x 2 − 4 x − 8 2n + 1 . 练习2 求 lim n → n2 + n
练习1 求 lim
练习3 练习4
lim
(2 x − 3) 20 (3x + 2) 30 x → (2 x + 1) 50
2
练习 1
1 lim 1 − 2 x →+ x
x
2 xlim →+
x + 2a = 8 ，求 x−a
a
2012年数学三考研试题 (第二答题填空题第9小题)
1
12. 应用数列的单调有界收敛准则求极限
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有 下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。
例：求极限 lim x →0
x ln(1 + x) 1 − cos x
解 lim x →0
x ln(1 + x) xx = lim =2 x →0 1 2 1 − cos x x 2
考研数学：求极限的16种方法1500字
考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。
求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。
1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。
2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。
3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。
4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。
5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。
6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。
7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。
8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。
9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。
10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。
11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。
12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。
13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。
14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。
15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。
16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。
以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。
考研数学：用定积分的定义求极限
f ( x)
在 区 间
[ a, b]
上 有 界 ， 在 ， 这 样
[ a, b]
内 任 意 插 入
n 1
个 分 点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就 被 分 为 了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。 我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分 的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限 基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 的 定 积 分 ， 记 令
称
f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 该 极 限 称 之 为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。 例题:求 lim
考研极限公式范文
考研极限公式范文1.常见的基本极限：- $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$- $\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n^p}}=0$ （$p>0$）- $\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a}}=1$ （$a>0$）2.三角函数的极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$- $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$- $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$3. $e^x$和$\ln x$的极限：- $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$- $\lim_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$- $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$4.可用洛必达法则求解的一些极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$- $\lim_{x\to+\infty}\ln x=x$- $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$5.无穷小形式：- $\sin x \sim x$- $\tan x \sim x$- $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$需要说明的是，这些极限公式只是考研数学中的一部分公式，掌握它们可以帮助我们在解题时更快地得到结果，但并不是解题的核心。
在考研数学中，重要的是掌握解题的思路和方法，理解题目的要求，合理运用公式和定理。
综合运用各种公式和解题方法，灵活解决各种题目才是最关键的。
(完整版)极限的解法与技巧_汇总,推荐文档
否则会引起错误。
4、当
lim
xa
f g
' (x) ' (x)
不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，
此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
① lim
ex
(1
2x)
1 2
x0 ln(1 x 2 )
② lim ln x (a 0, x 0)
x x a
解：①令 f(x)=
ex
(1
1
2x) 2
上述性质对于 x , x , x 时也同样成立
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、
建议差、积收、商藏。 下载本文，以便随时学习！
例：求
x2 3x 5 lim
x2 x 4
解:
lim
x2
x2
3x x4
5
=
22
3 2 24
5
5 2
5、利用两个重要的极限。
( A) lim sin x 1 x0 x
2
1 x 1 ~ 1 x, (1 x) 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
2
建议等收价无藏穷小下代换载法 本文，以便随时学习！
设, ' , , ' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
~', ~ '，
' lim
存在，
'
则
lim
也存在，且有 lim
=
' lim
'
例:求极限
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
6
由 lim(x 1) 0 x1
8. 变量替换
2020考研数学：极限计算方法之“抓大头”
版权所有翻版必究 2020考研数学：极限计算方法之“抓大头”计算极限时，有很多种方法，“抓大头”是一种常用的方法，那它适于哪种题型呢，具体给大家举3个例子来说明一下：（1）32324321lim 234x x x x x x x →∞++++++；（2）()()()341002101023lim 100!x x x x x →∞++++；（3）223322ln lim x x x e x x x e x x x→+∞++++++。
我们先看前两道题目，需要大家注意的是前两道题目的分子和分母都是幂函数多项式的形式，而且x 趋于无穷，在这里我们不区分正无穷或者负无穷，因为都有以下结论：11101110,lim 0 , ,n n n n n n m m x m m a m nb a x a x a x a m n b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪++++⎪=>⎨++++⎪∞<⎪⎪⎩，其中0n n a b ≠，应用上述的结论，第1题我们就看分子和分母最高项的系数，分子和分母一比，结果就等于4；对于第2题来说，()342310101022lim lim 8x x x x x I x x →∞→∞===；在做第3题之前，给大家介绍一个结论，希望大家能够记住：当x →+∞时，有()ln m x n e x x ，其中n 和m 是与x 无关的正整数，x 趋近于正无穷，因为当x 趋近于负无穷时，ln x 没有意义，lim 0x x e →-∞=。
在这里需要特别注意的是x e 也可以换成x a ，不过要1a >。
有了上述的结论后，我们再看第3题，是不是很简单了，只需看分子和分母中x e 的系数就可以了，就等于23。
这就是“抓大头”这个方法在求极限题目中的应用，掌握了这个方法做相应题目时就很快了，能够节省不少时间，希望能够对大家有所帮助。
专题3(求极限的题型)--考研数学
x→0+
x→0+
9
lim sin 2x ln cot x = lim 2x ln cot x
x→0+
x→0+
= 2 lim ln cot x 1 x→0+
x
− csc2 x
= 2 lim x→0+
cot x −1
x2
= 2 lim tan x = 0 x →0+
lim (cot x)sin 2x = e0 = 1.
x3 + 2x2
+
1
−
xe
1 x
⎟⎟⎠⎞
4.“ 0 ⋅ ∞ ”型极限
常用的方法是化为“ 0 ”型或“ ∞ ”型
0
∞
【例 1】求极限 lim ln x ⋅ ln( x + 1 + x2 ) x→0+
【解 1】原式 = lim ln(x + 1 + x2 )
x→0+
1
ln x
1
= lim x→0+
1+ x2 −1
+1
=
1 2
【解 2】
（洛必达法则）
练习题
1.求极限 lim x2 ⎜⎛ π − arctan 2x2 ⎟⎞.
x→∞ ⎝ 2
⎠
2.求极限
lim
x→∞
x
2
⎜⎜⎝⎛
1
3x
−
3
1 x +1
⎟⎟⎠⎞.
3.求极限
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 x
ln
1 1
+ −
x x
⎟⎟⎠⎞.
5.“1∞ ”型极限
考研数列极限计算汇总
类题 设数列
，求
（三）利用定积分定义
我们知道，定积分本身就是由一个“和式极限”来定义的，那么反过来，某些特殊类型的“和式极限”，也可
以凑成定积分定义的形式，从而将极限题转化为定积分求解。最常考的形式便是
例题 求极限
类题 1 求极限 类题 3 求极限
类题 2 求极限 类题 4 求极限
类题 5 求极限
类题 6 求极限
例题 3.利用压缩映像原理，证明数列 收敛，其中
类题 1 类题 2 类题 3 类题 4
，利用压缩映像原理，证明数列 收敛 ，利用压缩映像原理，证明数列 收敛
，利用压缩映像原理，证明数列 收敛 ，利用压缩映像原理，证明数列 收敛
例题 4 设
满足
，且对
，
，证明数列 收敛于 ，且
，设 满足
，且
作者小结 数学博大精深，我们不可能、也没有时间穷尽所有的题型和解法，尤其是在课堂上如此宝贵的时间里。
，并证明当
时，
（二）利用夹逼准则
夹逼准则的核心是对原式进行适当的放缩，使得放缩后的两个极限均存在且相等，从而使得夹在中间的原
式极限也一定存在，即——
。很明显，
如何选取，是夹逼准则的重点，也是难点。通过以下几个典型例题，积累放缩时的常用技巧。
（在考研中偶尔会出现比较复杂的放缩，此时命题人一般会设置两个问，第一问让你证明一个不等式， 而这个不等式，往往就是第二问求极限放缩时的关键步骤。）
。
从这个式子中我们可以发现，将所求极限进行适当变形，凑成形如“ 限的关键步骤。
下面先看几个最为简单的题目。 例题 1 求极限
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限，本例中当时，，表明与1无限接近，但 ,所以这一因子可以约去。
二、分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
?三、分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：例：求极限七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。
如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
也就说，极限号与可以互换顺序。
例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。
如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。
11考研辅导讲稿之极限例题资料版
a x −1 ~ x ln a ， ln(1+ x) ~ x ， n 1+ x −1 ~ x ， (1+ βx)α −1 ~ αβx . n
以上的等价无穷小中的 x 可以用相同形式的无穷小代替。如当 x→0 时，有
1− cos x ~ 1 ( x )2 = 1 x
2
2
例 1．010202（2）设当 x → 0 时， (1− cos x)ln(1+ x2 ) 是比 xsin xn 高阶的无穷小，而 xsin xn
，(
n =1,
2,
3,
"
)，证明
lim
n→+∞
xn
存在并求
出其极限值(1+ 2 ).
例 9（1）．设 f (x) 是周期为 T 的非负连续函数，求证：
∫ ∫ lim 1
x f (t)dt = 1
T
f (t)dt
x x→+∞ 0
T0
∫ 例 9（2）．000206 设 S(x) = x cos t dt 。（1）当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 0
2!
n!
无穷小运算规律— xm ⋅ o(xn ) = o(xm+n ) ； o(xm ) ⋅ o(xn ) = o(xm+n ) ； ± o(xm ) ± o(xn ) = o(xm ) （ m ≤ n ）； ko(xn ) = o(xn ) （k 是常数）。
例 10．计算
− x2
cos x − e 2
xn
−a
<
λ xn−1
−a
，则
lim
n→+∞
求极限的方法及例题总结解读
求极限的方法及例题总结解读第一篇：求极限的方法及例题总结解读1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x→2lim(3x-1)=5 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B（2）limf(x)⋅g(x)=A⋅B （3）limf(x)A=,(此时需B≠0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限limx→1例1 3x+1-2x-1(3x+1)2-223x-33lim=lim=x→1(x-1)(3x+1+2)x→1(x-1)(3x+1+2 )4解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 limn(n+2-n-1)n→∞nn[(n+2)-(n-1)]分子分母同除以lim=n→∞n+2+n-1limn→∞31+21+1-nn=32解：原式=(-1)n+3nlimnn例3 n→∞2+3。
上下同除以3n=解：原式1(-)n+1lim3=1n→∞2n()+13。
3．两个重要极限sinx=1x→0x（1）lim（2）x→0lim(1+x)=e1xlim(1+1)x=ex；x→∞说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim=1lim(1-2x)-2x=elim(1+)3=ex例如：x→03x，x→0，x→∞；等等。
16种求极限的方法总结
说起考研数学，你觉得最难的是哪个?据调查，数学中求极限的问题一直困扰着广大考生，2015年的考研马上就要到了，海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。
解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x 展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、无穷大比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
考研 高数 极限运算法则
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则Ⅰ和准则Ⅰ`称为两边夹原理.
杨 树 文
*利用两边夹关键在于构造不等关系式
网 络 高 等 数 学 教 程
例
求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
1 1 n n < +L+ < , 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
则 lim f ( g ( x)) = lim f (lim g ( x)) = A
x →a u →b x→a x →a u →b
例： limsin(sin x)) = limsin x = 0
x →0 x →0
幂指函数的极限运算
f ( x) → A > 0, g ( x) → B, 则f ( x) g ( x ) → AB
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
杨 树 文
网 络 高 等 数 学 教 程
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
考研数学-专题1-2-求极限的方法和技巧
n
=
________ .
[1] 1 − 2a
1
1
1
【例 4】 lim( a x + b x + c x )x ，其中 a > 0, b > 0, c > 0.
x→∞
3
⎡
1
1
1
⎤x
【解】原式 =
lim
→∞
⎢⎢1
+
ax
+
bx + 3
cx
方法 3 利用等价无穷小代换求极限
1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换；
若α
~ α1,β
~
β1
,
则
lim
α β
= lim α1 . β1
2）加、减关系在一定条件下可以换；
(1)
若α
~ α1, β
~
β
1
,
且
lim
α1 β1
=
A ≠ 1. 则α
−β
~ α1 − β1.
(2)
若α
~ α1,β
~
β1,
（B）仅有一个跳跃间断点；
（C）有两个可去间断点；
（D）有两个跳跃间断点；
答案
1.1;
β 2 −α 2
n ( n +1)
2.(D); 3. − 2; 4. e 2 ；5. e 2 6.（B）; 7.(D).
方法 2 利用有理运算法则求极限
若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则
4.
lxi→m0⎜⎜⎝⎛
1 1
+ +
sin sin
考研数学：极限的计算方法(函数的连续性)
版权所有翻印必究/考研数学：极限的计算方法（函数的连续性）在考研数学中，高数占据了大半壁江山，并且极限是整个高数的基础，对于基础的知识点，考研涉及百分之八十，所以对于极限的计算是考研数学的第一道大题，对于这道题，同学们的得分率是高数中最高的。
对于简单的题型，我们不应该满足于得分，也不应该满足于得全分，更应该追求快速的得全分。
那对于极限的计算中数值型的，主要就是解决七种未定式000,,0,,1,0,0∞∞⎛⎫⋅∞∞-∞∞ ⎪∞⎝⎭。
对于我们的在解决的时候主要是化简，那我们化简得目的是什么呢？就是把不能代入的转化为能代入的。
比如11lim 1x x →+这个极限我们只需要将1x =代入到11x +中即可，因为函数在这一点是连续的。
那我们另一个例子是：2112lim(11x x x →---在这里1x =不能直接代入，因为函数在点1x =处是不连续的。
所以同学们在化简极限时，只需要将极限化简到在该点是连续的函数即可，然后将该点值代入即可。
换句话说，该点极限值即为该点函数值。
对于上面的极限2112lim()11x x x →---通分即可得到2211112111lim()lim lim 1112x x x x x x x x →→→+--===--+。
我们一直在说连续函数，那连续函数到底是什么呢？如果函数在某点的邻域内有定义，并且00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x x =处连续。
即极限值等于函数值。
例如1()x e f x x -=，则求0lim ()x f x →。
解析：对于该题函数在0x =是不连续的，故我们需要化简极限。
版权所有翻印必究对于极限00001lim ()lim lim lim11x x x x x e x f x x x →→→→-====。
所以我们只需要将其化简为在该点连续的函数。
对于考研中的极限的计算，我们以后再碰到极限计算的化简时，能有一个方向。
2022考研数学讲解之求极限的11种方法
例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2
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圣才教育
函数的极限既然是微积分的一个
重要内容，于是如何求出已知函数 的极限，就是学习微积分必须掌握 的基本技能。因此，本文对求函数 的方法进行总结，并对于每种方法 都足以定理或简述开头，然后以例 题来全面限
极限的四则运算如下：
2.消去零因子法及有理化求极限
（1）：消去零因子法： 通过消公因子达到消零因子的目的，此法适 用于有公因子的0/0型
解：
(2)有理化求极限：将根式差有理化
3.利用无穷小量
➢性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小。 ➢性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷 小。 ➢性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小。
4.无穷小的等价代换
➢只能做分子或分母的整体替换，或者分子、分母 中的部分因式做替换。 ➢无穷小的等价代换是计算极限时学生最容易出错 的方法之一。 ➢此法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象。 还有就是对无穷小的等价概念不清，要注意等价 是有极限条件的。 ➢常用代换有：
5.两个重要极限
而我们在使用公式时并非完全套用公式，而是 对其适当的变形，有人也称其为“凑”。
6.洛必达法则
7.变量替换
8.分段函数的极限