期望、协方差、方差与相关系数
相关系数r的计算公式 方差
相关系数r的计算公式方差相关系数是一种度量变量之间关系紧密程度的统计指标，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
在统计学的研究和实践中，相关系数在许多领域都起着极为重要的作用。
在本文中，我们将着重探讨相关系数的计算公式和方差计算方法，并且提供一定的使用指导意义，帮助读者更好地理解和应用相关系数。
一、相关系数的计算公式相关系数一般用字母r表示，计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (SD(X) * SD(Y))其中，Cov(X,Y)表示变量X与Y之间的协方差，SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
这个公式表明，相关系数的计算取决于变量X和Y之间的协方差、X和Y的标准差。
当协方差为正数时，X和Y呈正相关关系；当协方差为负数时，X和Y呈负相关关系。
而当协方差为0时，X和Y之间不具有任何线性相关性。
二、方差的计算方法方差是统计学中常用的一种表示数据离散程度的指标，它是各个数据值与其均值差的平方的和的平均值。
方差的计算方法如下：S² = Σ (Xi - X)² / n其中，S²表示方差；Xi表示第i个数据值；X表示平均数；n表示样本数。
方差的计算是通过测量样本中各个数据值与它们的平均值的偏离程度，来体现样本数据的离散程度。
在统计学中，方差是很重要的一个概念，经常被用于衡量数据集的离散程度，并且方差的大小可以对比不同数据集之间的差异性和稳定性。
三、使用相关系数的指导意义相关系数是衡量两个变量线性相关度量的一个重要方法，它可以及时发现和分析变量之间的相互关系，为后续的数据分析和决策制定提供基础依据。
在实际应用中，相关系数可以被广泛应用于经济、社会学、生物学、医学等多个领域。
在进行相关系数的计算和应用时，需要注意以下几点：1. 相关系数是用于描述两个变量之间的线性关系，而非其他非线性关系，如二次关系、指数关系等。
2. 相关系数的取值范围是[-1,1]，其中，-1表示完全的负相关，0表示两个变量之间没有关系，1表示完全的正相关。
统计学中的协方差与相关系数
统计学中的协方差与相关系数统计学中的协方差和相关系数是两个重要的概念，它们用于描述两个变量之间的关系以及变量的变动程度。
本文将分别介绍协方差和相关系数的定义、计算方法，以及它们在实际应用中的意义。
一、协方差在统计学中，协方差是用来衡量两个变量之间的相关性的指标。
它反映了两个变量的变动是否同时发生以及变动程度的大小。
协方差的定义如下：假设有n个数据对(x₁, y₁), (x₂, y₂), ... , (xₙ, yₙ)，则协方差的计算公式为：cov(X, Y) = Σ(xᵢ - ̄x)(yᵢ - ̄y) / n其中，X表示变量X的数据集，Y表示变量Y的数据集，xᵢ和yᵢ分别表示X和Y的第i个观测值，̄x和̄y分别表示X和Y的均值，n 表示数据对的总数。
协方差的计算结果可以为正、负或零。
正的协方差表示两个变量的变动趋势一致；负的协方差表示两个变量的变动趋势相反；零的协方差表示两个变量之间没有线性关系。
二、相关系数相关系数是用来衡量两个变量相关性强弱的指标。
它不仅考虑了两个变量的变动趋势，还考虑了它们之间的线性关系的紧密程度。
最常用的相关系数是皮尔逊积矩相关系数（Pearson correlation coefficient），也称作Pearson相关系数。
它的计算公式为：r = cov(X, Y) / (σₓ * σᵧ)其中，cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σₓ和σᵧ分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围为-1到1。
当相关系数趋近于1时，表示两个变量之间存在着强正相关关系；当相关系数趋近于-1时，表示两个变量之间存在着强负相关关系；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间的线性关系较弱。
三、协方差与相关系数的意义与应用协方差和相关系数在统计学和数据分析中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们了解两个变量之间的关系及其变动的程度，从而进行更深入地数据分析和预测。
1. 多元数据分析：协方差和相关系数可以用于多个变量之间的分析。
概率论课程第四章
第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。
但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。
例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。
本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。
相关系数和协方差的关系
相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。
二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差cov和相关系数的关系
协方差cov和相关系数的关系协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。
虽然它们都可以用来描述两个变量之间的关联程度，但是它们之间存在一定的区别和联系。
协方差是用来衡量两个变量之间的总体关系的一个指标。
它的计算公式是两个变量的每个对应数据点的差值乘积的平均值。
协方差的值可以为正、负或零，正值表示两个变量呈正相关关系，负值表示两个变量呈负相关关系，零表示两个变量之间没有线性关系。
然而，协方差的值大小受到变量本身量纲的影响，使得不同变量之间的协方差难以直接比较。
为了解决这个问题，引入了相关系数。
相关系数是由协方差除以两个变量的标准差得到的。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示两个变量之间的关系越强，绝对值越接近0表示两个变量之间的关系越弱。
相关系数的绝对值等于1表示两个变量之间存在完全的线性关系，其中正值表示正相关，负值表示负相关。
相关系数为0表示两个变量之间没有线性关系，但并不意味着它们之间没有其他类型的关系。
协方差和相关系数之间的关系可以用一个简单的公式表示：相关系数等于协方差除以两个变量的标准差的乘积。
这意味着相关系数可以通过协方差来计算，同时还考虑了变量本身的标准差，使得相关系数更具有可比性。
协方差和相关系数的应用非常广泛。
在金融领域，协方差和相关系数可以用来衡量不同股票之间的关联程度，帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，协方差和相关系数可以用来分析不同变量之间的关系，帮助设计师优化产品设计。
在医学研究中，协方差和相关系数可以用来分析不同因素对疾病发生的影响，帮助医生制定预防和治疗策略。
需要注意的是，协方差和相关系数只能衡量两个变量之间的线性关系，不能反映非线性关系。
此外，相关系数只能描述两个变量之间的关系，不能确定因果关系。
因此，在应用中需要综合考虑其他因素，避免误导性的结论。
概率论与数理统计期末复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
工程数学概率 第三章(一)
求：一次游戏平均得多少钱？
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解： 假设做了n次游戏，
每次平均得：
当n很大时，
定义1 定义1 设离散型随机变量X 的分布律为
P{X = xk } = pk , (k =1 2,3,L , )
若级数
∑x p 绝对收敛 ，
k= 1 k k
∞
∞
则称此级数的和为X 的数学期望 数学期望。 数学期望 简称期望或均值 期望或均值，记为 E(X). 期望或均值 即 E(X) = ∑xk pk
0 0
1 = ≠ E(X)E(Y) 3
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三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E(X +Y) = E(X) + E(Y) 证明: 设 ( X.Y) ~ f ( x, y)
∞∞
E(X +Y) = ∫ ∫ (x + y) f (x, y)dxdy
第三章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一讲 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
第三章
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一、数学期望的概念
引例： 引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
∞
−∞
−∞
推广： 推广： [∏Xi ] = ∏E(Xi ) （当Xi 独立时） E
例1、 、 任意掷5颗骰子，X—5颗骰子出现的点数之和,求E(X). 解：
协方差公式 相关系数
协方差公式相关系数
协方差(covariance)定义为：
cov（x,x）=var（x）协方差是对x与y之间联动关系的一种测度，即测量x与y的同步性。
当x与y同时出现较大值或者较小值时，cov>0,二者正相关。
若x出现较大值时y出现较小值，cov<0，二者负相关。
该相关关系并不意味着因果关系
计算方式：
e为期望算子，\mu 为总体平均值。
从该式中我们可以发现，cov的大小与x、y的大小有关。
为
了无量纲化，要对其进行标准化。
就有了相关系数的概念。
相关系数定义为：
就是协方差除了xy各自的标准差，这样才能刻画xy之间联动性的强弱。
这里需要注意的是，相关系数应该叫线性相关系数，它只能反映线性关系。
为何只能是线性关系的测度？
证明：
给出一个线性函数，y=a+bx (b \ne0 ,x的方差存在）
则，
所以，当x与y完全线性的时候，总有相关系数为1或者为-1.
扩展到一般线性模型：y=a+bx+ \varepsilon
其中， \varepsilon满足e（\varepsilon）=0，var （\varepsilon）=\sigma^{2}
同理可证，
这里，相关系数与1之间的偏离程度就受
\sigma_{\varepsilon}^{2}/\sigma_{x}^{2} 的影响。
所以它衡量的只是线性关系，绝对值不会超过1。
关于协方差、相关系数与相关性的关系
三、相关性的概率意义
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
取值都可以通过对应规则 y ax b 得到一个确定的 y 值与之对应，而且由 x ， y 所对应的平面上的点
x, y就会100% 落在直线 y ax b 上。
但是，对于随机变量 X ，Y 来说，如果 X ，Y 存在概率意义下的、严格的线性关系 PY aX b 1
（此时 XY 1），则 X ，Y 所对应的随机点 X ,Y 落在 XOY 平面上内的直线Y aX b 上的概率为 1。
考虑以 X 的线性函数 a bX 来近似表示Y ，我们以均方误差
e E Y a bX 2 E Y 2 b2E X 2 a2 2bEXY 2abEX 2aEY
（3.3）
来衡量 a bX 近似表达Y 的好坏程度。e 的值越小表示 a bX 与Y 的近似程度越好。这样，我们就取 a ， b 使 e 取到最小值。下面就来求最佳近似式 a bX 中的 a ， b 。为此，将 e 分别关于 a ， b 求偏导数， 并令它们等于零，得
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z
y
概率论与数理统计 x
一个： w1 0 ，所以其期望为 EW wi pi 01 0 0 ... 0 ，同理 E W 2 0 .） I 1
故有Biblioteka 0 E Y a* b*X2
min E Y a bX 2 a ,b
E Y a0 b0 X 2
根本区别何在？这是两个值得阐明的十分重要的问题。
期望、方差、协方差、相关系数
期望、⽅差、协⽅差、相关系数
⼀、期望
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
线性运算：
推⼴形式：
函数期望：设f(x)为x的函数，则f(x)的期望为
离散函数：
连续函数：
注意：
函数的期望不等于期望的函数；
⼀般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积；
如果X和Y相互独⽴，则E(xy)=E(x)E(y)。
⼆、⽅差
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
⽅差是⼀种特殊的期望。
定义为：
⽅差性质：
1）
2）常数的⽅差为0；
3）⽅差不满⾜线性性质；
4）如果X和Y相互独⽴，则：
三、协⽅差
协⽅差衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。
两个随机变量的协⽅差定义为：
⽅差是⼀种特殊的协⽅差。
当X=Y时，
协⽅差性质：
1）独⽴变量的协⽅差为0。
2）协⽅差计算公式：
3）特殊情况：
四、相关系数
相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
两个随机变量的相关系数定义为：
相关系数的性质：
1）有界性。
相关系数的取值范围是，可以看成⽆量纲的协⽅差。
2）值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强。
越接近-1，说明负相关性越强，当为0时，表⽰两个变量没有相关性。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
协方差和相关系数公式_相关系数与协方差的关系
·若Corr(X,Y)=1，则称X与Y完全正相关；若Corr(X,Y)=-1，则称X与Y完全,负相关。
·若0
2协方差与相关系数的一致性
从协方差与相关系数的定义和性质我们不难发现，协方差与相关系数都是反映X与Y相关程度的量。也就是说，他们有异曲同工之效。在刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度时，他们保持了一致性。这一点我可以给出以下两个例子来说明。
设（X，Y）是一个二维随机变量，且Var(X)0,Var(Y)0.则称
Cov(X,Y)
(X)(Y)Cov(X,Y) Corr(X,Y)==σxσ y
为X与Y的（线性）相关系数。
利用施瓦茨不等式我们不难得到-1≤Corr(X,Y)≤1.也就是说相关系数是介于-1到1之间的，并且可以对它作以下几点说明：
Corr(X,Y)越接近1，则线性相关程度越高；Corr(X,Y)越接近0，则线性相关程度越低。而协方差则其比
值就不一定小，下面我们来看实例。
例三已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
8
3, 0
求X,Y的协方差及相关系数。
解：先计算两个边际密度函数，再分别计算E(X)、E(X2)、E(Y)、E(Y2)、Var(X)、Var(Y)及E(XY)。
·当Cov(X,Y)
·当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。
也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X与Y相互关联程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X表示人的身高，单位是米(m)，Y表示人的体重，单位是公斤(kg)，则Cov(X,Y)带有量纲(m·kg)。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下：
协方差cov和相关系数的关系
协方差cov和相关系数的关系协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计学中常用的两个概念，用于描述两个变量之间的关系。
虽然它们都可以衡量变量之间的相互关系，但在某些方面上又存在一定的区别。
协方差是用来衡量两个变量之间的总体线性关系的统计量。
它描述的是两个变量在同一时间内的变化趋势是否一致。
协方差的计算公式为变量X和Y的观测值与它们的均值之差的乘积的平均值。
如果协方差为正值，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；如果协方差为负值，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增大时，另一个变量减小。
相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系强度的统计量，它的取值范围在-1到1之间。
相关系数的计算公式是协方差除以两个变量的标准差的乘积。
相关系数越接近1或-1，表示两个变量之间的线性关系越强，且方向一致；相关系数越接近0，表示两个变量之间的线性关系越弱，或者呈现非线性关系。
协方差和相关系数可以用来衡量两个变量之间的关系，但是在实际应用中，相关系数更常用。
这是因为协方差的值受到变量本身单位的影响，而相关系数的值不受单位影响，更便于进行比较和解释。
另外，相关系数还可以用来判断两个变量之间的线性关系的强度和方向，以及预测一个变量的值是否可以根据另一个变量的值来推断。
在金融领域中，协方差和相关系数经常被用来衡量不同资产之间的关联程度。
投资组合的风险和收益往往与资产之间的相关性密切相关。
如果两个资产的相关系数为1，表示它们完全正相关，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的分散和收益的最大化；如果两个资产的相关系数为-1，表示它们完全负相关，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的对冲和收益的最大化。
如果两个资产的相关系数接近于0，则它们之间的关联性较弱，投资者可以通过在这两个资产之间进行适当的分配来实现风险的分散和收益的稳定。
协方差和相关系数公式_相关系数与协方差的关系
协方差和相关系数公式_相关系数与协方差的关系协方差是统计学中用来度量两个变量之间关系变化的指标。
它用来衡量两个变量在同一时间内的偏离程度，也可以说是两个变量之间的波动程度的一种度量。
设X和Y是两个随机变量，它们的协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中，E表示期望运算。
协方差的值可以是正值、负值或者零。
正值表示两个变量同向变化，负值表示两个变量反向变化，零值表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的一种统计指标。
它是协方差的标准化形式，在[-1,1]之间取值。
相关系数用ρ表示，定义为：ρ = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，Cov(X, Y)表示X与Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的数值表示两个变量之间线性关系的强弱和方向。
当ρ = 1时，表示两个变量完全正相关；当ρ = -1时，表示两个变量完全负相关；当ρ = 0时，表示两个变量没有线性相关关系。
通过上述公式可以看出，相关系数是协方差除以标准差的乘积，因此它克服了协方差对变量量纲的依赖。
通过将协方差标准化，我们可以更直观地比较两个变量之间的相关程度。
此外，相关系数还有一个重要的性质，即它可以解释变量之间线性关系的方向。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量减少。
相关系数与协方差的关系可以从公式中看出，相关系数是协方差除以标准差的乘积。
由此可知，相关系数与协方差之间存在着一个缩放关系。
具体来说，对于给定的两个变量X和Y，它们的相关系数的绝对值不会超过1，而协方差可以是任意实数。
此外，协方差还有一个重要的性质，即它可以用于判断两个变量之间的线性关系强弱。
协方差的绝对值越大，表示两个变量之间的线性关系越强；协方差接近于零，表示两个变量之间的线性关系较弱或者近似不存在。
概率论与数理统计期望
第一节 数学期望
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一、离散型随 机变量的数学 期望
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我们希望引进这样一个特征数字，它能反 映随机变量X所取数值的集中位置，就象 力学系统中的重心反映该系统质量的集中 位置一样，在概率论中，这样一个数字就 是随机变量的数学期望（也称平均值）. 先看一个例子。
中靶环数(xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频 数(ni) 1 2 1 2 3 3 2 1 2 2 1
0,
0 x,
其它.
E(Y)0sinx1dx2
f(x) 1e1 2x2, x
2
E(例X)10设xfX(x~)dNx (0,1), 求 E(xX)1,E(eX122x2)d.x 0
2解
E( X 2 )
x2 f (x)d x
x2
1
x2
e 2 dx
2
1
x2
xd(e 2 )
2
方法1 先利用分布函数法求得Y的概率密度为
fY (y)
2, 1y2
0 y 1,
0,
其它.
再由公式(2)得
1
E(Y) y
0
12y2dy2
例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分 布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.
统计学中的相关系数与协方差的计算方法
统计学中的相关系数与协方差的计算方法在统计学中，相关系数和协方差是常用的两个指标，用于衡量两个变量之间的关系和变化。
它们的计算方法可以帮助我们理解和分析数据之间的关联性和变化趋势。
本文将详细介绍相关系数和协方差的计算方法。
一、相关系数的计算方法相关系数是用来度量两个变量之间相关程度的指标，它的取值范围在-1到1之间。
相关系数越接近1，表示两个变量正相关性越强；越接近-1，表示两个变量负相关性越强；接近0则表示两个变量之间没有线性相关关系。
相关系数的计算方法有多种，最常用的是皮尔逊相关系数。
其计算公式如下：r = Cov(X, Y) / (σX * σY)其中，r表示相关系数，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σX和σY 表示X和Y的标准差。
协方差的计算方法如下：Cov(X, Y) = Σ((Xi - μX) * (Yi - μY)) / n其中，Xi和Yi分别表示第i个样本点的X和Y的取值，μX和μY 分别表示X和Y的均值，n表示样本个数。
标准差的计算方法如下：σX = √(Σ((Xi - μX)^2) / n)标准差同样可以通过上述公式求得。
通过计算相关系数，可以了解到两个变量之间的线性关系的强度和方向，进而进行数据分析和预测。
二、协方差的计算方法协方差用于衡量两个变量的总体变化趋势是否一致。
协方差的取值范围为负无穷到正无穷。
当协方差为正值时，表示两个变量变化趋势一致；当协方差为负值时，表示两个变量变化趋势相反；当协方差为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
协方差的计算方法与相关系数类似，计算公式如下：Cov(X, Y) = Σ((Xi - μX) * (Yi - μY)) / N其中，Σ表示求和，Xi和Yi分别表示第i个样本的X和Y的取值，μX和μY分别表示X和Y的均值，N表示总体样本个数。
通过计算协方差，可以判断两个变量是否具有相关性，进而进行数据分析和预测。
三、相关系数和协方差的应用相关系数和协方差是统计学中常用的指标，广泛应用于数据分析和金融市场等领域。
概率论与数理统计 第四章
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
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【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可 能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
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显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
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二、随机变量函数的数学期望 利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
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例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □
数学期望与方差的公式
数学期望与方差的公式数学中，期望和方差是两个重要的概念。
它们是统计学和概率论中的核心概念，用于描述和衡量概率分布的特性和不确定性。
在本文中，我们将详细介绍数学中期望和方差的定义和计算公式，并对其性质和应用进行详细讨论。
首先，让我们从期望开始。
期望是概率分布的平均值，表示对概率分布的中心位置的度量。
对于一个离散随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x是随机变量X可能取的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
对于一个连续随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)是X的概率密度函数。
期望有很多重要的性质。
首先，期望是线性的，即对于常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
这意味着我们可以将常数系数从一个随机变量中提取出来。
此外，期望还满足E(c)=c，其中c是一个常数。
这意味着一个常数的期望就是它本身。
接下来，让我们来讨论方差。
方差衡量了随机变量偏离其期望值的程度。
对于一个离散随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))同样，对于一个连续随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx方差也有一些重要的性质。
首先，方差可以用来度量概率分布的离散程度。
方差越大，随机变量的取值就越分散。
其次，方差是非负的，即Var(X) ≥ 0，且只有当X是常数时，方差才为0。
最后，方差具有一个重要的线性性质，即对于常数a和b，Var(aX + b) = a^2 * Var(X)。
这意味着我们可以通过常数系数的平方来调整随机变量的方差。
除了期望和方差，还有一些其他的重要的概念与它们相关。
例如，协方差是用来度量两个随机变量之间线性关系的程度。
Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))协方差的符号可以表明随机变量之间的关系是正相关还是负相关。
协方差和相关系数的关系
协方差和相关系数的关系
协方差和相关系数是描述两个随机变量之间关系密切程度的两
种统计量，在依据样本信息推断总体参数的统计分析中，协方差是衡量两变量线性关系的重要指标，而相关系数则是描述这种线性关系的强弱的一个量化指标，也称为相关分析。
由此可以看出，协方差和相关系数是彼此紧密联系的，但它们之间又存在一定的不同。
首先，协方差和相关系数的概念不同。
协方差是衡量两变量关系的一种统计量，它表明两个变量间的任意一项观测结果与它们的期望值的平均离差的乘积的期望值。
协方差负值表明两变量的趋势相反，正值表明它们的趋势相同，协方差的大小反映了它们的线性关系的强弱。
而相关系数是对协方差的归一化，它表示两变量之间的线性关系的强弱，它的取值范围为-1到1之间，它的绝对值越大，两变量之间的线性关系越强。
其次，协方差和相关系数的计算方法也不同。
协方差的计算方法是将给定的两个变量的每一组观测值分别减去它们的期望值，然后对所得到的差值进行乘积，最后求得的乘积的期望值就是协方差。
而相关系数的计算方法是将协方差除以两个变量样本标准差的乘积，结果即为两个变量之间的相关系数，也可以用Spearman秩相关系数来衡量两个变量之间的相关性。
综上所述，协方差和相关系数之间存在密切联系，它们都是衡量两个变量之间关系密切程度的量化指标，但它们的概念和计算方法存在一定的区别，这两个概念都有它们各自的应用领域，在统计分析中，
既可以利用协方差来衡量两个变量之间的线性关系，也可以使用相关系数来评估两个变量之间的线性关系的强弱。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.