幂函数课件

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幂函数PPT教学课件

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盖罐 (明代)
罐平口直颈,长圆 腹,底微向里凹。肩 部有六瓣柿蒂纹。盖 面中心有“周氏俊造” 阳文篆字款。
印花小碟(明代)
小碟同时出土两件, 形制大小及纹饰完全一致, 唯颜色各异,一件朱泥制 成,呈赭色,一件紫泥制 成,呈深褐色。胎极薄, 厚度为0.1cm。底内凸。 制造工艺简练,先用手工 捏塑成形,底部指纹清晰 可见,然后模印花卉。出 土于扬州城北公社卜西大 队马庄小队。
紫砂原料,是颗粒较粗的陶土,它和景德镇、龙泉窑的 瓷土同属于高岭----石英----云母类型。但含铁、硅量较高。 从颜色上分主要有三种:一种呈紫红色和浅紫色,称作“紫 砂泥”,肉眼可见含有云母微粒,烧成后呈紫黑色或紫棕色; 一种呈灰白色或灰绿色,称作“绿泥”,烧成后呈浅灰色或 灰黄色,;还有一种呈红色,称作“红泥”,烧成后为灰黑 色。利用这些陶土烧制出的器皿就是紫砂器。
试比较m、n、p的大小。
6 6
m
4
np
m4 pn
2
2
-4
-2
-2
-4
2
4
6
-4
-2
-2
-4
2
4
6
p2 p3
例三 已知幂函数—y —x—2 —2—( p—,Z)
在—(—0,——内) y随x的增大而减
小,且在定义域内图象关于y轴
对称,求p的值及相应的幂函数。
• 解:由题意可得 • ∴ -1<p<3
1 p2 p 3 0
石榴形小杯 (清代)
泥质紫褐色中闪 点点金星,俗称“桂 花砂”。器形为半爿 石榴,树枝形杯把, 底部雕塑枝叶,杯把 旁塑一蓓蕾。整个造 型稳重协调。在蓓蕾 与树枝中间藏有阳文 篆书“陈鸣远”三字 印。

幂函数课件(优质课)(共20张PPT)

幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数,求a的值。 -1或4 规律

x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结

幂函数的定义 幂函数的定义:一般地函数 y 其中x是自变量,α是常数。
上是增函数,0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同,若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是( c )
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
(0,+∞)
O
x
值域
奇偶性

单调性(-∞,0)减
(0,+∞)增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性

幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ,∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数

高一数学《幂函数》PPT课件

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根据n, m, p的取值不同,图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变,指数相加。公 式:a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变,指数相减。公 式:a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7;3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中,指数a可以取任意实数,但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如,当a≤0时,函数定义域为 非零实数集;当a>0且a为整数时,函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$,$r$为圆半 径,利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长,则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达,用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2,结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$,其中$a$为正 方形边长,利用幂函数表 示面积与边长关系。

幂函数PPT教学课件

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图象都过点__(1_,_1_)_.
(2)a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在 区间[0,+∞)上是__增__函__数___.
(3)a<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上 是_减__函__数_.在第一象限内,当x从右边趋向于 原点时,图象在y轴右方无限地逼近_y_轴____, 当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近__x_轴___. (4)当a为奇数时,幂函数为_奇__函__数___,当a为
(0,0),(1,1)
在第一
象限单 调递_增_
在第一 象限单 调递_减_
(1,1)
基础达标
1. (教材改编题)在函数y=
1 x2
,y=2x2,y=x2+x,
y=1中,幂函数的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
B 解析:
依据幂函数的定义,y=2x2的系数不是1,
y=x2+x是两个函数的和的形式,y=1也不
D 解析: 当y=x-1时,不过(0,0)点,①错; 当n=0时,y=x0是去掉(0,1)的一条直线, ③错;y=x2在(-∞,0)上是减函数,④错, ②③正确,故选D.
4. 已知点
3 ,3 3
3
在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是_____奇___函数 (填“奇”或“偶”).
解析: 设f(x)=xa,则
到身体的一定部位 A 直接进入腺体内的毛细血管,随血液循 环 B 由导管排出 C 进入淋巴,随淋巴循环 D 在神经纤维中传导
我一定行
2、下列选项中,不属于甲状腺激素作用
的是( D )
A 促进动物的生长发育 B 促进新陈代谢 C 提高神经系统的兴奋性 D 降低血糖的浓度

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明:函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数.
学习新知
先看几个实例: (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克,那么他需要支付
的钱数P=t元,这里P是t的函数;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;

m=0.

m=2
时,f(x)=
x
1 2
,图象过点(4,2);

m=0
时,f(x)=
x
3 2
,图象不过点(4,2),舍去.
综上,f(x)=
x
1 2
.
能力提升 题型三:利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)=m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2).

《幂函数》新教材PPT完美课件

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第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版(2 019) 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版(2 019) 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版(2 019) 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T) 第三章 3.3幂函数--【新教材】人教A版(2 019) 高中数 学必修 第一册 课件(共 60张PP T)
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பைடு நூலகம்
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《函数》第07讲 幂函数课件

《函数》第07讲 幂函数课件
(3).x 7, 3 , 求f x 的值域.
2.求下列函数在x (1, 2]的值域: x 1 y 2 x 1 x 2 3x 2 2 y x 5 3 f x x x 1
思考题
已知函数 f x 2 ,求f(x)的最小值,并求 x 4 此时的x值.
y loga x与y a 互为反函数.
x
log2 (3 1) 1, x
x
.
y loga ( x )的单调性?
y loga t , t x

知识应用
5 1.已知函数 f x x x
(1).x 1, 2 , 求f x 的值域.
(2).x 2, 4 , 求f x 的最小值.
问题2.你能画出函数的大致图像吗?
Y
2
1
0
X
1
2
a 函数 f x x (a>0)的大致图像 x
y
2 a a
0
a 2 a
x
b 思考:f x ax (a 0, b 0)的图像? x
作业问题选讲
选择题:正确率低下? ABCD四个字母很值钱, 5分. 3. 5. 11.
幂函数
知识梳理
一.幂函数的定义
名称 幂函数
指数函数
表达式
常数
为非零有理数
过定点
理由
y x

x
(1,1) 1 1 (0,1) a 0 1
ya
a 0, a 1
函数操
yx
yx
2
yx
3
yx
1 2
yx
1
4.常用幂函数的性质

高中数学课件-幂函数

高中数学课件-幂函数

奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
非奇非 偶函数
奇函数
x∈[0,+∞)
单调性 增
时,增 x∈(-∞,0]


时,减
x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时,减
主页
[难点正本 疑点清源] 1.在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴, 在(1,+∞)上幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.

n

b 2a
n
f (m) 0 b2 4ac 0 f (n) 0
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

[m,
n]
上恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
f(x)max<0(x∈[m, n])
幂函数的图像与性质
知识点梳理
1.幂函数的概念 一般地,我们把形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
变式训练 4
已知幂函数 f(x)= x(m2 m)1 (m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单 调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条 件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.
解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N*, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数.
∴m>-1+ 5.
[8 分]
由②得 Δ2=(-m)2-4<0,即-2<m<2.
[12 分]
综上可得 5-1<m<2.
[14 分]

幂函数-课件ppt

幂函数-课件ppt
5.已知点 33,3 3在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的定义域
为___(_-__∞_,__0_)_∪__(_0_,__+__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________, 单调减区间为__(_-__∞_,__0_)_和__(_0_,__+__∞_)_____.
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且它有最 小值-1. (1)求 f(x)解析式; (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称,求 g(x)解析式. [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y=xα(α∈R),其中只有参数 α,因此只 需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数 y=xα(α∈R)是偶函数,则 α 必为偶数.当 α 是 分数时,一般将其先化为根式,再判断.
(3)若幂函数 y=xα 在(0,+∞)上单调递增,则 α>0,若在(0, +∞)上单调递减,则 α<0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),
求 f(x)的最小值. [解] (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当 a>0 时,f(x)=ax2-2x 图象的开口方向向上,且对称 轴为 x=1a.
在(-∞,-2ba)上是 ___增_____函数;在(-
2ba,+∞)上是增函数 2ba,+∞)上是减函数
最值
a>0
当 x=-2ba时,
ymin=
4ac-b2 4a
a<0
当 x=-2ba时, ymax=4ac4-a b2
1.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取

幂函数(课件)

幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中,幂函数可以描 述物体的运动规律,例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中,幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中,幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中,幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘,指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数,其形式为 (a^x)(其中 (a) 是底数,(x) 是指 数)。当两个幂函数相乘时,如果它们的底数相同,则它们的指数相加。即, (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数,其一般形式 为$y=x^n$,其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种,其一般形式为$y=x^n$ ,其中$x$是自变量,$y$是因变量,$n$是一 个实数。当$n>0$时,幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增;当$n<0$时,幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减;当$n=0$时,幂函 数值为1。

高一数学幂函数PPT 课件

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所以有3m-+21m≥≥00 3-2m>m+1
,解得-1≤m<23,
即 m 的取值范围为-1,23.
利用函数的单调性时一定要注意函数的定义域.本题若没有注 意到幂函数y=x1/2的定义域为[0,+∞),求解时就会得出m<2/3这一 错误结果.
3.若(3-2m)-13>(m+1)-13,求实数 m 的取 值范围.
(1)求定义域; (2)判断奇偶性; (3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,并 由图象确定单调区间. 【思路点拨】 由题目可以获取以下信息: 函数解析式―→函数有意义
(1)在研究幂函数的定义域时,通常将分数指数幂化为根式形式,负 整数指数幂化为分式形式,然后由根式、分式有意义求定义域;
【正解】 作出函数y=x2和y=x1/3的图象(如图所示),易得x<0 或x>1.
;集成吊顶品牌 /brand/ 集成吊顶品牌 ;
这个创世帝究竟是不是存在,没有人知道呀。"她说:"所谓创世帝是什么存在呢,就是开创现在の修行万域の人物,可以说比之你の那位地球上の老友北天,也不相上下呀。""传闻当年这星宇之下,有修行万域,而这万域の开创者就是那位创世帝。不过咱猜想如果真の存在这样の人物の话, 那他の名字肯定也不是叫创世帝,是后人给他封の名字。"伊莲娜尔道:"要是这东西真是他の成名神宝の话,特别壹些也很正常,你猜里面有壹片壹片の星空也有可能。""你那位地球上の老友,不也弄出了九龙珠吗?那九颗九龙珠の内部の空间,咱觉得完全不亚于修行万域,甚至有可能比万 域还要更大。"她说。根汉叹道:"是啊,不到他们那个层次,永远无法理解呀,实在是太夸张了。""所以说,你现在の路还远着呢,还只是区区の天神初阶

幂函数PPT课件

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栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
2.幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
(2)五类幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2
y=x3
定义域 _R__ ___R___ __R____
值 域 R___ [0,___+__∞_ ) __R____
1
y=x2 [0_,__+__∞_ )
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
【解】 因为图象与 x,y 轴都无交点, 所以 m-2≤0,即 m≤2. 又 m∈N,所以 m=0,1,2. 因为幂函数图象关于 y 轴对称,所以 m=0,或 m=2. 当 m=0 时,函数为 y=x-2,图象如图 1; 当 m=2 时,函数为 y=x0=1(x≠0),图象如图 2.
∞,0],_减____
(-∞,0),
_减_____
公共点
都经过点_(1_,__1_)_
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x0(x≠0)是幂函数.( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)×
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
(1)幂函数 y=xα的图象恒过定点(1,1),且不过第四象限. (2)解决幂函数图象问题,需把握两个原则:①幂指数 α 的正 负决定函数图象在第一象限的升降;②依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系,在第一象限内,直线 x=1 的右侧, 图象由上到下,相应的指数由大变小.
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
2.下列函数中不是幂函数的是( )

3.3 幂函数 课件(37张)

3.3 幂函数    课件(37张)

[教材提炼]
预习教材,思考问题
函数 f(x)=x、f(x)=x2、f(x)=1x,以前叫什么函数,它们有什么共同特征?
知识梳理 (1)一般地,函数__y_=__x_α__叫做幂函数(power function),其中 x 是自变量, α 是常数. (2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数; ②底数是自变量,自变量的系数为 1; ③幂 xα 的系数为 1; ④只有 1 项.
若函数 f(x)=(2m+3)xm2-3 是幂函数,则 m 的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:幂函数是形如 f(x)=xα 的函数,所以 2m+3=1,∴m=-1.
答案:A
探究二 幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象
[例 2] 幂函数 y=x2,y=x-1,y= 内的图象依次是图中的曲线( ) A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3
由题意得(a+
.
∵y= 在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减, ∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a, 解得23<a<32或 a<-1.
利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小,常与 幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下: (1)确定可以利用的幂函数; (2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系; (3)解不等式求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
[解析] y= =3 x2≥0,故只有 D 中的图象适合. [答案] D
3.如果一个函数 f(x)在其定义域内对任意 x,y 都满足 fx+2 y≤12[f(x)+f(y)],则称这 个函数为下凸函数.下列函数:
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答案:D
三基能力强化
3.若函数y=(k2-k-5)x2是幂函 数,则实数k的值是( ) A.3 B.-2 C.3或-2 D.k≠3且k≠-2 答案:C
三基能力强化
3 4.已知点( ,3 3)在幂函数 3 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式是 ________.
答案:f(x)=x-3
三基能力强化
课堂互动讲练
(2)作直线x=t,t∈(1,+∞)与 幂函数的各个图象相交,则交点自 上而下的排列顺序恰好是按幂指数 的降幂排列的.
课堂互动讲练
互动探究
若例 2 中的点 A( 2,2)改为 A(2,8) , 探 求 h(x) = min{f(x) , g(x)}(表示 f(x)与 g(x)中较小的一个) 的单调性及奇偶性. 解:设f(x)=xα, ∵过A(2,8),∴α=3,∴f(x)=x3, 由例2知g(x)=x-2,
课堂互动讲练
在同一平面直角坐标系中画出y= f(x)与y=g(x)的图象,如图,
课堂互动讲练
从图中及h(x)的定义可知:
x-2,x≥1 h(x)= 3 , x ,x<1
且在(-∞,1)上h(x)为增函数, 在[1,+∞)上h(x)为减函数, 函数h(x)的定义域为R.
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又∵h(-2)=(-2)3=-8, 1 -2 h(2)=2 = , 4 ∴h(-2)≠h(2)且h(-2)≠-h(2), ∴h(x)为非奇非偶函数.
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例1 当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2 -m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的 值为( ) A.m=2 B.m=-1 1± 5 C. m=-1 或 m=2 D. m≠ 2
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【思路点拨】 幂函数的x系数为 1,即m2-m-1=1. 【解析】 法一:依题意y=(m2- m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1= 1,解得m=2或m=-1. 又∵函数在(0,+∞)上是减函数, 3 ∴-5m-3<0,即m>- , 5 故m=-1舍去,∴m=2.
高考检阅 (本题满分12分)例3题干不变, 求解下列问题. (1)求函数f(x); b (2)讨论 F(x)=a f(x)- 的奇偶性. xf(x)
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解:(1)∵f(x)的图象关于y轴对称, ∴f(x)是偶函数, ∴m2-2m-3应为偶数. 2分 又∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴m2-2m-3<0,-1<m<3. 4分 又m∈N*,∴m=1,2. 当m=2时,m2-2m-3=-3,不是 偶数,舍去; 当m=1时,m2-2m-3=-4. ∴m=1,即f(x)=x-4. 7分
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由图象可知:f(x),g(x)的图象均过点 (-1,1)与(1,1). ∴①当x>1或x<-1时, f(x)>g(x); ②当x=1或x=-1时,f(x)=g(x); ③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
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【规律小结】 (1)求幂函数解析 式的步骤为以下几点: ①设出幂函数的一般形式y=xα(α 为常数); ②根据已知条件求出α的值(待定 系数法); ③定出幂函数的解析式.
【解】 (1)设 f(x)=xα, ∵其图象过( 2,2)点, 故 2=( 2)α, 解得 α=2,∴f(x)=x2. 设 g(x)=xβ,
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1 1 ∵其图象过点(2, ),∴ =2β, 4 4 解得β=-2. ∴g(x)=x-2. (2)在同一坐标系下作出f(x)=x2 与g(x)=x-2的图象,如图所示.
围.
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【思路点拨】 由f(x)=xm2- 2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称知 m2-2m-3为偶数,又在(0,+∞) 上是减函数,
∴m2-2m-3<0, 从而确定 m m 值,再由函数 f(x)=x- 的单调性 3 求 a 的值.
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【解】 ∵函数f(x)在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 3分 又函数f(x)的图象关于y轴对称, ∴m2-2m-3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数, 12-2×1-3=-4为偶数, ∴m=1. 5分
第7课时
幂函数
基础知识梳理
1.幂函数的定义 y=xα (α∈R)的函数称为幂 形如 函数,其中x是自变量 ,α为 常数 .
基础知识梳理
幂函数与指数函数有何不同? 【思考·提示】 本质区别在 于自变量的位置不同,幂函数的自 变量在底数位置,而指数函数的自 变量在指数位置.
基础知识梳理
2.幂函数的性质
x-1,x>0 2 5.若函数 f(x)=-2,x=0 1 (x+3)2,x<0

则 f(f(f(0)))=________.
答案:1
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考点一 幂函数定义的理解
幂函数是指形如y=xα(α∈R)的 函数,它的形式非常严格,只有完 全具备这种形式的函数才是幂函 数.若函数以根式的形式给出,则 要注意先对根式进行化简整理,再 对照幂函数的定义进行判断.
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例2 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2,
1 2),幂函数 g(x)的图象过点(2, ). 4 (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)当x为何值时:①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).
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【思路点拨】 先用待定系数法 求幂函数的解析式,然后利用g(x), f(x)的图象,求x的取值范围.
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法二:特值验证法,验证m= -1,2时,是否满足题意即可. 当m=2时,函数化为y=x-13符 合题意, 而m=-1时y=x2不符合题意, 故排除B、C、D. 【答案】 A 【误区警示】 易忽视对函数 的性质进行验证.
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考点二 幂函数的图象
幂函数y=xα的图象由于α的值 不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点 和(1,1),在第一象限的图象上升;α <0,图象不过原点,在第一象限的 图象下降,反之也成立;
规律方法总结
1.幂函数y=xα(α=0,1)的图象
规律方法总结
q * q 2.幂函数 y=x (α=p,p,q∈N ,p为最
α
简分式)的图象
规律方法总结
(1,1)
(0,0),(1,1)
三基能力强化
1.(教材习题改编)下列函数:①y= 1 3 2 4 2 ; ②y=3x-2; ③y=x +x ; ④y= x , x3 其中幂函数的个数为( )
A.1 C.3 答案:B
B.2 D.4
三基能力强化
2.在下列函数中,定义域和值 域不同的函数是( )
1 A.y=x 3 5 C.y=x 3 1 B.y=x- 2 2 D.y=x 3
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(2)函数F(x)的定义域为{x|x≠0}. a ∵F(x)= 2-bx3, x
a ∴F(-x)= 2+bx3. 9 分 x ①当a≠0,且b≠0时,为非奇非偶 函数; ②当a=0,b≠0时,为奇函数; ③当a≠0,b=0时,为偶函数; ④当a=0且b=0时,既为奇函 数,又为偶函数. 12分
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1 而 g(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上 3 均为减函数, 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 3 3 a+1>3-2a>0,或 0> a+1>3-2a,或 1> a+1<0<3-2a. 9 分
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2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 故 a 的范围为{a|a<-1 或 2 3 <a< }. 3 2 12 分
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【名师点评】 本题集幂函数的概 念、图象及单调性、奇偶性于一体,综 合性较强,解此题的关键是弄清幂函数 的概念及性质.解答此类问题可分为两 大步:第一步,利用单调性和奇偶性 (图象对称性)求出m的值或范围;第二 步,利用分类讨论的思想,结合函数的 图象求出参
考点三
幂函数的性质及其应用
幂函数y=xα有下列性质:(1)单调 性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调 递增;当α<0时,函数在(0,+∞)上单 调递减.(2)奇偶性:幂函数中既有奇函 数,又有偶函数,也有非奇非偶函数, 可以用函数奇偶性的定义进行判断.
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例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知幂函数f(x)=xm2-2m- 3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且 在(0,+∞)上是减函数,求满足 m m (a+1)- <(3-2a)- 的 a 的范 3 3
y=x y=x2 y=x3 R R y=x-1 {x|x∈R且 [0,+∞) x≠0} y=x1/2 [0,+∞) {y|y∈R且 y≠0}
定义域
值域
R R
R
[0,+∞)
奇偶性
单调性 定点


奇 增
非奇非偶 增

x∈[0,+∞) 增 时,增 x∈(-∞,0] 时,减
x∈(0,+∞) 时,减 x∈(-∞,0) 时,减
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