幂函数课件

课堂互动讲练
由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点 (－1,1)与(1,1)． ∴①当x＞1或x＜－1时， f(x)＞g(x)； ②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
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【规律小结】 (1)求幂函数解析 式的步骤为以下几点： ①设出幂函数的一般形式y＝xα(α 为常数)； ②根据已知条件求出α的值(待定 系数法)； ③定出幂函数的解析式．
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考点三
幂函数的性质及其应用
幂函数y＝xα有下列性质：(1)单调 性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调 递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单 调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函 数，又有偶函数，也有非奇非偶函数， 可以用函数奇偶性的定义进行判断．
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例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知幂函数f(x)Fra Baidu bibliotekxm2－2m－ 3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且 在(0，＋∞)上是减函数，求满足 m m (a＋1)－ ＜(3－2a)－ 的 a 的范 3 3
答案：D
三基能力强化
3．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函 数，则实数k的值是( ) A．3 B．－2 C．3或－2 D．k≠3且k≠－2 答案：C
三基能力强化
3 4．已知点( ，3 3)在幂函数 3 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式是 ________．
答案：f(x)＝x－3
三基能力强化
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1 而 g(x)＝x－ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上 3 均为减函数， 1 1 ∴(a＋1)－ ＜(3－2a)－ 等价于 3 3 a＋1＞3－2a＞0，或 0＞ a＋1＞3－2a，或 1＞ a＋1＜0＜3－2a. 9 分
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2 3 解得 a＜－1 或 ＜a＜ . 3 2 故 a 的范围为{a|a＜－1 或 2 3 ＜a＜ }. 3 2 12 分
x－1，x＞0 2 5．若函数 f(x)＝－2，x＝0 1 (x＋3)2，x＜0
，
则 f(f(f(0)))＝________.
答案：1
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考点一 幂函数定义的理解
幂函数是指形如y＝xα(α∈R)的 函数，它的形式非常严格，只有完 全具备这种形式的函数才是幂函 数．若函数以根式的形式给出，则 要注意先对根式进行化简整理，再 对照幂函数的定义进行判断．
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【名师点评】 本题集幂函数的概 念、图象及单调性、奇偶性于一体，综 合性较强，解此题的关键是弄清幂函数 的概念及性质．解答此类问题可分为两 大步：第一步，利用单调性和奇偶性 (图象对称性)求出m的值或范围；第二 步，利用分类讨论的思想，结合函数的 图象求出参数a的取值范围．
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例1 当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2 －m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的 值为( ) A．m＝2 B．m＝－1 1± 5 C． m＝－1 或 m＝2 D． m≠ 2
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【思路点拨】 幂函数的x系数为 1，即m2－m－1＝1. 【解析】 法一：依题意y＝(m2－ m－1)x－5m－3是幂函数，故m2－m－1＝ 1，解得m＝2或m＝－1. 又∵函数在(0，＋∞)上是减函数， 3 ∴－5m－3<0，即m>－ ， 5 故m＝－1舍去，∴m＝2.
(1,1)
(0,0)，(1,1)
三基能力强化
1．(教材习题改编)下列函数：①y＝ 1 3 2 4 2 ； ②y＝3x－2； ③y＝x ＋x ； ④y＝ x ， x3 其中幂函数的个数为( )
A．1 C．3 答案：B
B．2 D．4
三基能力强化
2．在下列函数中，定义域和值 域不同的函数是( )
1 A．y＝x 3 5 C．y＝x 3 1 B．y＝x－ 2 2 D．y＝x 3
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(2)作直线x＝t，t∈(1，＋∞)与 幂函数的各个图象相交，则交点自 上而下的排列顺序恰好是按幂指数 的降幂排列的．
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互动探究
若例 2 中的点 A( 2，2)改为 A(2,8) ， 探 求 h(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(表示 f(x)与 g(x)中较小的一个) 的单调性及奇偶性． 解：设f(x)＝xα， ∵过A(2,8)，∴α＝3，∴f(x)＝x3， 由例2知g(x)＝x－2，
y＝x y＝x2 y＝x3 R R y＝x－1 {x|x∈R且 [0，＋∞) x≠0} y＝x1/2 [0，＋∞) {y|y∈R且 y≠0}
定义域
值域
R R
R
[0，＋∞)
奇偶性
单调性 定点
奇
偶
奇 增
非奇非偶 增
奇
x∈[0，＋∞) 增 时，增 x∈(－∞，0] 时，减
x∈(0，＋∞) 时，减 x∈(－∞，0) 时，减
【解】 (1)设 f(x)＝xα， ∵其图象过( 2，2)点， 故 2＝( 2)α， 解得 α＝2，∴f(x)＝x2. 设 g(x)＝xβ，
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1 1 ∵其图象过点(2， )，∴ ＝2β， 4 4 解得β＝－2. ∴g(x)＝x－2. (2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2 与g(x)＝x－2的图象，如图所示．
高考检阅 (本题满分12分)例3题干不变， 求解下列问题． (1)求函数f(x)； b (2)讨论 F(x)＝a f(x)－ 的奇偶性． xf(x)
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解：(1)∵f(x)的图象关于y轴对称， ∴f(x)是偶函数， ∴m2－2m－3应为偶数. 2分 又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－2m－3＜0，－1＜m＜3. 4分 又m∈N*，∴m＝1,2. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，不是 偶数，舍去； 当m＝1时，m2－2m－3＝－4. ∴m＝1，即f(x)＝x－4. 7分
围．
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【思路点拨】 由f(x)＝xm2－ 2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称知 m2－2m－3为偶数，又在(0，＋∞) 上是减函数，
∴m2－2m－3＜0， 从而确定 m m 值，再由函数 f(x)＝x－ 的单调性 3 求 a 的值．
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【解】 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 3分 又函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1. 5分
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在同一平面直角坐标系中画出y＝ f(x)与y＝g(x)的图象，如图，
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从图中及h(x)的定义可知：
x－2，x≥1 h(x)＝ 3 ， x ，x＜1
且在(－∞，1)上h(x)为增函数， 在[1，＋∞)上h(x)为减函数， 函数h(x)的定义域为R.
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又∵h(－2)＝(－2)3＝－8， 1 －2 h(2)＝2 ＝ ， 4 ∴h(－2)≠h(2)且h(－2)≠－h(2)， ∴h(x)为非奇非偶函数．
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(2)函数F(x)的定义域为{x|x≠0}． a ∵F(x)＝ 2－bx3， x
a ∴F(－x)＝ 2＋bx3. 9 分 x ①当a≠0，且b≠0时，为非奇非偶 函数； ②当a＝0，b≠0时，为奇函数； ③当a≠0，b＝0时，为偶函数； ④当a＝0且b＝0时，既为奇函 数，又为偶函数. 12分
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例2 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2，
1 2)，幂函数 g(x)的图象过点(2， )． 4 (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)； ②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．
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【思路点拨】 先用待定系数法 求幂函数的解析式，然后利用g(x)， f(x)的图象，求x的取值范围．
规律方法总结
1．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象
规律方法总结
q * q 2.幂函数 y＝x (α＝p，p，q∈N ，p为最
α
简分式)的图象
规律方法总结
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法二：特值验证法，验证m＝ －1,2时，是否满足题意即可． 当m＝2时，函数化为y＝x－13符 合题意， 而m＝－1时y＝x2不符合题意， 故排除B、C、D. 【答案】 A 【误区警示】 易忽视对函数 的性质进行验证．
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考点二 幂函数的图象
幂函数y＝xα的图象由于α的值 不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点 和(1,1)，在第一象限的图象上升；α ＜0，图象不过原点，在第一象限的 图象下降，反之也成立；
第7课时
幂函数
基础知识梳理
1.幂函数的定义 y=xα (α∈R)的函数称为幂 形如 函数，其中x是自变量 ，α为 常数 ．
基础知识梳理
幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】 本质区别在 于自变量的位置不同，幂函数的自 变量在底数位置，而指数函数的自 变量在指数位置．
基础知识梳理
2．幂函数的性质