如何求三角函数的最小正周期
最小正周期计算公式
y=Asin(ωx+ψ)或y=Acos(ωx+ψd)的最小正周期用公式计算：T=2πshu/ω。
y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：T=π/ω。
1如何求函数的最小正周期
对于y=Asin(ωx+ψ)+B，(A≠0，ω＞0)其最小正周期为：T=2π/ω。
函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-
x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=A sin(wx+b)+t，他的最小正周期就是T=2帕/w。
2最小正周期的公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例：求函数y=cotx－tanx的最小正周期.
解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x ∴T=π/2
函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
求最小正周期的公式
求最小正周期的公式最小正周期指的是一个周期重复的最小单位长度或时间间隔，可以通过公式进行计算。
在数学中，最小正周期的公式依赖于具体的问题。
以下是一些最常见的最小正周期公式：1. 对于周期函数，最小正周期可以通过观察函数的图像或利用函数的性质来确定。
例如，对于正弦函数sin(x)，其最小正周期是2π，可以用以下公式表示：T=2π2.对于线性函数，最小正周期是无穷大。
线性函数是一条直线，没有重复的模式或周期性。
因此，最小正周期的公式可以表示为：T=∞3. 对于周期性信号，如正弦信号、方波信号等，最小正周期可以通过观察信号的图像或利用信号的性质来确定。
以正弦信号sin(2πf t)为例，其中f是信号的频率，t是时间。
最小正周期可以用以下公式表示：T=1/f4.对于几何图形的周期性，可以通过观察图形的性质来确定。
例如，如果一个图形是等边多边形或正多边形，则其最小正周期可以通过测量边长来确定。
设多边形的边长为s，则最小正周期可以用以下公式表示：T=s5.对于机械系统的振动周期，可以通过观察系统的振动模式来确定。
例如，对于单摆，其周期可以通过测量摆动一次的时间来确定。
设摆动一次的时间为t，则最小正周期可以用以下公式表示：T=t需要注意的是，最小正周期公式通常只适用于具有明显重复性或周期性的情况。
对于复杂系统或非周期性系统，最小正周期可能无法用简单的公式表示，需要进一步分析或数值计算。
最小正周期的计算对于许多学科和领域都是重要的，包括物理学、数学、工程学等。
通过确定最小正周期，我们可以更好地理解和描述周期性现象，并进行相关的分析和预测。
三角函数最大值最小值
三角函数最大值最小值引言三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
其中一个重要的问题就是如何确定三角函数的最大值和最小值。
本文将详细介绍三角函数的最大最小值及其求解方法。
正弦函数(sin)的最大最小值正弦函数是一个周期函数，它表达了一个圆的边缘点在坐标系中的y坐标值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
可以通过以下推导来证明：首先，正弦函数在任意时刻的值都在-1和1之间，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。
这是因为正弦函数是周期为2π的函数，而在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
其次，为了找到正弦函数的最大值和最小值，我们需要找到函数在一个周期内的关键点。
正弦函数的关键点就是最大值和最小值所对应的点。
在一个周期内，正弦函数的最大值出现在x = π/2 + 2πn 的点，最小值出现在x = -π/2 + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
余弦函数(cos)的最大最小值余弦函数是正弦函数的补函数，它也是一个周期函数，定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
余弦函数的最大值和最小值与正弦函数相同。
可以通过以下推导来证明：余弦函数在任意时刻的值也都在-1和1之间，即 -1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这是因为余弦函数也是一个周期为2π的函数，在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
与正弦函数类似，余弦函数的最大值出现在x = 2πn 的点，最小值出现在x = π + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正切函数(tan)的最大最小值正切函数是一个非周期函数，定义域不包括π/2 + kπ (其中k为整数)，值域是全体实数。
正切函数并没有最大值和最小值。
可以通过以下推导来证明：首先，正切函数的定义域是除去一些特殊点的全体实数。
高三复习-函数的最小正周期怎么求
函数的最小正周期怎么求所谓的函数的最小正周期，一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。
还有是三角函数y=A sin(wx+b)+t，最小正周期就是T=2帕/w。
最小正周期求法公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例3、求函数y=cotx－tanx的最小正周期.解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2·x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x∴T=π/2函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。
求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
例4、求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。
求最大值和最小值的公式三角函数
求最大值和最小值的公式三角函数在数学中，我们经常需要找出函数的最大值和最小值，特别是在三角函数中。
通过对三角函数的分析和观察，我们可以找到一些公式和方法来求解函数的最大值和最小值。
正弦函数（Sine Function）正弦函数是一种常见的三角函数，通常用符号sin表示。
正弦函数的最大值和最小值是固定的，分别为1和-1。
具体而言，正弦函数的最大值出现在角度为90度或π/2弧度时，即sin(90°) = sin(π/2) = 1；最小值出现在角度为270度或3π/2弧度时，即sin(270°) = sin(3π/2) = -1。
余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用符号cos表示。
余弦函数的最大值和最小值也是固定的，同样为1和-1。
最大值出现在角度为0度或0弧度时，即cos(0°) = cos(0) = 1；最小值出现在角度为180度或π弧度时，即cos(180°) =cos(π) = -1。
正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种重要函数，用符号tan表示。
正切函数在某些角度下可能没有最大值或最小值，但在一些特定情况下有最大值或最小值。
在正切函数的图像中，我们可以观察到周期性的最大值和最小值。
具体计算最大值和最小值的方法需要通过导数等方法来求解。
总结通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以得出它们的最大值和最小值的规律。
这些规律不仅有助于我们求解函数的最值，也有助于更深入地理解三角函数的特性和性质。
在实际问题中，我们可以利用这些公式和规律来简化计算，提高求解效率。
通过以上分析，我们可以看到三角函数中求最大值和最小值的公式都具有一定的规律和特点，掌握这些规律将有助于我们更好地理解和利用三角函数。
希望这些内容对您有所帮助！希望本文对你有所启发，谢谢阅读！。
sin和cos的最小正周期公式
sin和cos的最小正周期公式
y=asin(ωx+ψ)或y=acos(ωx+ψd)的最小正周期用公式计算：t=2πshu/ω。
y=atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)的最小正周期用公式计算：t=π/ω。
sin和cos的最小正周期公式 1
对于y=asin(ωx+ψ)+b，(a≠0，ω＞0)其最小正周期为：t=2π/ω。
函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是t=(a-
x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=a sin(wx+b)+t，他的最小正周期就是t=2帕/w。
sin和cos的最小正周期公式 2
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为t=2π/|ω| ，正余切函数t=π/|ω|。
函数f(x)=asin(ωx+φ)和f(x)=acos(ωx+φ)(a≠0,ω>0）的最小正周期都是；函数f(x)=atan(ωx+φ)和
f(x)=acot(ωx+φ)(a≠0,ω>0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=af(ωx+φ)(a≠0,ω>0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例：求函数y=cotx－tanx的最小正周期.
解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－
tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x
∴t=π/2
该函数是两个三角函数的相加。
如果角频率的比值是有理数，则该函数具有最小正周期。
三角函数周期的求法
求三角函数的周期问题常以选择题或者填空题的形式出现，属于基础题目.很多三角函数具有周期性，三角函数的解析式不同，其周期也不相同.对于不同的三角函数解析式，我们也需要采用不同的方法来求其周期.这里介绍三种方法.一、定义法定义法是指利用函数周期的定义来解题的方法.若函数f (x )的定义域为数集D ，那么对于∀x ∈D ，有f (x +T )=f (x )，则该函数为周期函数，其中T （最小正常数）为函数f (x )的最小正周期.运用定义法求三角函数的周期，只需要找到使f (x +T )=f (x )成立的T 的值即可.例1.求三角函数y =sin 2x 的最小正周期.解：设sin 2(x +T )-sin 2x =0，则2sin2x +T 2cos T 2⋅cos 2x +T 2sin T 2=0，化简得sin(2x +T )=sin T ，所以sin(2x +T )=0或者sin T =0，当sin(2x +T )=0时T =k π-2x ，此时T 不为常数，不能作为周期，当sin T =0时，T 的最小非零正数解为T =π，所以函数y =sin 2x 的最小正周期为T =π.由题目可知该三角函数为周期函数，不妨根据三角函数周期的定义设出函数的周期T ，然后通过三角恒等变换求得T 的值.二、最小公倍数法最小公倍数法：当三角函数f (x )和g (x )的定义域都是D ，且三角函数f (x )和g (x )的周期分别为T 1、T 2，那么T 1、T 2的最小公倍数就是函数f (x )±g (x ),f (x )×g (x ),f (x )g (x )的周期.运用最小公倍数法求三角函数周期的关键是寻找两个三角函数周期的最小公倍数.例2.求三角函数f (x )=4cos x 4-5sin x5的最小正周期.解：因为cos x 4与sin x5都是周期函数，且最小正周期分别为T 1=8π,T 2=10π且T 1T 2=45为有理数.而8和10的最小公倍数为40，所以f (x )为周期函数，且最小正周期为40π.函数f (x )是两个三角函数y =4cos x 4、y =5sinx5的和，而它们的最小正周期分别为T 1=8π、T 2=10π，利用最小公倍数法，求出它们周期的最小公倍数，便可求出该三角函数的最小正周期.三、公式法当遇到较为复杂的三角函数式时，可通过三角恒等变形将原三角函数转化为y =A sin(ωx +ϕ)+h 、y =A cos(ωx +ϕ)+h 、y =A tan(ωx +ϕ)+h 的形式，再结合正弦、余弦、正切三角函数的周期公式：T =2π||ω或T =π||ω来求得三角函数的周期.例3.求三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.解：y =sin 6x +cos 6x =(sin 2x +cos 2x )(sin 4x -sin 2x cos 2x +cos 4x )=(sin 2x +cos 2x )2-3sin 2x cos 2x =1-34sin 22x =1-34∙1-cos 4x2=38cos 4x +58.所以三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期为T =2π||ω=π2.该三角函数的次数比较高，运用sin 2x +cos 2x =1、正余弦的二倍角公式便可将三角函数式化简为只含有余弦函数的式子.这样便可根据余弦函数的周期公式T =2π||ω求得三角函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期.求三角函数周期的方法还有很多，不仅仅局限于这三种方法.同学们在平时的学习中要注意熟悉题型，总结解题技巧，以后再遇到类似的问题就能快速解题.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）方法集锦45Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
求三角函数的周期6种方法总结 多个例子详细解答
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、定义法例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tan x T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tan ππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 例2. 求函数（m ≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m ≠0）的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．直接利用周期函数的定义求出周期。
三角函数周期的几种求法
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin（）的周期解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin[]= f（x+3）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin（）的周期是T=3。
例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解∵f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+）= cos6x +sin6x= f（x）∴f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=例3：求f（x）=的周期解：∵f（x+）==== f（x）∴求f（x）=的周期：T=2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。
例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：∵y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1 ∴周期T=2例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1解：∵y=2（sinx-cos3x）-1 =2sin（3x-）-1这里=3 ∴周期为T=例6：求y=tg（1+）的周期解：这里=，∴周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。
三角函数求最小正周期的公式
三角函数求最小正周期的公式
三角函数的图像
三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，初中阶段常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的图像是在坐标轴上无限延伸而有规律循环的图像，并且都是对称的。
正弦函数（y=sinx）的图像对称轴为：x=kπ+π/2（k∈Z），对称中心为：（kπ，0）（k∈Z）
余弦函数（y=cosx）的图像对称轴为：x=kπ（k∈Z），对称中心为：（kπ+π/2，0）（k∈Z）
正切函数（y=tanx）的图像无对称轴，对称中心为：kπ/2+π/2,0）（k∈Z）
怎么求三角函数周期
1、图像法
我们知道三角函数的图像是有循环周期的，如果已知该函数的图像，那么完成一次振动所需要的时间，就是三角函数的周期。
如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。
2、公式法
三角函数的周期通式表达式为：正弦：y=Asin（ωx+t）；余弦：y=Acos（ωx+t）；正切：y=Atan（ωx+t）。
在ω＞0的条件下：A表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T。
因此只要知道ω的值，就可以解决三角函数求周期的问题。
在解题时首先要对题目给出的函数式进行化简和以及整合，才能准确求出ω的数值。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
最小正周期的公式
最小正周期的公式---------------------------------------------------------------------- 最小正周期的公式为：y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)。
最小正周期的公式解析：对于y=Asin(x+ψ)+B，(A≠0，0>0) 其最小正周期为: T函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=A sin(wx+b)+t，他的最小正周期就是T=2帕/w。
公式法求最小正周期：f (x)=Atan(∞x+φ)和f (x)=Acot(wx+φ)(A≠0, w>0)的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(∞x+φ)(A≠0, w>0) 一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)。
例:求函数y=cotx- tanx的最小正周期.解: y=1/tanx-tanx=(1-tan' 2●x)/tanx=2x(1- tan 2●x)/ (2ta.T=π /2函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
最小正周期的定义：如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期，例如，正弦函数的最小正周期是2π。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
y=Asin(ωx+φ), T=2π÷ω（其中ω必须>0）最小正周期的算法实例：定义法概念：根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例：求函数y=∣sinx∣+∣cosx∣的最小正周期。
解:∵y=∣s=∣-sinx∣+∣cosx∣=∣cos（x+π/2）∣+∣sin（x+π/2）∣=∣sin（x+π/2）∣+∣cos（x+π/2）∣=f（x+π/2）对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2。
谈三角函数的最小正周期
谈三角函数的最小正周期摘要：三角函数的周期性是三角函数的一个重要性质，它在高考中经常考查，但学生掌握不够理想，他们通常要通过繁琐的化简才能得出结论，其实，如果掌握一些结论，三角函数的周期性问题就会迎刃而解，做到即快又准； 关键词：最小正周期、绝对值、图象三角函数的周期性是三角函数的一个重要性质。
关于三角函数的最小正周期这一知识点，曾多次在高考中考查过，但在现行普通高中代数课本（人教版必修4）中并末作重点研究和讨论。
因此，本人就三角函数最小正周期来谈谈，以便学生能迅速，准确地解题；同时，以供教学参考。
一、预备知识如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么就把函数)(x f 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在着一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做)(x f 的最小正周期。
这次所谈的函数只针对于三角函数而言，且高中代数课本（人教版必修4）中关于最小正周期给出了以下结论：①函数x y sin =，x y cos =的最小正周期是π2。
②函数x y tan =，x y cot =的最小正周期是π。
③函数)sin(φω+=x A y 的最小正周期为ωπ2； R )x 0,0,A ,(∈>≠ωφω为常数，且，A 。
二、关于一般三角函数的最小正周期的求法对于单角单函数或能变形为单角单函数的最小正周期的求法是直接利用预备知识求解。
例1、（91年全国高考题）函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是（ ） ππππ4)(2)()(4)(D C B A分析： x x y 44sin cos -=x x x x x 2cos )sin )(cos sin (cos 2222=-+=ππϖπ===∴222T 选（B ） 说明：对于函数)s i n(φω+=x A y 的最小正周期是||2ωπR )x 0,0,A ,(∈≠≠ωφω为常数，且，A例2、（92年全国高考题）如果函数)cos()sin(x x y ωω=的最小正周期是π4，那么常数ω为（ ）（A ） 4 (B) 2 (C) 1/2 (D) 1/4 分析：)cos()sin(x x y ωω= )2s i n (21x ω= πϖπ4|2|2==∴T 即有41=ω 选（D ） 例3、函数xx xx y 4sin 4cos 4sin 4cos -+=的最小正周期是分析： )44tan(4tan 14tan 14sin 4cos 4sin 4cos x x x x x x x y +=-+=-+=π4||πϖπ==∴T 故答案为4π说明：函数x y ωtan =，x y ωcot =的最小正周期是||ϖπ=T （x 属于)(x f 的定义域内）。
如何求三角函数的最小正周期
如何用初等方法求三角函数的最小正周期在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。
一公式法函数f(x )＝Asin(ωx+φ)和f(x )=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ωπ2；函数f(x)＝A t an(ωx+φ)和f(x)=A c ot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ωπ，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例1 求下列函数的最小正周期：（1）f(x )＝2sin （53πx ＋1）。
（2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。
（3） f(x)＝51t a n(31x 3π-).f(x)＝)62cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则：（1）T =532ππ =310 T=42π=2π T=31 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2c o t(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2π 二定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例2 求函数f (x)＝2si n （21x －6π）的最小正周期。
解：把21x －6π看成是一个新的变量z ,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6π)的最小正周期是4π。
例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。
最小正周期公式
最小正周期公式公式为：y=Atan(ωx+ψ)或y=cot(ωx+ψ)对于y=Asin(x+ψ)+B，(A≠0， 0>0) 其最小正周期为: T函数的最小正周期，一般在高中遇到的都是特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a.还有那就是三角函数y=A sin(wx+b)+t，他的最小正周期就是T=2帕/w。
公式法求最小正周期f (x)=Atan(∞x+φ)和f (x)=Acot(wx+φ)(A≠0, w>0)的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(∞x+φ)(A≠0, w>0) 一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)。
例:求函数y=cotx- tanx的最小正周期.解: y=1/tanx-tanx=(1-tan' 2●x)/tanx=2x(1- tan 2●x)/(2ta.T=π /2函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期，例如，正弦函数的最小正周期是2π。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
y=Asin(ωx+φ), T=2π÷ω（其中ω必须>0）定义法概念：根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例：求函数y=∣sinx∣+∣cosx∣的最小正周期。
解:∵y=∣s=∣-sinx∣+∣cosx∣=∣cos（x+π/2）∣+∣sin（x+π/2）∣=∣sin（x+π/2）∣+∣cos（x+π/2）∣=f（x+π/2）对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2。
（如果f（x+T）=f(x)，那么T叫做f(x)的周期）。
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如何用初等方法求三角函数的最小正周期
在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。
一 公式法
函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω
π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω
y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例1 求下列函数的最小正周期：
（1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。
（2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。
（3） f(x)＝51tan(31x 3
π-). f(x)＝)6
2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5
32ππ
=310 T=42π=2
π T=3
1
π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2
π 二 定义法
根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6
π）的最小正周期。
解：把2
1x －6
π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6
π)的最小正周期是4π。
例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。
设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ①
对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。
∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。
但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1，
矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。
故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。
三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
例4 求下列函数的最小正周期：
（1）f(x)＝sin3x+cos5x
（2）f(x)＝cos 34 x －sin 2
1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7
3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。
而π32和π5
2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π.
（2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2
1x 的最小正周期为T 2=4π。
而π2
3和4π的最小公倍数是12π。
∴f(x)＝cos 34 x －sin 2
1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。
而π310和π3
7的最小公倍数是70π。
∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7
3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。
四 图象法
作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。
例5 求下函数的最小正周期。
（1）y=|sin(3x ＋3
π)|
（2）y=|4
1+ sin2x| 解：（1）先作出函数y=|sin(3x ＋3
π)|的图象（见图1） 观察图象，易得所求的周期为T=3
π。
（2）先作出y=|4
1+ sin2x|的图象（见图2） 观察图象，易得所求的周期为T=π。
五、恒等变换法
通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。
例6 求下列函数的最小正周期：
(1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3
π) (2) f(x)＝sin 6x ＋cos 6x
(3) f(x)＝x 2cos 21-
解 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π)＝21|sin2x+sin π32|=21sin2x+4
3 ∴最小正周期为T= π
(2) f(x)＝sin 6x+cos 6x
=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)
=(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)
=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-4
3sin 2x =85+8
3cos4x ∴最小正周期为T=2
π (3) f(x)＝x 2cos 21-=2
2cos 121x +-=x 2cos - 它与－cos2x 的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为T=π。