高中数学课件 二面角
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高中数学课件-求二面角
求空间角
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
异面直线所成角的取值范围： (0o, 90o ] ．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
O
平面的斜线和平面所成的角
的取值范围： (0o, 90o)．
1
A
B
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射
2、二面角的画法和记法：做二的面大角小的与面。其顶点
画法：在直棱立上式的和位平置卧无式关
3、二面角的平面角：
记2法、：二二面面角角的大－小A用B－
它二的面平角面角－的大l－
4、二面角的平面角的作法：12、、小根利来据用度定直量义线作和出平来面垂
直作出来
1、二面角的定义 2、二面角的平面角
*转化思想 —降维
3、二面角的平面角的作法 *类比思想
4、数学思想
二面角的平面角的常用作法
1、定义法：
2、应用三垂 线定理：
l
A
OB
A
l
O
B
课堂小结
从一条直线出发的两个半
1、二面角的定义：
平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面
角1的、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D
C
A
OB
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列 （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D线所组成的图形叫做角。
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
异面直线所成角的取值范围： (0o, 90o ] ．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
O
平面的斜线和平面所成的角
的取值范围： (0o, 90o)．
1
A
B
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射
2、二面角的画法和记法：做二的面大角小的与面。其顶点
画法：在直棱立上式的和位平置卧无式关
3、二面角的平面角：
记2法、：二二面面角角的大－小A用B－
它二的面平角面角－的大l－
4、二面角的平面角的作法：12、、小根利来据用度定直量义线作和出平来面垂
直作出来
1、二面角的定义 2、二面角的平面角
*转化思想 —降维
3、二面角的平面角的作法 *类比思想
4、数学思想
二面角的平面角的常用作法
1、定义法：
2、应用三垂 线定理：
l
A
OB
A
l
O
B
课堂小结
从一条直线出发的两个半
1、二面角的定义：
平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面
角1的、棱二。面这角两的个平半面平角面叫
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D
C
A
OB
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列 （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’ A’
C’ B’
D线所组成的图形叫做角。
高中新课标数学-二面角课件
设平面的一个法向量为 = (1 , 1 , 1 ),
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
则ቐ
∙ = 1 = 0
∙ = 1 + 1 = 0
,
取1 =1，可得1 = −1, 1 = 0,此时 = (−1,0,1),
平面角的正切值.
分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射
影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.
解:∵PC⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性
质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则
2
2√3
√2
=
√2
a,
4
= √6.
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
归纳总结
1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三
角形的方法来求解.
2.二面角的定义求法主要有:
(1)由定义作出二面角的平面角;
(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;
(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是
解:以题意，, , 1 两两相互垂直。
以C为原点, ，， 1 的方向分别为轴, 轴, 轴正方向，
建立如图所示直角坐标系，则： C 0,0,0 , 0,1,0 , D(1,0,1) 1 (1,1,1)
所以=(0,1,0), =(1,0,1) , 1 =(-1,0,1) , 1 =(0,-1,2) ,
人教2019B版 选择性必修 第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.2.4 二 面 角（1）
学习目标
1.掌握二面角的概念
2.理解二面角的平面角的含义
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角
θ=<n1,n2>或π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .
答案:B
2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .
答案:B
2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,
二面角 高中数学课件
且 AC 平面 ABCD ，则 DD1 AC ，∵ BD 平面 BDD1B1 ， D1D 平面 BDD1B1 ，
BD D1D D ∴ AC 平面 BDD1B1 . BD1 平面 BDD1B1 ，∴ BD1 AC .
（3）连接 B1P ，B1O ，因为 PA PC ，O 是 AC 中点，所以 PO AC ，因为 AC 平面 BDD1B1 ，
（1）记 AC 中点为 M，连结 DM ， ACD 为正三角形， AC 4 ,
则 DM AC ，且 DM 2 3 .
因为平面 ACD 平面 ABC ，平面 ACD 平面 ABC AC ， DM 平面 ACD, 所以 DM 平面 ABC ，又因为 BE 平面 ABC ，所以 DM ∥BE . 延长 MB, DE 交于点 G，则 AG 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线，
例 3．如图，60 的二面角的棱上有 A, B 两点，直线 AC ， BD分别在这个二面角的两个半 平面内，且都垂直于 AB ．已知 AB 4， AC 6 ， BD 8 ，则CD 的长为__2___1_7___.
例 4.如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ， ABC 和 ACD 均为正三角形， AC 4 ， BE 3 . (1)在线段 AC 上是否存在点 F，使得 BF ∥平面 ADE ?说明理由； (2)求平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值.
1 2
BC BG sin150
2
3，
故 BH 2S BGC 2 3 ,又因为 BE 1 DM 3 ，所以 tan BHE BE 13 ，
CG 13
2
BH 2
即平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为 13 . 2
高中数学空间向量与立体几何1.2.4二面角课件
则 sin θ＝
1－cos2θ
＝
55 10
.
即二面角 A-C1M-B1 的正弦值为
55 10
.
利用向量法求二面角的两种方法 方法一：分别在二面角 αlβ 的面 α，β 内，沿 α，β 延伸的方向作向量 n1⊥l，n2⊥l， 则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小． 方法二：通过法向量求解 设 m1⊥α，m2⊥β， 则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．
2．对射影面积公式的理解： (1)来源：三垂线定理． (2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上 的射影的面积已知或者已求出． (3)优势：不需要作出二面角的平面角．
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝1，AC＝AA1＝ 3 ，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C； (2)求二面角 A-A1C-B 的正切值．
面角 A A1C B 的平面角．在 Rt△AA1C 中，AD＝AAA1·1CAC ＝
3× 6
36 ＝2 .
在 Rt△BAD 中，tan
∠ADB＝AABD
＝
6 3
，
6 所以二面角 A A1C B 的正切值为 3 .
类型三 利用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算)
角度1
利用棱的垂线的方向向量求二面角
【思考】 二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相 同的吗？
提示：不相同．二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是[0°，180°] ，两 个相交平面所成角的大小的范围是[0°，90°] .
2．射影面积公式 已知平面 β 内一个多边形的面积为 S，它在平面 α 内的射影图形的面积为 S′，平 面 α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ，则 cos θ＝SS′ .
二面角的求法 PPT课件 人教课标版
高中数学课件
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
二面角的求法
α
ι
β
一、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角。
二、二面角的平面角
从棱上一点P分别在两 个半平面内作与棱垂直的 射线PA、PB则∠APB叫做二 面角 α-l-β的平面角。
ι
γ
P A
β
B
α
例1、已知正三 棱锥V-ABC所有的棱 长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
高中数学人教B版 选择性必修第一册 二面角 课件
―A→E ＝1，12，0 ，―AB→1 ＝(1，0，1)，―A→F ＝12，1，0 ，―AD→1＝(0，1，1).
设平面AB1E的法向量为n
n 1＝(x1，y1，z1)，则
n
1·―AB→1 ＝0， 1·―A→E ＝0，
x1＋z1＝0， 即x1＋12y1＝0，
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n 1＝(－1，2，1).
答案：45° 45°
来个随堂小测试，比比谁更快！！
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平 面AB1E与平面AD1F所成的角的大小．
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为
1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E1，12，0 ，D1(0，1，1)，F12，1，0 ，
6
＝12
.
所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60°.
2．如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝
3 2
a，则二面角
A-BC-D的大小为
()
A．30°
B．45°
C．60°
解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝
3 2
a，又AD＝
设平面AD1F的法向量为n 2＝(x2，y2，z2).
n 则
n
2·―AD→1 ＝0， 2·―A→F ＝0，
y2＋z2＝0， 即12x2＋y2＝0.
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n 2＝(2，－1，1).
|n 所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为
1·n
2|
|n 1||n 2|
高中数学人教B版选择性必修第一册第一章1.2.4二面角课件
关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理 的使用.
3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角 放到三角形里求解.
课后练习
1.通读课本；
2.完成课本习题：第52页练习A1; 练 习B2,3.
0已知二面角P-AB-P '的大小为 垂 且PP'⊥ 面ABP',△ABP 的面积为3,求
△ABP'的面积.
θ=π-∠BOB,
tanθ=-tan∠BOB₁=-√2.
由同角关系得
即=面角DAG,蹦 余 磁 信 为
例题分析与讲授
(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.
视察图形，正方体截面A,BC和截面DAB 均是正三角形.
例题分析与讲授
(2)求二面角D-AB-C的余弦值.
解：取A,B的中点E, 连接DE,C₁E,C₁D.
证明a⊥
例题分析与讲授
例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,
SA=SC=√3,AB=BC=2 且AB⊥BC.
求(1)二面角S-AB-C的大小； (2)二面角B-SA-C的大小.
例题分析与讲授
(1)求二面角S-AB-C 的大小. 解：取AC,AB的中点D,E.
连接SD,DE,SE.
因为SA=SC, 所 以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SD⊥ 面ABC.
所以∠BFD=60°, 即二面角B-SA-C为60°.
例题分析与讲授
例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D, 棱长为1. (1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；
(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.
例题分析与讲授
(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值 .
视察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角， 与二面角B-AC₁-B互补.
3.灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角 放到三角形里求解.
课后练习
1.通读课本；
2.完成课本习题：第52页练习A1; 练 习B2,3.
0已知二面角P-AB-P '的大小为 垂 且PP'⊥ 面ABP',△ABP 的面积为3,求
△ABP'的面积.
θ=π-∠BOB,
tanθ=-tan∠BOB₁=-√2.
由同角关系得
即=面角DAG,蹦 余 磁 信 为
例题分析与讲授
(2)求二面角D-A,B-C的余弦值.
视察图形，正方体截面A,BC和截面DAB 均是正三角形.
例题分析与讲授
(2)求二面角D-AB-C的余弦值.
解：取A,B的中点E, 连接DE,C₁E,C₁D.
证明a⊥
例题分析与讲授
例1.如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC,
SA=SC=√3,AB=BC=2 且AB⊥BC.
求(1)二面角S-AB-C的大小； (2)二面角B-SA-C的大小.
例题分析与讲授
(1)求二面角S-AB-C 的大小. 解：取AC,AB的中点D,E.
连接SD,DE,SE.
因为SA=SC, 所 以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SD⊥ 面ABC.
所以∠BFD=60°, 即二面角B-SA-C为60°.
例题分析与讲授
例2.已知正方体ABCD-A,BC₁D, 棱长为1. (1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值；
(2)求二面角D-A,B-C₁的余弦值.
例题分析与讲授
(1)求二面角D₁-AC₁-B的余弦值 .
视察发现二面角D₁-AC₁-B是钝角， 与二面角B-AC₁-B互补.
高中数学立体几何——二面角求法
高中数学立体几何——二面角求法
二面角是指两个平面之间的角度，通常用于描述两个多面体表面相接的角度。
二面角的求法有以下几种常见的方法：
1.面对面法：首先确定两个相邻平面的法向量，然后计算它们之间的夹角，即为二面角。
2.边对边法：首先找到两个相邻平面的公共边，然后计算这条边分别在两个平面上的投影长度，最后使用向量夹角的方法求得二面角。
3.用平行面的夹角计算二面角：如果两个面是平行的，则二面角为零。
需要注意的是，在具体的问题中，可能还会有其他方法来计算二面角，具体的求解方法要根据具体的情况和已知条件来选择合适的计算方式。
2025届高中数学一轮复习课件《二面角》ppt
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝ 2，PO＝ 3，∴OD＝ 2 2， ∴二面角 P-AC-B 的正切值是OPOD＝ 6.
高考一轮总复习•数学
(2)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点．
第16页
①证明：平面 AA1C1C⊥平面 DBC1； ②若 AB＝2，且二面角 D-BC1-C 的正切值为 615，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积．
－ 即 －
2x1＋ 2y1＋
2z1＝0， 2z1＝0，
设平面 ABF 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
取 x1＝1，则 y1＝z1＝AA··nn＝＝00，，
即
2x2＝0，
－ 2y2＋
2z2＝0，
得 x2＝0，取 y2＝1，则 z2＝1，n＝(0,1,1)．
高考一轮总复习•数学
第14页
对点练 1 (1)如图， 设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上， 若 PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角 P-AC-B 的正切值是____6____．
高考一轮总复习•数学
第15页
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO 是二面角 P-AC-B 的平面角．
在 Rt△AB1C 中，S△AB1C＝12AB1·AC＝12B1C·AE，所以 AE＝ABB11·CAC＝2×2
2＝2
2 .
23
3
高考一轮总复习•数学
在 Rt△ADE 中，sin∠AED＝AADE＝ 2 ＝ 2 3. 22 3
所以∠AED＝60°，所以二面角 A-B1C-B 的大小为 60°.
第11页
高考一轮总复习•数学
人教版高中数学第二章2,4面面垂直的判定和性质(共25张PPT)教育课件
A
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD. AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
C B
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
， ，
n P
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直 于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD； （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
E
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45° 故 PB与底面AC所成的角为45°.
D
C
OF
A
B
作业
1. 教材习题2.3A组1、2、3、6；B组1、2、4 2.《导学精练》蓝皮+活页2.3.3；
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角-
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角高中数学具有较强的学科化特点，难度有些高。
所以在学数学的时候要学会读书，把厚书读薄。
要想熟练灵活的运用知识，就需要掌握适合自己的学习方法，下文为同学们整理了高一数学知识重点，详情如下：两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)数学，在我们的日常生活中，尤其对于学生来说，学好它很重要。
有句俗话说得好，学好数理化，走遍天下都不怕，可见数学的重要性。
而且对于我们很多的学生来说，高考是我们的学生一个很重要的出路。
而学好数学，不仅对于我们考上好的大学，有很大的帮助。
而且对我们以后的事业和我们甚至是我们的智力的发展，都有很大的帮助。
那么我们该如何学好数学呢?要学好数学，首先最重要的一点，我们要及时的预习。
高中数学二面角
高中数学二面角
一、高中数学二面角的概念及性质
二面角是指空间中一个平面围绕一个直线旋转而成的两个平面所形成的角。
它包括平面角和空间角两种类型。
平面角是指两个平面之间的角度，而空间角是指两个平面所夹的角度。
二面角具有以下性质：
1.平面角与空间角的关系：平面角等于空间角的一半。
2.互补性质：二面角的两个平面角互为补角。
3.邻补性质：二面角的两个平面角互为邻补角。
二、高中数学二面角的求解方法
1.利用向量法求解二面角：通过求解两个平面的法向量，计算它们之间的夹角，从而得到二面角的度数。
2.利用坐标法求解二面角：根据空间直角坐标系中点的坐标，计算二面角的余弦值、正弦值和切线值，进而求得二面角的度数。
3.利用三角函数求解二面角：根据三角函数的定义，通过已知角度和边长关系求解二面角。
三、高中数学二面角在实际问题中的应用
1.几何问题：求解三角形、四边形等几何图形的二面角，分析图形的性质。
2.物理问题：在力学、光学等物理学科中，利用二面角研究力的分解、光的折射等问题。
3.工程问题：在建筑、机械等工程领域，利用二面角分析构件的稳定性、
确定最佳角度等。
四、总结与建议
高中数学二面角是空间几何中的重要内容，掌握二面角的求解方法和实际应用对于学生解决实际问题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际操作相结合，加强空间想象能力的培养，提高解题能力。
二面角2
表示法
6
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B B1
？
l
O1
∠A1O1B1
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
A1
O
9
A
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A B 二面角B--B’C--A A
B 二面角A--BC--D
14
E
O
D C
二面角的平面角的作法：
1、定义法 A
根据定义作出来
O
l
B
2、垂面法
作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到Leabharlann lOB
γ
A
A
3、三垂线定理法
或
12
借助三垂线定理 其逆定理作出来
D
O
l
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
高中数学多媒体课件
福安二中 李忠兰
空间两个平面
二 面 角
1
一条直线上的一个点把这条直线分成两 个部分，其中的每一部分都叫做射线。
l
一个平面内的一条直线把这个平面分成 两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
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D”
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角
叫做二面角的平面角。
O 。。
B
或：从二面角的棱上任一点在
两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
A
β
α
小结： 1.二面角就是用它的平面
角来度量的。一个二面角的平
O。
B
面角多大，我们就说个二面角
①找（或作）出平面角
小
⑴定义法
⑵棱的垂面法
结 ⑶三垂线定理法 ⑷向量法 等
②求解
解三角形或用向量的夹角公式
作业布置
作
• 课本第47页 4、5（3）
业
1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
αα
（2）二面角
l
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
(3)常见二面角的画法
O
B
a
AβLeabharlann α（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”
∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∵A1C1＝
2
a，A1O＝C1O＝
3 2
2
a＝
6 2
a
(
∴cos∠A1OC ＝
6 a)2 ( 6 a)2 (
2
2
2 6 a 6 a
2
2
2a) 2 ＝1
3
∴∠A1OC＝arccos13 。
故二面角
A1－BD－C1
的大小为
1
arcco3s
。
解：（方法二）
2
2
OC 1 ＝(0，1，1) －(1 ，1 ，0)＝（－1 ，1 ，1）
22
22
∴ BD●OA
1
＝－1×1
2
＋（－1）×（－1
2
）＋0×1＝0
BD●OC
1
＝（－1）×（－1
2
）＋－1×1
2
＋0×1＝0
OA
1 ●OC
1
＝1
2
×（－1
2
）＋（－1
2
）×1
2
＋1×1＝1
2
｜OA 1 ｜＝｜OC 1 ｜＝ 6
如： ①以直线a为棱，以α、β
？ 为半平面的二面角记作： “α—a—β”
②以直线l为棱，以平面
ABCD、平面A1B1C1D1为半
？ 平面的二面角记作： “面ABCD—l—面A1B1C1D1” 或“A—l—A1”，等等。
③以直线AB为棱，平面CAB、
平面DAB为半平面的二面角
记作：
？“C—等AB等—。
连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线定理可得：
EH ⊥FG，故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
在 Rt△EAH 中，易得
AH＝ 2 EF，EF＝EA， 2
∴tan∠EHA＝ 2 ，
∴∠EHA＝arctan 2 。
H
1、二面角的定义
本 2、二面角的平面角的定义
节 3、二面角的平面角的求解：
最后根据 |a |2=a ·a 求出结果.
解：由已知得：
＜ CA ， BD ＞＝180○－60○＝120○，
CA · AB ＝0， AB · BD ＝0 ∴|CD |2＝（CA ＋ AB ＋BD ）2 ＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2CA ·BD
＝|CA |2＋| AB |2＋|BD |2＋2|CA |×|BD |cos＜CA ，BD ＞
2
∴OA1⊥BD，OC1⊥BD，
∴＜OA 1 ，OC 1 ＞就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∴cos＜OA 1 ，OC 1 ＞＝
OA • OC
1
1
| OA | • | OC |
1
1
1
＝
2 6•
1 6 ＝3 。
22
例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。
解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H，
3.有关二面角的题型
例1 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。
C
分析
AB
D
要求CD 的长，可考虑用向量法，即求|CD |，
要求|CD |，须先用已知向量CA 、AB 、BD
表示它，不难得到：CD =CA +AB +BD
当 1、二面角指的是（ ）
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
堂 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
小
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱
测 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
＝62＋42＋82＋2× 6× 8× cos120○
＝62＋42＋
82－
2×
6×
1
8×2
＝68
∴|CD |＝2 17
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二解： 面（角方法A一1－） BD－C1 的大小。
由正方 体的 面对 角线 长都相 等可 知， △A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
等角是定多理少度若的一二个面角角的。两边与
另一个2角.复二的面两习角边回的分平别顾面平角行与且点方（或
O1
。
A
向相同垂，直则平这面两）个的角位相置等无。任何关系， A1
B1
β
只与二面角的张角大小有关。
α
(6)二面角的范围
[0。,180。]
（7）直二面角
平面角为直角 的二面角叫做 直二面角
2. 课 堂 诊 断
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，BD
的中点为 O，则
D(0，0，0)，B(1，1，0)， O(1 ，1 ，0)，
22
A1(1，0，1)，C1(0，1，1)
∴ BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
OA 1＝(1，0，1) －(1 ，1 ，0)＝（1 ，－1 ，1）
22