椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等

一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算

2 2

例1椭圆 ・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2

的形状. 16 12 性质一： 2 2

已知椭圆方程为 笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2

,设焦点三角形 a b

PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 性质

三：

h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2

已知椭圆方程为 务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形

a b

2

PF 1F 2 中 FfF 2

- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2

一

x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上

a b

存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。

二 b 2 tan —。

2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+

着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为

F 1, F 2,设焦点三角

例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I

F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.

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