椭圆中的重要结论
椭圆二级结论总结
椭圆二级结论总结一、椭圆的标准方程与性质1. 椭圆的标准方程为 (x-a)^2/(b^2)+(y-c)^2/(d^2)=1，其中 a>b>0，c>d>0。
2. 椭圆的顶点坐标为 (a,0) 和 (-a,0)，焦点坐标为 (c,0) 和 (-c,0)。
3. 椭圆的离心率 e=c/a，其中 c 为焦点到中心的距离，a 为长轴半径。
4. 椭圆的焦距为 2c，焦距的一半为 c。
5. 椭圆的短轴长为 2b，长轴长为 2a。
二、椭圆的参数方程与极坐标1. 椭圆的参数方程为 x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。
2. 椭圆的极坐标方程为ρ=ep/(1-e*cosθ)，其中 e 为离心率，p 为焦点到中心的距离。
三、椭圆的几何性质与焦点1. 椭圆的焦点到中心的距离为 c，离心率 e=c/a。
2. 椭圆的焦点到曲线上任意一点的距离等于该点到椭圆短轴两端点的距离之和。
3. 椭圆的焦点三角形面积 S=b^2*tan(θ/2)，其中θ为焦点三角形内角之一。
四、椭圆的对称性与旋转1. 椭圆具有旋转对称性，旋转中心为椭圆中心。
2. 若将椭圆顺时针旋转 90 度，则标准方程变为(y-0)^2/(b^2)+(x-0)^2/(a^2)=1。
3. 若将椭圆逆时针旋转 90 度，则标准方程变为(y-0)^2/(b^2)+(-x-0)^2/(a^2)=1。
五、椭圆的切线与极坐标1. 椭圆的切线方程为 tt*x+yy=(1+tt)*a^2，其中 tt 表示切线与 x 轴的夹角，yy 表示切线与 y 轴的夹角。
2. 在极坐标系中，椭圆的极坐标方程为ρ=ep/(1-e*cosθ)，当 e<1 时为椭圆，当 e>1 时为双曲线。
3. 在极坐标系中，若切线与 x 轴夹角 tt=α，则切线方程为tt*x+yy=(1+tt)*a^2，其中 tt 表示切线与 x 轴的夹角，yy 表示切线与 y 轴的夹角。
快速求离心率12个二级结论
快速求离心率12个二级结论在物理学中，离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。
它可以通过多种方法进行计算，本文将介绍12个二级结论，帮助读者快速求解离心率。
以下是这些结论：1. 椭圆轨道的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。
即e = c/a，其中e表示离心率，c表示焦点之间的距离，a表示长轴长度。
2. 椭圆轨道的离心率范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道为圆形，当离心率为1时，轨道为抛物线。
3. 焦距可以通过离心率与长轴的乘积得到，即c = ae。
4. 当离心率小于1时，椭圆轨道的焦点在轨道内部。
当离心率等于1时，焦点位于抛物线的顶点上。
5. 椭圆轨道的半长轴长度可以通过长轴长度和离心率计算得出，即b = a√(1-e^2)。
6. 椭圆轨道的半短轴长度可以通过半长轴长度和离心率计算得出，即c = b√(1-e^2)。
7. 离心率可以通过焦点之间的距离和轨道长度的比值求解，即e = 1 - (r_min/r_max)，其中r_min表示轨道的最小半径，r_max表示轨道的最大半径。
8. 当离心率小于1时，椭圆轨道的最小半径和最大半径分别为r_min = a(1-e)和r_max = a(1+e)。
9. 当离心率等于1时，抛物线轨道的最小半径为r_min = a，最大半径趋于无穷大。
10. 椭圆轨道的周长可以通过半长轴、半短轴和椭圆的周长公式计算得出，即C = 4aE(e)，其中E(e)表示第二类完全椭圆积分。
11. 椭圆轨道的面积可以通过半长轴和半短轴的乘积和π计算得出，即S = πab。
12. 当离心率接近于1时，椭圆轨道的形状趋近于一条直线。
当离心率趋近于0时，椭圆轨道的形状趋近于一条圆。
通过以上12个二级结论，读者可以快速求解椭圆轨道的离心率，并对其形状有一个清晰的了解。
离心率的求解在天体力学、航天工程等领域有着广泛的应用，对于研究天体运动和设计轨道具有重要意义。
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆常用结论及其推导过程
椭圆中重要结论一 椭圆中的一些不等关系2 2〔 1〕设椭圆〔 x2y 2 1(a b 0) 〕， P( x 0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点， F 1, F 2 为ab椭圆的两个焦点，那么：① a x 0 a ， b y 0 b例 F 1, F 2 是椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左右焦点， P 是椭圆上的一点且a 2b 2PF 1 PF 2 c 2 ，那么此椭圆离心率的范围是 ______.[ 3,2 ]32② b PO a 〔其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远〕③ PF 1 PF 2 2c .例 假设椭圆上存在一点 P ，使得 P 到两个焦点的距离之比为 2 :1 ，那么此椭圆离心率的取值范围是 ______. [ 1,1)3④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点 . 到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点 .例 椭圆x 2y 21(a b c 0) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ，假设以 F 2 为圆C :a 2b 2心， b c 为半径作圆 F 2 ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T ，且 PT 的最小值不小于3(ac) ，那么椭圆的离心率取值范围为 ______.[ 3, 2 )252④过椭圆焦点的所有弦中通径 ( 垂直于焦点的弦 ) 最短，通径为 2二 椭圆焦点三角形的结论b 2a〔 〕椭圆方程为x 2y 21(0), 两焦点分别为 F , F ,1a 2b 2ab12 设焦点三角形PF 1F 2 中F 1PF 2,那么 SF 1PF 2b 2 tan2例 F 1, F 2 是椭圆x 2y 2 1(a b0) 的两个焦点， P 为椭圆上一点，且a 2b 2PF 1 PF 2，假设 PF 1 F 2 面积为 9 ，那么短轴长为练习椭圆x 2y 21的焦点为 F 1, F 2 ，点 P 为其上的动点，当F 1 PF 2 为钝角时，94点 P 的横坐标的取值范围为 _______. ( 3 5 , 35 )55〔 2〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 左右两焦点分别为F1, F2,设焦点三a 2b2角形 PF1F2，假设PF1PF2最大，那么点 P 为椭圆短轴的端点，且最大值为a2.例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得 PF1 PF22b2，那么椭圆的离心率e的取值范围_________. [2,1)2〔 3〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 左右两焦点分别为F1, F2,设焦点三a 2b2角形 PF1F2，假设F1PF2最大，那么点P为椭圆短轴的端点例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得 F1PF2 90，那么椭圆的离心率3e的取值范围_________.[ ,1)2〔 4〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形a 2b22e2 .PF F中 FPF , 那么cos11212例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得F1PF21200 , 那么椭圆的离心率e的取值范围_________. [3,1)2三 椭圆的中点弦问题〔 1〕在椭圆x 2y 2 1(a b 0) 中，假设直线 l 与椭圆相交于 M ， N 两点，点a 2b 2P( x 0, y 0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，那么y 0b 2kMNx 0a 2〔 2〕在椭圆 y2x 2 1(a b 0) 中，假设直线 l 与椭圆相交于 M ， N 两点，点a 2b 2P( x 0, y 0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，那么y 0a 2kMNx 0b 2例 1 椭圆x 2y 21，以点 M ( 1,2) 为中点的弦所在直线的斜率为_____. 〔 9〕16 932例 2 椭圆 E： x 2 y 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交 Ea 2b 2于 A, B 两点 . 假设 AB 的中点坐标为 (1,1) ，那么椭圆的方程为 _________.2 2（x y1〕 18 9练习 1 椭圆y 2x 21 的一条弦的斜率为 3 ，它与直线 x1的交点恰为这75 252条弦的中点 M ，那么 M 的坐标为 _____. (1, 1 )2 2练习 2 椭圆y 2x 2 1 ，那么它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 _____.75 25 x y 0(5 3x5 3 ) 22〔综合题〕 椭圆 E 过点 A(2,3) ，对称轴为坐标轴，焦点 F 1, F 2 在 x 轴上，离心率 e1 .2〔 1〕求椭圆 E 的方程；x 2y 2 11612〔 2〕求 F 1AF 2 的角平分线所在的直线 l 的方程； 2x y 1 0（ 3〕在椭圆上是否存在关于直线 l 对称的相异的两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由 . 〔不存在〕四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式假设椭圆 x2y21(a b 0) ，直线l : y kx b(k 0)与椭圆交于 A( x1, y1 ) ，a2b2B( x2 , y2 ) 两点，那么弦AB 的长度为：AB21k x1x2或AB11k2y1y2例设椭圆的右焦点为 F ，过 F 的直线l与椭圆C相交于A, B两点，直线l的倾斜角为 60 ， AF 2FB .〔 1〕求椭圆的离心率；〔 2〕如果AB 15，求椭圆C的方程.l 4练习1椭圆 C :2x y21，直线l 过点 E( 1,0) 且与椭圆相交于A, B两点，4是否存在AOB面积的最大值，假设存在，求出AOB的面积，假设不存在，说明理由 .练习2椭圆 C :2x y21，假设直线l : y kx m(k0) 与椭圆相交于不同的4两点 M,N 〔出定点的坐标M ,N .不与左右顶点重合〕，且MA NA0，求证：l 过定点，并求。
高中数学椭圆二级结论
高中数学椭圆二级结论椭圆是椭球面上的一种形状，它有着众多的应用，包括汽车制造、航空航天、零件制造和精密机械等。
椭圆是一种数学几何形状。
它是一条形象的线，一个有限的部分空间，像一台缝纫机的布料，可以用来模拟不同的实际场景。
椭圆二级结论是椭圆数学方面的重要结论，这也是高中生需要学习和掌握的重要知识，特别是在考试中，它往往是考核中重要的知识点。
椭圆二级结论有三种，即椭圆定律，中心定律和焦点定律。
椭圆定律是椭圆的主要性质，它表明椭圆是由许多相似的椭圆组成的，这些椭圆具有相同的尺寸，角度和方向。
中心定律指出椭圆的中心是一个固定的点，它是椭圆的几何中心，椭圆的长轴和短轴可以由其中心确定。
焦点定律指出椭圆的两个焦点是固定的，它们可以用来定义椭圆的长轴和短轴。
椭圆的定义在几何学中包括了一些基本的定理。
椭圆的定义指明椭圆是一种椭球面，它包括两个焦点和一个椭圆面，并以椭圆面上一点为中心变换椭圆形状；它还提出了椭圆的参数方程，椭圆的定义通常根据椭圆的参数方程来进行计算。
椭圆的定义有着重要的理论意义，它表明椭圆可以由其参数方程进行确定，因此可以完美地描述不同的椭圆。
椭圆二级结论是椭圆数学领域中重要的一类结论，它可以概括椭圆的数学特性，为研究椭圆形、椭球面和其他几何形状提供理论支持。
在学习椭圆二级结论之前，学生需要掌握椭圆的定义，并加深对椭圆参数方程的理解，学生还需要了解几何学中的其他定理，以便更好地理解椭圆的实际运用。
椭圆二级结论的掌握有利于学生在高中学习数学课程时理解椭圆的定义和椭球面的特性，它可以帮助学生记住椭圆的关键性质，使用椭圆的三个定律来帮助求解复杂的数学问题。
此外，椭圆二级结论还可以帮助学生更好地理解椭圆的实际应用，比如天文学、天体力学、建筑设计等方面，从而为学生未来学习科学知识提供基本的理论基础。
综上所述，椭圆二级结论是椭圆数学领域中重要的一类定理，学生在学习椭圆二级结论时，应在理解椭圆的定义和参数方程的基础上，掌握椭圆的三个定律，并且加深对几何学中的其他定理的理解，以便更好地理解椭圆的数学特点、实际应用和椭球面的概念。
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论）清华附中高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学椭圆中的经典结论
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b +=+.1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠= , 12PF F β∠= ,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b+=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a ba b +; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.。
椭圆的所有二级结论
椭圆的所有二级结论椭圆是欧几里德几何学和微积分学中最基础的几何体，它被广泛应用于数学、物理学、工程学、经济学等领域。
很多椭圆相关的研究，都能帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。
本文试图总结椭圆的一些二级结论，以期能对椭圆的研究作出更多的深入探究。
首先，让我们从椭圆的定义开始讨论。
椭圆是一个二维的曲面，它的定义是：一系列的点组成的曲线，使得它们组成的面积恒定，参数方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴，坐标原点为椭圆的中心点。
接下来，我们来讨论椭圆的性质。
椭圆是对称的，它的对称轴为它的长轴和短轴；椭圆的曲率都是相等的，且都小于圆的曲率。
如果长轴和短轴的比值相等，则椭圆可以通过旋转变成圆形。
接下来，我们可以探究一下椭圆的解析学性质。
我们可以利用积分来研究椭圆的面积、周长、曲线长度和笛卡尔态密度等问题。
另外，关于椭圆的微积分学性质，我们可以用它求解椭圆上非常复杂的问题，例如电磁学场、热学场等等。
此外，我们还可以探究一下椭圆的几何学性质。
这其中包括椭圆的平行弦和直角弦的计算方法、椭圆的顶点和焦点的计算方法、椭圆的点对称点的计算方法、椭圆与其它几何体的位置关系等等。
上述是椭圆的一些二级结论，从椭圆的定义出发，我们开始讨论它的性质，进而分析它的解析学性质和几何学性质，最终讨论到一些详细的计算方法，以此来探究其巧妙的构造。
椭圆的研究对于很多领域都有着重要的意义，它不仅被用来求解复杂的物理问题，同时它还被大量用于经济学、数学建模等方面，从而在工程和科学研究方面发挥着重要作用。
因此，研究和解决椭圆相关问题，将会帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。
总之，椭圆是欧几里德几何学和微积分学中最基础的几何体，它的研究具有重要的意义。
本文试图总结椭圆的一些二级结论，以期能对椭圆的研究作出更多的深入探究。
此外，研究和解决椭圆相关问题，将会帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。
椭圆的92条神仙级结论
椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。
2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。
3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。
4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。
5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。
6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。
$0\lt e\lt1$。
椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。
椭圆常用结论证明
椭圆常用结论证明椭圆是数学中的一个重要概念，被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在椭圆的研究过程中，人们积累了许多常用的结论。
本文将就其中几个常见的结论进行证明。
1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
证明如下：设P(x,y)是椭圆上的任意一点。
由定义可知，PF1+PF2=2a。
根据点到坐标轴的距离公式可得PF1=√((x-c)^2+y^2)，PF2 =√((x+c)^2+y^2)。
代入得√((x-c)^2+y^2)+√((x+ c)^2+y^2)=2a。
平方两边并移项得(x-c)^2+(x+c)^2+ 2√((x-c)^2+y^2)√((x+c)^2+y^2)=4a^2。
化简得x^2 +y^2=a^2-c^2。
由此可见，椭圆的定义得证。
2.椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆的扁平程度。
离心率的计算公式为e=c/a，其中c是两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。
证明如下：根据椭圆的定义可知，PF1+PF2=2a，PF1=e∙a，PF2=(1-e)∙a。
代入得e∙a+(1-e)∙a=2a，化简得e=c/a。
因此，椭圆的离心率的计算公式得证。
3.椭圆的焦点坐标：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个关键点，其坐标可以通过长半轴和离心率计算得出。
证明如下：设椭圆的焦点分别为F1(c,0)和F2(-c,0)，长半轴为a，离心率为e。
根据离心率的定义可知e=c/a。
将其代入焦点坐标的表示式，得到F1(c,0)和F2(-c,0)。
因此，椭圆的焦点坐标的计算得证。
以上就是椭圆常用结论的证明过程。
这些结论在解决椭圆相关问题时非常有用，可以帮助我们深入理解椭圆的性质和特点。
在实际应用中，我们可以利用这些结论进行问题求解和分析。
椭圆作为一种重要的几何形状，其研究和应用将继续对数学和其他学科的发展产生积极的影响。
椭圆曲线常用的五次结论专题练习
椭圆曲线常用的五次结论专题练习引言椭圆曲线在密码学和数论等领域中具有广泛的应用。
了解椭圆曲线的五次结论对于进一步探索其特性和应用具有重要意义。
本文将介绍椭圆曲线常用的五次结论，并提供相关的专题练。
五次结论1. 五次消子定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果5P=O（即点P与其自身的五次倍数为零点O），那么P属于五阶子群。
五次消子定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果5P=O（即点P与其自身的五次倍数为零点O），那么P属于五阶子群。
2. 五次平方定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P^5=O（即点P的五次幂为零点O），那么P的阶数是5的倍数。
五次平方定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P^5=O（即点P的五次幂为零点O），那么P的阶数是5的倍数。
3. 五阶同态定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的阶数是5的倍数，那么存在一个群同态映射φ，使得φ(P)的阶数是5。
五阶同态定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的阶数是5的倍数，那么存在一个群同态映射φ，使得φ(P)的阶数是5。
4. 五次平方差定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果存在另外两点A和B，使得P=A^5-B^5，那么P的阶数是5的倍数。
五次平方差定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果存在另外两点A和B，使得P=A^5-B^5，那么P的阶数是5的倍数。
5. 五次扭曲与五次相应点性质：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的扭曲点为P'，那么P的五次倍点与P'的五次倍点互为相应点。
五次扭曲与五次相应点性质：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的扭曲点为P'，那么P的五次倍点与P'的五次倍点互为相应点。
专题练请结合上述五次结论，完成以下练：1. 证明五次消子定理中的点P属于五阶子群的必要条件。
2. 给定椭圆曲线上的一点P，找到另外一点Q，使得P^5=Q^5。
3. 设点A和点B是椭圆曲线上的两点，分别为阶数为5的点和阶数为1的点。
请找到一个点P，使得P=A^5-B^5。
椭圆中的重要结论(用)
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1
4、椭圆中的焦点三角形问题
由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形, 称作焦点三角形.
M
F2
F1
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2
解决焦点三角形通常从以下几方面入手 （1）椭圆的第一定义 （2）三角形的正(余)弦定理,内角和定理 （3）三角形面积公式
M
F2
F1
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3
焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
( 2 ) 三 角 形 M F 1 F 2 面 积 最 大 值 为 多 少 ？
bc M
F2
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F1
4
例2、已知P是椭圆ax22 by22 1(ab0)上的点,
F1,F2是椭圆的左右焦点,且F1PF2 ,求三角形
F1PF2的面积.
分析：设| PF1 | r1,| PF2 | r2;则r1 r2 2a
8
焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
b c ( (2 3)) S三 M角 F1F2形 M b2F 1 F ta2 n面 2积 最 大 值 为 多 少 ？ M
2b2
(4) MF1 MF2 1cos
F2
F1
当cos=1时，PF1 PF2 取最小值b2
(5) MF1
MF2
MF1
MF2 2
F2分别是椭圆的左,右焦点,若F1PF2 ,求
证:SPF1F2 b2 tan2.
y
P
F1
F2
x
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6
练 习 1.已 知 点 P是 椭 圆 y52x421上 的 一 点 ,F1 和 F2是 焦 点 ,且 F1PF2300,求 F1PF2的 面 积 .
高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论
高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来8条出题率最高的结论，一定要记住哦;【典例剖析】例题1.椭圆＝1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16B．15C．14D．1312 【分析】（|P n F|）min≥|a﹣c|＝，（|P n F|）max≤a+c＝3，|P n F|＝|P1F|+（n﹣1）d．再由数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值．【解答】解：∵（|P n F|）min≥|a﹣c|＝，（|P n F|）max≤a+c＝3，||P n F|＝|P1F|+（n﹣1）d ∵数列{|P n F|}是公差d大于的等差数列，∴d＝＞，解得n＜10+1，则n的最大值为15故选：B．【典例剖析】例题2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．解法一：基本解题法【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．3∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．解法二：结论解题法【典例剖析】例题3.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．45【分析】由题意求A 1、A 2的坐标，设出点P 的坐标，代入求斜率，进而求PA 1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知， 左右顶点分别为A 1（﹣2，0）、A 2（2，0）， 设点P （a ，b ）（a ≠±2），则＝1…①，＝，＝；则＝＝，将①式代入得＝﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D ．解法二：结论解题法【典例剖析】例题4.已知P是椭圆+＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为（）A．3B．2C．D．【分析】先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je利用三角形面积公式求解．【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，所以c＝4，即F1F2＝2c＝8．设F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10…①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞＝，所以．在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可得：64＝m2+n2﹣2mn cos60°…②，由①②可得：mn＝12，所以．故选：A．解法二：结论解题法67【典例剖析】例题5. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角， ∴△P 0F 1F 2中，∠F 1P 0F 2＞90°， ∴Rt △P 0OF 2中，∠OP 0F 2＞45°， 所以P 0O ＜OF 2，即b ＜c ，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．解法二：结论解题法【典例剖析】例题6.已知圆的方程为x2+y2＝1，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0•x+y0•y＝1，类比上述性质，可以得到椭圆x2+4y2＝8上经过点的切线方程为8；．9【分析】已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：．【解答】解：已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：故椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为：2x ﹣4y ＝8，即；，故答案为：．【典例剖析】例题7. 已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），若直线l 上存在点M ，使得|MA |+|MB |＝3，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①x ＝2；②y ＝x +3；③y ＝﹣2x ﹣1；④y ＝1；⑤y ＝2x +3．其中是“M 型直线”的条数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】点M的轨迹方程是，把①，②，③，④，⑤分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．【解答】解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是，①把x＝2代入，无解，∴x＝2不是“M型直线”；②把y＝x+3代入，无解，∴y＝x+3不是“M型直线”；③把y＝﹣2x﹣1代入，有解，∴y＝﹣2x﹣1是“M型直线”；④把y＝1代入，有解，∴y＝1是“M型直线”；⑤y＝2x+3代入，有解，∴y＝2x+3是“M型直线”．故选：C．解法二：结论解题法10数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】数学思想 | 高中数学 11【典例剖析】例题8.过点(0,2)P 的直线l 交椭圆22:142x y E +=于,M N 两点，且OM ON ⊥，则直线l 的方程为 ；20y -+=或20y +-=22a b，则有OA OB ⊥，d =。
高中椭圆二级结论总结可打印文档
高中椭圆二级结论总结可打印文档椭圆是高中数学中常见的概念之一，它在几何形状和数学应用中都有重要的作用。
在高中数学中，我们学习了许多与椭圆相关的知识，其中包括一些重要的二级结论。
本文将对这些二级结论进行总结和归纳，以便更好地理解椭圆的性质和应用。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，距离之和称为焦距。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且离心率为0时为圆；2. 椭圆的中心为两个焦点的中垂线的交点；3. 椭圆的长轴和短轴分别是焦距的2倍和焦距的2倍除以离心率；4. 椭圆的离心率与长轴和短轴的关系为：离心率的平方等于1减去短轴的平方除以长轴的平方。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
根据标准方程，可以得到一些重要的二级结论：1. 椭圆的顶点和焦点坐标关系：顶点坐标为(±a, 0)，焦点坐标为(±c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2；2. 椭圆的离心率与长短轴之间的关系：离心率e = c/a；3. 椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数；4. 椭圆的切线与法线方程：椭圆上任意点P(x, y)，切线方程为xx1/a^2 + yy1/b^2 = 1，法线方程为xx1/a^2 - yy1/b^2 = 1。
三、椭圆的性质与应用椭圆具有许多重要的性质和应用，其中包括：1. 曲线与直线的位置关系：直线与椭圆相切时，切点在椭圆上；直线与椭圆相交时，交点在椭圆内；直线与椭圆没有交点时，直线与椭圆的距离等于焦距；2. 椭圆的面积和周长：椭圆的面积为πab，周长近似为2π√(a^2 + b^2/2)；3. 椭圆的焦点与直线的关系：直线与椭圆的焦点之间的距离等于焦距的两倍；4. 椭圆的离心率与轨道形状的关系：离心率越小，椭圆越扁；离心率越大，椭圆越瘦长；5. 椭圆的光学性质：椭圆是反射焦点的曲线，根据椭圆反射定律，入射光线从一个焦点射入椭圆后，会经过另一个焦点。
圆锥曲线结论大全及证明过程
圆锥曲线结论大全及证明过程一、椭圆。
1. 椭圆的定义及标准方程。
- 定义：平面内与两个定点F_1,F_2的距离之和等于常数（大于F_1F_2）的点的轨迹叫做椭圆。
其中两定点F_1,F_2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离F_1F_2叫做椭圆的焦距。
- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中a为长半轴长，b为短半轴长，c=√(a^2)-b^{2}为半焦距，焦点坐标为(± c,0)。
- 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。
- 证明（以焦点在x轴上为例）：- 设M(x,y)为椭圆上任意一点，F_1(-c,0)，F_2(c,0)，根据椭圆定义| MF_1|+| MF_2| = 2a。
- 由两点间距离公式| MF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}，| MF_2|=√((x -c)^2)+y^{2}。
- 则√((x + c)^2)+y^{2}+√((x - c)^2)+y^{2}=2a。
- 移项√((x + c)^2)+y^{2}=2a-√((x - c)^2)+y^{2}。
- 两边平方(x + c)^2+y^2=4a^2-4a√((x - c)^2)+y^{2}+(x - c)^2+y^2。
- 化简得a^2-cx=a√((x - c)^2)+y^{2}。
- 再平方a^4-2a^2cx + c^2x^2=a^2(x^2-2cx + c^2+y^2)。
- 整理得(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)。
- 令b^2=a^2-c^2，则frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1。
2. 椭圆的一些重要结论。
- 焦半径公式：- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设P(x_0,y_0)为椭圆上一点，F_1,F_2为焦点。
椭圆二级结论高频考点
椭圆二级结论高频考点椭圆二级结论是高中数学中的一个重要考点，也是高考中经常出现的题型。
椭圆是一种常见的二次曲线，其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴。
在解题过程中，我们需要掌握一些椭圆的基本性质和二级结论。
首先，我们需要了解椭圆的基本性质。
椭圆的中心为原点$(0,0)$，对称轴分别为$x$轴和$y$轴，长轴与$x$轴的夹角为$\theta$，则有$a>b$，且$\tan\theta=\frac{b}{a}$。
椭圆的焦点分别位于$x$轴上的$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}$，且$0<e<1$。
椭圆的周长为$C=4aE(e)$，其中$E(e)$为第二类完全椭圆积分。
其次，我们需要掌握椭圆的二级结论。
椭圆的二级结论是指椭圆上的任意一点$P(x,y)$到两个焦点的距离之和等于常数$2a$。
即$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1$和$F_2$分别为椭圆的两个焦点。
这个结论可以用勾股定理和焦点定义来证明。
在解题过程中，我们可以利用椭圆的二级结论来求解一些问题。
例如，已知椭圆的长轴和离心率，求短轴的长度。
我们可以利用椭圆的离心率和长轴长度求出焦距$c$，然后利用椭圆的二级结论求出短轴长度$b$，即$b=\sqrt{a^2-c^2}$。
又如，已知椭圆上一点$P(x,y)$到两个焦点的距离之和为$2a$，求椭圆的方程。
我们可以利用椭圆的二级结论和勾股定理，列出方程$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$，然后化简得到椭圆的标准方程。
总之，掌握椭圆的基本性质和二级结论对于解题非常重要。
在解题过程中，我们需要灵活运用椭圆的二级结论，结合勾股定理和焦点定义，来求解各种问题。
同时，我们也需要注意椭圆的特殊情况，如圆和退化椭圆等。
椭圆必背的十大结论
椭圆必背的十大结论
1.椭圆是一种闭合的曲线，它与两个焦点的距离之和是固定的，这个固定值称为椭圆的长轴。
2.椭圆的中心是长轴的中点。
3.椭圆的短轴是椭圆的宽度，是长轴的垂直线段。
4.椭圆的离心率是一个无量纲常数，用来描述椭圆的形状，它等于长轴和短轴之间的差值与长轴之和的比值。
5.圆的离心率小于1，当离心率等于0时，圆变成一个圆。
6.圆的面积是长轴和短轴的乘积乘以π的一半。
7.圆的周长没有一个简单的公式，但可以使用椭圆积分来计算。
8.圆可以用焦点和一条线段来定义，这条线段被称为椭圆的直径。
9.椭圆和直线之间的交点称为椭圆的交点。
10.圆可以被切成两个相等的部分，这两个部分称为圆的半个。
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等
一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
2 2
例1椭圆 ・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2
的形状. 16 12 性质一： 2 2
已知椭圆方程为 笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2
,设焦点三角形 a b
PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
性质
三：
h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2
已知椭圆方程为 务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形
a b
2
PF 1F 2 中 FfF 2
- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2
一
x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上
a b
存在一点P,使得三F 1PF 2二12。
0,求椭圆的离心率e 的取值范围。
二 b 2 tan —。
2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+
着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为
F 1, F 2,设焦点三角
例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I
F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.
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