实验一两点边值问题差分法

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边值问题的数值解法

估计式
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2，，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2

差分法的原理

差分法的原理介绍差分法（Differential Method）是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于求解函数的导数、积分和微分方程等问题。

本文将详细阐述差分法的原理，介绍其基本思想和常见应用，并提供相关数学推导和实例说明。

差分法的基本思想差分法的基本思想是利用函数在某点附近的差商逼近函数的导数、积分或微分方程的解。

差分法将连续问题转化为离散问题，通过在有限的点集上进行计算，近似得到连续函数的性质。

其核心思想是用有限差分逼近函数的微分。

一阶导数的差分逼近前向差分对于函数f(x)，在点x0处的一阶导数可以使用前向差分逼近：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ为步长。

后向差分后向差分逼近则是：f′(x0)≈f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ中心差分中心差分逼近则是前向差分和后向差分的平均：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ高阶导数的差分逼近类似地，我们可以使用类似的思路进行高阶导数的差分逼近。

例如，二阶导数的差分逼近可以使用以下公式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2常见应用差分法在数值计算中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：数值积分差分法可以用于数值积分，通过对函数在一定区间上的离散点进行差分逼近，求解积分值。

求解微分方程差分法可以用于求解常微分方程和偏微分方程。

通过离散化空间和时间，将微分方程转化为差分方程，进而求解得到数值解。

数据平滑和插值差分法可以用于对数据进行平滑处理和插值。

通过差分逼近函数的导数或曲线的斜率，可以对数据进行处理和插值，使其更接近实际情况。

优化问题差分法可以用于求解优化问题，通过逼近函数的导数，来确定函数的极值点。

数学推导和实例说明下面将通过一个具体的数学推导和实例说明差分法的应用。

数学推导考虑函数f(x)在x0处的二阶导数。

使用中心差分逼近，可以得到以下表达式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2其中ℎ为步长。

差分法原理

差分法原理差分法是一种常用的数值计算方法，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

差分法的基本原理是利用函数在某一点附近的差值来近似表示函数的导数、积分或微分方程的解，通过离散化的方式来求解连续问题，是一种离散化求解连续问题的数值计算方法。

在实际应用中，差分法可以用来解决一些复杂的微分方程、积分方程或者求解函数的导数。

它的基本思想是将连续的问题转化为离散的问题，通过对离散化后的问题进行计算，得到连续问题的近似解。

差分法的主要优点是可以处理复杂的非线性问题，适用于各种类型的方程和函数，而且在计算机上可以很方便地实现。

差分法的核心是利用函数在某一点附近的差值来近似表示函数的导数或微分方程的解。

它的基本思想是将函数在某一点附近展开成泰勒级数，然后利用泰勒级数的前几项来近似表示函数的导数或微分方程的解。

通过适当选择差分格式和步长，可以得到较为准确的数值解。

在差分法中，常用的差分格式包括前向差分、后向差分、中心差分等。

其中，前向差分是利用函数在某一点附近的两个点的函数值来表示函数的导数，后向差分是利用函数在某一点附近的两个点的函数值来表示函数的导数，而中心差分则是利用函数在某一点附近的三个点的函数值来表示函数的导数。

通过选择不同的差分格式和步长，可以得到不同精度的数值解。

差分法的应用领域非常广泛，包括但不限于数学建模、物理仿真、工程计算等。

在数学建模中，差分法可以用来求解微分方程、积分方程或者求解函数的导数，通过对离散化后的问题进行计算，得到连续问题的近似解。

在物理仿真中，差分法可以用来模拟复杂的物理现象，求解微分方程或者积分方程，得到物理系统的数值解。

在工程计算中，差分法可以用来解决一些复杂的工程问题，求解微分方程或者积分方程，得到工程系统的数值解。

总之，差分法是一种非常重要的数值计算方法，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

通过离散化的方式来求解连续问题，可以处理复杂的非线性问题，适用于各种类型的方程和函数，而且在计算机上可以很方便地实现。

第九章偏微分方程差分方法汇总

第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2）第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3）第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4）这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。

两点边值差分算法

if(scanf("%lf",&A)) printf("输入区间右端点的值B(输入0结束程序)：\n");
while(scanf("%lf",&B)&&B&&n)
{
h=(B-A)/(n+1);
b[1]=(exp(A+1.5*h)+exp(A+0.5*h))/(h*h)+(A+h)*(A+h);
c[1]=2.0*(A+h)/h-exp(A+1.5*h)/(h*h);
n为10时最大误差：0.000937
误差2-范数e[0]：0.000696
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048961 0.000190
0.095238 1.099921 1.100161 0.000240
}
a[n]=-exp(A-0.5*h+n*h)/(h*h)-2*(A+n*h)/h;
b[n]=(exp(A+0.5*h+n*h)+exp(A-0.5*h+n*h))/(h*h)+(A+n*h)*(A+n*h);
f[1]=(h*h+(2.0*A+4.0)*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+h))*exp(A+h)+
void catchup() //用追赶法解对角占优的三对角线方程组

difference method 差分法

差分法，又称差分分析法，是数学，经济学，物理学，工程学等各个领域使用的有力工具。

这种方法涉及将两个数据点之间的差数用于分析两个点之间的变化速率或"偏差"。

通过了解数据如何随时间变化或跨越不同的变量，可以获取宝贵的见解，并用来作出知情的决定。

在数学中，微积分中常用差法来计算一个函数的变化率。

通过找到代表某一函数在特定间隔期间平均变化速率的差价，数学家可以理解该函数的行为，并对其未来值作出预测。

在经济学中，差异法用于分析GDP，通货膨胀率，就业数字等经济指标的变化。

通过逐年比较这些指标的差异，经济学家可以评估一个经济体的健康，并就政策变化提出建议。

在物理学中，差异法用于分析物体的运动及其随时间的变化位置。

物理学家通过取不同时点的位置值差异，可以计算一个物体的速度和加速，提供关于其行为的宝贵信息。

在工程学中，差异法被用于信号处理，控制系统，优化等各种应用。

通过分析输入和输出信号的差异，工程师可以设计应对环境变化的系统，并发挥最佳性能。

行动差异方法的一个例子是金融领域，它用来计算股票或资产的每日收益。

通过将连续两天的股票收盘价格之间的差额，分析家可以计算日收益，分析股票的波动性和性能。

另一个例子是环境科学，其中使用差异法分析温度、降水量和其他气候指标的变化。

通过长期比较这些指标的差异，科学家可以评估气候变化的影响，并对未来趋势作出预测。

总体而言，差别方法是一个多功能和强大的工具，可用于广泛的领域，以获得洞察力和作出知情决定。

无论是分析某一函数在数学中的变化速度，还是评估某一存量在金融中的表现，差异法都提供了宝贵的信息，可以用来推动进步和创新。

两点边值问题

一、两点边值问题的直接差分法和积分插值法ⅰ. 直接差分化②区域剖分：首先取个1+N 节点：b x x x x a N i =<<<<<= 10，将区间],[b a I =分成N 个小区间：.,,2,1,:1N i x x x I i i i =≤≤-于是得到区间I 的一个网格剖分。

记1--=i i i x x h ，这里取网格均匀时，即),,2,1(N i h h i ==取相邻节点i i x x ,1-的中点),,2,1)((12121N i x x x i i i =+=--③离散格式：用差商代替微商，将方程（1.1）在内点i x 离散化。

对充分光滑的u ，由Taylor 展式有)(]d d [2]d d [)()(2221111h O xuh h x u h h x u x u i i i i i i i i +-+=+-++-+，（1.2）=++=-----)(]d d [24]d d [)()()(33321212121h O xu p h x u p h x u x u x p i i i i i i i)(]d d [24]d d [333221h O xu p h x up i i i ++- （1.3） )(]d d [24]d d [)()()(333211111h O xu p h x u p h x u x u x p i i i i i i i ++=-+++++，（1.4）由（1.4）减（1.3），并除以21ii h h ++，得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--++++i i i i i i i i i i h x u x u x p h x u x u x p h h )()()()()()(2111111 )()d d 12d d d d 2233112121h O x u p h h x u p x u p h h iii i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-++)()d d 12)d d (d d 4)d d (d d2331221h O x u p h h x u p x h h x u p x iii i ii i+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++. （1.5）令)(),(),(),(2121i i i i i i i i x f f x q q x r r x p p ====--，由（1.2），（1.5）知，边值问题的解)(x u 满足方程：+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-≡--++++i i i i i i i i i i i h h x u x u p h x u x u p h h x u L )()()()(2)(111111 [])()()()(111u R f x u q x u x u h h r i i i i i i i i i+=+-+-++，（1.6）其中)(d d 21)d d 121)d d (d d 41)()(22233221h O x u r x u p x u p x h h u R i i i i i i +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+（1.7）为差分算子h L 的截断误差。

有限差分方法(2010-07-19)

椭圆型微分方程的有限差分法主讲：谭林基本思想（步骤）：（1）将求解区域（无限个点）限制在有限个离散点上，一般可通过网格剖分获得。

（2）在离散点处，将求微分问题（无限计算问题）近似化为求若干（相邻）离散点上函数值的线性组合问题（有限计算问题），一般利用数值微商（分）（不同有限元法）。

形成所谓的差分方程。

（3）差分方程的适定性、收敛性和稳定性分析。

（4）差分方程的解法。

下面以两点边值问题为例介绍有限差分法全过程一、常见的有限差分方法（1）直接差分法模型问题1：椭圆型方程第一边值问题。

⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+-=,)( ,)(a ,22βαb u a u b x f qu dx ud Lu 其中，],[,0)(),(,b a I x q I C f q =≥∈ 模型问题2：⎪⎩⎪⎨⎧==<<=++-=,)( ,)(a ,)(βαb u a u bx f qu dx du r dx du p d d Lu 其中，],[,0)(),(,,,0],[min 1b a I x q I C f q r p p I C p =≥∈>≥∈○1首先对模型问题1 讨论其有限差分方法的基本步骤 ●求解区域的离散化做均匀网格剖分：b x x x a N =<<<=Λ10其中，分点ih x x i +=0剖分步长n ab h -=● 在节点i x 处，对微分方程离散化22()ii x d uqu f x dx -+= )(12 )()(2)(344222211h O dx u d h dx u d h x u x u x u ii i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+有[]112()2()():()()()i i i i i i i u x u x u x Lu qu x hf x R u +--+=-+=+其中2434()()12i ih d u R u O h dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦记u 在节点N k x k )1(0,=数值解为 N k u k )1(0,=，则有1)1(1 ,2:211-==++--=-+N i f u q hu u u u L i i i i i i i h (*1)比较知)()(:)(u R x f x u L i i i h +=所以[]()()i h i i R u L u x Lu =-表示用差分算子h L 代替微分算子L 产生的误差称之为（局部）截断误差。

由两点边值问题谈数值计算方法

中有限差分方法和有限元方法是最基本的数值计算
方法，文从有限差分方法和有限元方法讨论入手，本
求ｕＥＶ，Ｕ＝ａｕｖ＝ｆｖ，ｖ强解Ｕ一即（，）（）ＶＥＶ，
定是后面的弱解。
于是Ｕａｕｖ＝ｕｖｘ『ｌ【ｖ＝（，）砧ｄ＝６ｒ，ＥＶｆ）Ｖｄ
术创新大门的钥匙。这就使得社会对其成员数学能
弱形式方程｛（）ＯＵ（）０ｕＯ＝，Ｏ＝
ｔ（），Ｏ＝０ｖＯ＝０ｖ（）
力的要求不断提高，期望涌现出更多数学基础扎实、
两边对方程进行积分一ｏ＂ｄ＝ｆｘＶＳ．ｖｘ￣ｖ，ｖｌｕｄｕｖｘｕ３＝ｆｘｄ一［，ｏ￣ｖｖ￣ａ于是变为求ｕ，＝（，）砧＝ｆｘＥＶＵａｕｖ＝ｕｖｄ￣ｖｘｄ
ＶｖＶ ∈
创新能力较强、知识面宽广、综合素质佳的数学人才。随着计算机技术的飞速发展，由于在生命科也
学、学、理、学、制、化物力控经济等领域有不少现象
（（，）于ｕｖ双线性且对称，ａｕｖ关，ｖ＝｛ＥＬ，ｖ２ｏｒ
・
４０・
维普资讯
由两点边值问题谈数值计算方法
若ｗ＃Ｏ则一定ｊ一个区间，ｘ，１ｃ［，］使Ｗ［ｏＸ］０１，
（）０或ｗｘ＜０Ｘ＞（）
假设ＩＮ１＞ＩＮＩ一ＵＩＵ
＝
两边问ｉ０点界题－ｕｕ＂（
ｆ

两点边值问题的差分求解

称之为（局部）截断误差。这里关于的阶为。
注意
所以
由此知：（局部）截断误差可视为差分格式，将数值解换成相应真解值后，左端减右端，再做Taylor展式获得的（可作为计算公式）。
方程的联立形式（中心差分格式）
矩阵形式 (其中是三对角矩阵)
又因为A是三对称矩阵，而且符合追赶法的使用条件，故可用追赶法求解U的解。
3.对浮点数求绝对值时，应使用fabs（）函数，而不是abs（）。
4.注意乘除的计算，不能直接写成2x等，必须加上符号，2*x。
五、运行输出结果及分析：
上述程序在Visual C++ 6.0环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如：分别输入n值：20 ，40，运行结果如图所示，图中显示了每一步的值及端点误差。
u[n-1]=y[n-1];
for(i=n-2;i>=1;i--)
u[i]=y[i]-m[i]*u[i+1];
for(i=1;i<n;i++)
{ printf("请输出u[%d]的值：%f;",i,u[i]);
printf("——精确解为%f",f[i]);
printf("误差为%f",fabs(u[i]-f[i]));
三、主要程序代码或命令：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX 200/*预定义数组大小*/
void main()
{ int n,i; /*初始化阶数n*/
float u[MAX],y[MAX];
float F[MAX],f[MAX],m[MAX];

第5章---两点边值问题求解方式

i 1, 2, , N 1
y0 A, yN B
yi1 yi1 2 yi h2
2
xi
yi1 yi1 2h

2 xi2
yi

sin(ln xi2
xi
)
y0 1, yN 2
xi 1 ih, i 1, 2, , N 1
2019/11/19
2019/11/19
航空航天中的计算方法
Page 5
5.2 打靶法
5.2 打靶法以二阶系统为例，考虑边值问题：
y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A,
变换：
y1 y
y2 y 考虑初值问题：
y(b) B
y1(x) y2 (x)
微分方程 y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A, y(b) B
离散化，将区间 xa,b 等分为N个子区间：
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：
yi1
yi1 2 yi h2
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
将 y(x)在xi处Taylor展开：
y( x)

y( xi )
y( xi ) x

xi

1 2
y( xi ) x

xi
2

1 3!
y( xi ) x

xi
3

2019/11/19
航空航天中的计算方法

二阶线性常微分方程的两点边值问题的新解法

摘要：基于变分原理，将二阶线性常微分方程的两点边值问题转化为等价的变分问题（即泛函极值问题），利用两点三次Ｈｅｍｉ插值构造一个逼近可行函数的近似函数，从而将问题转化为一个多元单目标优化问题，最后运用ｒｔｅ
第３５卷第４期
Ｖｏ．３１５
ＮＯ４．
西南师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｏｔｗｅｔｈｎｒｌＵｎｖｒｉＮａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｕｈｓＣｉａＮｏｍａｉｅｓｙ（ｔｒｌｃｅｃｄｔｎＳｔｉ
单目标优化问题，最后运用粒子群优化算法来求解该优化问题．
１两点边值问题等价的变分问题
考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题：
＋ｐ（ｙ＋ｑｘｙ— ｆｚ）ｘ）；（）（、
ｌａ（）一Ｙ，（）一６。６对于微分方程＋ｐｘｙ＋ｑｘ）（）（ｙ一－）厂，以待定因子（乘等式两边得：（）
二阶线性常微分方程的两点边值问题转化为自共轭的常微分方程的两点边值问题：
ｆＰ（））（１＋Ｑ（ — Ｆ（ｚｚ））
１）一ＹＪｎ（
，
（）一Ｙ６６
收稿日期：２００９—０ —１５１
作者简介：马
一
ｅｐ），以此式乘以＋ｐ（）ｑｘｙ一厂．两端有Ｊ（ｄｘｚｘｙ＋（）（）ｚ

差分检测算法

差分检测算法
差分检测算法是一种常用的数据分析方法，它可以用来检测数据中的
异常值或变化点。

该算法的基本思想是将相邻数据之间的差值进行计算，然后通过比较差值的大小来判断数据是否发生了异常变化。

差分检测算法的具体实现步骤如下：
1. 将原始数据按照时间顺序排列，并计算相邻数据之间的差值。

2. 计算差值的平均值和标准差，用于判断数据是否发生了异常变化。

3. 对于每个数据点，计算它与前面若干个数据点的差值平均值和标准差，用于判断该数据点是否为异常值或变化点。

4. 根据差值的大小和标准差的倍数来判断数据是否为异常值或变化点。

差分检测算法的优点是简单易懂，可以快速检测数据中的异常值或变
化点。

它适用于各种类型的数据，包括时间序列数据、图像数据、声
音数据等。

此外，差分检测算法还可以与其他数据分析方法结合使用，如聚类分析、回归分析等，以提高数据分析的准确性和效率。

然而，差分检测算法也存在一些缺点。

首先，它对数据的要求比较高，需要满足数据之间的差值具有一定的规律性。

其次，差分检测算法容
易受到噪声的影响，需要对数据进行平滑处理或采用其他方法来降低
噪声的影响。

最后，差分检测算法只能检测数据中的异常值或变化点，无法对数据进行预测或分类。

总之，差分检测算法是一种简单有效的数据分析方法，可以用于检测
数据中的异常值或变化点。

它适用于各种类型的数据，但也存在一些
缺点需要注意。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的数据分
析方法，以提高数据分析的准确性和效率。