初三二次函数常见题型及解题策略

二次函数常见题型及解题策略

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫

⎝⎛++22

B A B A y y x x ，

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()0122

2

＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线()3132

+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物

线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2

3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；

当0≠m 时，()032

≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=

，m

x 3

21-=、12=x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22

-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122

；

∴ ⎩⎨⎧=-=+-0

1 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122

不论m 为何值，方程恒成立）

小结．．

：关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩⎨⎧==0

b a

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得

AN MN BM ++之和最小。

（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2

）与一次函数（h kx y ＋＝）

（1）解方程组⎩⎨⎧h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组⎩⎨⎧h

kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02

＝－＋－＋h c x k b ax ，通过∆可判断两个图象的交点的个数

有两个交点 ⇔ 0＞∆ 仅有一个交点 ⇔ 0=∆ 没有交点 ⇔ 0＜∆

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用

xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，

与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。 (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。

在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2

+2y ax ax c =+的图像与y

轴交于点3 0，

C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。

（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2） 点M 是第二象限抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的两部分，

求出此时点M 的坐标；

（3） 点P 是第二象限抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？

并求出此时点P 的坐标。

xOy 中，抛物线x x m

y 222

-=与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。 （1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得AMC ∆的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

4、（2012东城二模第23题）已知关于x 的方程2

(1)(4)30m x m x -+-+=。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值围；

（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2

(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两