信息分析与预测第5章时间序列分析法

第2节 移动平均法（M法）
5.2.1 一次移动平均法
M
[1] i
X i + X i- 1 + + X i- n + 1 = n
…………（5-2）
式中, [1]—— 一次移动平均数的标志； i —— 周期数； n ——每一时间段的数据个数，称为移平跨度； Mi[1] ——第个周期的一次移动平均值。
0.01 £ a <0.3

3.应用举例
5.3.2 二次指数平滑法
基本公式
St[2] = a St[1] + (1- a )St[2] -1
…………（5-14）
通过两次指数平滑可以算出平滑系数，从 而建立线性时间关系模型：
yt + T = at + bt *T ………… （5-15）
式中， yt + T
………（5-49）
1 yt = [ y(t ,1) + y(t ,2) + + y(t ,12) ] 12
………（5-50）
3）建立趋势预测模型，求趋势值
根据年的月平均数，建立年趋势直线模型： 以t年为单位，则：
Tt = a + bt ………（5-51）
4）求季节指数
先计算同月平均数与原点年该月的趋势值的比 值 f i ，再消除随机干扰，经修正后可得季节指 数 F 。

n的取值可以有两种特殊情况： Mi[1] = X i ，即一次移动平均值 （1）当n=1时， 等于原始统计数据。 Mi[1] = X i ，即一次移动平均值 （2）当n=i时， 等于全体数据的平均值。 通常可采用均方误差（MSE ）来检验 n值选择 的效果。具体做法是先按照下式计算取不同n 值时的均方误差 MSE。
N 1 ˆ MSE( n ) = ( X i - X i )2 ån+ 1 N - n i=
…………（5-3）
以最小均方误差为标准选取移平跨度。
5.2.2 二次移动平均法
M i[1] + M i[1]1 + + M i[1]n+ 1 M i[2] = n
…………（5-4）
式中, [1]—— 一次移动平均数的标志； [2]—— 二次移动平均数的标志； i —— 周期数； n ——每一时间段的数据个数，称为移平跨度；
St[1] = a yt + ag yt- 1 + + ag n- 1 yt- n+ 1
同样，
……… （5-9）
St[1]1 = a yt- 1 + ag yt- 2 + + ag n- 1 yt- n ……… （5-10） 由式（5-9）、（5-10）得
S = a yt + g S - ag yt- n ……… （5-11）
i= 1
………… （5-24）
a = y - bt ………… （5-25）

1 n 其中， y = n å= 1 yi i
1 n t = å ti ， n i= 1
。
时间t 的编号可以采用不同的方式： ①从0或1开始的顺序，如5个数据时，t 编号为 0-4或1-5； ②将t=0居中的对称编号，如5个数据时，t 依 次取-2、-1、0、1、2。
S方法
α：平滑常数
指数增长 拟合发展中的加速度 高速增长、没有极限 模型 阶段 生长 模型 拟合单个有极限发展 有上限、分阶段 全过程
包络曲线 拟合依次替代的连续 由多个S曲线构成一个大 模型 增长过程 的S曲线
还原
分解法
经济活动中的不规则 分解为四个基本因素：T、 短期的市场分析和 时间序列 C、S、I，各有其特征 长期经济问题分析。 特别是用季节指数 辅助模型进行短期 预测
Σ t lg y = lg a *Σ t + lg b *Σ t 2
…………（5-34）
联立（5-33）、（5-34）得方程组，即可求得系数a、b。 如果把时间t的原点设在时间序列的中央，则有 。 上述两式又可简化为： Σ t= 0
Σ lg y lg a = N
Σ t lg y lg b = Σ t2
基本公式
S
[3] t
= aS
[2] t
+ (1- a )S
[3] t- 1
…………（5-18）
通过三次指数平滑可以算出平滑系数，从 而建立非线性时间关系模型：
yt + T = at + bt *T + ct *T 2
…………（5-19）

其中三个平滑系数的计算公式为：
（5-20） at = 3St[1] - 3St[2] + St[3] …………
[1] t [1] t- 1 n
由于 a g n yt- n 很小，可以忽略不计，于是
S = a yt + (1- a )S
[1] t
[1] t- 1
……… （5-12）

2．初始值的计算和a值的确定 1）初始值的估算 2）a值的确定
（1）的取值对预测结果的影响 （2）值与n值的关系 （3）取值的经验选择 根据一般的经验，a的取值范围通常是
第 1 章 时间序列分析法
第1节 时间序列及时间序列分析
5.1.1时间序列概述


1．时间序列的概念 2．时间序列的种类
（1）绝对时间序列；（2）相对时间序列；3）平均 时间序列


3．时间序列的特征
1）长期趋势性；2)季节周期性；3)循环周期性；4) 随机波动性；

4．编制时间序列的注意事项
乘法模式
…………（5-43）
Yt = Tt * St * Ct * It
混合模式
………… （5-44）
Yt = Tt * St * Ct + It ………… （5-45）
5.5.2 常用时间序列分解法
1．平均数趋势预测法
1）求各年同月的平均数 以ri表示各年第i月的同月平均数，则： 1 ri = [ y(1,i ) + y(2,i ) + + y( n ,i ) ] n 2)求各年的月平均数 以 yt 表示第t年的月平均数，则：
………… （5-30）
式中， y——技术特性参数； t ——时间； k ——比例常数。 k 对上式求解并令 e =
t
b
， 得：
y = a * b ………… （5-31）
对上式两边取常用对数，得：
lg y = lg a + t lg b ………… （5-32）
对于时间序列数据而言，其标准方程为：
Σ lg y = N * lg a + lg b *Σ t…………（5-33）
gi = 1 [ y(1,i ) + y(2,i ) + + y( n ,i ) ] n
……… （5-56）
各季总平均值是历年全部季度总的数据除以总季数，以 Gi表示各季总平均值，则：
å
Gi =
n ,4
y( i , j ) 4n
i = 1, j = 1
……… （5-57）
2）计算季节系数 季节系数fi等于同季平均值与各季总平均值 之比，即： gi fi = ……… （5-58） Gi 3）计算预测值
………… …………
（5-35） （5-36）
设时间点t与其相邻的时间点t+1对应的值分别为yt 和
yt+1，则有：
yt + 1 abt + 1 = =b t yt ab
…………（5-37）

在指数曲线的对数形式（5-32）中，若 A B 记 Y = lg y 、 = lg a 、 = lg b ，则指数曲线又 可转化为直线形式：
Y = A + Bt ………… （5-38）
5.4.4生长曲线法
1.逻辑曲线
1）数学模型
k y= 1 + ae- bt
………… （5-39）
式中，条件参数k>0,a>0,b>0。
2）数学特征 3）模型系数的确定
2．高柏兹曲线法 1）数学模型
（5-40） y = ka …………
bt
2）数学特征 3）模型系数的确定
å
b=
n
ti yi ti2
n
i= 1 n
å
2 i
………… （5-28）
i= 1
n 邋 yi t c=
i= 1 n 4 i
n
n
yi
i= 1 n i= 1
ti2
2 i 2
n邋 - ( t
i= 1
t )
i= 1
………（5-29）
5.4.3指数曲线法
已知变量随时间及有关因素增长的数学 模型为：
dy = ky dt
5.1.2时间序列分析概述


1．时间序列分析概念 2．时间序列模型
Y = T * S * C * I ………… （5-1）
（1） ——长期趋势分量 （2） ——季节变动分量 （3） ——周期变动分量 （4） ——随机变动分量
3．时间序列分析的优点与局限性
5.1.3时间序列分析法的类别与特性
逐步“修匀”
St[1] = a1 yt + a 2 yt- 1 + + a n yt- n+ 1
n
…………（5-8）
其中，a1>a2>…….>an，且å a i = 1
i= 1
若a1，a2，…….，an呈等比数列，公比为g=1-a，则权数 序列可以表示为： ……a，a(1-a),
a (1- a )
2
……