矿床统计预测2017-7-证据权法 (1)

7 证据权法
7.4 计算过程举例
假设有未知单元8个，其数据如下表。 单元 X1 X2 X3 X4 X5 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
3
4 5
0
0 1
0
1 0
1
1 1
0
1 0
1
0 1
6
7 8
1
1 0
0
0 1
0
1 1
0
1 1
0
0 1
wi表（变量值为1时取wi+,为0时取wi-）
单元 1 x1 -0.1651 x2 1.2004 x3 0.6932 x4 -0.0924 x5 0.4055 F
wi
1.0986 1.2004 0.6931
wi
-0.1651 -0.1651 -0.0924
Ci
1.2637 1.3655 0.7855 -0.3131 0.6466
Ci wi wi 0.4055 (0.2412 ) 0.6466
-0.4055 -0.0924 0.4055 -0.2412
wi ln
N Xi / N N (S N ) ln Xi N Xi /(S N ) N Xi N 1 N Xi / N ( S N )(N N Xi ) wi ln ln 1 N Xi /(S N ) N ( S N N Xi )
Eq 7-16
7 证据权法
7.3 证据权法的应用过程
3）对每个单元，使用第2）步算出的 wi , 通过公式Eq7-9计算F值， 再用 Eq 7-11 计算后验概率。 4）选择合适的后验概率临界值，圈定找矿远景区。选择监界值可以采 用类似于确定找矿信息总量临界值的方法（第5.3节）。 5）按照公式 Eq 7-14，计算各变量的 Ci ，对各个地质变量的重要性进 行评价和地质解释。
P( D | X ) 1 P( D | X )
Eq 7-10
所以（Eq7-7） F ln O( D | X ) ln 于是事件D/X的优势率为
P( D | X ) eF 1 P( D | X )
7 证据权法
7.ຫໍສະໝຸດ Baidu 证据权法原理
由Eq10可得后验概率为
eF P( D | X ) 1 eF
w0 ln O( D)
令
wi ln
P( X i | D ) P( X i | D ) F ln O( D | X )
Eq 7-7
则 Eq 7-6 成为
F w0 w1 w2 ... wp wi
i 0
p
Eq 7-8
7 证据权法
7.2 证据权法原理
假设一个地区内单元含矿的先验概率是某个常数。这样w0在各单元中为 常数，忽略w0将不影响单元之间的相互比较。因此，Eq 7-8 简化为
7 证据权法
变量
X1 X2 X3 X4 X5
wi ln
7.4 计算过程举例
假设共有控制单元S=100个，其中含矿的N=40个，无矿的S-N=60个。 地质变量共5个，统计数据及正权、负权、对比度计算如下表。
N Xi
28 31 12 4 18
N Xi ( S N ) N Xi N
N Xi
14 14 9 9 18
P( D | X ) P( X | D ) O( D | X ) O( D) P( D | X ) P( X | D )
Eq 7-4
7 证据权法
假设
7.2 证据权法原理
P( X 1 | D) P( X 2 | D)...P( X p | D)
Eq 7-5
X1, X 2 ,..., X p 相互条件独立，根据Eq7-4,有
-0.0924
0.6932 0.6932 0.6932 -0.0924 0.6932 0.6932
-0.4055
-0.0924 -0.4055 -0.0924 -0.0924 -0.4055 -0.4055
0.4055
0.4055 -0.2412 0.4055 -0.2412 -0.2412 0.4055
F值和后验概率
P(D/X) 2.04157 2.20664 0.885093 0.900844
2
3 4 5 6 7 8
1.0986
-0.1651 -0.1651 1.0986 1.0986 1.0986 -0.1651
1.2004
-0.1651 1.2004 -0.1651 -0.1651 -0.1651 1.2004
O( D | X ) O( D) P( X1 | D ) P( X 2 | D )...P( X p | D )
两边取对数：
ln O( D | X ) ln O( D) ln
P( X p | D ) P( X 1 | D ) P( X 2 | D ) ln ... ln Eq 7-6 P( X 1 | D ) P( X 2 | D ) P( X p | D )
7 证据权法
7.1 概述
证据权法是1980年代产生的统计分析方法，最初用于医疗诊断，后 来随着GIS的应用，证据权法开始用于矿产预测。
证据权法是通过计算和利用各种不同证据的权重，并将多种证据结 合起来，预测某个事件是否会发生的一种方法。 在矿产预测中，需要预测的是 “一个单元中有某类矿床存在”这件 事是否会发生。所使用的证据就是多个地质变量。每个地质变量都 可以在研究区内的所有单元中取一个值，称为一个证据层。许多层 按照各自的权系数进行叠加，获得每个单元的“有矿概率”，根据单 元有矿概率的大小划分找矿远景区。
Eq 7-15
其中p为变量数（证据层数）。然后使用 Eq 7-9 和 Eq 7-11 计算后验概 率，作为预测结果。
既考虑正权也考虑负权的预测结果将比单独考虑正权的结果提高“分 辨率”，使不同单元的后验概率差别加大。
7 证据权法
7.3 证据权法的应用过程
1）提取地质变量，划分基本单元，选择控制单元。地质变量应为逻辑变 量。控制单元要包含有矿和无矿单元两类。 2）在控制单元中，用公式 Eq 7-7、7-11、7-12、7-13、7-15 计算每个地 质变量的 wi 。 实际计算中，需要用频率来估计概率。设控制单元总数为S，其中含矿单 元数为N，不含矿单元数为S-N ，含矿单元中含有Xi的单元数为 N ， Xi N Xi ，则由前面各式可知： 不含矿单元中含有Xi的单元数为
Eq 7-11
后验概率是用来对单元是否有矿进行预测的主要指标，是需要计算的最 后结果。它越大，表示单元越有利于找矿。
7 证据权法
wi ln
7.2 证据权法原理
证据权 wi 反映Xi的存在对于D的重要性。类似地，我们可以计算当Xi不存 在时的证据权，记为 wi ，称为负权，计算公式类似于 Eq 7-7 ：
P( X i | D) 1 P( X i | D) ln P( X i | D ) 1 P( X i | D )

Eq 7-12
wi 相应地，可换个符号 wi 来表示刚才算出来的“正权” 。
P ( X i | D) w ln P( X i | D )
i
Eq 7-13 = Eq 7-7
wi ln
18 60 ln 18 40 ln 1.5 0.4055
60 (40 18) ( S N )(N N Xi ) ln N ( S N N Xi ) 40 (60 18)
ln(1.5 22 / 42) 0.2412
F wi
i 1
p
Eq 7-9
各wi称为变量Xi的证据权，可由Eq7-7计算出。它越大表示变量Xi对于事 件D（有矿）越重要。这可以从Eq7-7明显看出。
7 证据权法
7.2 证据权法原理
由于（Eq7-2） O( D | X )
P( D | X ) P( D | X ) P( D | X ) 1 P( D | X )
i 1
p
eF P( D | X ) 1 eF
7 证据权法
7.4 证据权法应用中需注意的问题
1）所用地质变量应为逻辑变量。如果不是，则应进行必要的变换。
2）控制单元要有含矿单元和无矿单元两类，两类数目都要比较多，用 频率估计概率才能较可靠。
3）上述证据权法只预测“有矿”、“无矿”的概率，并未考虑矿床的 规模、类型。 预测结果的地质意义取决于控制区如何选择。在应用中，应考虑和限制 矿床规模及类型，以便于对预测结果及变量进行更合理的地质解释。 4）该方法要求各变量条件独立（这样Eq 7-5才成立）。故应尽量使用互 相独立的变量，否则影响预测可靠性。
P( D ) O( D) P( D )
为事件D的优势率（Odds ratio）。 优势率比概率常能够更好地表示事件D发生的可能性大小。
7 证据权法
用集合
7.2 证据权法原理
Eq 7-3
X {X1, X 2 ,..., X p }
表示与D有关的p个证据，并设各Xi都是逻辑变量。用D/X表示“单元中 存在X的情况下有矿”这一事件。该事件的概率是条件概率：
思考题
（1）什么是证据权法？ （2）什么是先验概率，什么是后验概率？什么是优势率？
（3）什么是证据权，什么是正权，什么是负权？
（4）什么是对比度系数，它有什么用处？ （5）什么是条件独立性？
（6）证据权法对数据有何要求？
（7）说明用证据权法进行找矿远景区划分的步骤。
0.67609
1.08184 1.93978 0.50763 0.98005 1.72847
0.662865
0.746842 0.874328 0.624251 0.727118 0.849217
w , if X i 1 wi w , if X i 0
i i
F wi
7 证据权法
7.2 证据权法原理
证据权法以贝叶斯定理为基础。设D表示“单元中有矿”这一随机事件。 用P(D)表示事件D的概率(单元有矿概率)。假设P(D)事先已经知道，即它 是先验概率（先验概率是在开始研究之前已经知道的概率）。于是单元无 矿的概率为
P( D ) 1 P( D)
称
Eq 7-1 Eq 7-2
将
Ci wi wi
Eq 7-14
称为Xi的衬度系数或对比度系数（contrast），它可以用来综合评价地质 变量Xi对于单元含矿性的重要性，越大越重要。
7 证据权法
7.2 证据权法原理
在任一未知单元中，证据Xi可能存在(=1)也可能不存在(=0)。对任一未知 单元，令
wi , if X i 1 wi , i 1,2,..., p wi , if X i 0
P{D / X } P( D | X )
称为后验概率。（后验概率是通过研究获得有关信息后，对先验概率的 修正）。依贝叶斯定理，
P( D | X ) P( X ) P( X | D ) P( D )
P( D | X ) P( X ) P( X | D ) P( D )
以上两式相除可算出优势率：