第五章：测量误差的基本知识
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章-测量误差的基本知识(091023)
[例6-8]
∴ m A = ± 1.64 = ±1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角 α=15°00′00″±30″ 2 ′ m D = [(c o s α ) ⋅ m D ′ ] 2 求：水平距离D 及其中误差 m + [( D ′ ⋅ s in α ) α ] 2 解：1.函数式 D = D′ cos α , ρ 2.全微分 = [(c o s 1 5 o ) ⋅ 0 .0 5 ] 2 dα dD′ = (cos α ) dD′ + ( D′ ⋅ sin α ) o 3 0 ′′ 2 + [(5 0 ⋅ s in 1 5 ) ] ρ ρ 3.化为中误差
四、线性函数 线性函数 Z = K1 X 1 ± K 2 X 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± K n X n ，则有
mZ = ± K1 m X1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m X n
2 2 2 2 2 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 = 误差mγ。 解：
2 2 2 2 mZ = m X1 + m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m X n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 m = m n
Z
m读 ≈ ±2mm [例6-4] 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量观测过程中，由于受到仪器精度的限制、观测者的生理和 心理因素以及外界条件的影响，测量操作不可能做得尽善尽美， 之间存在偏差，这种偏差称为测量误差（或观测误差）。 真值与观测值之差称为真误差。 准确值与观测值之差称为误差。
合格的测量仪器 合理的测量方法 认真的工作态度 良好的外界条件
误差区间 0～3 负误差 K 45 K/n 0.126 K 46 正误差 K/n 0.128 误差绝对值 K 91 K/n 0.254
3～6
6～9 9～12 12～15
40
33 23 17
0.112
0.092 0.064 0.047ຫໍສະໝຸດ 4133 21 16
0.115
0.092 0.059 0.045
81
偶然误差的特性
例：在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角， 由于每个三角形内角之和的真值（180º）为已知，因此，可以计算每个三角 形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按 误差绝对值由小到大排列次序。以3秒为误差区间进行误差个数k的统计，偶 然误差的统计见表
第一组观测值 观测值 180°00ˊ03" 180°00ˊ02" 179°59ˊ58" 179°59ˊ56" 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57" 真误差Δ" -3 -2 +2 +4 -1 0 -4 +3 Δ２ 9 4 4 16 1 0 16 9 观测值 180°00ˊ00" 179°59ˊ59" 180°00ˊ07" 180°00ˊ02" 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00"
在测量观测过程中，由于受到仪器精度的限制、观测者的生理和 心理因素以及外界条件的影响，测量操作不可能做得尽善尽美， 之间存在偏差，这种偏差称为测量误差（或观测误差）。 真值与观测值之差称为真误差。 准确值与观测值之差称为误差。
合格的测量仪器 合理的测量方法 认真的工作态度 良好的外界条件
误差区间 0～3 负误差 K 45 K/n 0.126 K 46 正误差 K/n 0.128 误差绝对值 K 91 K/n 0.254
3～6
6～9 9～12 12～15
40
33 23 17
0.112
0.092 0.064 0.047ຫໍສະໝຸດ 4133 21 16
0.115
0.092 0.059 0.045
81
偶然误差的特性
例：在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角， 由于每个三角形内角之和的真值（180º）为已知，因此，可以计算每个三角 形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按 误差绝对值由小到大排列次序。以3秒为误差区间进行误差个数k的统计，偶 然误差的统计见表
第一组观测值 观测值 180°00ˊ03" 180°00ˊ02" 179°59ˊ58" 179°59ˊ56" 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57" 真误差Δ" -3 -2 +2 +4 -1 0 -4 +3 Δ２ 9 4 4 16 1 0 16 9 观测值 180°00ˊ00" 179°59ˊ59" 180°00ˊ07" 180°00ˊ02" 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00"
《测量学》第5章 测量误差基本知识
4 180-00-01.5
5 180-00-02.6
S
m
244 .3 7.0秒 5
m2 3m2 m 3m
-10.3
+2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1
7.8 121 2.6 6.8 244.3
A BC
m m / 3 4.0秒
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超 过40秒； 2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的 限差； 3、两次仪器高法的高差限差。
24
130
中误差 m 1
2 2 .7 n
m2
2 3 .6
n
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关
用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
T m l
1 l
m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
x l1 l2 ln
已知：m1 =m2 =….=mn=m
n
求：mx
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
mx
(
1 n
)2
m12
(1)2 n
m22
(1)2 n
mn2
1m n
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l
Δ ΔΔ
1 180-00-10.3
2 179-59-57.2
3 179-59-49.0
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D
第5章 测量误差的基本知识
结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。
（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。
（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为m户±20〃，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理⽅法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适⽤范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的⽬的，使我们能了解误差产⽣的规律，正确地处理观测成果，即根据⼀组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量⼯作选⽤适当观测⽅法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：⼀、测量误差的概念⼈们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进⾏观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
⼆、测量与观测值通过⼀定的仪器、⼯具和⽅法对某量进⾏量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量⼯作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量⼯作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即⽤同⼀精度等级的仪器、设备，⽤相同的⽅法和在相同的外界条件下，由具有⼤致相同技术⽔平的⼈所进⾏的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量⽽直接进⾏的观测，即被观测量就是所求未知量本⾝，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，⽤钢尺直接丈量属于直接观测；⽽视距测量则属于间接观测。
）3.独⽴观测和⾮独⽴观测独⽴观测：各观测量之间⽆任何依存关系，是相互独⽴的观测，称为独⽴观测，观测值称为独⽴观测值。
《土木工程测量》PPT课件第5章-测量误差的基本知识
1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
（2）偶然误差的示例：
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数： 1590
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.02m，D2=200m，m2=±0.02m， 求： K1, K2
解：
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍，即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现，测量结果不可避免 的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差： 观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 （1）误差——真值与观测值之差（严格：真误差）
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次 独立观测，观测值为：L1、L2、…、Ln；其相应的真误差为 Δ1，Δ2，……，Δn；则定义该组观测值的
第五章测量误差的基本知识_土木工程测量
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
K1
m1
D1
0.01 100
1 10000
K2
m2
D2
0.01 200
1 20000
返回
一、 求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
第五章 测量误差的基本知识
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
测量误差概述 衡量精度的标准 误差传播定律 等精度直接观测平差
测量实践中可以发现，测量结果不可避 免的存在误差，比如： 1、对同一值多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不于等理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准 ∑h≠0
2.全微分
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mD2
[(cos
) mD ]2
[(D sin )
m
]2
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30 ]2
mD 0.048(m)
二、 线性函数的误差传播定律
设线性函数为：
z k1x1 k2x2 knxn
偶然误差的特性
真误差 l x l 180
观测值与理论值之差
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，
可相互抵消；
5测量误差的基本知识
3．外界条件的影响 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等 因素的变化，均使观测结果产生误差。
人、仪器和外界条件，通常称 为观测条件
观测条件相同的各次观测，称 为等精度观测；
在观测结果中，有时还会出现 错误，称之为粗差。粗差在观测结 果中是不允许出现的
2
§5-1 测量误差及其分类
二、测量误差的分类
3
§5-1 Leabharlann 量误差及其分类2．偶然误差 在相同的观测条件下，
对某量进行一系列的观测， 如果误差的大小和符号都没 有表现出一致性倾向，表面 上没有任何规律，这种误差 称为偶然误差。
偶然误差是不可避免的。
4
§5-2 偶然误差的特性
偶然误差的四个特性：
（1）有限性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值；
第五章 测量误差的基本知识
§5-1 测量误差及其分类
测量误差—观测值与真值之差 真值—对一个量多次观测的算术平均值
一、测量误差产生的原因
1．仪器误差 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差 存在所引起的误差。
2．人为误差 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
1
§5-1 测量误差及其分类
2.容许误差： 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称 为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以 认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。
3.相对误差： 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化 为分子为1的分数，即:
m1 mK D D
m
7
（2）聚中性 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率几乎相同；
人、仪器和外界条件，通常称 为观测条件
观测条件相同的各次观测，称 为等精度观测；
在观测结果中，有时还会出现 错误，称之为粗差。粗差在观测结 果中是不允许出现的
2
§5-1 测量误差及其分类
二、测量误差的分类
3
§5-1 Leabharlann 量误差及其分类2．偶然误差 在相同的观测条件下，
对某量进行一系列的观测， 如果误差的大小和符号都没 有表现出一致性倾向，表面 上没有任何规律，这种误差 称为偶然误差。
偶然误差是不可避免的。
4
§5-2 偶然误差的特性
偶然误差的四个特性：
（1）有限性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值；
第五章 测量误差的基本知识
§5-1 测量误差及其分类
测量误差—观测值与真值之差 真值—对一个量多次观测的算术平均值
一、测量误差产生的原因
1．仪器误差 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差 存在所引起的误差。
2．人为误差 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
1
§5-1 测量误差及其分类
2.容许误差： 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称 为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以 认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。
3.相对误差： 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化 为分子为1的分数，即:
m1 mK D D
m
7
（2）聚中性 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率几乎相同；
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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2、误差的表达式：Δ＝l－X
3、测量误差的基本特性：测量误差不可避免
一、测量误差的来源
1．测量仪器和工具
由于仪器和工具加工制造不完善或校 正之后残余误差存在所引起的误差。
2．观测者
由于观测者感觉器官鉴别能力 的局限性所引起的误差。
3．外界条件的影响
外界条件的变化所引起的误差（温 度、风力、日光、大气折光）。
二、测量误差的分类
粗差 系统误差 偶然误差
1、粗差
粗差是测量中的错误。粗差在观测结果中 是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细 作业外，还必须采取必要的检核措施。
几个概念： 必要观测
多余观测
测定未知量的最少观测次数；如 测量三角形内角必要观测为2
多余必要挂侧的观测；如测量三 角形内角观测3个角度，多余观 测为1
几个概念： 1、观测条件：
人、仪器和外界条件， 通常称为观测条件。
2、等精度观测： 3、非等精度观测：
观测条件相同的各次 观测，称为等精度观 测；
观测条件不相同的各 次观测，称为非等精 度观测。
研究测量误差的目的和意义
• 确定未知量的最可靠值及其精 度
• 制定观测方案、采取措施尽力 减少测量误差对测量结果的影 响
例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含 有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180˚。用X 表示真值，则l与X的差值Δ称为真误差（即偶然误差）， 即
lX
现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出 217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间 统计相应的误差个数，列入表中。
10
2.7
m乙
02 12 72 22 12 12 82 02 32 12
10
3.6
比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。
中误差所代表的是某一组观测值的精度。
不同中误 差的正态 分布曲线
1 2 m1
1 2 m2
m1<m2
0
二、相对中误差
相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果 之比，并化为分子为1的分数，即
式中 [∆∆]——真误差
的平方和，
21 22 2n
例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测， 它们的真误差分别为：
甲组： 3,2,4,2,0,4,3,2,3,1
乙组： 0,1,7,2,1,1,8,0,3,1
试计算甲、乙两组各自的观测精度。
解:
m甲
32 22 42 22 02 42 32 22 32 12
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大； *
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； *
（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均 值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即
式中
lim 0 n n
[Δ]
——偶然误差的代数和，
1
2
n
第二节 衡量精度的标准
ห้องสมุดไป่ตู้
在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。
多余观测的作用
1）、构成检核条件，发现粗差 2）、评定测量精度（用多余观 测差值的大小） 3）发笑超限误差
2．系统误差
1）概念：在相同观测条件下，对某量进行一系列 观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按 一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2）性质：系统误差在测量成果中具有累积性，对测 量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的 规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。
中误差 相对中误差 极限误差
*
偶然误差分布的数学基础
一： 标准差与中误差
对真值 X 进行了n次等精度独立观测， 观测值——l1， l2 ，…， ln 真误差——Δ1，Δ2 ，…，Δn (Δ=L-X)
观测值的标准差——
lim []
n n
n有限时的标准差—— ˆ m []
n m——中误差(mean square error)，用m表示。
mK
m D
1 D
m
例 丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m， m2=±1cm， 试计算两段距离的相对中误差。
解
mK1
m1 D1
0.01m 1 100m 10000
mK2
m2 D2
0.01m 1
30m 3000
第五章 测量误差的基本知识
重点： ➢测量误差的来源、分类及处理方法 ➢学习误差的目的和意义 ➢掌握偶然误差的特性 ➢掌握评定测量精度的方法 ➢掌握观测值得中误差和误差传播定律的 计算方法和应用 ➢等精度观测和非等精度观测的精度评定 方法
第一节 测量误差概述
1、误差的概念： 观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值， 称为测量误差
3）系统误差的处理办法 ➢进行计算改正 ➢选择适当的观测方法
• 案例：钢尺量距，用没有鉴定、名义长为
30m、实际长为30.005m的钢尺量距，每 丈量一整尺段距离就量短了0.005m，产生0.005m的量距误差。各整尺段的量距误差 大小都是0.005m，符号都是负，不能抵消， 具有累积性。系统误差对观测值的影响具 有一定的规律性，找到规律就可对观测值 施加改正以消除或削弱系统误差的影响。
3．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系 列的观测，如果观测误差的符号和大小都不 一致，表面上没有任何规律性，这种误差称 为偶然误差。具有统计规律
三、偶然误差的特性
偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随 着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表 现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律 性越明显。
*
误差区间
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上
合计
偶然误差的统计
正误差个数 负误差个数
30
29
21
20
15
18
14
16
12
10
8
8
5
6
2
2
1
0
0
0
107
110
*
总计
59 41 33 30 22 16 11 4 1 0
217
偶然误差的误差分布图
当误差数n→∞ ，误差区间dΔ→0 ， y f ()
1
2
e 2 2
2
（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的 误差个数多； *
（2）绝对值相等的正负误差的个数大致 相等； *
（3）最大误差不超过27″。
偶然误差的四个特性：
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定 的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； *
3、测量误差的基本特性：测量误差不可避免
一、测量误差的来源
1．测量仪器和工具
由于仪器和工具加工制造不完善或校 正之后残余误差存在所引起的误差。
2．观测者
由于观测者感觉器官鉴别能力 的局限性所引起的误差。
3．外界条件的影响
外界条件的变化所引起的误差（温 度、风力、日光、大气折光）。
二、测量误差的分类
粗差 系统误差 偶然误差
1、粗差
粗差是测量中的错误。粗差在观测结果中 是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细 作业外，还必须采取必要的检核措施。
几个概念： 必要观测
多余观测
测定未知量的最少观测次数；如 测量三角形内角必要观测为2
多余必要挂侧的观测；如测量三 角形内角观测3个角度，多余观 测为1
几个概念： 1、观测条件：
人、仪器和外界条件， 通常称为观测条件。
2、等精度观测： 3、非等精度观测：
观测条件相同的各次 观测，称为等精度观 测；
观测条件不相同的各 次观测，称为非等精 度观测。
研究测量误差的目的和意义
• 确定未知量的最可靠值及其精 度
• 制定观测方案、采取措施尽力 减少测量误差对测量结果的影 响
例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含 有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180˚。用X 表示真值，则l与X的差值Δ称为真误差（即偶然误差）， 即
lX
现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出 217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间 统计相应的误差个数，列入表中。
10
2.7
m乙
02 12 72 22 12 12 82 02 32 12
10
3.6
比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。
中误差所代表的是某一组观测值的精度。
不同中误 差的正态 分布曲线
1 2 m1
1 2 m2
m1<m2
0
二、相对中误差
相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果 之比，并化为分子为1的分数，即
式中 [∆∆]——真误差
的平方和，
21 22 2n
例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测， 它们的真误差分别为：
甲组： 3,2,4,2,0,4,3,2,3,1
乙组： 0,1,7,2,1,1,8,0,3,1
试计算甲、乙两组各自的观测精度。
解:
m甲
32 22 42 22 02 42 32 22 32 12
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的 概率大； *
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； *
（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均 值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即
式中
lim 0 n n
[Δ]
——偶然误差的代数和，
1
2
n
第二节 衡量精度的标准
ห้องสมุดไป่ตู้
在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。
多余观测的作用
1）、构成检核条件，发现粗差 2）、评定测量精度（用多余观 测差值的大小） 3）发笑超限误差
2．系统误差
1）概念：在相同观测条件下，对某量进行一系列 观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按 一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2）性质：系统误差在测量成果中具有累积性，对测 量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的 规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。
中误差 相对中误差 极限误差
*
偶然误差分布的数学基础
一： 标准差与中误差
对真值 X 进行了n次等精度独立观测， 观测值——l1， l2 ，…， ln 真误差——Δ1，Δ2 ，…，Δn (Δ=L-X)
观测值的标准差——
lim []
n n
n有限时的标准差—— ˆ m []
n m——中误差(mean square error)，用m表示。
mK
m D
1 D
m
例 丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m， m2=±1cm， 试计算两段距离的相对中误差。
解
mK1
m1 D1
0.01m 1 100m 10000
mK2
m2 D2
0.01m 1
30m 3000
第五章 测量误差的基本知识
重点： ➢测量误差的来源、分类及处理方法 ➢学习误差的目的和意义 ➢掌握偶然误差的特性 ➢掌握评定测量精度的方法 ➢掌握观测值得中误差和误差传播定律的 计算方法和应用 ➢等精度观测和非等精度观测的精度评定 方法
第一节 测量误差概述
1、误差的概念： 观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值， 称为测量误差
3）系统误差的处理办法 ➢进行计算改正 ➢选择适当的观测方法
• 案例：钢尺量距，用没有鉴定、名义长为
30m、实际长为30.005m的钢尺量距，每 丈量一整尺段距离就量短了0.005m，产生0.005m的量距误差。各整尺段的量距误差 大小都是0.005m，符号都是负，不能抵消， 具有累积性。系统误差对观测值的影响具 有一定的规律性，找到规律就可对观测值 施加改正以消除或削弱系统误差的影响。
3．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系 列的观测，如果观测误差的符号和大小都不 一致，表面上没有任何规律性，这种误差称 为偶然误差。具有统计规律
三、偶然误差的特性
偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随 着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表 现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律 性越明显。
*
误差区间
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上
合计
偶然误差的统计
正误差个数 负误差个数
30
29
21
20
15
18
14
16
12
10
8
8
5
6
2
2
1
0
0
0
107
110
*
总计
59 41 33 30 22 16 11 4 1 0
217
偶然误差的误差分布图
当误差数n→∞ ，误差区间dΔ→0 ， y f ()
1
2
e 2 2
2
（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的 误差个数多； *
（2）绝对值相等的正负误差的个数大致 相等； *
（3）最大误差不超过27″。
偶然误差的四个特性：
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定 的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； *