曹顾张初中沪科版八下《二次根式的乘除》导学案
八年级数学下册 16.2 二次根式的运算(第2课时)导学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级
二次根式的运算1．二次根式的加减(1)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．(2)在合并同类二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变．(3)合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律．(4)二次根式加减的方法二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．(5)二次根式的加减法的一般步骤：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．(2)在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误：①去括号时符号错；②合并同类二次根式时易漏掉系数为1的二次根式；③把不是同类二次根式的根式进行了合并，从而导致错误的出现．【例1】计算：(1)32－8；(2)8＋182.解：2(1)二次根式的加减，就是合并同类二次根式．(2)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变．(3)进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用．二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的和．【例2】计算：(1)－23－32＋53＋42； (2)(12－13)－( 4.5－0.75)． 分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－23与53，－32与42被开方数相同，因此可直接进行合并．解：(1)－23－32＋53＋4 2 ＝(－2＋5)3＋(－3＋4)2＝33＋ 2. (2)原式＝(122－133)－(322－123)＝122－133－322＋123 ＝(12－32)2＋(－13＋12) 3 ＝－2＋163. 3．二次根式的混合运算整式混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时要先算括号里面的．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是完全相同的，其最终结果一定要化为最简形式．并且我们在前面所学习的运算律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律在二次根式的混合运算中同样适用；所学习的乘法公式：平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2对于二次根式的混合运算也同样适用，它们可以使二次根式的运算更为简便．名师归纳：(1)二次根式的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减．②有括号时要先算括号里面的．(2)说明：①运算过程中一定要注意符号；②运算结果一定要化为最简形式．(理解并掌握)知识点拓展：(1)在二次根式的运算中，整式运算中的运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律)同样适用．(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用，常用的公式有：①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；②完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.【例3－1】计算：(1)(2＋23－6)(2－23＋6)； (2)13－2＋25－3－22－55－2. 分析：(1)利用平方差公式计算，把23－6看作一个整体．(2)先把分母去掉，再进行计算．解：(1)(2＋23－6)(2－23＋6) ＝[2＋(23－6)][2－(23－6)] ＝(2)2－(23－6)2＝2－(18－122)＝－16＋12 2. (2)13－2＋25－3－22－55－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＋2(5＋3)(5－3)(5＋3)－222·2－5(5＋2)(5－2)(5＋2) ＝3＋2＋5＋3－2－(5＋25) ＝23－5－5.【例3－2】计算：30÷(6－5)．分析：解答本题时易出现如下错解：原式＝30÷6－30÷5＝5－ 6.显然，由5－6＜0，则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用．解：原式＝306－5＝30(6＋5)(6＋5)(6－5) ＝306＋30 5.4．二次根式的综合运用二次根式的综合运用，知识面比较广，有化简、求值以及新题型等．解决这类问题的关键是熟练掌握基本知识和常用的数学思想．(1)化简求值题要注意先化简，再求值，此类题常与分式一起综合命题．如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们是否都可以化简，这样采取变更问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入思想，比较容易求出问题的解来．(2)灵活运用乘法公式，可使计算过程得到简化．形如(52＋35)(52－35)这样的式子，可利用平方差公式计算． (3)利用二次三项式的变形，也可以解决有关分式的求值问题．二次三项式x 2±xy ＋y 2可变为(x ±y )2∓xy 的形式，于是，两个互为倒数的二次根式相加，我们可以套用a b ＋b a ＝(a ＋b )2－2ab ab 这一规律把它化简．形如：“已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2时，求x y ＋y x的值．”这样的题目可以利用此法解决．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 【例4－1】已知x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，求下列各式的值．(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x y ＋y x.解：因为x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，所以x ＋y ＝7，xy ＝12.(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2－3×12＝512.(2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy＝(x ＋y )2－2xyxy ＝(7)2－2×1212＝12.【例4－2】已知x ，y 为非负整数，且x ＋y ＝ 2 004，求x ＋y 的值．分析：若a ＋b ＝c (a ，b ，c 为非负数)，则a ，b ，c 是同类二次根式，这是一个常用的性质，由题可知x ，y ， 2 004是同类二次根式，又 2 004＝2501，所以设x ＝a 501，y ＝b 501(a ，b 为非负整数)，再由已知可求得x ，y 的值，从而可求出x ＋y 的值．解：∵x ＋y ＝ 2 004，∴x ，y 与 2 004是同类二次根式． 又∵ 2 004＝2501，∴可设x ＝a 501，y ＝b 501， 则a 501＋b 501＝2501，∴a ＋b ＝2.由题意可知a ，b 为非负整数， ∴当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝501，y ＝501，∴x ＋y ＝1 002；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2 004，∴x ＋y ＝2 004；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 004，y ＝0，∴x ＋y ＝2 004.∴x ＋y 的值为1 002或2 004.点拨：当两个二次根式可以合并时，说明这两个二次根式是同类二次根式，所以x ，y 与 2 004是同类二次根式．5．易错疑难辨析易错点1 判断二次根式是否为同类二次根式时，未化到最简而出错易错点解读：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把每一个二次根式化为最简二次根式之后再判断，易出现的错误是不化简直接判断．易错点2 在二次根式的运算中应用运算律不当而出错易错点解读：只有乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，易把乘法分配律错误地用在除法上，从而导致错误．易错点3 合并同类二次根式时，易忽略将系数加括号而出错易错点解读：在二次根式的混合运算中，化简、合并二次根式时，很多二次根式的前面是多项式，整个多项式是二次根式的系数，不要忘记加括号，以免导致计算结果的错误．__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 【例5－1】判断正误：a2与3a 是同类二次根式．错解：√ 解析：a2不是最简二次根式，由于a2＝a2＝2a 2，所以a 2与3a 不是同类二次根式． 正解：×点拨：在判断两个根式是否是同类二次根式时，一定要注意两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方式为最简式．【例5－2】计算：12÷(12＋13)． 错解：12÷(12＋13)＝122＋123＝6×22＋4×33＝6＋2.正解：12÷(12＋13)＝12÷(22＋33)＝12÷32＋236＝23×632＋23＝123(32－23)(32＋23)(32－23)＝123(32－23)6＝23(32－23)＝66－12.解题策略：乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，不能把除法按乘法分配律直接运算．【例5－3】计算12a ＋34a 3－78a a 5－14a2a 7.错解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝12＋3a 4－7a 8－a 4a ＝12－38a a .解析：在二次根式的计算过程中，逆用乘法分配律时忽略了加括号而出错． 正解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝(12＋3a 4－7a 8－a 4)a ＝(12－38a )a .解题策略：在合并同类二次根式时，将系数相加的和作为系数．有时二次根式的系数为多项式，那么整个多项式是二次根式的系数，不能忘记加括号．。
最新沪科版八年级下册数学精品学案(教学案)16.2.1 二次根式的乘除(1)
第16章 二次根式16.2二次根式的运算16.2.1 二次根式的乘除（1）【教学内容】二次根式的乘法运算。
【教学目标】知识与技能 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简过程与方法 由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；•情感、态度与价值观 利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．【教学重难点】 重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）．【导学过程】【知识回顾】（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．（3）100×36=________，10036⨯=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3）5×6______30，（4）4×5______20，（5）7×10______70．老师点评（纠正学生练习中的错误）【情景导入】（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．【新知探究】探究一、两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）探究二、例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可．例2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯ （4）229x y （5）54【知识梳理】本节课应掌握：（1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用【随堂练习】计算（学生练习，老师点评）① 16×8 ②36×210 ③5a ·15ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 2212a b。
二次根式的乘除法第3课时导学案
二次根式的乘除法第3课时导学案一、导学（一）导入课题：我们知道二次根式的乘除运算的结果要化简，那么，什么样的二次根式才是最简的呢？本节课我们学习“最简二次根式”（板书课题）（二）学习目标：1.会判定一个二次根式是否是最简二次根式.2.会将二次根式化简.3.会进行二次根式的乘除混合运算.（三）学习重、难点：重点：将二次根式化简．难点：熟练进行二次根式的乘除混合运算.二、分层学习第一层次学习（一）自学指导1.自学内容：P9页例6后面到例7上面的部分内容.2.自学时间：3分钟.3.自学指导：结合自学参考提纲阅读并弄懂所给文字.4.自学参考提纲：（1）被开方数中不含分母应该包括哪几种情形？（2）如果被开方数是一个多项式，该怎么判断其是否含有开得尽方的因数或因式？（3）二次根式的运算的最后的结果必须达到两条要求是 .（4）下列二次根式是否是最简二次根式： ①8.1； ②110-； ③2232ab b a a +-； ④22b a +.（5）化简下列二次根式： ①32； ②34； ③5.1； ④721.（二）自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.（三）助学：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：相互交流、矫正错误.（四）强化：1.组织学生交流参考提纲中的问题，让4位同学口答第（4）题.2.让4位同学板演第（5）题，并点评.3.强调最简二次根式的两条标准.第二层次学习（一）自学指导1.自学内容：P9页例7后面到P10页练习上面的部分.2.自学时间：5分钟.3.自学指导：体会列式、化简的过程，类比有理数的乘除混合运算法则考虑二次根式的乘除混合运算.4.自学参考提纲：（1）化简a m 1的结果是 . （2）化简abac 的结果是 .（3）计算：-415×(-215)÷(2211÷61).（二）自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.（三）助学：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：相互交流、矫正错误.（四）强化：1.总结第（1）题的化简方法；2.总结第（2）题的化简方法；3.总结第（3）题的运算技巧.4.回顾本节所学知识点和数学思想方法.三、评价：1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。
八年级数学下册16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法导学案
教课备注学生在课前达成自主学习部分第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第 2 课时二次根式的除法学习目标： 1. 认识二次根式的除法法例；2.会运用除法法例及商的算术平方根进行简单运算；3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：理解二次根式的除法法例，能将二次根式化为最简二次根式.难点：会运用除法法例及商的算术平方根进行简单运算.自主学习一、知识回首1.二次根式有哪些性质？2.二次根式的乘法法例是什么？你能用字母表示出来吗？配套 PPT 讲讲堂研究授一、重点研究1.情形引入研究点1：二次根式的除法（见幻灯片算一算计算以下各式，并察看三组式子的结果：3-4）2.研究点 1 新知讲解（见幻灯片5-10）(1)4= ____? _______;4= _____;99(2)16= ____? _______;16= _____;2525(3)36= ____? _______;36= _____.4949思虑你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜想a= _____(a 吵0, b 0).b重点概括：（ 1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.（ 2）当二次根式根号外的因数(式)不为 1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 m a0,b 0,n0)._____ (an b典例精析例 1(教材 P8例 4 变式题 ) 化简：(1)342；(2)2 1111. 56226方法总结 :近似 (2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法例进行运算 .研究点 2：商的算术平方根的性质重点概括：把二次根式的除法法例反过来，就获得二次根式的商的算术平方根的性质:a______ (a0,b 0).b语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.例 2( 教材 P8例 5 变式题 )计算：(1)7(2)81x 0 ;(3)0.09169 .2 ;25x290.64196针对训练1.能使等式x x建立的 x 的取值范围是（）x2x2A.. x≠2B..x≥0C..x＞2D..x≥22.化简：(1)5；(2) 17; (3) 1.25. 6425研究点 3：最简二次根式教课备注配套 PPT 讲解3.研究点 2 新知讲解（见幻灯片11-15）3.研究点 2 新知讲解（见幻灯片11-15）教课备注前方我们学习了二次根式的除法法例，你会去掉2这样的式子分母的根号思虑配套 PPT 讲解 34.研究点 3 新 知讲解吗？重点概括 ：（ 1）把分母中的根号化去 , 使分母变为有理数的这个过程就叫做 分母有理（见幻灯片最简二次根式 ： 被开方数不含15-19）化 . （ 2）我们把知足以下两个条件的二次根式，叫做 分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例 3 在以下各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．(1) 45;(2) 1;(3) 5;(4) 0.5;(5) 14.3255.研究点 4 新知讲解 研究点 4：二次根式除法的应用（见幻灯片例 4 ( 教材 P9 例 7 变式题 ) 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报导：一20-21）18 楼抛下来就能够砸破行人的头骨，从 25 楼抛下能够令人就地死个 30g 的鸡蛋从亡．据研究从高空抛物时间2ht 和高度 h 近似的知足公式 t10. 从 100 米高空抛物到落地所需时间 t 2 是从 50 米高空抛物到落地所需时间t 1 的多少倍？6.讲堂小结（见 幻灯片 27）二、讲堂小结二次根式的除法内容二次根式的除法 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根 . 即法例a a(a ? 0, b 0).=bb商的算术平方根 商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商 . 即的性质a ab=b (a ? 0, b 0) .最简二次根式最简二次根式知足两个条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.当堂检测教课备注配套 PPT 讲解1. 化简182 的结果是（）7.当堂检测（见幻灯片A ． 9B ． 3C． 3 2D ．2322-26）2. 以下根式中，最简二次根式是（ ）A.18B.24C.30D.363. 若使等式2k 4 2k4建立，则实数 k 取值范围是（）k 1k 1A.k ≥ 1B.k≥ 2 C. 1＜k ≤ 2 D. 1 ≤ k ≤ 24. 化以下各式的计算中，结果为2 5的是（）A.10 2 B.25C.1 1 D.8 52405. 化简：(1)72; (2)227; (3)1 18 19 .63 827 276. 在物理学中有公式 W=I 2Rt ，此中 W 表示电功 ( 单位：焦耳 ) ，I 表示电流 ( 单位：安培 ) ，R 表示电阻 ( 单位：欧姆 ) ，t 表示时间 ( 单位：秒 ) ，假如已知 W 、R 、t ，求 I ，则有IW.Rt若 W=2400焦耳， R=100欧姆， t=15 秒．试求电流 I ．能力提高a 中实数 a7. 自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式a 3aa的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“a 3 ”，而是“ a 3 ”刘敏说：哎呀，真抄错了，幸亏不影响结果，反正a 和 a -3 都在根号内．试问：刘敏说得对吗？。
八下《16.2.1二次根式的乘除》word版教学设计【沪科版初中数学】
《16.2.1二次根式的乘除》课时教学目标：1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.2、了解二次根式的上述两个性质.3、会运用上述两个性质进行有关计算. 教学重点：是理解二次根式的上述两个性质； 教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算. 教学过程： 一、回顾与引入1、平方根的概念：一个数的平方等a （a ≥0），则这个数叫做a 的平方根，记做a ±，则()a a =±22、()a a =23、大家抢答填空()=22 ()=213=⎪⎪⎭⎫⎝⎛271 二、新课讲解从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一 4、性质一：()()02≥=a a a5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积启发诱导数形结合思想6、比较 2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝ 和a ﹤0，2a ＝ 梳理知识使条理清楚，及时练习巩固7、积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．即)0,0(≥≥⋅=b a b a ab8、商的算术平方根的性质.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.即ba ba =).0,0(>≥b a[作用]：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算.9、例1 计算1．2（x ≥0） 2．23．24.4035.2723- 6.xy y 422规范书写，知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序10、计算：()1()2 （3）b a b a 263++ （4）552--x x ．要求比较先算括号里与直接利用二次根式性质的优劣；强调先判断2a 中的符号. 11、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式； (3)这两个代数式的积不含有二次根式；(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式. 观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：121=--1，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值． 三、引申与提高 例4 化简：（1）403；（2）2723-；（3）xy y 422；（4）aa 105；（5）b a b a 263++；（6）552--x x ．四、分享与体会你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？ 五、作业课本第10页1.3.5《16.2.1二次根式的乘除》教学目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；2、了解二次根式的上述两个性质；3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简.重点：二次根式的乘法、除法的性质与利用性质进行运算.难点：例3（4）和探究活动涉及较复杂的化简过程和一些技巧的运用. 教学程序与策略 一、合作学习，引出课题1、复习旧知：二次根式：（1）定义：)0(≥a a （2）两个基本性质2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）；，______________94________________94=⨯=⨯ ；，______________54________________54=⨯=⨯；，______________169________________169=÷= ；，______________23________________23=÷= 比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？（学生通过观察，从中得到二次根式的乘法、除法性质.鼓励学生用自己的语言总结出性质.从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）. 二、探究新知，体验成功 1、积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．即)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2、商的算术平方根的性质.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.即ba ba =).0,0(>≥b a[作用]：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算. 3、例题讲解： 例1 化简：；）；（）；（）；（）（72495374222512112⨯⨯注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学， 例2、先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）()() 5.0001.034911224181⨯-•- 合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算.按教师提问，学生回答，利用多媒体，教师板书解题过程交替的方式进行教学. 三、总结提高、课内练习 1、课本第9页1、2、3.2、22132138⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛化简3、补充练习若b>0，x <0，化简： 24)(x b -- 四、归纳小结，充实结构 由学生总结，教师适当提问补充. 谈一谈：本节课你有什么收获？ 引导学生从下面的思路总结：二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错.（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）. 五、布置作业：课本第10页作业第4页.《16.2.1二次根式的乘除》教学内容：1.二次根式的乘除运算.2.最简二次根式及分母有理化教学目标：掌握二次根式的乘法法则．（a≥0，b≥0）即：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．a≥0，b>0），即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.重难点知识归纳：二次根式的性质及其运算教学过程：一、复习引入1．填空（1=______；（2=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来:（a≥0，b≥0）例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4二、二次根式的除法的引入1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1=________；（2；（3；（4=________．规a≥0，b>0）a≥0，b>0）例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3（4两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
《二次根式的乘除》导学案
2019年《二次根式的乘除》导学案目前，“学案导学”的模式已经广泛运用于实际教学中，为方便教学，数学网小编整理了2019年《二次根式的乘除》导学案，希望大家通过导学案的学习，能提高课堂教学效率的。
一.学习目标：1.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则;2.能运用二次根式的乘法法则：a•b=ab(a≥0，b≥0)进行乘法运算理解;3.理解积的算术平方根的意义，会用公式ab=a•b化简二次根式.二.学习重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.学习难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用.三.教学过程知识准备1.什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?2.(1)4×25与4×25;(2)16×9与16×9;(3)(23)2×(35)2与(23)2×(35)2 ★规律探究1. 观察：以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律?，并用表达式表示你发现的¬规律.2. 概括：二次根式相乘， .尝试练习：⑴2×32 ⑵12×8 ⑶2a×8a(a≥0)⑷24×6⑸18×12 ⑹12×6×2⑺3m×m2×6m23. 由二次根式乘法公式逆向运用可得： .文字语言叙述： .比如：12= × = × = ;32= × = × = ;20= × = × = ;28= × = × = .尝试练习：⑴8 ⑵50 ⑶76 ⑷52 ⑸96 ⑹125 ⑺150例题解析⑴16•81 ⑵72•52 ⑶a3 ⑷4a2b3 (a≥0)⑸12a2b4 (a≥0) ⑹32x3y (x≥0) ⑺8x3+4x2y(x≤0，2x+y≥0)注意：一般地,二次根式运算的结果中, .归纳小结：课内反馈：1. 计算：⑴20×5 ⑵32×28 ⑶8×18⑷6a3×3a2(a≥0)2. 化简：(1)16×25 (2)54 (3)45a (4)9a2b3(a≥0，b≥0) (5)262-1023. 已知等腰三角形的腰为26cm，底边为42cm，求这个腰三角形的的面积.课外延伸1. (10 柳州)计算：2×3= .2. 计算：⑴24×54= ; ⑵18×98= .3. 化简：⑴27a3b2= ; ⑵24a•18a3(a≥0)= .4. (11 枣庄)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=a+ba-b，如3※2=3+23-2=5.那么8※12=5. 如果x×x-2=x(x-2)，那么x的取值范围是 .6. 下列运算中，正确的是 ( )A.52×32=52×32=5×3=15B.52-32=52-32=5-3=2C.-8x2y3 (x≥0)=2xy-2yD.(-5)×(-3)=-5×-3=(-5)×(-3)=157. (10 襄阳)计算32×12+2×5的结果估计在( )A.6至7之间B. 7至8之间C. 8至9之间D. 9至10之间8. (10 自贡)已知n是一个正整数，135n是整数，则n的最小值是 ( )A.3B.5C.15D.259. 计算⑴27×3 ⑵15×53 ⑶7×63⑷23×312⑸25×40 ⑹ab×ab3(a≥0，b≥0)⑺18a×2a (a≥0)⑻25a×10a(a≥0) ⑼627xy•xy (x≥0，y>0) ⑽5ab•(-4a3b)(a≥0，b≥0) ⑾xy•x3y•xy2 ⑿18•24•27⒀18mn•2m2n4(m≥0，n≥0)⒁43xy7×(-1228x2y) ⒂-192-17210. 已知(2-x)(x-7)=(2-x)(x-7)，求x的取值范围.11.已知矩形的长是宽的3倍，它的面积为72cm2，求这个矩形的长和宽.12.(11 泰州)解方程组3x+6y=106x+3y=8，并求xy的值.2019年《二次根式的乘除》导学案中的每一个问题，每一个环节，都有教师依据学生学习的实际和教材的实际进行针对性的设置，希望大家能够认真阅读学习，欢迎继续关注数学网。
新课标HK沪科版 初二八年级数学 下册第二学期(导学案)第十六章 二次根式 (第16单元全章导学案)
第16章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念第17章二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：a a =2； 2.能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质a a =2．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式52-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）合作交流（小组互助） 1.计算：24= =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时2.计算：-2)4(=观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.计算：=20 当==2,0a a 时（三）展示提升（质疑点拨） 1.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：⎪⎩⎪⎨⎧<->==00002a a a a a a2.化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）3.请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
1.化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x2.化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）（四）达标检测A 组1.填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________.2.已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x xB 组3. 已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx4.把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x5. x -4│-│7-x │。
(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)
（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)一. 教材分析《二次根式的乘除》是沪科版八年级数学下册的一章内容。
本章主要让学生掌握二次根式的乘除运算法则，进一步深化对二次根式的理解。
在学习本章之前，学生已经掌握了二次根式的概念、性质以及加减运算。
本章的内容既是对前面知识的巩固，又是为后面学习二次根式在实际问题中的应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的认识。
但学生在进行二次根式的乘除运算时，容易出错，对运算法则的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要帮助学生深化对运算法则的理解，提高运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的乘除运算法则，能够熟练进行二次根式的乘除运算。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生经历探索、发现、总结二次根式乘除运算法则的过程，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的乘除运算法则。
2.难点：对二次根式乘除运算过程中，如何正确处理各种情况的理解和应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生主动探索、发现、总结二次根式乘除运算法则。
同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。
2.准备教学用的黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的乘除运算法则，引导学生关注运算法则的推导过程。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用刚刚学到的运算法则进行二次根式的乘除运算。
教师巡回指导，及时纠正学生在运算过程中出现的问题。
4.巩固（10分钟）针对学生在操练过程中出现的问题，教师进行讲解，帮助学生深化对运算法则的理解。
【沪科版】八年级数学下册导学案：16.2.1 第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的运算1.二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简.三、学习过程（一）自学导航（课前预习）1．填空：（1；（2=____；（3．（二）合作交流（小组互助）1、 学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1、计算（1（2（3）3（4例2、化简（1（2（3（4（5巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简（三）展示提升（质疑点拨）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解.（2）分解后把能开尽方的开出来.（四）达标检测 A 组1、选择题（1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1（2）下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=85B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26 B ．-26 C ．6 D ．122、化简与计算：（1）360； （2）432x ； （3）3018⨯； （4）7523⨯B 组1、选择题（1）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）A ．64)6()4(-⨯-=-⨯-=（-2）×（-4）=8 B ．2222442)(244a a a a =⨯=⨯=C ．5251694322==+=+ D ．12512131213)1213)(1213(121322⨯=-⨯+=-+=-2、计算：（1）68×（-26）； （23、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. (1) -332 (2) aa 212-。
八年级下册数学16.2二次根式的乘除导学案
能利用 · ＝ （a≥0，b≥0）， = · （a≥0，b≥0）进行计算和化简．
难点
发现规律，导出 · ＝ （a≥0，b≥0）．
学习过程
学（教）记录
【自助学习·我尝试新知】
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）．A．4 B．3 C．2 D．1
2． 的值是（ ）． A．0 B． C．4
3．下列各式中计算正确的是（ ）
A B．
C.
D．
4．若x=-3，则 =
5．轻松计算：
（1） （2） （3） （4）
得到的结论是 __. _.
对二次根式的除法用公式表示为：，
反过来，就得到：。
【互助探究·我参与互研】
1．计算：
（3） （4）
2．阅读下列运算过程：
， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么， =。
3．数学医院：请诊断下列计算是否正确，不正确的请予以治疗.
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
【求助交流·我愿意分享】
1．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ）A、1； B、 ； C、19； D、
2．计算 （1） × （2）3 ×2 （3） ×
3、化简 ； ； ； ；
得出结论：最简二次根式：条件（1）_______________________________.
条件（2）_________________________________________.
【求助交流·我愿意分享】
1．分母有理化:(1) =___;(2) =___;(3) =__.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么 的最后结果是_______．
(沪科版)八年级数学下册导学案：二次根式的乘除(2)
二次根式的乘除(2) 【学习目标】1．理解ab＝ab(a≥0，b＞0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)及利用它们进行运算．2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【学习重点】理解ab＝ab(a≥0，b＞0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)及利用它们进行计算和化简．【学习难点】发现规律，归纳出二次根式的除法法则和对最简二次根式的理解．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．解题思路：利用商的算术平方根，可将被开方数为分数形式的二次根式化简．情景导入生成问题旧知回顾：1．二次根式的乘法公式和积的算术平方根公式？答：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)．2．计算下列各题，观察有何规律？(1)3649＝67，3649＝67；(2)916＝34，916＝34．答：3649＝3649，916＝916.规律：两个二次根式相除，根号不变，把被开方数相除．自学互研生成能力知识模块一二次根式的除法【自主探究】阅读教材P7～8，完成下列问题：二次根式除法公式是什么？如何证明？答：性质4，如果a≥0，b＞0，那么有ab＝ab.∵(ab)2＝（a）2（b）2＝ab，(ab)2＝ab，ab的算术平方根只有一个，∴ab＝ab.范例1：计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116.解：(1)原式＝123＝4＝2；(2)原式＝32×8＝12＝23；(3)原式＝14×16＝2.仿例：计算：(1)－27÷3＝－3；(2)－122÷210＝－20(3)2x2y3xy＝3学习笔记：最简二次根式具备以下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．在化简二次根式时要注意：(1)有时需将被开方数分解因式；(2)当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应先分母有理化．行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．。
沪科版数学八年级下册《二次根式的运算》复习导学案
（1） + （2） ）
（3） （4）
2．探究：
（1） 的有理化因式是， 与互为有理化因式， 与互为有理化因式.
（2）计算：
①（ ②（x- y）÷（ ）
☆归纳反思☆
☆达标检测☆
计算：（1）
（2） =；
（3） =；
（4） · =；（5） =.
2．单项式乘以多项式、多项式乘以多项式运算法则：
（1）（2x+y）·（-x）（2）（2x2y+3xy2）（-2x+y）
（3）（2x+3y）（2x-3y）（4）（2x+1）2+（2x-1）2
3．有理化因式及分母有理化的方法：
二、阅读与思考
1．一个二次根式与几个二次根式和相乘，相当于单项式乘以多项式；几个二次根式的和与另几个二次根式的和相乘，相当于多项式乘以多项式，符合乘法公式的，可利用乘法公式；
2．展开后必须化为最简二次根式，有同类二次根式的必须合并.
3．二次根式的除法，一般先写成分式的形式，再进行分母有理化.
☆合作探究☆
16.2 二次根式的运算 复习导学案
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：
1．能正确的进行二次根式的混合运算；
2．含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
学习重点：二次根式的混合运算
预设难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算
☆自主学习☆
一、知识链接
1．二次根式的性质：
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
新沪科版八年级下册数学 《二次根式》导学案1
16.1二次根式导学案教学思路（纠错栏）学习目标：1．理解二次根式的定义；2．记住二次根式有意义的条件；3．理解a（a≥0）是一个非负数，并会运用a（a≥0）的非负性解决实际问题．学习重点：二次根式的定义预设难点：a（a≥0）的非负性的应用☆自主学习☆一、知识链接1．什么叫平方根？什么叫算术平方根？你能求出7的算术平方根吗？2．数a一定有平方根吗？若有，那么对于a的取值有何要求？二、阅读与思考（请仔细阅读教材第2-3页的内容，思考回答下列问题．）1．你知道代数式a的名称吗？2．你知道二次根式a有意义的条件吗？☆合作探究☆1．x为何值时，下列式子有意义①13-x②1132+++xx③1x1x-+教学思路（纠错栏）2．如果04=-++-yxyx，试求x、y的值．☆归纳反思☆1．二次根式有意义的条件是：_________________________；本章中，如无特殊说明，所给的二次根式均是有意义的．2．二次根式是___________数，即a_________0．☆达标检测☆1．在3，21，()22-，()35-，12+x中，二次根式有___个．2．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？（1）2-x；（2）x-11；（3）xx-+-33. 3．已知053=+-+-+yxyx，求2x + y的值．。
二次根式的乘除 导学案
CBA《7.4二次根式的乘除》导学案【学习目标】1、探索二次根式的乘法和除法的运算法则；2、能熟练进行二次根式的乘法和除法运算. 【学习过程】 一、复习旧知1、二次根式的定义：2、二次根式的性质：（1） （2） （3） 二、模块导学模块一 二次根式乘法法则 情景一：在图中，小正方形的边长为1，AB ＝2，BC ＝8， 画出矩形ABCD 的面积是多少？ 情景二：在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH ，使EF ＝2，FG ＝18．矩形EFGH 的面积是多少？自主探究、展示=1．计算：2．归纳猜想：(a≥0，b≥0). 文字语言叙述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 自主合作:例1 计算：（1）（2）（3）解：（1）864322==⋅（2）2;4821==⋅（3）当a≥0时，aaaa416822==⋅自主展示:夯实基础，才能有所突破……练习：课本43页随堂练习第1、2题．知识拓展：(a≥0，b≥0)思考：？abc(a≥0，b≥0，c≥0)模块二：自主展示四、【课堂小结】、二次根式的乘法步骤:4.（1）（2）；；a）；≥教材P8练习全部.五、 【课堂检测】1.选择题(1)，•那么此直角三角形斜边长是（ ）． A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm (2)11x -= （ ）C ．－1≤x≤1D ．x≥1或x≤－1 (3)．下列各等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．× 2.计算 (1));33(35-⨯- (2)． ;8223⨯3.化简 (1)=12 ；(2)=x 184.综合提高题 化简：(1)=-+1110)12()12( ； (2)=-⋅+)13()13( 三、达标检测1、在下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）2、化简：【备用题库】1、化简下列各式：aa x xyyx 1)3()0(3)2(75.0)1(22-＞ 2、若22-+n m 和2233+-n m 都是最简二次根式，求m 和n 的值 .3、若等式242bc a b c a -=成立，试判断a ，b ，c 的取值范围. 2.4..73.25.22D b a C xxB A +25641649)1(⨯89)2(××a b c ＝。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册数学学案
二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数X围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数X围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非．负数．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，ba b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x－3)2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算：(1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．a (a ≥0).(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值X 围由二次根式的意义可知，a 的取值X 围是：a 当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值X 围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1)a 2＋b 2；(2)－3x ；(3)12x ；(4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0，所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x是二次根式． (4)－32－x≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数X 围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值． 分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5. 当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2. 解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12.(2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2.(3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数X 围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数X 围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0；|a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0；|a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______. 解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数， ∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0. 而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011.答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0， ∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先某某数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值X 围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算． ②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2B ．x ＋2C ．－x －2D ．2－x解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x .答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197. ∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之。
最新沪科版八年级下册数学精品学案(教学案)16.2.1二次根式的乘除(3)
第16章 二次根式16.2 二次根式的运算16.2.1二次根式的乘除（3）【教学内容】 二次根式的乘除及综合运用。
【教学目标】知识与技能理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．过程与方法通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．情感、态度与价值观加强学生良好习惯的养成教育。
【教学重难点】重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．【导学过程】【知识回顾】（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1）35，（2）3227，（3）82a老师点评：35=155，3227=63，82a =2aa【情景导入】现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．它们的比是1222Rh Rh ．【新知探究】观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．1222Rh Rh =121122222h hRh h Rh h h ==. 【随堂练习】1．5312; (2) 2442x y x y +; (3) 238x y2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C。
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曹顾张初中沪科版八下《二次根式的乘除》
导学案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
课题 二次根式的乘除（3）
主备人：曹顾张初中 姚治进 审核：张登友
学习目标:
(1)能运用法则
b a =b a （a ≥0，b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；.
(2)能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。
学习重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用 学习难点：商的算术平方根的性质的理解与运用
学习过程：
一、情境创设
想一想: b a
= （a__，b__）,b
a = （a__，b__） 二、自学探究。
1．想一想：如何化去
3
1的被开方数中的分母呢?
2.请再举例试一试.
3. 议一议：如果上面
31首先化成31,那么该怎样化去分母中的根号呢?
三、合作研讨
1： 化去根号内的分母:
（1）
32 （2）312 （3）)0,0(32≥>y x x
y
2. ：化去分母中根号: （1）
32 （2）51
（3）)0,0(32≥>y x x
y
四、思维拓展
1. 当（a ≥0，b ＞0）时,
b a = b b b a ••=2b ab =2b ab =b ab .
2. 当（a ≥0，b ＞0）时,
b a =b b b a ••=b
ab 五、小结
1.一般地,二次根式运算的结果中,被开方数中应不含有分母,分母中应不含有根号.那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢?
2.化简二次根式实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含有分母;
(3)分母中不含有根号.
六、当堂检测
A组 1.
B组 1.。