第三章 流体运动学
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t t t t t
2.非定常(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.
定常运动与坐标的选取有关
二、轨迹线(path line)
1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。
2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。
度(accleration)为：
vx
dx dt
vx (a, b, c, t )
vy
dy dt
vy (a, b, c, t )
vz
dz dt
vz (a, b, c, t )
ax
d 2x dt 2
ax (a, b, c, t )
ay
d2y dt 2
ay (a, b, c, t )
az
d 2z dt 2
B A
B A
流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: 例如:
D
Dt t Vx x Vy x Vz x
§３-２ 几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时
间而变化的流动。即有
vx vy vz p 0
§3-1 研究流体运动的两种方法
两个基本概念：
流体质点(particle)——体积很小的流体微团 流体就是由这种流体微团连续组成的。
流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。
空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何
点，并非实际的流体微团。空间点是不动的， 而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为 某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新 的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程 中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过
的速度变化率：
r
r
lim ar
V (x x, y y, z , t t, ) V (x, y, z, t)
t 0
t
rr
r
r
V V dx V dy V dz
t x dt y dt z dt
r
r
r
r
V t
ux
V x
uy
V y
uz
V z
r
DV
Dt
加速度的矢量试:
ar
r DV
r V
第三章 流体运动学
课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？
流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。
主要内容： 1.介绍研究流体运动的两种方法 2.用这两种方法来表达流体质点的运动 3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念 4.建立连续性方程
5. 引入流函数的概念 6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移 变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无 旋运动的概念并引入速度势函数。
研究流体运动的两种方法
一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）
始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程 中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等） 的变化规律。
设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为 ｘ,ｙ,z，则以a,b,c标认的流体质点在ｔ时刻 所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间ｔ的 函数，即
rr (V )V
Dt t
从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ax
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
dvy dt
Байду номын сангаас
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
dvz dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
1）vtx : 局部导数，在固定空间点处， vx随时
dx
dy
dz
dt
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
3. 轨迹线的方程式 ：
dx dy dz dt
ux
uy
uz
给定速度分布积分上式可得迹线方程。
一条迹线：一个流体质点在一段时间内描 述的路径。
t1
A
A
A AA
t2
t3
t4
A
t5
ts
三、流线(stream line)
• 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。
• 流线一般不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
3. 流线的微分方程
dx dy dz vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
上述可组成一微分方程组，给定速度分布积 分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流 线。 注意：积分时时间作为参量。
1. 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。
r
Va
r
a
b
c
Vc
r
Vb
流线
r
r t=t1的流线r
Va
Vb
Vc
b
a
t1
a
t1+ Δt
c t1+ 2Δt
a
质点a的轨迹
2. 流线特点 • 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时
刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
x
x
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
y
y
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
z
z
ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
Ρ ＝ ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
r V (x, y, z,t)
A
B
r
V (x Vxdt, y Vydt, z Vzdt,t dt)
加速度(accleration)：单位时间内流体质点
拉格朗日变量： ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） (a1,b1, c1,t0 )
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
(a2 , b2 , c2 , t0 )
思考题：
1. 当ａ，ｂ，ｃ为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变化？
2.若t为常数时又代表什么情况？其速度和加速
az (a, b, c, t )
二、欧拉法(Euler)（空间点法）
欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标ｘ，ｙ，ｚ以及时间ｔ的函数。
例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:
间变化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。
２) vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
:变位导数
它是在同一时间，在空间不同点处速度不同
而引起的加速度，又叫“对流加速度”。
讨论问题：
1)什么情况下只有局部加速度？
2.什么情况下只有位移加速度？ 3.什么情况下两部分加速度都有？ 4.DDt ( ) :称为流体的质点导数
2.非定常(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.
定常运动与坐标的选取有关
二、轨迹线(path line)
1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。
2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。
度(accleration)为：
vx
dx dt
vx (a, b, c, t )
vy
dy dt
vy (a, b, c, t )
vz
dz dt
vz (a, b, c, t )
ax
d 2x dt 2
ax (a, b, c, t )
ay
d2y dt 2
ay (a, b, c, t )
az
d 2z dt 2
B A
B A
流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: 例如:
D
Dt t Vx x Vy x Vz x
§３-２ 几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时
间而变化的流动。即有
vx vy vz p 0
§3-1 研究流体运动的两种方法
两个基本概念：
流体质点(particle)——体积很小的流体微团 流体就是由这种流体微团连续组成的。
流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。
空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何
点，并非实际的流体微团。空间点是不动的， 而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为 某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新 的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程 中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过
的速度变化率：
r
r
lim ar
V (x x, y y, z , t t, ) V (x, y, z, t)
t 0
t
rr
r
r
V V dx V dy V dz
t x dt y dt z dt
r
r
r
r
V t
ux
V x
uy
V y
uz
V z
r
DV
Dt
加速度的矢量试:
ar
r DV
r V
第三章 流体运动学
课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？
流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。
主要内容： 1.介绍研究流体运动的两种方法 2.用这两种方法来表达流体质点的运动 3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念 4.建立连续性方程
5. 引入流函数的概念 6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移 变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无 旋运动的概念并引入速度势函数。
研究流体运动的两种方法
一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）
始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程 中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等） 的变化规律。
设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为 ｘ,ｙ,z，则以a,b,c标认的流体质点在ｔ时刻 所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间ｔ的 函数，即
rr (V )V
Dt t
从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ax
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
dvy dt
Байду номын сангаас
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
dvz dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
1）vtx : 局部导数，在固定空间点处， vx随时
dx
dy
dz
dt
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
3. 轨迹线的方程式 ：
dx dy dz dt
ux
uy
uz
给定速度分布积分上式可得迹线方程。
一条迹线：一个流体质点在一段时间内描 述的路径。
t1
A
A
A AA
t2
t3
t4
A
t5
ts
三、流线(stream line)
• 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。
• 流线一般不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
3. 流线的微分方程
dx dy dz vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
上述可组成一微分方程组，给定速度分布积 分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流 线。 注意：积分时时间作为参量。
1. 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。
r
Va
r
a
b
c
Vc
r
Vb
流线
r
r t=t1的流线r
Va
Vb
Vc
b
a
t1
a
t1+ Δt
c t1+ 2Δt
a
质点a的轨迹
2. 流线特点 • 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时
刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
x
x
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
y
y
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
z
z
ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
Ρ ＝ ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
r V (x, y, z,t)
A
B
r
V (x Vxdt, y Vydt, z Vzdt,t dt)
加速度(accleration)：单位时间内流体质点
拉格朗日变量： ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） (a1,b1, c1,t0 )
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
(a2 , b2 , c2 , t0 )
思考题：
1. 当ａ，ｂ，ｃ为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变化？
2.若t为常数时又代表什么情况？其速度和加速
az (a, b, c, t )
二、欧拉法(Euler)（空间点法）
欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标ｘ，ｙ，ｚ以及时间ｔ的函数。
例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:
间变化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。
２) vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
:变位导数
它是在同一时间，在空间不同点处速度不同
而引起的加速度，又叫“对流加速度”。
讨论问题：
1)什么情况下只有局部加速度？
2.什么情况下只有位移加速度？ 3.什么情况下两部分加速度都有？ 4.DDt ( ) :称为流体的质点导数